初中数学北师大版七年级上册5.4 应用一元一次方程——打折销售习题

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【学习目标】
1.能分析简单问题中的数量关系，并建立方程解决问题；体会利用方程解决问题的关键是寻找等量关系．
2.进一步经历运用方程解决实际问题的过程，体会数学的应用价值.
【要点梳理】
要点一、用一元一次方程解决实际问题的一般步骤
列方程解应用题的基本思路为：问题方程解答．由此可得解决此类
题的一般步骤为：审、设、列、解、检验、答．
要点诠释：
（1）“审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系，寻找等量关系；
（2）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数；
（3）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一；
（4）“解”就是解方程，求出未知数的值．
（5）“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可；
（6）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚．
要点二、水箱变高了（等积变形问题）
“等积变形”是以形状改变而体积不变为前提.常见类型：①形状面积变了，周长没变；②原体积＝变化后体积.
常用的面积、体积公式：
长方形的周长公式：(长+宽)×2；面积公式：长×宽
长方体的体积公式：长×宽×高
正方形的周长公式：边长×4； 面积公式：边长×边长
正方体体积公式：边长×边长×边长
圆的周长公式：C=；面积公式：；
圆柱的体积公式：V柱=底面积×高；圆锥的体积公式：V锥=×底面积×高
要点诠释：寻找等量关系的方法，抓住两个等量关系：第一，形变体积不变；第二，形变体积也变，但重量不变.
要点三、打折销售（利润问题）
(1)
(2) 标价＝成本(或进价)×(1＋利润率)
(3) 实际售价＝标价×打折率
(4) 利润＝售价－成本(或进价)＝成本×利润率
注意：“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；当右边为负时，就是亏损.打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售．
要点诠释：寻找等量关系的方法，抓住价格升降对利润的影响来考虑．
要点四、方案问题
选择设计方案的一般步骤：
（1）运用一元一次方程解应用题的方法求解两种方案值相等的情况．
（2）用特殊值试探法选择方案，取小于（或大于）一元一次方程解的值，比较两种方案的优劣性后下结论．
【典型例题】
类型一、水箱变高了（等积变形问题）
1．（2020•厦门校级一模）据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1：2，现要把一块长100米，宽50米的长方形土地，分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物，是否存在一种划分这块土地的方法，使甲乙两种作物的总产量的比是3：4？请说明理由．
【思路点拨】可设种植作物甲的面积是x平方米，则种植农作物乙的面积是（100×50﹣x）平方米，根据甲、乙两种作物的总产量的比为3：4，列出方程求解即可．
【答案与解析】
解：设种植作物甲的面积是x平方米，则种植农作物乙的面积是（100×50﹣x）平方米，依题意有
x：[2（100×50﹣x）]=3：4，
解得x=3000，
100×50﹣x
=5000﹣3000
=2000．
故种植作物甲的面积是3000平方米，种植作物乙的面积是2000平方米，使甲、乙两种作物的总产量的比为3：4．
【总结升华】此题主要考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，得出两部分面积之比．
类型二、打折销售（利润问题）
2．（2020春•盐城校级月考）某商店在一笔交易中卖了两个进价不同的随身听，售价都为132元，按成本计算，其中一个盈利20%，另一个盈利10%，则该商店在这笔交易中共赚了 元．
【思路点拨】根据题意分别求出两个随身听的进价，进而求出答案．
【答案】34．
【解析】解：设一个的进价为x元，根据题意可得：
x（1+20%）=132，
解得：x=110，
设另一个的进价为y元，根据题意可得：
y（1+10%）=132，
解得：x=120，
故该商店在这笔交易中共赚了：132+132﹣120﹣110=34（元）．
故答案为：34．
【总结升华】此题主要考查了一元一次方程的应用，正确理清进价与利润之间的关系是解题关键．
举一反三：
【变式】某种商品的标价为900元，为了适应市场竞争，店主打出广告：该商品九折出售，并返100元现金.这样他仍可获得10%的利润率（相对于进货价），问此商品的进货价是多少？（用四舍五入法精确到个位）
【答案】
解：设此商品的进货价为x元，依题意，得：
(900×0.9-100)-x=10%x，
得：x= ∴ x≈645.
