广东省深圳市南山区九年级（上）期末数学模拟试卷

这是一份广东省深圳市南山区九年级（上）期末数学模拟试卷，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

广东省深圳市南山区九年级（上）期末数学模拟试卷
　
一、选择题（本题12小题，每题3分，共36分）
1．（3分）﹣5的绝对值是（　　）
A．﹣5 B．5 C． D．﹣
2．（3分）下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．（3分）如图下面几何体的左视图是（　　）

A． B． C． D．
4．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．2a+3b=5ab B．3x2y﹣2x2y=1 C．（2a2）3=6a6 D．5x3÷x2=5x
5．（3分）纳米是非常小的长度单位，1纳米=10﹣9米．某种病菌的长度约为50纳米，用科学记数法表示该病菌的长度，结果正确的是（　　）
A．5×10﹣10米 B．5×10﹣9米 C．5×10﹣8米 D．5×10﹣7米
6．（3分）如图，从边长为（a+4）cm的正方形纸片中剪去一个边长为（a+1）cm的正方形（a＞0），剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则矩形的面积为（　　）
A．（2a2+5a）cm2 B．（6a+15）cm2 C．（6a+9）cm2 D．（3a+15）cm2
7．（3分）王明同学随机抽查某市10个小区所得到的绿化率情况，结果如下表：
小区绿化率（%）
20
25
30
32
小区个数
2
4
3
1
则关于这10个小区的绿化率情况，下列说法错误的是（　　）
A．方差是13% B．众数是25%
C．中位数是25% D．平均数是26.2%
8．（3分）如图，AB是⊙O的直径，AB垂直于弦CD，∠BOC=70°，则∠ABD=（　　）

A．20° B．46° C．55° D．70°
9．（3分）陈老师打算购买气球装扮学校“六一”儿童节活动会场，气球的种类有笑脸和爱心两种，两种气球的价格不同，但同一种气球的价格相同，由于会场布置需要，购买时以一束（4个气球）为单位，已知第一、二束气球的价格如图所示，则第三束气球的价格为（　　）

A．19 B．18 C．16 D．15
10．（3分）二次函数y=ax2+bx的图象如图，若一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，则m的最大值为（　　）

A．﹣3 B．3 C．﹣6 D．9
11．（3分）对于点A（x1，y1）、B（x2，y2），定义一种运算：A⊕B=（x1+x2）+（y1+y2）．例如，A（﹣5，4），B（2，﹣3），A⊕B=（﹣5+2）+（4﹣3）=﹣2．若互不重合的四点C，D，E，F，满足C⊕D=D⊕E=E⊕F=F⊕D，则C，D，E，F四点（　　）
A．在同一条直线上 B．在同一条抛物线上
C．在同一反比例函数图象上 D．是同一个正方形的四个顶点
12．（3分）如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P、Q同时从点B出发，点P沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/秒．设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图象如图（2）（曲线OM为抛物线的一部分）．则下列结论错误的是（　　）

A．AD=BE=5cm B．cos∠ABE=
C．当0＜t≤5时， D．当秒时，△ABE∽△QBP
　
二、填空题（本题4小题，每题3分，共12分）
13．（3分）函数的自变量x的取值范围是　　．
14．（3分）分解因式：9ax2﹣6ax+a=　　．
15．（3分）已知m和n是方程2x2﹣5x﹣3=0的两根，则=　　．
16．（3分）如图，在平面直角坐标中，直线l经过原点，且与y轴正半轴所夹的锐角为60°，过点A（0，1）作y轴的垂线l于点B，过点B1作直线l的垂线交y轴于点A1，以A1B．BA为邻边作▱ABA1C1；过点A1作y轴的垂线交直线l于点B1，过点B1作直线l的垂线交y轴于点A2，以A2B1．B1A1为邻边作▱A1B1A2C2；…；按此作法继续下去，则Cn的坐标是　　．

　
三、解答题（共52分）
17．（6分）（﹣）﹣2﹣|1﹣|﹣（）0+2tan60°+．
18．（6分）解方程：．
19．（7分）为积极响应市委，市政府提出的“实现伟大中国梦，建设美丽攀枝花”的号召，我市某校在八，九年级开展征文活动，校学生会对这两个年级各班内的投稿情况进行统计，并制成了如图所示的两幅不完整的统计图．
（1）求扇形统计图中投稿篇数为2所对应的扇形的圆心角的度数：
（2）求该校八，九年级各班在这一周内投稿的平均篇数，并将该条形统计图补充完整．
（3）在投稿篇数为9篇的4个班级中，八，九年级各有两个班，校学生会准备从这四个中选出两个班参加全市的表彰会，请你用列表法或画树状图的方法求出所选两个班正好不在同一年级的概率．

