初中数学北师大版九年级上册5 相似三角形判定定理的证明课后测评

【巩固练习】

一、选择题
1. （2020•深圳校级模拟）若△ABC∽△DEF，且AB：DE=1：3，则S△ABC：S△DEF=（　　）

A．1：3 　 B．1：9　  C．1： 　　D．1：1.5
2．已知如图：（1）、（2）中各有两个三角形，其边长和角的度数已在图上标注，图（2）中AB、CD交于0点，对于各图中的两个三角形而言，下列说法正确的是（　　）
 否

A．都相似 B．都不相似 C．只有（1）相似 D．只有（2）相似

3．如图，G是平行四边形ABCD的边CD延长线上一点，BG交AC于E，交AD于F，则图中与△FGD相似的三角形有（　　）

 　  A． 0对 B． 1对 C． 2对 D． 3对

4．如图，分别以下列选项作为一个已知条件，其中不一定能得到△AOB∽△COD的是（　　）

  A． ∠BAC=∠BDC B． ∠ABD=∠ACD    C        D   

5．如果一个三角形能够分成两个与原三角形都相似的三角形，我们把这样的三角形称为孪生三角形，那么孪生三角形是（　　）

　 A． 不存在 B． 等腰三角形   C． 直角三角形 D． 等腰三角形或直角三角形

6．在△ABC与△A′B′C′中，有下列条件：（1）；（2）；（3）∠A=∠A′；（4）∠C=∠C′．如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△ABC∽△A′B′C′的共有多少组（　　）

　 A． 1 B． 2 C． 3 D． 4

二、填空题

7．如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，连接DE，要使△ADE∽△ACB，还需添加一个条件　                                                （只需写一个）．

8．如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC、CD于点P、Q．则图中相似三角形（相似比为1除外）有　                          ．

9．如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，△ABC和△DEF的顶点都在格点上（小正方形的顶点）．P1，P2，P3，P4，P5是△DEF边上的5个格点，请在这5个格点中选取2个作为三角形的顶点，使它和点D构成的三角形与△ABC相似，写出所有符合条件的三角形　                                　．

10．如图，∠1=∠2=∠3，有几对三角形相似，请写出其中的两对　                   　．

11．如图，在3×4的方格上，每个方格的边长为1个单位，△ABC的顶点都在方格的格点位置．若点D在格点位置上（与点A不重合），且使△DBC与△ABC相似，则符合条件的点D共有　　个．

12.（2020•六合区一模）如图，在Rt△ABC中，AC=8，BC=6，直线l经过C，且l∥AB，P为l上一个动点，若△ABC与△PAC相似，则PC=　　．

三、解答题

13. 如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=8cm．点E、F、G分别从点A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动．点E、G的速度均为2cm/s，点F的速度为4cm/s，当点F追上点G（即点F与点G重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第t秒时，△EFG的面积为S（cm2）

（1）当t=1秒时，S的值是多少？

（2）写出S和t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围；

（3）若点F在矩形的边BC上移动，当t为何值时，以点E、B、F为顶点的三角形与以点F、C、G为顶点的三角形相似？请说明理由．

14.（2020春•成武县期末）如图，已知△ABC中，AB=，AC=，BC=6，点M为AB的中点，在线段AC上取点N，使△AMN与△ABC相似，求MN的长．

15．如图，在△ABC和△ADE中，==，点B、D、E在一条直线上，求证：△ABD∽△ACE．

【答案与解析】

一、选择题

1.【答案】B.

【解析】∵△ABC∽△DEF，且AB：DE=1：3，

∴S△ABC：S△DEF=1：9．故选B．

2.【答案】A;

【解析】如图（1）∵∠A=35°，∠B=75°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=70°，
∵∠E=75°，∠F=70°，
∴∠B=∠E，∠C=∠F，
∴△ABC∽△DEF；

如图（2）∵OA=4，OD=3，OC=8，OB=6，
∴，
∵∠AOC=∠DOB，
∴△AOC∽△DOB．
故选A．

3.【答案】C；

【解析】∵ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AB∥DC，

∴△GFD∽△GBC，△GFD∽△BFA，

∴图中与△FGD相似的三角形有2对，

故选C．

4.【答案】C；

【解析】A、若∠BAC=∠BDC，结合∠AOB=∠COD，可得△AOB∽△COD，故本选项错误；

B、若∠ABD=∠ACD，结合∠AOB=∠COD，可得△AOB∽△COD，故本选项错误；

C、若=，因为只知道∠AOB=∠COD，不符合两边及其夹角的判定，不一定能得到△AOB∽△COD，故本选项正确．

D、若=，结合∠AOB=∠COD，根据两边及其夹角的方法可得△AOB∽△COD，故本选项错误；

故选C．

5.【答案】C；

【解析】∵△ABD∽△CBD，

∴∠ADB=∠BDC

又∵∠ADB+∠BDC=180°，

∴∠ADB=∠BDC=×180°=90°，

∵△ADB∽△ABC，ABC△∽△BDC，

∴∠ABC=∠ADB=∠BDC=90°，

∴△ABC为直角三角形．

故选：C．

6.【答案】C；

【解析】能判断△ABC∽△A′B′C′的有：（1）（2），（2）（4），（3）（4），

∴能判断△ABC∽△A′B′C′的共有3组．

故选C．

二、填空题

7．【答案】如∠ADE=∠C或∠AED=∠B或AD：AC=AE：AB或AD•AB=AE•AC等；

【解析】∵∠A是公共角，

∴当∠ADE=∠C或∠AED=∠B时，△ADE∽△ACB（有两角对应相等的三角形相似），

当AD：AC=AE：AB或AD•AB=AE•AC时，△ADE∽△ACB（两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似），