答：此商品的进价约为645元.
3．商场出售的A型冰箱每台售价2190元，每日耗电量为1度，而B型节能冰箱每台售价比A型冰箱高出10%，但每日耗电量却为0.55度．现将A型冰箱打折出售(打一折后的售价为原价的)，问商场将A型冰箱打几折，消费者买A型冰箱10年的总费用与B型冰箱10年的总费用相当(每年365天，每度电按0.40元计算)．
【思路点拨】本题主要是根据两种电冰箱使用10年所耗电量的费用相同来列方程.
【答案与解析】
解：设商场A型冰箱打x折，依题意，买A型冰箱需2190×元，10年的电费是365×10×1×0.4元；买B型冰箱需2190×(1+10%)元，10年的电费是365×10×0.55×0.4元，依题意，得：
2190×+365×10×1×0.4＝2190×(1+10%)+365×10×0.55×0.4
x＝8
答：商场将A型冰箱打8折出售，消费者买A型冰箱10年的总费用与B型冰箱10年的总费用相当．
【总结升华】本题考查一元一次方程的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题意，根据耗电量、售价、打折情况列出方程求解．
类型三、方案设计问题
4．某牛奶加工厂有鲜奶9吨，若在市场上直接销售鲜奶，每吨可获取利润500元，制成酸奶销售，每吨可获取利润1200元；制成奶片销售，每吨可获利润2000元，该工厂的生产能力是：如制成酸奶，每天可加工3吨；制成奶片每天可加工1吨，受人员限制，两种加工方式不可同时进行，受气温条件限制，这批牛奶必须在4天内全部销售或加工完毕．为此，该厂某领导提出了两种可行方案：
方案1：尽可能多的制成奶片，其余直接销售鲜牛奶；
方案2：将一部分制成奶片，其余制成酸奶销售，并恰好4天完成．
你认为选择哪种方案获利最多，为什么?
【答案与解析】
解：（1）若选择方案1，依题意，
总利润=2000元×4+500元×(9-4)=10500（元）．
（2）若选择方案2．
方法一：
解：设将x吨鲜奶制成奶片，则用(9-x)吨鲜奶制成酸奶销售.
依题意得，，
解得．
当时，．
总利润=2000×1.5+1200×7.5=12000（元）．
∵ 12000>10500，
∴ 选择方案2较好．
方法二：
解：设x天生产奶片，则（4-x）天生产酸奶.
x+3(4-x)=9
x=1.5
4-x=2.5
1.5×1×2000+2.5×3×1200=12000（元）
∵ 12000>10500，
∴ 选择方案2较好．
答：选择方案2获利最多，只要在四天内用7.5吨鲜奶加工成酸奶，用1.5吨的鲜奶加工成奶片．
【总结升华】如果题目中的数量关系较复杂，常借助列表，画线段图，示意图等手段帮助我们理顺题目中的数量关系，列出方程．例如本题方案2中的方法一，设将x吨鲜奶制成奶片，则列表如下：
通过列表可以使条件之间的关系一目了然，从而得到等量关系，当然此题也可以设天数来计算，同学们可根据理解自己选择．
举一反三：
【变式】（2015春•绿园区期末）某移动公司开设了两种通讯业务：“全球通”使用者缴费50元月租费，然后每通话1min再付话费0.4元；“快捷通”不缴月租费，每通话1min付话费0.6元（本题的通话均指市内通话）．若一个月通话xmin，两种方式的费用分别为y1元和y2元．
（1）用含x的式子分别表示y1和y2，则y1= ，y2= ；
（2）某人估计一个月通话300min，选择哪种业务合算？
（3）每个月通话多少分钟时，两种方式所付的费用一样多？
【答案】
解：（1）y1=50+0.4x；y2=0.6x；
故答案为：50+0.4x，0.6x；
（2）令x=300
则y1=50+0.4×300=170；y2=0.6×300=180
所以选择全球通合算．
（3）令y1=y2，则50+0.4x=0.6x，
解之，得x=250
所以通话250分钟两种费用相同．每吨利润
吨数
工效
天数
酸奶
1200
3
奶片
2000
1
合计
9
4