20．（8分）已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BC=2AD，E是BC的中点，连接AE、AC．
（1）点F是DC上一点，连接EF，交AC于点O（如图1），求证：△AOE∽△COF；
（2）若点F是DC的中点，连接BD，交AE与点G（如图2），求证：四边形EFDG是菱形．

21．（9分）为迎接中国森博会，某商家计划从厂家采购A，B两种产品共20件，产品的采购单价（元/件）是采购数量（件）的一次函数，下表提供了部分采购数据．
采购数量（件）
1
2
…
A产品单价（元/件）
1480
1460
…
B产品单价（元/件）
1290
1280
…
（1）设A产品的采购数量为x（件），采购单价为y1（元/件），求y1与x的关系式；
（2）经商家与厂家协商，采购A产品的数量不少于B产品数量的，且A产品采购单价不低于1200元，求该商家共有几种进货方案；
（3）该商家分别以1760元/件和1700元/件的销售单价售出A，B两种产品，且全部售完，在（2）的条件下，求采购A种产品多少件时总利润最大，并求最大利润．
22．（7分）如图，将边长为4的等边三角形AOB放置于平面直角坐标系xoy中，F是AB边上的动点（不与端点A、B重合），过点F的反比例函数y=（k＞0，x＞0）与OA边交于点E，过点F作FC⊥x轴于点C，连结EF、OF．
（1）若S△OCF=，求反比例函数的解析式；
（2）在（1）的条件下，试判断以点E为圆心，EA长为半径的圆与y轴的位置关系，并说明理由；
（3）AB边上是否存在点F，使得EF⊥AE？若存在，请求出BF：FA的值；若不存在，请说明理由．

23．（9分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+3的顶点为M（2，﹣1），交x轴于A、B两点，交y轴于点C，其中点B的坐标为（3，0）．

（1）求该抛物线的解析式；
（2）设经过点C的直线与该抛物线的另一个交点为D，且直线CD和直线CA关于直线BC对称，求直线CD的解析式；
（3）点E为线段BC上的动点（点E不与点C，B重合），以E为顶点作∠OEF=45°，射线EF交线段OC于点F，当△EOF为等腰三角形时，求此时点E的坐标；
（4）在该抛物线的对称轴上存在点P，满足PM2+PB2+PC2=35，求点P的坐标；并直接写出此时直线OP与该抛物线交点的个数．
　

广东省深圳市南山区九年级（上）期末数学模拟试卷
参考答案与试题解析
　
一、选择题（本题12小题，每题3分，共36分）
1．（3分）﹣5的绝对值是（　　）
A．﹣5 B．5 C． D．﹣
【解答】解：﹣5的绝对值是5，
故选B
　
2．（3分）下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：A、此图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
B、此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确；
C、此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误；
D、此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误．
故选B．
　
3．（3分）如图下面几何体的左视图是（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：从左面看易得三个竖直排列的长方形，且上下两个长方形的长大于宽，比较小，中间的长方形的宽大于长，比较大．
故选B．
　
4．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．2a+3b=5ab B．3x2y﹣2x2y=1 C．（2a2）3=6a6 D．5x3÷x2=5x
【解答】解：A、不是同类项，不能相加，故本选项错误；
B、3x2y﹣2x2y=x2y，故本选项错误；
C、（2a2）3=8a6，故本选项错误；
D、5x3÷x2=5x，故本选项正确．
故选D．
　
5．（3分）纳米是非常小的长度单位，1纳米=10﹣9米．某种病菌的长度约为50纳米，用科学记数法表示该病菌的长度，结果正确的是（　　）
A．5×10﹣10米 B．5×10﹣9米 C．5×10﹣8米 D．5×10﹣7米
【解答】解：50纳米=50×10﹣9米=5×10﹣8米．
故选C．
　
6．（3分）如图，从边长为（a+4）cm的正方形纸片中剪去一个边长为（a+1）cm的正方形（a＞0），剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则矩形的面积为（　　）
A．（2a2+5a）cm2 B．（6a+15）cm2 C．（6a+9）cm2 D．（3a+15）cm2
【解答】解：矩形的面积是：（a+4）2﹣（a+1）2
=（a+4+a+1）（a+4﹣a﹣1）
=3（2a+5）
=6a+15（cm2）．
故选B．
　
7．（3分）王明同学随机抽查某市10个小区所得到的绿化率情况，结果如下表：
小区绿化率（%）
20
25
30
32
小区个数
2
4
3
1
则关于这10个小区的绿化率情况，下列说法错误的是（　　）
A．方差是13% B．众数是25%
C．中位数是25% D．平均数是26.2%
【解答】解：根据题意得：
平均数是：=26.2%，
方差是：[2×（20%﹣26.2%）2+4×（25%﹣26.2%）2+3×（30%﹣26.2%）2+（32%﹣26.2%）2]=15.96%；
众数为：25%，
中位数为：25%，
则说法错误的是A；
故选A．
　
8．（3分）如图，AB是⊙O的直径，AB垂直于弦CD，∠BOC=70°，则∠ABD=（　　）

