初中数学北师大版七年级上册第四章 基本平面图形综合与测试精练

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1．掌握直线、射线、线段、角这些基本图形的概念、性质、表示方法和画法；
2. 掌握圆、扇形及多边形的概念及相关计算；
3．初步学会应用图形与几何的知识解释生活中的现象及解决简单的实际问题；
4．逐步掌握学过的几何图形的表示方法，能根据语句画出相应的图形，会用语句描述简单的图形．
【知识网络】
【要点梳理】
要点一、线段、射线、直线
1.直线，射线与线段的区别与联系
2.基本性质
(1)直线的性质:两点确定一条直线． (2)线段的性质:两点之间，线段最短．
要点诠释：
①本知识点可用来解释很多生活中的现象. 如：要在墙上固定一个木条，只要两个钉子就可以了，因为如果把木条看作一条直线，那么两点可确定一条直线.
②连接两点间的线段的长度，叫做两点的距离.
3.画一条线段等于已知线段
（1）度量法：可用直尺先量出线段的长度,再画一条等于这个长度的线段.
（2）用尺规作图法：用圆规在射线AC上截取AB=ａ，如下图：
4.线段的比较与运算
（1）线段的比较：
比较两条线段的长短，常用两种方法，一种是度量法；一种是叠合法.
（2）线段的和与差：
如下图，有AB+BC=AC，或AC=a+b；AD=AB-BD。
（3）线段的中点：
把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图，有：
要点诠释：
①线段中点的等价表述：如上图，点M在线段AB上，且有，则点M为线段AB的中点.
②除线段的中点（即二等分点）外，类似的还有线段的三等分点、四等分点等.如下图，点M,N,P均为线段AB的四等分点.
要点二、角
1.角的度量
（1）角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边；此外，角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形.
(2)角的表示方法：角通常有三种表示方法：一是用三个大写英文字母表示，二是用角的顶点的一个大写英文字母表示，三是用一个小写希腊字母或一个数字表示.例如下图：
要点诠释：
①角的两种定义是从不同角度对角进行的定义；
②当一个角的顶点有多个角的时候，不能用顶点的一个大写字母来表示.
（3）角度制及角度的换算
1周角=360°，1平角=180°，1°=60′，1′=60″，以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制.
要点诠释：
①度、分、秒的换算是60进制，与时间中的小时分钟秒的换算相同.
②度分秒之间的转化方法：由度化为度分秒的形式(即从高级单位向低级单位转化)时用乘法逐级进行；由度分秒的形式化成度(即低级单位向高级单位转化)时用除法逐级进行.
③同种形式相加减：度加（减）度，分加（减）分，秒加（减）秒；超60进一，减一
成60.
（4）角的分类：
（5）画一个角等于已知角
（1）借助三角尺能画出15°的倍数的角，在0～180°之间共能画出11个角.
（2）借助量角器能画出给定度数的角.
（3）用尺规作图法.
2.角的比较与运算
（1）角的比较方法: ①度量法；②叠合法.
（2）角的平分线：
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线，例如：如下图，因为OC是∠AOB的平分线，所以∠1=∠2=∠AOB，或∠AOB=2∠1=2∠2.
类似地，还有角的三等分线等.
3.方位角
以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向，这种表示方向的角叫做方位角.
要点诠释：
（1）方位角还可以看成是将正北或正南的射线旋转一定角度而形成的.所以在应用中一要确定其始边是正北还是正南.二要确定其旋转方向是向东还是向西，三要确定旋转角度的大小.
（2）北偏东45°通常叫做东北方向，北偏西45°通常叫做西北方向，南偏东45°通常叫做东南方向，南偏西45°通常叫做西南方向.
（3）方位角在航行、测绘等实际生活中的应用十分广泛.
要点三、多边形和圆的初步认识
1.多边形及正多边形：多边形是由一些不在同一条直线上的线段依次首尾相连组成的封闭平面图形．其中，各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形．如下图：
要点诠释：
（1）n边形有n个顶点、n条边，对角线的条数为．
（2）多边形按边数的不同可分为三角形、四边形、五边形、六边形等．
2. 圆及扇形：
（1）圆：如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．

