初中第六章 平行四边形综合与测试一课一练

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【学习目标】
1.掌握平行四边形的性质定理和判定定理.
2.掌握三角形的中位线定理.
3.了解多边形的定义以及内角、外角、对角线等概念.掌握多边形的内角和与外角和公式.
4.积累数学活动经验，发展推理能力.
【知识网络】
【要点梳理】
要点一、平行四边形的定义
平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 平行四边形ABCD记作“口ABCD”，读作“平行四边形ABCD”.
要点诠释：平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心.
要点二、平行四边形的性质定理
平行四边形的对角相等；
平行四边形的对边相等；
平行四边形的对角线互相平分；
要点诠释：（1）平行四边形的性质定理中边的性质可以证明两边平行或两边相等；角的性质可以证明两角相等或两角互补；对角线的性质可以证明线段的相等关系或倍半关系.
（2）由于平行四边形的性质内容较多，在使用时根据需要进行选择.
（3）利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系三角形三边的不等关系来解决.
要点三、平行四边形的判定定理
1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
2.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
3.两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
5.对角线互相平分的四边形是平行四边形.
要点诠释：
这些判定方法是学习本章的基础，必须牢固掌握，当几种方法都能判定同一个
行四边形时，应选择较简单的方法.
（2）这些判定方法既可作为判定平行四边形的依据，也可作为“画平行四边形”的依据.
要点四、平行线间的距离
1.两条平行线间的距离：
（1）定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离.注：距离是指垂线段的长度，是正值.
2．平行线性质定理及其推论
夹在两条平行线间的平行线段相等.
平行线性质定理的推论：
夹在两条平行线间的垂线段相等.
要点五、三角形的中位线
三角形的中位线
1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.
要点诠释：（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系.
（2）三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的，每个小三角形的面积为原三角形面积的.
（3）三角形的中位线不同于三角形的中线.
要点六、多边形内角和、外角和
边形的内角和为(－2)·180°(≥3)．
要点诠释：(1)内角和定理的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；
(2)正多边形的每个内角都相等，都等于；
多边形的外角和为360°．边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关.
【典型例题】
类型一、平行四边形的性质与判定
1、（2020•海淀区二模）如图1，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=α，D是BC边上一点，以AD为边作△ADE，使AE=AD，∠DAE+∠BAC=180°．
（1）直接写出∠ADE的度数（用含α的式子表示）；
（2）以AB，AE为边作平行四边形ABFE，
①如图2，若点F恰好落在DE上，求证：BD=CD；
②如图3，若点F恰好落在BC上，求证：BD=CF．
【思路点拨】（1）由在△ABC中，AB=AC，∠ABC=α，可求得∠BAC=180°﹣2α，又由AE=AD，∠DAE+∠BAC=180°，可求得∠DAE=2α，继而求得∠ADE的度数；
（2）①由四边形ABFE是平行四边形，易得∠EDC=∠ABC=α，则可得∠ADC=∠ADE+∠EDC=90°，证得AD⊥BC，又由AB=AC，根据三线合一的性质，即可证得结论；②由在△ABC中，AB=AC，∠ABC=α，可得∠B=∠C=α，四边形ABFE是平行四边形，可得AE∥BF，AE=BF．即可证得：∠EAC=∠C=α，又由（1）可证得AD=CD，又由AD=AE=BF，证得结论．
【答案与解析】
解：（1）∵在△ABC中，AB=AC，∠ABC=α，
∴∠BAC=180°﹣2α，
∵∠DAE+∠BAC=180°，
∴∠DAE=2α，
∵AE=AD，
∴∠ADE=90°﹣α；
（2）①证明：∵四边形ABFE是平行四边形，
