初中数学北师大版九年级上册第四章 图形的相似8 图形的位似复习练习题

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一. 选择题
1.下面给出了相似的一些命题：
（1）菱形都相似；（2）等腰直角三角形都相似；（3）正方形都相似；（4）矩形都相
似；（5）正六边形都相似；其中正确的有（ ）.
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2.下列说法错误的是（ ）.
A.位似图形一定是相似图形.
B.相似图形不一定是位似图形.
C.位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比.
D.位似图形中每组对应点所在的直线必相互平行.
3.下列说法正确的是（ ） .
A.分别在ABC的边AB、AC的反向延长线上取点D、E，使DE∥BC，则ADE
是ABC放大后的图形.
B.两位似图形的面积之比等于相似比.
C.位似多边形中对应对角线之比等于相似比.
D.位似图形的周长之比等于相似比的平方.
4．（2020•东营）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，6），B（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（ ）
A．（﹣1，2） B．（﹣9，18）
C．（﹣9，18）或（9，﹣18）D．（﹣1，2）或（1，﹣2）
5. 下列命题：①两个正方形是位似图形；②两个等边三角形是位似图形；③两个同心圆是位似图形；④平行于三角形一边的直线截这个三角形的两边，所得的三角形与原三角形是位似图形.其中正确的有( ).
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
6．如果点C为线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，则下列各式不正确的是（ ）.
A. AB：AC=AC：BC B. AC= C.AB= D.BC≈0.618AB
7.已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD=（ ）.
A. B. C. D.2
二. 填空题
8. 如果两个位似图形的对应线段长分别为3cm和5cm，且较小图形周长为30cm，则较大图形周长为__________.
9. （2020•三明）如图，在平面直角坐标系中，已知A（1，0），D（3，0），△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心．若AB=1.5，则DE= ．
10．如图，以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形，已知OA=10cm，OA′=20cm，则五边形ABCDE的周长与五边形的周长的比值是__________．

11. △ABC中，D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，△ADE是△ABC缩小后的图形.若DE把△ABC的面积分成相等的两部分，则AD：AB=________.
12. 把一矩形纸片对折，如果对折后的矩形与原矩形相似，则原矩形纸片的长与宽之比为____________________.
13.（2020•钦州）如图，以O为位似中心，将边长为256的正方形OABC依次作位似变换，经第一次变化后得正方形OA1B1C1，其边长OA1缩小为OA的，经第二次变化后得正方形OA2B2C2，其边长OA2缩小为OA1的，经第，三次变化后得正方形OA3B3C3，其边长OA3缩小为OA2的，…，依次规律，经第n次变化后，所得正方形OAnBnCn的边长为正方形OABC边长的倒数，则n= ．
14. 如图，△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=36°，∠ABC的平分线与AC边的交点D为边AC的黄金分割点（AD＞DC），则BC=______________.
三． 综合题
15.如图，D、E分别AB、AC上的点.
(1)如果DE∥BC，那么△ADE和 △ABC是位似图形吗？为什么？
(2)如果△ADE和 △ABC是位似图形，那么DE∥BC吗？为什么？


