初中数学北师大版八年级下册1 等腰三角形同步训练题

【巩固练习】

一.选择题

1.已知△ABC的各边长度分别为3cm，4cm，5cm，则连结各边中点的三角形的周长为（　　）

A．2cm    B．7cm      C．5cm     D．6cm

2. 如图，点D、E、F分别为△ABC三边的中点，若△DEF的周长为10，则△ABC的周长为（　　）

A．5         B．10            C．20             D．40

3. （2020•梧州）在△ABC中，AB=3，BC=4，AC=2，D、E、F分别为AB、BC、AC中点，连接DF、FE，则四边形DBEF的周长是（　　）

A．5        B．7        C．9         D．11

4．（2020•莆田模拟）如图，△ABC的中线BD、CE交于点O，连接OA，点G、F分别为OC、OB的中点，BC=8，AO=6，则四边形DEFG的周长为（　　）

A．12    B．14    C．16    D．18

5. 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，M，N分别是AB，AC的中点，D，E为BC上的点，连接DN、EM，若AB＝5，BC＝8，DE＝4，则图中阴影部分的面积为（　　）

A．1                       B．1.5                   C．2                 D．3

6. 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E、F、G分别是BD、AC、DC的中点.已知两底的差是6，两腰的和是12，则△EFG的周长是（     ）

A.8            B.9            C.10            D.12

二.填空题

7. 顺次连接一个四边形各边中点得到的四边形是_________________.

8. 如图, E、F分别是口ABCD 的两边AB、CD的中点, AF交DE于P, BF交CE于Q,则PQ与AB的关系是              .

9. 如图，E、F、G、H分别是四边形ABCD各边的中点，对角线AC、BD的长分别为7和9，则四边形EFGH的周长是______.

10.（2020•广州）如图，四边形ABCD中，∠A=90°，AB=3，AD=3，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为　          　．

11.（2020秋•东营区校级期末）如图，△ABC的周长为26，点D，E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC=10，则PQ的长　 　．

12.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D．下列三个结论：

①∠BOC＝90°＋∠A；

②设OD＝，AE＋AF＝，则；

③EF不能成为△ABC的中位线．

其中正确的结论是_______.

三.解答题

13.如图，四边形ABCD中，AD∥BC，M、N、P、Q分别为AD、BC、BD、AC的中点．

求证：MN和PQ互相平分．

14.已知：在△ABC中，BC＞AC，动点D绕△ABC的顶点A逆时针旋转，且AD＝BC，连接DC．过AB、DC的中点E、F作直线，直线EF与直线AD、BC分别相交于点M、N．

（1）如图1，当点D旋转到BC的延长线上时，点N恰好与点F重合，取AC的中点H，连接HE、HF，根据三角形中位线定理和平行线的性质，可得结论∠AMF＝∠BNE（不需证明）；

（2）当点D旋转到图2或图3中的位置时，∠AMF与∠BNE有何数量关系？请分别写出猜想，并任选一种情况证明．

15.（万州区校级模拟）已知，如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为AB中点，连接CD．点E为边AC上一点，过点E作EF∥AB，交CD于点F，连接EB，取EB的中点G，连接DG、FG．

（1）求证：EF=CF；

（2）求证：FG⊥DG．

【答案与解析】

一.选择题

1.【答案】D；

  【解析】由中点和中位线定义可得新三角形的各边长为原三角形各边长的一半，即可求其周长．

2.【答案】C；

【解析】根据中位线定理可得BC＝2DF，AC＝2DE，AB＝2EF，继而结合△DEF的周长为10，可得出△ABC的周长．

3.【答案】B；

【解析】∵D、E、F分别为AB、BC、AC中点，

∴DF=BC=2，DF∥BC，EF=AB=，EF∥AB，

∴四边形DBEF为平行四边形，

∴四边形DBEF的周长=2（DF+EF）=2×（2+）=7．

故选B．

4.【答案】B；

  【解析】解：∵BD，CE是△ABC的中线，

∴ED∥BC且ED=BC，

∵F是BO的中点，G是CO的中点，

∴FG∥BC且FG=BC，

∴ED=FG=BC=4，

同理GD=EF=AO=3，

∴四边形DEFG的周长为3+4+3+4=14．

故选B．

5.【答案】B；

【解析】连接MN，作AF⊥BC于F．∵AB＝AC，∴BF＝CF＝BC＝×8＝4，在Rt△ABF中，AF＝＝＝3，∵M、N分别是AB，AC的中点，∴MN是中位线，即平分三角形的高且MN＝8÷2＝4，∴NM＝BC＝DE，∴△MNO≌△EDO，O也是ME，ND的中点，∴阴影三角形的高是AF÷2＝1.5÷2＝0.75，∴＝4×0.75÷2＝1.5．

6.【答案】B；

  【解析】连接AE，延长交CD于H，可证AB＝DH，CH＝两底的差，EF是△AHC的中位线，EF＝两底的差，EG＋FG＝两腰的和，故△EFG的周长是9.

