北师大版八年级下册第二章 一元一次不等式和一元一次不等式组4 一元一次不等式学案及答案

实际问题与一元一次不等式（提高）知识讲解

【学习目标】

1．会从实际问题中抽象出不等的数量关系，会用一元一次不等式解决实际问题；

2. 熟悉常见一些应用题中的数量关系．

【要点梳理】

要点一、常见的一些等量关系

1.行程问题：路程＝速度×时间

2.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量

3.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价， 

4.和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率 

5.银行存贷款问题：本息和＝本金+利息，利息＝本金×利率 

6.数字问题：多位数的表示方法：例如：.

要点二、列不等式解决实际问题

列一元一次不等式解应用题与列一元一次方程解应用题类似，通常也需要经过以下几个步骤：

    (1)审：认真审题，分清已知量、未知量及其关系，找出题中不等关系要抓住题中的关键字眼，如“大于”、“小于”、“不大于”、“至少”、“不超过”、“超过”等；

    (2)设：设出适当的未知数；

    (3)列：根据题中的不等关系，列出不等式；

    (4)解：解所列的不等式；

    (5)答：写出答案，并检验是否符合题意．

  要点诠释：

(1)列不等式的关键在于确定不等关系；

(2)求得不等关系的解集后，应根据题意，把实际问题的解求出来；

(3)构建不等关系解应用题的流程如图所示．

（4）用不等式解决应用问题，有一点要特别注意：在设未知数时，表示不等关系的文字如“至少”不能出现，即应给出肯定的未知数的设法，然后在最后写答案时，应把表示不等关系的文字补上．如下面例1中 “设还需要B型车x辆 ”，而在答中 “至少需要11台B型车 ”．这一点要应十分注意．

【典型例题】

类型一、简单应用题

1.蓝天运输公司要将300吨物资运往某地，现有A、B两种型号的汽车可供调用．已知A型汽车每辆最多可装该物资20吨，B型汽车每辆最多可装该物资15吨．在每辆车不超载的条件下，要把这300吨物资一次性装运完．问：在已确定调用7辆A型车的前提下至少还需调用B型车多少辆？

【思路点拨】本题的数量关系是：7辆A型汽车装载货物的吨数+B型汽车装货物的吨数≥300吨，由此可得出不等式，求出自变量的取值范围，找出符合条件的值．

【答案与解析】

又因为x取整数，所以x最小取11．

答：在已确定调用7辆A型车的前提下至少还需调用B型车11辆．

【总结升华】解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的不等量关系．

举一反三：

【变式】（2020•香坊区二模）某商场共用2200元同时购进A、B两种型号的背包各40个，且购进A型号背包2个比购进B型号背包1个多用20元．

（1）求A、B两种型号背包的进货单价各为多少元？

（2）若该商场把A、B两种型号背包均按每个50元的价格进行零售，同时为了吸引消费者，商场拿出一部分背包按零售价的7折进行让利销售．商场在这批背包全部销售完后，若总获利不低于1350元，求商场用于让利销售的背包数量最多为多少个？

【答案】

解：（1）设A型背包每个为x元，B型背包每个为y元，由题意得

，

解得：．

答：A、B两种型号背包的进货单价各为25元、30元；

（2）设商场用于让利销售的背包数量为a个，

由题意得，50×70a%+50（40×2﹣a）﹣2200≥1350，

解得：a≤30．

所以，商场用于让利销售的背包数数量最多为30个．

答：商场用于让利销售的背包数数量最多为30个．

类型二、阅读理解型

2.（2020•宁波）某商场销售A，B两种品牌的教学设备，这两种教学设备的进价和售价如表所示

该商场计划购进两种教学设备若干套，共需66万元，全部销售后可获毛利润9万元．

（1）该商场计划购进A，B两种品牌的教学设备各多少套？

（2）通过市场调研，该商场决定在原计划的基础上，减少A种设备的购进数量，增加B种设备的购进数量，已知B种设备增加的数量是A种设备减少的数量的1.5倍．若用于购进这两种教学设备的总资金不超过69万元，问A种设备购进数量至多减少多少套？

