2022届辽宁省普通高等学校招生全国统一考试模拟试卷（一模）数学试题（含答案）

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一、选择题
二、选择题
三、填空题（第15题第一空2分，第二空3分）
客观题详解
1．解：
由A＝{x|eq \f(x－2,x＋1)＜0}＝{x|－1＜x＜2}，可得A∩B＝{0，1}，选项C正确．
2．解：
由|EQ (1－i)\S(2)z|＝|2＋2i|，可得2|z|＝2eq \r(2)，故|z|＝eq \r(2)，于是z· EQ \\ac(\S\UP4(-),z)＝EQ |z|\S(2)＝2，选项B正确．
3．解：
因为EQ (1－x)\S(5)(1＋2EQ x\S(2))＝EQ (1－x)\S(5)＋2EQ x\S(2)EQ (1－x)\S(5)，所以EQ (1－x)\S(5)(1＋2EQ x\S(2))的展开式中含有x项的系数，等于EQ (1－x)\S(5)中含有x项的系数，为 EQ C\(\S\UP4(1),\S\DO3(5))EQ (－1)\S(1)＝－5，选项A正确．
4．解法1：
由题设可知 QUOTE an {EQ a\S\DO(n)}的公比q≠1，于是eq \f(1－q6,1－q2)＝eq \f(7,4)，可得EQ q\S(2)＝eq \f(1,2)．
由eq \f(EQ S\S\DO(4),4)＝eq \f(1－q4,1－q2)可得EQ S\S\DO(4)＝6，选项C正确．
解法2：
由题设可知 QUOTE an {EQ a\S\DO(n)}的公比q≠－1，因此EQ S\S\DO(2) QUOTE S2＝4，S4＝6 ，EQ S\S\DO(4)－EQ S\S\DO(2)，EQ S\S\DO(6)－EQ S\S\DO(4)构成公比为EQ q\S(2)的等比数列．
由EQ (EQ S\S\DO(4)－EQ S\S\DO(2))\S(2)＝EQ S\S\DO(2)(EQ S\S\DO(6)－EQ S\S\DO(4))，以及EQ S\S\DO(2)＝4 QUOTE S2＝4，S4＝6 ，EQ S\S\DO(6)＝7，可得EQ S\S\DO(4)＝6，或EQ S\S\DO(4)＝－2．
当EQ S\S\DO(4)＝6时，数列EQ S\S\DO(2) QUOTE S2＝4，S4＝6 ，EQ S\S\DO(4)－EQ S\S\DO(2)，EQ S\S\DO(6)－EQ S\S\DO(4)的公比EQ q\S(2)＝eq \f(1,2)＞0；
当EQ S\S\DO(4)＝－2时，数列EQ S\S\DO(2) QUOTE S2＝4，S4＝6 ，EQ S\S\DO(4)－EQ S\S\DO(2)，EQ S\S\DO(6)－EQ S\S\DO(4)的公比EQ q\S(2)＝－eq \f(3,2)＜0．
因此EQ S\S\DO(4)＝6，选项C正确．
5．解：
若n⊥β，m⊥β，由“垂直于同一个平面的两条直线平行”可得m∥n，选项A正确．
若n⊥β，α∥β，由“如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么这条直线必垂直于另一个平面”可得n⊥α，选项B正确．
若m⊥α，m⊥n，n⊥β，不妨设m∩n＝A，设α∩β＝l，m∩α＝B，n∩β＝C，m与n所确定的平面与l相交于点M，则二面角α－l－β的平面角∠BMC＝90º，可知α⊥β，选项C正确．
由n⊥β，α⊥β，可得n∥α或n⊂α，选项D错误．
6．解法1：
因为2cs(α＋eq \f(π,6))＝eq \r(3)csα－sinα，所以eq \r(3)csα＋2sinα＝eq \r(7)．
因此eq \f(eq \r(3),eq \r(7))csα＋eq \f(2,eq \r(7))sinα＝1，于是cs(α－φ)＝1，其中tanφ＝eq \f(2,eq \r(3))．
