北师大版九年级上册3 正方形的性质与判定精练

【巩固练习】

一.选择题

1. （2020•陕西）如图，在正方形ABCD中，连接BD，点O是BD的中点，若M、N是边AD上的两点，连接MO、NO，并分别延长交边BC于两点M′、N′，则图中的全等三角形共有（　　）

A．2对 B．3对 C．4对 D．5对

2. （2020•漳州一模）正方形具有而菱形不一定具有的性质是（　　）

A. 四条边相等             B. 对角线互相垂直平分

C. 对角线平分一组对角     D. 对角线相等

3. 如图，正方形ABCD的边长为4，则图中阴影部分的面积为(    )．

A.6         B.8          C.16         D.不能确定

4. 顺次连结对角线互相垂直的四边形各边的中点，所得的四边形是 (    )

    A. 矩形       B. 菱形      C.  正方形        D. 梯形

5.如图，在边长为2的正方形ABCD中，M为边AD的中点，延长MD至点E，使ME＝MC，以DE为边作正方形DEFG，点G在边CD上，则DG的长为（　　）

A．      B.      C.      D.

6.如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则图中的等腰三角形有（　　）

A．4个        B．6个         C．8个         D．10个

二.填空题

7．若正方形的边长为，则其对角线长为______，若正方形ACEF的边是正方形ABCD的对角线，则正方形ACEF与正方形ABCD的面积之比等于______．

8. 如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，对角线AC与BD相交于点O，若不增加任何字母与辅助线，要使四边形ABCD是正方形，则还需增加一个条件是_________.

9. 如图，将边长为2的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△，若两个三角形重叠部分的面积是1，则它移动的距离等于____.

10. 如图，边长为2的正方形ABCD的对角线相交于点O，过点O的直线分别交AD、BC于E、F，则阴影部分的面积是_______.

11. 如图．边长为1的两个正方形互相重合，按住其中一个不动，将另一个绕顶点A顺时针旋转45°，则这两个正方形重叠部分的面积是______．

12.（2020•长春）如图，点E在正方形ABCD的边CD上．若△ABE的面积为8，CE=3，则线段BE的长为　　．

三.解答题

13．（2020•乐山）如图，在正方形ABCD中，E是边AB的中点，F是边BC的中点，连结CE、DF．求证：CE=DF．

14．（2020•铁力市二模）如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E；PF⊥CD于点F，连接EF，给出下列五个结论：①AP=EF；②AP⊥EF；③∠PFE=∠BAP；④PD=EC；⑤PB2+PD2=2PA2，正确的有几个？．

15．如图，边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后，得到正方形EFCG，EF交AD于H，求DH的长．

【答案与解析】

一.选择题

1.【答案】C．

【解析】∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=CD=CB=AD，∠A=∠C=∠ABC=∠ADC=90°，AD∥BC，

在△ABD和△BCD中，

，

∴△ABD≌△BCD，

∵AD∥BC，

∴∠MDO=∠M′BO，

在△MOD和△M′OB中，

，

∴△MDO≌△M′BO，同理可证△NOD≌△N′OB，∴△MON≌△M′ON′，

∴全等三角形一共有4对．

故选C．

2.【答案】D；

【解析】正方形的性质：正方形的四条边相等，四个角都是直角，对角线互相垂直平分且相等，并且每一条对角线平分一组对角；

菱形的性质：菱形的四条边相等，对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角；

因此正方形具有而菱形不一定具有的性质是：对角线相等；故选：D．

3．【答案】B；

  【解析】阴影部分面积为正方形面积的一半.

4.【答案】A；

5.【答案】D；

【解析】利用勾股定理求出CM＝，即ME的长，有DM＝DE，所以可以求出DE＝，进而得到DG的长．

6.【答案】C；

二.填空题

7.【答案】，2∶1 ；

  【解析】正方形ACEF与正方形ABCD的边长之比为.

8.【答案】AC＝BD或AB⊥BC；

【解析】∵在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA∴四边形ABCD是菱形∴要使四边形ABCD是正方形，则还需增加一个条件是AC＝BD或AB⊥BC.

9.【答案】1；

  【解析】移动距离为，重叠部分面积为CE×，所以，得，所以.

10.【答案】1；

【解析】由题可知△DEO≌△BFO，阴影面积就等于三角形BOC面积．

11.【答案】；

   【解析】，重叠部分面积为.

12.【答案】5；

【解析】解：过E作EM⊥AB于M，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AD=BC=CD=AB，

∴EM=AD，BM=CE，

∵△ABE的面积为8，

∴×AB×EM=8，

解得：EM=4，

即AD=DC=BC=AB=4，

∵CE=3，

由勾股定理得：BE===5，

故答案为：5．

三.解答题

13.【解析】

证明：∵ABCD是正方形，

∴AB=BC=CD，∠EBC=∠FCD=90°，

又∵E、F分别是AB、BC的中点，

∴BE=CF，

在△CEB和△DFC中，

，

∴△CEB≌△DFC，

∴CE=DF．

14.【解析】

解：①正确，连接PC，可得PC=EF，PC=PA，∴AP=EF；

②正确；延长AP，交EF于点N，则∠EPN=∠BAP=∠PCE=∠PFE，可得AP⊥EF；

③正确；∠PFE=∠PCE=∠BAP；

④错误，PD=PF=CE；

⑤正确，PB2+PD2=2PA2．

所以正确的有4个：①②③⑤.

15.【解析】

解：如图，连接CH，

∵正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°，

∴∠BCF＝30°，则∠DCF＝60°，

在Rt△CDH和Rt△CFH中，

∴Rt△CDH≌Rt△CFH，

∴∠DCH＝∠FCH＝∠DCF＝30°，

    在Rt△CDH中，DH＝，CH＝2，CD＝，

    ∴DH＝.