初中数学北师大版九年级上册第一章 特殊平行四边形2 矩形的性质与判定复习练习题

【巩固练习】

一.选择题

1. （2020•临沂）如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE=AD，连接EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是（　　）

A．AB=BE      B．DE⊥DC     C．∠ADB=90°    D．CE⊥DE

2. 矩形一个角的平分线分矩形一边为1和3两部分，则它的面积为（　  ）

A.3　　　　　　B. 4　　　　　　C. 12　　　　D. 4或12　　

3. 如图，矩形ABCG(AB＜BC)与矩形CDEF全等，点B、C、D在同一条直线上，∠APE的顶点P在线段BD上移动，使∠APE为直角的点P的个数是(    )

A.0             B.1              C.2                 D.3

4. 把一张长方形的纸片按如图所示的方式折叠,EM、FM为折痕,折叠后的C点落在B′M或B′M的延长线上,那么∠EMF的度数是(    )

A.85°              B.90°                 C.95°               D.100°

5．如图，四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠CDA＝90°，BE⊥AD于点E，且四边形ABCD的面积为8，则BE＝(    )

A.2 B.3             C.           D.

6. （2020•荆门）如图，在矩形ABCD中（AD＞AB），点E是BC上一点，且DE=DA，AF⊥DE，垂足为点F，在下列结论中，不一定正确的是（　　）

A．△AFD≌△DCE B．AF=AD C．AB=AF D．BE=AD﹣DF

二.填空题

7．（2020•黑龙江）如图，在平行四边形ABCD中，延长AD到点E，使DE=AD，连接EB，EC，DB请你添加一个条件　    　，使四边形DBCE是矩形．

8．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，对角线AC的垂直平分线分别交AD，BC于点E、F，连结CE，则CE的长______．

9. 如图所示，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOD＝120°，AB＝4，则矩形对角线AC长为________．

10.如图，矩形纸片ABCD中，已知AD＝8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F 处，折痕为AE，且EF＝3，则AB的长为_______.

11.如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，P是边AD上的动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE＋PF的值为_________. 

12.（2015•南漳县模拟）矩形ABCD的∠A的平分线AE分BC成两部分的比为1：3，若矩形ABCD的面积为36，则其周长为　　．

三.解答题

13．（2020•杭州模拟）已知在矩形ABCD中，点E为边AD上一点，点A关于BE的对称点G位于对角线BD上，EG的延长线交边BC于点F．

（1）求证：AE≠ED；

（2）求证：△BEF是等腰三角形；

（3）若△BEF是正三角形，且AB=1，求EF的长．

14.已知：如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，点O既是AC的中点，又是EF的中点．

（1）求证：△BOE≌△DOF；

（2）若OA＝BD，则四边形ABCD是什么特殊四边形？说明理由．

15.已知：如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边BC、AB上的点，且EF＝ED，EF⊥ED．

求证：AE平分∠BAD．

【答案与解析】

一.选择题

1.【答案】B；

【解析】∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，且AD=BC，

又∵AD=DE，∴BE∥BC，且BE=BC，∴四边形BCED为平行四边形，

A、∵AB=BE，DE=AD，∴BD⊥AE，∴□DBCE为矩形，故本选项错误；

B、∵DE⊥DC，∴∠EDB=90°+∠CDB＞90°，∴四边形DBCE不能为矩形，故本选项正确；

C、∵∠ADB=90°，∴∠EDB=90°，∴□DBCE为矩形，故本选项错误；

D、∵CE⊥DE，∴∠CED=90°，∴□DBCE为矩形，故本选项错误．

故选B．

2.【答案】D；

  【解析】矩形的短边可能是1，也可能是3，所以面积为4×1或4×3.

3.【答案】C；

【解析】当BP=AB或BP=BC时，∠APE是直角.

4.【答案】B；

【解析】∠EMF＝∠EMB′＋∠FMB′＝∠BMC′＋∠CMC′＝×180°＝90°.

5．【答案】C；

  【解析】过点C做BE垂线，垂足为F，易证△BAE≌△CBF，所以BF＝AE，BE＝CF，所以总面积＝AE×BE＋CF×EF＝ AE×BE＋BE×（BE－AE）＝，.

6.【答案】B.