∴要使△ADE∽△ACB，还需添加一个条件：答案不唯一，如∠ADE=∠C或∠AED=∠B或AD：AC=AE：AB或AD•AB=AE•AC等．

故答案为：此题答案不唯一，如∠ADE=∠C或∠AED=∠B或AD：AC=AE：AB或AD•AB=AE•AC等．

8．【答案】△PCQ∽△RDQ∽△PAB；

【解析】∵CP∥ER，

∴△BCP∽△BER；

∵CP∥DR，

∴△PCQ∽△RDQ；

∵CQ∥AB，

∴△PCQ∽△PAB；

∴△PCQ∽△RDQ∽△PAB．

9．【答案】△DP2P5、△DP2P4、△DP4P5；

【解析】设网格的边长为1．

则AC=，AB=，BC=．

连接DP2P5，

DP5=，DP2=，P2P5=．

∵==，

∴△ACB∽△DP5P2．

同理可找到△DP2P4，DP4P5和△ACB相似．

故答案为：△DP2P5，DP2P4，DP4P5．

10．【答案】△CDE∽△CAB；△EDA∽△AEB;

   【解析】∵∠2=∠3，∠C=∠C，

∴△CDE∽△CAB，

∵∠2=∠3，

∴∠DEA=∠EAB，

∵∠1=∠3，

∴△EDA∽△AEB，

故答案为：△CDE∽△CAB；△EDA∽△AEB．

11．【答案】4;

   【解析】∵方格中小正方形的边长为1，

∴AB=1、BC=、AC=，

∵△DBC与△ABC相似，

∴BC=、CD=2、BD=，

如图可知这样的点D如图：

故答案为：4．

12.【答案】4.8或.
【解析】∵在Rt△ABC中，AC=8，BC=6，∴AB==10，

当△ABC∽△PCA时，则AB：PC=BC：AC，

即10：PC=6：8，解得：PC=，

当△ABC∽△ACP时，则AB：AC=BC：PC，

即10：8=6：PC，解得：PC=4.8．

综上可知若△ABC与△PAC相似，则PC=4.8或．

三、解答题

13.【解析】

解：（1）如图1，当t=1秒时，AE=2，EB=10，BF=4，FC=4，CG=2

由S=S梯形GCBE﹣S△EBF﹣S△FCG

=×﹣

=×（10+2）×8﹣×10×4﹣

=24.

（2）①如图1，当0≤t≤2时，点E、F、G分别在边AB、    

BC、CD上移动，

此时AE=2t，EB=12﹣2t，BF=4t，FC=8﹣4t，CG=2t

S=S梯形GCBE﹣S△EBF﹣S△FCG

=×（EB+CG）•BC﹣EB•BF﹣FC•CG

=×8×（12﹣2t+2t）﹣×4t（12﹣2t）﹣×2t（8﹣4t）

=8t2﹣32t+48．

②如图2，当点F追上点G时，4t=2t+8，解得t=4

当2＜t＜4时，点E在边AB上移动，点F、G都在边CD上移动，此时CF=4t﹣8，CG=2t

FG=CG﹣CF=2t﹣（4t﹣8）=8﹣2t

S=FG•BC=（8﹣2t）•8=﹣8t+32．

即S=﹣8t+32

（3）如图1，当点F在矩形的边BC上的边移动时，0≤t≤2

在△EBF和△FCG中，∠B=∠C=90°

1若=，即=，

解得t=．

又t=满足0≤t≤2，所以当t=时，△EBF∽△FCG

2若=即=，解得t=．

又t=满足0≤t≤2，所以当t=时，△EBF∽△GCF

综上所述，当t=或t=时，以点E、B、F为顶点的三角形与以F、C、G为顶点的三角形相似．

14.【解析】解：①图1，作MN∥BC交AC于点N，则△AMN∽△ABC，

有，

∵M为AB中点，AB=，

∴AM=，

∵BC=6，

∴MN=3；

②图2，作∠ANM=∠B，则△ANM∽△ABC，

有，

∵M为AB中点，AB=，

∴AM=，

∵BC=6，AC=，

∴MN=，

∴MN的长为3或．

15.【解析】

证明：∵在△ABC和△ADE中，==，

∴△ABC∽△ADE，

∴∠BAC=∠DAE，

∴∠BAD=∠CAE，

∵，

∴，

∴△ABD∽△ACE．