【思路点拨】（1）首先设该商场计划购进A，B两种品牌的教学设备分别为x套，y套，根据题意列方程组即可求得答案；

（2）首先设A种设备购进数量减少a套，则B种设备购进数量增加1.5a套，根据题意得总资金不得超过69万元，列不等式即可求得答案．

【答案与解析】

解：（1）设该商场计划购进A，B两种品牌的教学设备分别为x套，y套，

，解得：，

答：该商场计划购进A，B两种品牌的教学设备分别为20套，30套；

（2）设A种设备购进数量减少a套，则B种设备购进数量增加1.5a套，

1.5（20﹣a）+1.2（30+1.5a）≤69，

解得：a≤10，

答：A种设备购进数量至多减少10套．

【总结升华】能够读懂表格，会把文字语言转换为数学语言．

【变式】为了落实水资源管理制度，大力促进水资源节约，某地实行居民用水阶梯水价，收费标准如下表：

（1）小明家5月份用水量为14立方米，在这个月，小明家需缴纳的水费为　     　元；

（2）小明家6月份缴纳水费110元，在这个月，小明家缴纳第二阶梯水价的用水量为    　立方米；

（3）随着夏天的到来，用水量将会有所增加，为了节省开支，小明家计划7月份的水费不超过180元，在这个月，小明家最多能用水多少立方米？

【答案】解：（1）由表格中数据可得：0≤x≤15时，水价为：5元/立方米，

故小明家5月份用水量为14立方米，在这个月，小明家需缴纳的水费为：14×5=70（元）；

（2）∵15×5=75＜110，75+6×7=117＞110，

∴小明家6月份使用水量超过15立方米但小于21立方米，

设小明家6月份使用水量为x立方米，

∴75+（x﹣15）×7=110，

解得：x=20，

故小明家缴纳第二阶梯水价的用水量为：20﹣15=5（立方米），

故答案为：5；

（3）设小明家能用水a立方米，根据题意可得：

117+（a﹣21）×9≤180，

解得：a≤28．

答：小明家计划7月份的水费不超过180元，在这个月，小明家最多能用水28立方米．

类型三、方案选择型

3.某公交公司有A，B型两种客车，它们的载客量和租金如下表：

红星中学根据实际情况，计划租用A，B型客车共5辆，同时送七年级师生到基地校参加社会实践活动，设租用A型客车x辆，根据要求回答下列问题：

（1）用含x的式子填写下表：

（2）若要保证租车费用不超过1900元，求x的最大值；

（3）在（2）的条件下，若七年级师生共有195人，写出所有可能的租车方案，并确定最省钱的租车方案．

【思路点拨】（1）根据题意，载客量=汽车辆数×单车载客量，租金=汽车辆数×单车租金，列出代数表达式即可；

（2）根据题意，表示出租车总费用，列出不等式即可解决；

（3）由（2）得出x的取值范围，一一列举计算，排除不合题意方案即可．

【答案与解析】

解：（1）∵载客量=汽车辆数×单车载客量，租金=汽车辆数×单车租金，

∴B型客车载客量=30（5﹣x）；B型客车租金=280（5﹣x）；

故填：30（5﹣x）；280（5﹣x）．

（2）根据题意，400x+280（5﹣x）≤1900，解得：x≤4，

∴x的最大值为4；

（3）由（2）可知，x≤4，故x可能取值为0、1、2、3、4，

①A型0辆，B型5辆，租车费用为400×0+280×5=1400元，

但载客量为45×0+30×5=150＜195，故不合题意舍去；

②A型1辆，B型4辆，租车费用为400×1+280×4=1520元，

但载客量为45×1+30×4=165＜195，故不合题意舍去；

③A型2辆，B型3辆，租车费用为400×2+280×3=1640元，

但载客量为45×2+30×3=180＜195，故不合题意舍去；

④A型3辆，B型2辆，租车费用为400×3+280×2=1760元，

但载客量为45×3+30×2=195=195，符合题意；

⑤A型4辆，B型1辆，租车费用为400×4+280×1=1880元，

但载客量为45×4+30×1=210，符合题意；

故符合题意的方案有④⑤两种，最省钱的方案是A型3辆，B型2辆．

【总结升华】此题主要考查了一次不等式的综合应用，由题意得出租用x辆甲种客车与总租金关系是解决问题的关键．

举一反三：

【变式】黄冈某地“杜鹃节”期间，某公司70名职工组团前往参观欣赏，旅游景点规定：①门票每人60元，无优惠；②上山游玩可坐景点观光车，观光车有四座和十一座车，四座车每辆60元，十一座车每人10元．公司职工正好坐满每辆车且总费用不超过5000元，问公司租用的四座车和十一座车各多少辆?

【答案】

解：设四座车租x辆，则十一座车租辆．

依题意  70×60+60x+(70-4x)×10≤5000，

将不等式左边化简后得：20x+4900≤5000，

不等式两边减去3500得      20x≤100，

不等式两边除以20得          x≤5，

又∵是整数，∴，．

答：公司租用四座车l辆，十一座车6辆．

4.响应“家电下乡”的惠农政策，某商场决定从厂家购进甲、乙、丙三种不同型号的电冰箱80台，其中甲种电冰箱的台数是乙种电冰箱台数的2倍，购买三种电冰箱的总金额不超过132 000元．已知甲、乙、丙三种电冰箱的出厂价格分别为：1200元/台、1600元/台、2000元/台．
（1）至少购进乙种电冰箱多少台？
（2）若要求甲种电冰箱的台数不超过丙种电冰箱的台数，则有哪些购买方案？

【思路点拨】（1）关系式为：甲种电冰箱用款+乙种电冰箱用款+丙种电冰箱用款≤132000，根据此不等关系列不等式即可求解；（2）关系式为：甲种电冰箱的台数≤丙种电冰箱的台数，以及（1）中得到的关系式联合求解．

【答案与解析】

解：（1）设购买乙种电冰箱x台，则购买甲种电冰箱2x台，丙种电冰箱（80-3x）台，
根据题意得1200×2x+1600x+（80-3x）×2000≤132000
解这个不等式得x≥14
∴至少购进乙种电冰箱14台；
（2）根据题意得2x≤80-3x
解这个不等式得   x≤16
由（1）知        x≥14
∴14≤x≤16
又∵x为正整数
∴x=14，15，16．
所以，有三种购买方案
方案一：甲种电冰箱为28台，乙种电冰箱为14台，丙种电冰箱为38台.
方案二：甲种电冰箱为30台，乙种电冰箱为15台，丙种电冰箱为35台.
方案三：甲种电冰箱为32台，乙种电冰箱为16台，丙种电冰箱为32台．

【总结升华】探求不等关系时，要注意捕捉“大于”、“超过”、“不少于”、“不足”、“至多”等表示不等关系的关键词，通过这些词语，可以直接找到不等关系．