【解析】（A）由矩形ABCD，AF⊥DE可得∠C=∠AFD=90°，AD∥BC，

∴∠ADF=∠DEC．

又∵DE=AD，

∴△AFD≌△DCE（AAS），故（A）正确；

（B）∵∠ADF不一定等于30°，

∴直角三角形ADF中，AF不一定等于AD的一半，故（B）错误；

（C）由△AFD≌△DCE，可得AF=CD，

由矩形ABCD，可得AB=CD，

∴AB=AF，故（C）正确；

（D）由△AFD≌△DCE，可得CE=DF，

由矩形ABCD，可得BC=AD，

又∵BE=BC﹣EC，

∴BE=AD﹣DF，故（D）正确；

故选B

二.填空题

7.【答案】EB=DC．

【解析】添加EB=DC．理由如下：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，且AD=BC，

∴DE∥BC，

又∵DE=AD，

∴DE=BC，

∴四边形DBCE为平行四边形．

又∵EB=DC，

∴四边形DBCE是矩形．

故答案是：EB=DC．

8.【答案】；

  【解析】设AE＝CE＝，DE＝，，.

9.【答案】8；

【解析】由矩形的性质可知△AOB是等边三角形，∴  AC＝2AO＝2AB＝8．

10.【答案】6；

   【解析】设AB＝AF＝，BE＝EF＝3，EC＝5，则CF＝4，，解得.

11.【答案】；

   【解析】BD＝5，利用面积法，PE＋PF＝△AOD中OD边上的高＝.

12.【答案】30或10；

   【解析】∵AE平分∠DAB，

∴∠DAE=∠EAB，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD=BC，DC=AB，AD∥BC，

∴∠DEA=∠BEA，

∴∠EAB=∠BEA，

∴AB=BE，

①设BE=x，CE=3x，则AD=4x，AB=x，

∵矩形ABCD的面积为36，

∴x•4x=36，

解得：x=3（负舍），

即AD=BC=4x=12，AB=CD=x=3，

∴矩形的周长为：AB+BC+CD+AD=2×（3+12）=30；

②设BE=3x，CE=x，则AD=4x，AB=3x，

∵矩形ABCD的面积为36，

∴3x•4x=36，

解得：x=（负舍），

即AD=BC=4x=4，AB=CD=x=，

∴矩形的周长为：AB+BC+CD+AD=2×（4+）=10；

故答案为：30或10．

三.解答题

13.【解析】

（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠BAD=90°，

∵点A与点G关于BE对称，

∴BE垂直平分AG，∠BAD=∠BGE=90°，

∴AE=EG．

在Rt△EGD中，ED＞EG，

∴ED＞AE，

即AE≠ED；

（2）证明：由（1）知∠AEB=∠BEG，

又∵AD∥BC，

∴∠AEB=∠EBF，

∴∠BEG=∠EBF，

∴△BEF是等腰三角形；

（3）解：∵△BEF是正三角形，

则∠AEB=60°，BD=2AB=2，

∵∠ABE=∠EBG=30°，

∴∠DBC=30°，

∴BG⊥EF，EG=GF，

∴BG=GD，

又∵BD=2，

设EF=2x，则 BG=x．

∴2x=2，

∴2x=，

即EF=．

14.【解析】

（1）证明：∵BE⊥AC．DF⊥AC，

∴∠BEO＝∠DFO＝90°，

∵点O是EF的中点，

∴OE＝OF，

又∵∠DOF＝∠BOE，

∴△BOE≌△DOF（ASA）；

（2）解：四边形ABCD是矩形．理由如下：

∵△BOE≌△DOF，

∴OB＝OD，

又∵OA＝OC，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∵OA＝BD，OA＝AC，

∴BD＝AC，

∴ABCD是矩形．

15.【解析】

证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠B＝∠C＝∠BAD＝90°，AB＝CD，

∴∠BEF＋∠BFE＝90°．

∵EF⊥ED，

∴∠BEF＋∠CED＝90°．

∴∠BFE＝∠CED．

又∵EF＝ED，

∴△EBF≌△DCE．

∴BE＝CD．

∴BE＝AB．∴∠BAE＝∠BEA＝45°．

∴∠EAD＝45°．

∴∠BAE＝∠EAD．

∴AE平分∠BAD．