不妨取α＝φ，于是tan2α＝tan2φ＝eq \f(2tanφ,1－tan2φ)＝－4eq \r(3)，选项A正确．
解法2：
因为2cs(α＋eq \f(π,6))＝eq \r(3)csα－sinα，所以eq \r(3)csα＋2sinα＝eq \r(7)．
设f (x)＝eq \r(3)csx＋2sinx，则f (α)是的最大值f (x)，因此f ′(α)＝0．
即－eq \r(3)sinα＋2csα＝0，从而tanα＝eq \f(2,eq \r(3))．
于是tan2α＝eq \f(2tanα,1－tan2α)＝－4eq \r(3)，选项A正确．
7．解：
由题设sin∠PEQ F\S\DO(1)EQ F\S\DO(2)＝2sin∠PEQ F\S\DO(2)EQ F\S\DO(1)≠0，在△PF1F2中，由正弦定理得|PF2|＝2|PF1|．
因为|PF2|－|PF1|＝2a，所以|PF1|＝2a．
由|PF1|＞c－a，可得eq \f(c,a)＜3，故C的离心率取值范围为(1，3)，选项C正确．
8．解：
当x＜－eq \f(1,2)时，函数y＝x2＋x单调递减，且y∈(－eq \f(1,4)，＋∞)．
当x≥－eq \f(1,2)时，函数y＝lEQ g\S\DO(a)(2x＋3)具有单调性．
因为f (x)的值域为R，所以y＝lEQ g\S\DO(a)(2x＋3)只能单调递减，故0＜a＜1，且
y∈(－∞，lEQ g\S\DO(a)2]．
由(－∞，lEQ g\S\DO(a)2]∪(－eq \f(1,4)，＋∞)＝R可得lEQ g\S\DO(a)2≥－eq \f(1,4)，解得0＜a≤eq \f(1,16)．
于是f (eq \f(1,2))＝2lEQ g\S\DO(a)2∈[－eq \f(1,2)，0)，选项B正确．
9．解：
根据该折线图可知，该超市2021年的
12个月中的7月份的收益为60万元，最高．
12个月中的4月份的收益为10万元，最低．
7~12月份的总收益比1~6月份的总收益增长了100万元．
1~6月份的总收益为140万元，低于7~12月份的总收益为240万元．
10．解：
因为|3a＋b|＝eq \r(13)，所以9EQ a\S(2)＋6a·b＋EQ b\S(2)＝13，由|a|＝|b|＝1，可得a·b＝eq \f(1,2)，于是
|a－b|＝eq \r(EQ (a－b)\S(2))＝eq \r(EQ a\S(2)－2a·b＋EQ b\S(2))＝1．|a＋b|＝eq \r(EQ (a＋b)\S(2))＝eq \r(EQ a\S(2)＋2a·b＋EQ b\S(2))＝eq \r(3)．
cs＜a，b＞＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(1,2)，从而＜a，b＞＝60°．
因此选项A错误，选项B正确，选项C错误，选项D正确．
11．解：
直线y＝ax＋b与曲线y＝EQ x\S(3)有且只有一个公共点等价于函数f (x)＝EQ x\S(3)－ax－b有且只有一个零点．
f ′(x)＝3EQ x\S(2)－a．
若a＝3，当x＜－1时，f ′(x)＞0，f (x)单调递增，当－1＜x＜1时，f ′(x)＜0，f (x)单调递减，当x＞1时，f ′(x)＞0，f (x)单调递增．
当b＝－2时，f (1)＝0，f (－2)＝0，选项A不符合要求．
当b＝－3时，f (1)＝1＞0，f (－3)＝－15＜0，选项B符合要求．
若a＝1，当x＜－eq \f(eq \r(3),3)时，f ′(x)＞0，f (x)单调递增，当－eq \f(eq \r(3),3)＜x＜eq \f(eq \r(3),3)时，f ′(x)＜0，f (x)单调递减，当x＞eq \f(eq \r(3),3)时，f ′(x)＞0，f (x)单调递增．