∴AB∥EF．
∴∠EDC=∠ABC=α，
由（1）知，∠ADE=90°﹣α，
∴∠ADC=∠ADE+∠EDC=90°，
∴AD⊥BC．
∵AB=AC，
∴BD=CD；
②证明：∵AB=AC，∠ABC=α，
∴∠C=∠B=α．
∵四边形ABFE是平行四边形，
∴AE∥BF，AE=BF．
∴∠EAC=∠C=α，
由（1）知，∠DAE=2α，
∴∠DAC=α，
∴∠DAC=∠C．
∴AD=CD．
∵AD=AE=BF，
∴BF=CD．
∴BD=CF．
【总结升华】此题考查了平行四边形的判定与性质以及等腰三角形的性质与判定．注意（2）①中证得AD⊥BC是关键，（2）②中证得AD=CD是关键．
举一反三：
【变式】分别以口ABCD（∠CDA≠90°）的三边AB，CD，DA为斜边作等腰直角三角形，△ABE，△CDG，△ADF．
（1）如图1，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形外部时，连接GF，EF．请判断GF与EF的关系并证明）；
（2）如图2，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形内部时，连接GF，EF，（1）中结论还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．
【答案】
解：（1）GF⊥EF，GF＝EF成立；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，∠DAB＋∠ADC＝180°，
∵△ABE，△CDG，△ADF都是等腰直角三角形，
∴DG＝CG＝AE＝BE，DF＝AF，∠CDG＝∠ADF＝∠BAE＝45°，
∴∠GDF＝∠GDC＋∠CDA＋∠ADF＝90°＋∠CDA，
∠EAF＝360°﹣∠BAE﹣∠DAF﹣∠BAD＝270°﹣（180°﹣∠CDA）＝90°＋∠CDA，
∴∠FDG＝∠EAF，
∵在△EAF和△GDF中，
，
∴△EAF≌△GDF（SAS），
∴EF＝FG，∠EFA＝∠DFG，即∠GFD＋∠GFA＝∠EFA＋∠GFA，
∴∠GFE＝90°， ∴GF⊥EF；
（2）GF⊥EF，GF＝EF成立；
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，∠DAB＋∠ADC＝180°，
∵△ABE，△CDG，△ADF都是等腰直角三角形，
∴DG＝CG＝AE＝BE，DF＝AF，∠CDG＝∠ADF＝∠BAE＝45°，
∴∠BAE＋∠FAD＋∠EAF＋∠ADF＋∠FDC＝180°，
∴∠EAF＋∠CDF＝45°，
∵∠CDF＋∠FDG＝45°，
∴∠FDG＝∠EAF，
∵在△EAF和△GDF中，
，
∴△EAF≌△GDF（SAS），
∴EF＝FG，∠EFA＝∠DFG，即∠GFD＋∠GFA＝∠EFA＋∠GFA，
∴∠GFE＝90°，
∴GF⊥EF．
2、如图，点D是△ABC的边AB的延长线上一点，点F是边BC上的一个动点（不与点B重合）．以BD、BF为邻边作平行四边形BDEF，又APBE（点P、E在直线AB的同侧），如果BD＝AB，那么△PBC的面积与△ABC面积之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案与解析】
解：过点P作PH∥BC交AB于H，连接CH，PF，
∵APBE，
∴四边形APEB是平行四边形，
∴PE∥AB，PE＝AB，
∵四边形BDEF是平行四边形，
∴EF∥BD，EF＝BD，
即EF∥AB，
∴P，E，F共线，
设BD＝，∵BD＝AB，∴PE＝AB＝4，
则PF＝PE－EF＝3，
∵PH∥BC，
∴，
∵PF∥AB，
∴四边形BFPH是平行四边形，
∴BH＝PF＝3，
∵＝BH：AB＝3：4＝3：4，
∴＝3：4．
【总结升华】此题考查了平行四边形的判定与性质与三角形面积比的求解方法．此题难度较大，注意准确作出辅助线，注意等高三角形面积的比等于其对应底的比．
举一反三：
【变式】已知△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，分别以AB、AC、BC为一边在BC边同侧作正△ABD、正△ACE和正△BCF，求以A、E、F、D四点为顶点围成的四边形的面积．
【答案】
证明：∵ AB＝3，AC＝4，BC＝5，
∴∠BAC＝90°
∵△ABD、△ACE和△BCF为正三角形，
∴AB＝BD＝AD，AC＝AE＝CE，BC＝BF＝FC ,
∠1＋∠FBA＝∠2＋∠FBA＝60°
∴∠1＝∠2
易证△BAC≌△BDF（SAS），
∴DF＝AC＝AE＝4，∠BDF＝90°
同理可证△BAC≌△FEC
∴AB＝AD＝EF＝3
∴四边形AEFD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）
∵DF∥AE，DF⊥BD
延长EA交BD于H点，AH⊥BD，则H为BD中点
∴平行四边形AEFD的面积＝DF×DH＝4×＝6.