要点诠释：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小.
（2）扇形：由一条弧AB和经过这条弧的端点的两条半径OA，OB所组成的图形叫做扇形.如下图：
要点诠释： 扇形OAB的面积公式：；扇形OAB的弧长公式：.【典型例题】
类型一、直线、射线、线段
1. （2020秋•新泰市期中）下列结论：①两点确定一条直线；②直线AB与直线BA是同一条直线；③线段AB与线段BA是同一条线段；④射线OA与射线AO是同一条射线．其中正确的结论共有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
【答案】C．
【解析】解：①两点确定一条直线，正确；
②直线AB与直线BA是同一条直线，正确；
③线段AB与线段BA是同一条线段，正确；
④射线OA与射线AO不是同一条射线，错误；
故选C．
【总结升华】本题考查了直线、射线、线段，根据直线、射线、线段定义解题是解题关键．
举一反三：
【变式】如图，用“＞”、“＜”或“＝”连接下列各式，并说明理由．
AB＋BC_____AC，AC＋BC_____AB，BC_____AB＋AC，理由是______ __．
【答案】＞，＞，＜，两点之间线段最短．
类型二、角
2. 如图，OE平分∠BOC，OD平分∠AOC，∠BOE=20°，∠AOD=40°，求∠DOE的度数.
【思路点拨】根据角平分线的定义及角的和差运算进行求解．
【答案与解析】
解：∵ OE平分∠BOC，OD平分∠AOC，
∴ ∠EOC＝∠BOE＝20°，∠COD＝∠AOD=40°.
又∵∠DOE＝∠EOC＋∠COD＝20°＋40°＝60°.
答：∠DOE的度数为60°.
【总结升华】结合图形进行求解．
举一反三：
【变式】48.26°= ° ′ ″； 56°25′12″= °
【答案】48、15、36，56.42°.
3.如图，射线OA的方向是:________；射线OB的方向是:_________；射线OC的方向是:________；
【思路点拨】OA表示的方向是北偏东，再加上其偏转的角度即可，同理OB、OC也是如此．
【答案】北偏东15°；北偏西40°；南偏东45°．
【解析】根据方位角的定义解答．
【总结升华】熟知方位角的定义结合图形便可解答．
4.钟表分针的运动可看作是一种旋转现象，一只标准时钟的分针匀速旋转，经过15分钟旋转了________度．
【答案】90
【解析】根据钟表的特征；整个钟面是360°，分针每5分钟旋转30°，所以经过15分钟旋转了90°．
【总结升华】在钟表问题中，常利用时针与分针转动的度数关系：时钟上的分针匀速旋转一分钟时的度数为6°，时针一分钟转过的度数为0.5°；两个相邻数字间的夹角为30°，每个小格夹角为6°，并且利用起点时间时针和分针的位置关系建立角的图形．
类型三、多边形和圆
5.如图，已知扇形AOB的半径为10，∠AOB=60°，求的长（结果精确到0.1）和扇形AOB的面积（结果精确到0.1）
【思路点拨】要求弧长和扇形面积，只要有圆心角，半径即可，本题已满足．
【答案与解析】
解：的长＝×10＝≈10.5
S扇形＝×102＝≈52.3
因此，的长为10.5，扇形AOB的面积为52.3．
【总结升华】理解并牢记扇形的面积和弧长公式是解题关键．
举一反三：
【变式】如果一条弧长等于R，它的半径是R，那么这条弧所对的圆心角度数为______，当圆心角增加30°时，这条弧长增加________．
【答案】45°，．
类型四、利用数学思想方法解决有关线段或角的计算
1.方程的思想方法
6.（2020春•曹县校级月考）一个角的补角比这个角的余角的2倍还多40°，求这个角的度数．
【思路点拨】这类题目要先设出这个角的度数．设这个角为x°，分别写出它的余角和补角，根据题意写出等量关系，解之即可得到这个角的度数．
【答案与解析】
解：设这个角为x°，则其余角为（90﹣x）°，补角为（180﹣x）°，依题意有
180﹣x=2（90﹣x）+40，
解得x=40．
答：这个角的度数是40°．
【总结升华】本题考查了余角和补角，是基础题，列出方程是解题的关键.
举一反三：
【变式】如图所示，已知∠AOC＝∠BOD＝100°，且∠AOB:∠AOD＝2:7，求∠BOC和∠COD的度数．
【答案】
解：设∠AOB的度数为2x，则∠AOD的度数为7x．
由∠AOD＝∠AOB+∠BOD及∠BOD＝100°，
可得7x＝2x+100°．
解得x＝20°，所以∠AOB＝2x＝40°．
所以∠BOC＝∠AOC-∠AOB＝100°-40°=60°，
∠COD＝∠BOD-∠BOC＝100°-60°＝40°．
2.分类的思想方法
7.以∠AOB的顶点O为端点的射线OC，使∠AOC:∠BOC＝5:4．
(1)若∠AOB＝18°，求∠AOC与∠BOC的度数；
(2)若∠AOB＝m，求∠AOC与∠BOC的度数．
【答案与解析】
解：(1)分两种情况：
①OC在∠AOB的外部，可设∠AOC＝5x，则∠BOC＝4x
得∠AOB＝x，即x＝18°
所以∠AOC＝90°，∠BOC＝72°
②OC在∠AOB的内部，可设∠AOC=5x，则∠BOC＝4x
∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝9x
所以9x＝18°， 则x＝2°
所以∠AOC＝10°，∠BOC＝8°
（2）仿照（1），可得：若∠AOB＝m，则∠AOC＝，∠BOC＝，或∠AOC＝5m，∠BOC＝4m．
【总结升华】本题中的已知条件没有明确地说明OC在∠AOB的内部或外部，所以两个问题都必须分类讨论．
举一反三：
【变式1】（2015•长沙校级三模）已知A、B、C是直线l上三点，线段AB=6cm，且线段AB=AC，则BC= ．
【答案】6cm或18cm．
解：点B在线段AC上，AB=6cm，且线段AB=AC，得
AC=2AB=12．
由线段的和差，得
BC=AC﹣AB=12﹣6=6cm；
B在线段AC的反向延长线上，AB=6cm，且线段AB=AC，得
AC=2AB=12．
由线段的和差，得
BC=AC+AB=12+6=18cm．
故答案为：6cm或18cm．
【变式2】下列判断正确的个数有 ( )
①已知A、B、C三点，过其中两点画直线一共可画三条
②过已知任意三点的直线有1条
③三条直线两两相交，有三个交点
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】A
3.类比的思想方法
8.(1)如图,线段AD上有两点B、C,图中共有______条线段.

(2)如图，在∠AOD的内部有两条射线OB、OC，则图中共有 个角.
【答案】（1）6； （2）6.
【解析】（1）以A为端点的线段有3条，同样以B,C,D为一个端点的线段也各有3条，又因为所有线段均重复了一次，所以共有线段条数：（条）.
（2）以射线OA为一边的角有3个，同样以OB，OC，OD为一边的角也各有3个，又因为所有角均重复一次，所以共有角的个数：（个）.
【总结升华】用同样的方法解决了不同的问题，用已知的知识类比地学习未知的内容.∠β
锐角
直角
钝角
平角
周角
范围
0＜∠β＜90°
∠β=90°
90°＜∠β<180°
∠β=180°
∠β=360°