当b＝－2时，f (eq \f(eq \r(3),3))＝2(1－eq \f(eq \r(3),9))＞0，f (－2)＝－4＜0，选项C符合要求．
若a＝－1，b＝－2，f ′(x)＞0，f (x)单调递增，因为f (1)＝4＞0，f (－2)＝－8＜0，选项D符合题意．
12．解：
因为ω＞0，所以函数f (x)在(0，π)上的单调性及极值等价于函数y＝sinx在(eq \f(π,4)，ωπ＋eq \f(π,4))上的单调性及极值，结合y＝sinx图象分析如下：
因为eq \f(π,4)＜eq \f(π,2)，所以y＝sinx在(eq \f(π,4)，ωπ＋eq \f(π,4))内不可能单调递减，选项B错误．
若y＝sinx在(eq \f(π,4)，ωπ＋eq \f(π,4))内单调递增，则ωπ＋eq \f(π,4)≤eq \f(π,2)，解得0＜ω≤eq \f(1,4)，选项A正确．
若y＝sinx在(eq \f(π,4)，ωπ＋eq \f(π,4))内有且仅有一个极大值点，则eq \f(π,2)＜ωπ＋eq \f(π,4)≤eq \f(5π,2)，解得eq \f(1,4)＜ω≤eq \f(9,4)，选项C正确．
若y＝sinx在(eq \f(π,4)，ωπ＋eq \f(π,4))内有且仅有一个极小值点，则eq \f(3π,2)＜ωπ＋eq \f(π,4)≤eq \f(7π,2)，解得eq \f(5,4)＜ω≤eq \f(13,4)，选项D错误．
13．解：
f (x)＝lEQ g\S\DO(2)(EQ 2\S(x)－a·EQ 2\S(－x))，f (－x)＝lEQ g\S\DO(2)(EQ 2\S(－x)－a·EQ 2\S(x))，由lEQ g\S\DO(2)(EQ 2\S(－x)－a·EQ 2\S(x))＝lEQ g\S\DO(2)(EQ 2\S(x)－a·EQ 2\S(－x))可得(a＋1)(EQ 2\S(x)－EQ 2\S(－x))＝0，a＋1＝0，a＝－1．
14．解：
因为|OEQ F\S\DO(2)|＝c，依题意得eq \f(1,2)EQ c\S(2)sin60°＝eq \r(3)，可得c＝2，从而|PEQ F\S\DO(2)|＝2，|PEQ F\S\DO(1)|＝2eq \r(3)，于是a＝eq \f(|PEQ F\S\DO(1)|＋|PEQ F\S\DO(2)|,2)＝eq \r(3)＋1．
15．解：
经过AB的中点E作球O的截面，由垂径定理，当截面圆直径是AB时，截面面积取最小值4π．
棱长为eq \f(AB,\r(2))＝2eq \r(2)的正方体与正四面体ABCD具有相同外接球O，于是球O的半径
R＝eq \f(\r(3),2)×2eq \r(2)＝eq \r(6)．
经过AB的中点E作球O的截面，当截面圆是球大圆时，截面面积取最大值6π．
16．解：
由题设EQ \\ac(\S\UP5(-),A)＝“发送的信号为1”，EQ \\ac(\S\UP5(-),B)＝“接收到的信号为1”．
因为发送信号0和1是等可能的，所以P(A)＝P(EQ \\ac(\S\UP5(-),A))＝0.5．
由题设P(B|A)＝0.9，P(EQ \\ac(\S\UP5(-),B)|A)＝0.1，P(B|EQ \\ac(\S\UP5(-),A))＝0.05，P(EQ \\ac(\S\UP5(-),B)|EQ \\ac(\S\UP5(-),A))＝0.95．
于是
P(B)＝P(A)P(B|A)＋P(EQ \\ac(\S\UP5(-),A))P(B|EQ \\ac(\S\UP5(-),A))＝0.5×0.9＋0.5×0.05＝0.475．
从而