3、在平行四边形ABCD中，点A1，A2，A3，A4和C1，C2，C3，C4分别AB和CD的五等分点，点B1，B2和D1，D2分别是BC和DA的三等分点，已知四边形A4B2C4D2的面积为1，则平行四边形ABCD面积为（ ）
A．2 B． C． D．15
【思路点拨】可以设平行四边形ABCD的面积是S，根据等分点的定义利用平行四边形ABCD的面积减去四个角上的三角形的面积，就可表示出四边形A4B2C4D2的面积，从而得到两个四边形面积的关系，即可求解．
【答案】C；
【解析】
解：设平行四边形ABCD的面积是S，设AB＝5，BC＝3．
AB边上的高是3，BC边上的高是5．
则S＝5•3＝3•5．即＝＝．
△AA4D2与△B2CC4全等，B2C＝BC＝，B2C边上的高是•5＝4．
则△AA4D2和△B2CC4的面积是2＝．
同理△D2C4D与△A4BB2的面积是．
则四边形A4B2C4D2的面积是S－－－－＝，即＝1，
解得S＝．
【总结升华】考查平行四边形的性质和三角形面积计算，正确利用等分点的定义，得到两个四边形的面积的关系是解决本题的关键．
类型二、三角形的中位线
4、如图，△ABC的周长为26，点D，E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC＝10，则PQ的长为（ ）
A. B. C.3 D.4
【答案】C；
【解析】
解：易证△ABQ≌△EBQ, AB＝BE，Q为AE中点，
△ACP≌△DCP, AC＝CD，P为AD中点，
∴PQ∥DE,PQ＝DE，
∵AB＋AC＋BC＝26，BC＝10，
∴AB＋AC＝BE＋CD＝16＝BD＋DE＋DE＋EC＝BC＋DE，
∴DE＝6，PQ＝DE＝3.
【总结升华】本题考查了三角形的中位线定理及等腰三角形的判定，注意培养自己的敏感性，一般出现高、角平分线重合的情况，都需要找到等腰三角形．
类型三、多边形内角和与外角和
5、若一个多边形的每个外角都等于60°，则它的内角和等于（ ）
A．180° B．720° C．1080° D．540°
【思路点拨】由一个多边形的每个外角都等于60°，根据边形的外角和为360°计算出多边形的边数，然后根据边形的内角和定理计算即可．
【答案】B；
【解析】
解：设多边形的边数为，
∵多边形的每个外角都等于60°，
∴＝360°÷60°＝6，
∴这个多边形的内角和＝（6－2）×180°＝720°．
【总结升华】本题考查了边形的内角和定理：边形的内角和＝（－2）•180°；也考查了边形的外角和为360°．
举一反三：
【变式】（2020秋•小金县校级期末）一个多边形的每个内角都相等，且一个外角比一个内角大60°，求这个多边形的每个内角的度数及边数．
【答案】解：设内角是x°，外角是y°，
则得到一个方程组，
解得．
而任何多边形的外角是360°，
则多边形中外角的个数是360÷120=3，
故这个多边形的每个内角的度数是60°，边数是三边形．
6、甲、乙两人想在正五边形ABCDE内部找一点P，使得四边形ABPE为平行四边形，其作法如下：
（甲） 连接BD、CE，两线段相交于P点，则P即为所求
（乙） 先取CD的中点M，再以A为圆心，AB长为半径画弧，交AM于P点，则P即为所求．
对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确？（ ）
A．两人皆正确 B．两人皆错误
C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确
【思路点拨】求出五边形的每个角的度数，求出∠ABP、∠AEP、∠BPE的度数，根据平行四边形的判定判断即可．
【答案】C；
【解析】
解：甲正确，乙错误，
理由是：如图，∵正五边形的每个内角的度数是＝108°，
AB＝BC＝CD＝DE＝AE，
∴∠DEC＝∠DCE＝×（180°－108°）＝36°，
同理∠CBD＝∠CDB＝36°，
∴∠ABP＝∠AEP＝108°－36°＝72°，
∴∠BPE＝360°－108°－72°－72°＝108°＝∠A，
∴四边形ABPE是平行四边形，即甲正确；
∵∠BAE＝108°，
∴∠BAM＝∠EAM＝54°，
∵AB＝AE＝AP，
∴∠ABP＝∠APB＝×（180°－54°）＝63°，∠AEP＝∠APE＝63°，
∴∠BPE＝360°－108°－63°－63°≠108°，
即∠ABP＝∠AEP，∠BAE≠∠BPE，
∴四边形ABPE不是平行四边形，即乙错误；
【总结升华】本题考查了正五边形的内角和定理，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，平行四边形的判定的应用，注意：有两组对角分别相等的四边形是平行四边形．