16.（2014秋•海陵区校级月考）如图，F在BD上，BC、AD相交于点E，且AB∥CD∥EF，
（1）图中有哪几对位似三角形，选其中一对加以证明；
（2）若AB=2，CD=3，求EF的长．
17. 如图1，矩形ODEF的一边落在矩形ABCO的一边上，并且矩形ODEF∽矩形ABCO，其相似比为1：4，矩形ABCO的边AB=4，BC=4．
（1）求矩形ODEF的面积；
（2）将图1中的矩形ODEF绕点O逆时针旋转一周，连接EC、EA，△ACE的面积是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，请说明理由．
【答案与解析】
一、选择题
1．【答案】B
【解析】（1）菱形的角不一定对应相等，故错误；
（2）（3）（5）符合相似的定义，故正确；
（4）对应边的比不一定相等．故错误．
故正确的是：（2）（3）（5）．故选B．
2．【答案】D.
3．【答案】C.
4.【答案】D.
【解析】∵A（﹣3，6），B（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，∴点A的对应点A′的坐标为（﹣3×，6×）或[﹣3×（﹣），6×（﹣）]，即A′点的坐标为（﹣1，2）或（1，﹣2）．
5．【答案】B
【解析】由位似图形的概念可知③和④对，故选B.
6．【答案】D.
【解析】∵AC＞BC，
∴AC是较长的线段，
根据黄金分割的定义可知：AB：AC=AC：BC，AC=, AB=
AC≈0.618AB．故选D．
7.【答案】B.
【解析】∵AB=1，
设AD=x，则FD=x-1，FE=1，
∵四边形EFDC与矩形ABCD相似，
∴，
，
解得,,（负值舍去），
经检验是原方程的解．故选B．
二、填空题
8.【答案】50cm.
9.【答案】4.5．
【解析】∵△ABC与DEF是位似图形，它们的位似中心恰好为原点，已知A点坐标为（1，0），D点坐标为（3，0），
∴AO=2，DO=5，
∴==，
∵AB=1.5，
∴DE=4.5．
故答案为：4.5．
10.【答案】1：2．
【解析】∵五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′位似，OA=10cm，OA′=20cm，
∴五边形ABCDE∽五边形A′B′C′D′E′，且相似比为：OA：OA′=10：20=1：2，
∴五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长的比为：OA：OA′=1：2．
故答案为：1：2．
11.【答案】 .
【解析】由BC∥DE可得△ADE∽△ABC，所以，故.
12.【答案】.
【解析】矩形ABCD对折后所得矩形与原矩形相似，则矩形ABCD∽矩形BFEA，设矩形的长为a，宽为b．则AB=CD=b，AD=BC=a，BF=AE=，根据矩形相似，对应边的比相等得到：即：，则b2=
∴∴
13. 【答案】16.
【解析】由图形的变化规律可得
×256=，
解得n=16．
14. 【答案】.
【解析】∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=72°，
又BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=36°，
∴∠BDC=72°，
∴BC=BD=AD，
∵D点是AC的黄金分割点，
∴BC=AD=4×=.
三．解答题
15.【答案与解析】
(1)△ADE和 △ABC是位似图形.理由是：
DE∥BC，所以∠ADE=∠B， ∠AED=∠C.所以△ADE∽△ABC，所以.
又因为 点A是△ADE和 △ABC的公共点，点D和点B是对应点，点E和点C
是对应点，直线BD与CE交于点A，所以△ADE和 △ABC是位似图形.
(2)DE∥BC.理由是：
因为△ADE和△ABC是位似图形，
所以△ADE∽△ABC
所以∠ADE=∠B
所以DE∥BC.
16.【答案与解析】
解：（1）△DFE与△DBA，△BFE与△BDC，△AEB与△DEC都是位似图形，
理由：∵AB∥CD∥EF，
∴△DFE∽△DBA，△BFE∽△BDC，△AEB∽△DEC，且对应边都交于一点，
∴△DFE与△DBA，△BFE与△BDC，△AEB与△DEC都是位似图形；
（2）∵△BFE∽△BDC，△AEB∽△DEC，AB=2，CD=3，
∴==，
∴==，
解得：EF=．
17.【答案与解析】
（1）∵矩形ODEF∽矩形ABCO，其相似比为1：4，
∴S矩形ODEF=S矩形ABCO=×4×4=；
（2）存在．
∵OE=
所以点E的轨迹为以点O为圆心，以2为半径的圆，
设点O到AC的距离为h，
AC=
;
∴8h=4×4，
解得h=2，
∴当点E到AC的距离为2+2时，△ACE的面积有最大值，
当点E到AC的距离为2-2时，△ACE的面积有最小值，
S最大=
.
S最小=