P(EQ \\ac(\S\UP5(-),A)|B)＝eq \f(P(EQ \\ac(\S\UP5(-),A))P(B|EQ \\ac(\S\UP5(-),A)),P(B))＝eq \f(0.5×0.05,0.475)＝eq \f(1,19)．
四、解答题
17．解：
（1）由2EQ S\S\DO(n)＝an＋EQ n\S(2)，可知2EQ S\S\DO(n＋1)＝EQ a\S\DO(n＋1)＋(n＋1)2．
相减得
EQ a\S\DO(n)＋EQ a\S\DO(n＋1)＝2n＋1．
所以
(EQ a\S\DO(n＋1)＋EQ a\S\DO(n＋2))－(EQ a\S\DO(n)＋EQ a\S\DO(n＋1))＝2．
因为EQ a\S\DO(1)＋EQ a\S\DO(2)＝3，所以{EQ a\S\DO(n)＋EQ a\S\DO(n＋1)}是首项为3，公差为2的等差数列．
………………（5分）
（2）EQ a\S\DO(n)＋EQ a\S\DO(n＋1)＝2n＋1等价于
EQ a\S\DO(n＋1)－(n＋1)＝－(EQ a\S\DO(n)－n)．
由2EQ S\S\DO(1)＝EQ a\S\DO(1)＋1可得EQ a\S\DO(1)＝1，EQ a\S\DO(1)－1＝0，于是EQ a\S\DO(n)－n＝0，因此{EQ a\S\DO(n)}的通项公式为EQ a\S\DO(n)＝n．
………………（10分）
18．解法1：
（1）因为cs∠BAD＝eq \f(1,3)，所以在△ABD中，根据余弦定理得＝eq \f(1,3)，可得BD2＝8AD2，从而AB2＝BD2＋AD2，∠ADB＝90º，故sin∠ABD＝cs∠BAD＝eq \f(1,3)．
………………（6分）
（2）设∠CBD＝α，则∠ACB＝∠ABC＝∠ABD＋α，∠ACD＝90º－∠ABD－α，
∠ADC＝180º－α．
在△ADC中，根据正弦定理得eq \f(AC,sin∠ADC)＝eq \f(AD,sin∠ACD)．
所以sin(180º－α)＝3sin(90º－∠ABD－α)，由（1）可知cs∠ABD＝eq \f(2\r(2),3)．
所以sinα＝eq \r(2)csα，于是tanα＝eq \r(2)．
………………（12分）
解法2：
（1）同解法1．
y
x
C
A
D
B
（2）以EQ \\ac(\S\UP7(→),BD)，EQ \\ac(\S\UP7(→),DA)为x，y轴正方向，|EQ \\ac(\S\UP7(→),DA)|为单位长度，建立如图所示的平面直角坐标系．设C(x0，y0)(y0≠0)．
则A(0，1)，B(－2eq \r(2)，0)，D(0，0)，EQ \\ac(\S\UP7(→),AC)＝(x0，y0－1)，EQ \\ac(\S\UP7(→),DC)＝(x0，y0)，EQ \\ac(\S\UP7(→),BC)＝(x0＋2eq \r(2)，y0)．
由|EQ \\ac(\S\UP7(→),AC)|＝3可得x02＋(y0－1)2＝9，
由EQ \\ac(\S\UP7(→),DC)·EQ \\ac(\S\UP7(→),BC)＝0可得x02＋2eq \r(2)x0＋y02＝0．
解得x0＝－eq \f(4\r(2),3)，y0＝－eq \f(4,3)，于是EQ \\ac(\S\UP7(→),BC)＝(eq \f(2\r(2),3)，－eq \f(4,3))．
因为EQ \\ac(\S\UP7(→),BD)＝(2eq \r(2)，0)，所以cs＝eq \f(\r(3),3)．
从而tan＝eq \r(2)，即tan∠DBC＝eq \r(2)．
………………（12分）
E
A1
A
B
C
B1
C1
F
N
M
G
19．解法1：
（1）由题设CM⊥平面ABEQ B\S\DO(1)EQ A\S\DO(1)．过F在平面BEF内作FN⊥BE，垂足为N，因为平面BEF⊥平面ABEQ B\S\DO(1)EQ A\S\DO(1)，所以FN⊥平面ABEQ B\S\DO(1)EQ A\S\DO(1)，于是CM∥FN．