二.填空题

7.【答案】平行四边形；

8.【答案】PQ∥AB，PQ＝AB；

【解析】P，Q分别是AF，BF的中点.

9.【答案】16；

【解析】根据三角形中位线的性质得出HGAC，EFAC，HEDB，GFBD，进而得出HE＝GF＝BD，HG＝FE＝AC，即可得出答案．

10.【答案】3；

【解析】解：∵ED=EM，MF=FN，

∴EF=DN，

∴DN最大时，EF最大，

∵N与B重合时DN最大，

此时DN=DB==6，

∴EF的最大值为3．

故答案为3．

11.【答案】3；

【解析】∵△ABC的周长是26，BC=10，

∴AB+AC=26﹣10=16，

∵∠ABC的平分线垂直于AE，

∴在△ABQ和△EBQ中，

，

∴△ABQ≌△EBQ，

∴AQ=EQ，AB=BE，

同理，AP=DP，AC=CD，

∴DE=BE+CD﹣BC=AB+AC﹣BC=16﹣10=6，

∵AQ=DP，AP=DP，

∴PQ是△ADE的中位线，

∴PQ=DE=3．

故答案是：3．

12.【答案】①，③；

【解析】①根据三角形内角和定理求解；②根据△AEF的面积＝△AOE的面积＋△AOF的面积求解；③若此三角形为等边三角形，则EF即为中位线．

三.解答题

13.【解析】

证明：连接MP，PN，NQ，QM，

∵AM＝MD，BP＝PD，

∴PM是△ABD的中位线，

∴PM∥AB，PM＝AB；

同理NQ＝AB，NQ∥AB，

∴PM＝NQ，且PM∥NQ．

∴四边形MPNQ是平行四边形．

∴MN与PQ互相平分．

14.【解析】

解：图1：∠AMF＝∠ENB；图2：∠AMF＝∠ENB；图3：∠AMF＋∠ENB＝180°．

证明：如图2，取AC的中点H，连接HE、HF．

∵F是DC的中点，H是AC的中点，

∴HF∥AD，HF＝AD，

∴∠AMF＝∠HFE，

同理，HE∥CB，HE＝CB，

∴∠ENB＝∠HEF．

∵AD＝BC，

∴HF＝HE，

∴∠HEF＝∠HFE，

∴∠ENB＝∠AMF．

如图3：取AC的中点H，连接HE、HF．

∵F是DC的中点，H是AC的中点，

∴HF∥AD，HF＝AD，

∴∠AMF＋∠HFE＝180°，

同理，HE∥CB，HE＝CB，

∴∠ENB＝∠HEF．

∵AD＝BC，

∴HF＝HE，

∴∠HEF＝∠HFE，

∴∠AMF＋∠ENB＝180°．

15.【解析】

证明：（1）如图，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为AB中点，

∴CD是斜边AB上的中线，

∴CD=AD=BD=AB．

又EF∥AB，

∴=，

∴==1，

∴EF=CF；

（2）如图，延长EF交BC于点M，连接GM．

∵EF∥AB，

∴∠CMF=∠CBD．

又∵AD=BD=AB，

∴∠DCM=∠CBD，即∠FCM=∠CBD，

∴∠CMF=∠FCM，

∴CF=MF．

又由（1）知，EF=CF，

∴EF=FM，即点F是EM的中点，

又∵EF∥AB，则FM∥AB

∴EM是△ABC的中位线，则点M是BC的中点，

∵点G是BE的中点，

∴DG是△AEB的中位线，GM是△BEC的中位线，

∴GD∥AE，GM∥EC，

∴点D、G、M三点共线，

∴FG是△CDM的中位线，

∴FG∥CM．

又∵MC⊥EC，

∴FG⊥DG．