初中北师大版4 用因式分解法求解一元二次方程达标测试

一元二次方程的解法（三）--公式法，因式分解法—知识讲解（提高）

【学习目标】

1. 理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，能熟练应用公式法解一元二次方程；

2. 正确理解因式分解法的实质，熟练运用因式分解法解一元二次方程；

3. 通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性，渗透分类的思想．

【要点梳理】

要点一、公式法解一元二次方程

1.一元二次方程的求根公式
　　　一元二次方程，当时，.
2.一元二次方程根的判别式

一元二次方程根的判别式：．
　　　 ①当时，原方程有两个不等的实数根；
　　　 ②当时，原方程有两个相等的实数根；
　　　 ③当时，原方程没有实数根.
3.用公式法解一元二次方程的步骤
　    用公式法解关于x的一元二次方程的步骤：
　　　 ①把一元二次方程化为一般形式；
　　　 ②确定a、b、c的值（要注意符号）；
　　　 ③求出的值；
　　　 ④若，则利用公式求出原方程的解；
　　　 　若，则原方程无实根.
要点诠释：

（1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用.

（2）一元二次方程，用配方法将其变形为：

    ①当时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：

② 当时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：

③ 当时，右端是负数．因此，方程没有实根.

要点二、因式分解法解一元二次方程

1.用因式分解法解一元二次方程的步骤
　　（1）将方程右边化为0；
　　（2）将方程左边分解为两个一次式的积；
　　（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；
　　（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.
2.常用的因式分解法
　　　提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.

要点诠释：
   （1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；

（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；

（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.

【典型例题】

类型一、公式法解一元二次方程

1．解关于x的方程．

【答案与解析】

(1)当m+n＝0且m≠0，n≠0时，原方程可化为．

∵  m≠0，解得x＝1．

(2)当m+n≠0时，

∵  ，，，

∴  ，

∴  ，

∴  ，．

【总结升华】解关于字母系数的方程时，应该对各种可能出现的情况进行讨论．

举一反三：

【变式】解关于的方程；

【答案】原方程可化为

        ∵

        ∴ 

        ∴ 

        ∴

2．  用公式法解下列方程： (m-7)(m+3)+(m-1)(m+5)＝4m；    

【答案与解析】

方程整理为，

∴  ，∴  a＝1，b＝-2，c＝-13，

∴  ，

∴  ，

∴  ，．

【总结升华】先将原方程化为一般式，再按照公式法的步骤去解.

举一反三：

【变式】用公式法解下列方程：  

【答案】∵

     ∴

     ∴

     ∴

类型二、因式分解法解一元二次方程

3．（2020•荆门）已知3是关于x的方程x2﹣（m+1）x+2m=0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长为（　　）

A．7 B．10 C．11 D．10或11

【思路点拨】把x=3代入已知方程求得m的值；然后通过因式分解法解方程求得该方程的两根，即等腰△ABC的两条边长，由三角形三边关系和三角形的周长公式进行解答即可．

【答案】D

【解析】

解：把x=3代入方程得9﹣3（m+1）+2m=0，

解得m=6，

则原方程为x2﹣7x+12=0，

解得x1=3，x2=4，

因为这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长，

①当△ABC的腰为4，底边为3时，则△ABC的周长为4+4+3=11；

②当△ABC的腰为3，底边为4时，则△ABC的周长为3+3+4=10．

综上所述，该△ABC的周长为10或11．

故选：D．

【总结升华】本题考查了一元二次方程的解，考查了解方程，也考查了三角形三边的关系．

举一反三：

【变式】解方程（2015·茂名校级一模）

（1）x2-2x-3=0；                 （2）（x-1）2+2x(x-1)=0．

【答案】解：（1）分解因式得：（x-3）（x+1）=0

                ∴x-3=0，x+1=0

                ∴x1=3,x2=-1.

（2）分解因式得：（x-1）（x-1+2x）=0

                ∴x-1=0，3x-1=0

                ∴x1=1,x2=.

4．如果，请你求出的值．

【答案与解析】

设，∴  z(z-2)＝3．

       整理得：，∴  (z-3)(z+1)＝0．

       ∴  z1＝3，z2＝-1．

       ∵  ，∴  z＝-1(不合题意，舍去)

       ∴  z＝3．

       即的值为3．

【总结升华】如果把视为一个整体，则已知条件可以转化成一个一元二次方程的形式，用因式分解法可以解这个一元二次方程．此题看似求x、y的值，然后计算，但实际上如果把看成一个整体，那么原方程便可化简求解。这里巧设再求z值，从而求出的值实际就是换元思想的运用．

        易错提示:忽视，而得或．