因为CM平面BEF，FN平面BEF，所以CM∥平面BEF．………………（6分）
（2）由题设CF∥平面ABEQ B\S\DO(1)EQ A\S\DO(1)，所以CF∥NM，所以四边形CFNM是平行四边形，且CF＝NM＝EQ \F(1,2)AE＝1．
延长EF，AC，相交于点G，连结BG，则平面BEF与平面ABC所成的锐二面角就是二面角E－BG－A．
可知CG＝AC＝BC，因此BG⊥AB，从而BG⊥平面ABEQ B\S\DO(1)EQ A\S\DO(1)，故∠EBA是二面角E－BG－A的平面角，由∠EBA＝45º，于是AB＝2．
ME＝EF＝EQ \r(5)，MF＝2，在等腰△MEF中，可得点M到直线EF的距离d＝EQ \F(4\r(5),5)．
………………（12分）
E
A1
A
B
C
B1
C1
F
N
M
x
y
z
解法2：
（1）由题设CM⊥平面ABEQ B\S\DO(1)EQ A\S\DO(1)．
过F在平面BEF内作FN⊥BE，垂足为N，因为平面BEF⊥平面ABEQ B\S\DO(1)EQ A\S\DO(1)，所以FN⊥平面ABEQ B\S\DO(1)EQ A\S\DO(1)，于是CM∥FN．
因为CM平面BEF，FN平面BEF，所以CM∥平面BEF．………………（6分）
（2）由题设CF∥平面ABEQ B\S\DO(1)EQ A\S\DO(1)，所以CF∥NM，所以四边形CFNM是平行四边形，且CF＝NM＝EQ \F(1,2)AE＝1．
以M为坐标原点，EQ \\ac(\S\UP7(→),MB)的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系M-xyz，z轴在平面ABEQ B\S\DO(1)EQ A\S\DO(1)内．
设AB＝2a，，则B(a，0，0)，E(－a，0，2)，F(0，eq \r(3)a，1)．
故EQ \\ac(\S\UP7(→),BE)＝(－2a，0，2)，EQ \\ac(\S\UP7(→),BF)＝(－a，eq \r(3)a，1)．
设平面BEF的法向量m＝(x，y，z)，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m·EQ \\ac(\S\UP7(→),BE)＝0，,m·EQ \\ac(\S\UP7(→),BF)＝0．))
可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2ax＋2z＝0，,－ax＋eq \r(3)ay＋z＝0．))可取m＝(1，0，a)．
又平面ABC的一个法向量为n＝(0，0，1)，故|cs|＝EQ \b\lc\|\rc\|(\l(eq \f(m·n,|m||n|)))＝eq \f(a,\r(a2＋1))．
由eq \f(a,\r(a2＋1))＝eq \f(\r(2),2)，可得a＝1．
于是EQ \\ac(\S\UP7(→),MF)＝(0，eq \r(3)，1)，EQ \\ac(\S\UP7(→),EF)＝(1，eq \r(3)，－1)，令t＝EQ \b\lc\|\rc\|(\l(EQ \F(EQ \\ac(\S\UP7(→),MF)·EQ \\ac(\S\UP7(→),EF),|EQ \\ac(\S\UP7(→),EF)|)))＝EQ \F(2\r(5),5)．
因为|EQ \\ac(\S\UP7(→),MF)|＝2，因此点M到直线EF的距离d＝eq \r(|EQ \\ac(\S\UP7(→),MF)|2－t2)＝EQ \F(4\r(5),5)．
………………（12分）
20．解：
（1）这个人可以获得奥运会开幕式门票的概率
P＝eq \f(1,10)＋(1－eq \f(1,10))eq \f(1,5)＝eq \f(7,25)．
………………（4分）
（2）X可以取0，1，2，3，则
P(X＝0)＝(1－eq \f(1,2))2(1－eq \f(7,25))＝eq \f(9,50)．
P(X＝1)＝eq \f(7,25) EQ C\(\S\UP4(0),\S\DO3(2))(eq \f(1,2))0(1－eq \f(1,2))2＋(1－eq \f(7,25)) EQ C\(\S\UP4(1),\S\DO3(2))eq \f(1,2)(1－eq \f(1,2))＝eq \f(43,100)．
P(X＝2)＝eq \f(7,25) EQ C\(\S\UP4(1),\S\DO3(2))eq \f(1,2)(1－eq \f(1,2))＋(1－eq \f(7,25))EQ C\(\S\UP4(2),\S\DO3(2))(eq \f(1,2))2＝eq \f(8,25)．
P(X＝3)＝eq \f(7,25)·(eq \f(1,2))2＝eq \f(7,100)．
X的分布列为
E(X)＝0×eq \f(9,50)＋1×eq \f(43,100)＋2×eq \f(8,25)＋3×eq \f(7,100)＝eq \f(32,25)．
………………（12分）
21．解法1：
（1）因为A(EQ x\S\DO(1)，EQ y\S\DO(1))，B(EQ x\S\DO(2)，EQ y\S\DO(2))，所以AB：(y－EQ y\S\DO(1))(EQ x\S\DO(2)－EQ x\S\DO(1))＝(x－EQ x\S\DO(1))(EQ y\S\DO(2)－EQ y\S\DO(1))，由EQ x\S\DO(1)＝EQ y\(\S\UP5(2),\S\DO3(1))，EQ x\S\DO(2)＝EQ y\(\S\UP5(2),\S\DO3(2))，可得(y－EQ y\S\DO(1))(EQ y\(\S\UP5(2),\S\DO3(2))－EQ y\(\S\UP5(2),\S\DO3(1)))＝(x－EQ y\(\S\UP5(2),\S\DO3(1)))(EQ y\S\DO(2)－EQ y\S\DO(1))．
因为EQ y\S\DO(2)≠EQ y\S\DO(1)，化简得AB：x－(EQ y\S\DO(1)＋EQ y\S\DO(2))y＋EQ y\S\DO(1)EQ y\S\DO(2)＝0．
同理AC：x－(EQ y\S\DO(1)＋EQ y\S\DO(0))y＋EQ y\S\DO(1)EQ y\S\DO(0)＝0，BC：x－(EQ y\S\DO(0)＋EQ y\S\DO(2))y＋EQ y\S\DO(0)EQ y\S\DO(2)＝0．
因为直线AC与BC的斜率互为相反数，所以EQ y\S\DO(1)＋EQ y\S\DO(0)＝－(EQ y\S\DO(0)＋EQ y\S\DO(2))，即EQ y\S\DO(1)＋EQ y\S\DO(2)＝－2EQ y\S\DO(0)．
于是直线AB的方程为：x＋2EQ y\S\DO(0)y＋EQ y\S\DO(1)EQ y\S\DO(2)＝0．
…………………（6分）
（2）因为AB的方程为x＋2EQ \r(2)y＋1＝0，由（1）可知EQ y\S\DO(0)＝EQ \r(2)，EQ y\S\DO(1)EQ y\S\DO(2)＝1．
从而EQ y\S\DO(1)＋EQ y\S\DO(2)＝－2EQ \r(2)，不妨取EQ y\S\DO(1)＝－EQ \r(2)＋1，EQ y\S\DO(2)＝－EQ \r(2)－1，于是由（1）可知
AC：x－y＋EQ \r(2)－2＝0，BC：x＋y－EQ \r(2)－2＝0．
直线AC与BC关于直线x＝2对称，也关于直线y＝EQ \r(2)对称．
因为⊙D是△ABC内切圆，所以可设D(2，b)，⊙D半径为r，则
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Eq \f(|2＋2EQ \r(2)b＋1|,\r(EQ 1\S(2)＋EQ (2EQ \r(2))\S(2)))＝r，,Eq \f(|2－b＋EQ \r(2)－2|,\r(EQ 1\S(2)＋EQ (－1)\S(2)))＝r，,Eq \f(|2＋b－EQ \r(2)－2|,\r(EQ 1\S(2)＋EQ 1\S(2)))＝r．))
解得b＝0，r＝1，因此⊙D的方程为EQ (x－2)\S(2)＋EQ y\S(2)＝1．
…………………（12分）
22．解：
（1）f (x)定义域是(0，＋∞)，则f ′(x)＝－EQ \F((x＋2)(x－1),EQ x\S(3))．
当0＜x＜1时，f ′(x)＞0，当x＞1时f ′(x)＜0，所以f (x)在(0，1)单调递增，在(1，＋∞)单调递减．
…………………（4分）
（2）（i）设g (x)＝ax＋EQ \F(1,x)－lnx－b，g (x)定义域是(0，＋∞)，g′(x)＝eq \f(aEQ x\S(2)－x－1,EQ x\S(2))．
当x＞1时，ax＋EQ \F(1,x)－lnx－b≥0，等价于当x＞1时，g (x)≥0．
当a≤0时，g′(x)＜0，g (x)在(0，＋∞)单调递减．
若b≥0，则g (e)＝ae＋EQ \F(1,e)－1－b＜0；若b＜0，则g (EQ e\S(1－b))＝aEQ e\S(1－b)＋EQ e\S(b－1)－1＜0．因此存在大于1的实数x，使得g (x)≥0不成立，因此a＞0．
…………………（8分）
（ii）当a＞0时，△＝1＋4a＞0，g′(x)有一正一负二零点，设正零点EQ x\S\DO(0)＝eq \f(1＋\r(1＋4a),2a)，则当0＜x＜EQ x\S\DO(0)时，g′(x)＜0，当x＞EQ x\S\DO(0)时，g′(x)＞0，g (x)在(0，EQ x\S\DO(0))单调递减，在(EQ x\S\DO(0)，＋∞)单调递增，故g (x)≥g (EQ x\S\DO(0))．
当0＜a＜2时，EQ x\S\DO(0)＝eq \f(1,2a)＋eq \r(eq \f(1,(2a)2)＋eq \f(1,a))＞1，所以g (EQ x\S\DO(0))≥0，可得b≤aEQ x\S\DO(0)＋EQ \F(1,EQ x\S\DO(0))－lnEQ x\S\DO(0)．
由g′(EQ x\S\DO(0))＝0可得a＝EQ \F(1,EQ x\(\S\UP5(2),\S\DO3(0)))＋EQ \F(1,EQ x\S\DO(0))，从而
b－a≤aEQ x\S\DO(0)＋EQ \F(1,EQ x\S\DO(0))－lnEQ x\S\DO(0)－a＝EQ \F(EQ x\(\S\UP5(2),\S\DO3(0))(1－lnEQ x\S\DO(0))＋EQ x\S\DO(0)－1,EQ x\(\S\UP5(2),\S\DO3(0)))＝f (EQ x\S\DO(0))．
而f (EQ x\S\DO(0))≤f (1)＝1，于是b－a≤1．
当a≥2时，EQ x\S\DO(0)＝eq \f(1,2a)＋eq \r(eq \f(1,(2a)2)＋eq \f(1,a))＜1，所以当x＞1时，g (x)≥g (1)＝a－b，因此
a－b≥0，于是b－a≤0＜1．
综上b－a≤1．
…………………（12分）1．C
2．B
3．A
4．C
5．D
6．A
7．C
8．B
9．ABD
10．BD
11．BCD
12．AC
13．－1
14．eq \r(3)＋1
15．4π，6π
16．eq \f(1,19)
X
0
1
2
3
P
eq \f(9,50)
eq \f(43,100)
eq \f(8,25)
eq \f(7,100)