A．20° B．46° C．55° D．70°
【解答】解：连接BC，

∵OC=OB，
∴∠OBC=∠OCB===55°，
∵AB⊥CD，
∴=，
∴∠ABD=∠OBC=55°．
故选C．
　
9．（3分）陈老师打算购买气球装扮学校“六一”儿童节活动会场，气球的种类有笑脸和爱心两种，两种气球的价格不同，但同一种气球的价格相同，由于会场布置需要，购买时以一束（4个气球）为单位，已知第一、二束气球的价格如图所示，则第三束气球的价格为（　　）

A．19 B．18 C．16 D．15
【解答】解：设笑脸形的气球x元一个，爱心形的气球y元一个，由题意，得：
，
解得：2x+2y=16．
故选：C．
　
10．（3分）二次函数y=ax2+bx的图象如图，若一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，则m的最大值为（　　）

A．﹣3 B．3 C．﹣6 D．9
【解答】解：（法1）∵抛物线的开口向上，顶点纵坐标为﹣3，
∴a＞0，=﹣3，即b2=12a，
∵一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，
∴△=b2﹣4am≥0，即12a﹣4am≥0，即12﹣4m≥0，解得m≤3，
∴m的最大值为3．
（法2）一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，
可以理解为y=ax2+bx和y=﹣m有交点，
可见﹣m≥﹣3，
∴m≤3，
∴m的最大值为3．
故选B．

　
11．（3分）对于点A（x1，y1）、B（x2，y2），定义一种运算：A⊕B=（x1+x2）+（y1+y2）．例如，A（﹣5，4），B（2，﹣3），A⊕B=（﹣5+2）+（4﹣3）=﹣2．若互不重合的四点C，D，E，F，满足C⊕D=D⊕E=E⊕F=F⊕D，则C，D，E，F四点（　　）
A．在同一条直线上 B．在同一条抛物线上
C．在同一反比例函数图象上 D．是同一个正方形的四个顶点
【解答】解：∵对于点A（x1，y1），B（x2，y2），A⊕B=（x1+x2）+（y1+y2），
如果设C（x3，y3），D（x4，y4），E（x5，y5），F（x6，y6），
那么C⊕D=（x3+x4）+（y3+y4），
D⊕E=（x4+x5）+（y4+y5），
E⊕F=（x5+x6）+（y5+y6），
F⊕D=（x4+x6）+（y4+y6），
又∵C⊕D=D⊕E=E⊕F=F⊕D，
∴（x3+x4）+（y3+y4）=（x4+x5）+（y4+y5）=（x5+x6）+（y5+y6）=（x4+x6）+（y4+y6），
∴x3+y3=x4+y4=x5+y5=x6+y6，
令x3+y3=x4+y4=x5+y5=x6+y6=k，
则C（x3，y3），D（x4，y4），E（x5，y5），F（x6，y6）都在直线y=﹣x+k上，
∴互不重合的四点C，D，E，F在同一条直线上．
故选A．
　
12．（3分）如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P、Q同时从点B出发，点P沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/秒．设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图象如图（2）（曲线OM为抛物线的一部分）．则下列结论错误的是（　　）

A．AD=BE=5cm B．cos∠ABE=
C．当0＜t≤5时， D．当秒时，△ABE∽△QBP
【解答】解：根据图（2）可得，当点P到达点E时点Q到达点C，
∵点P、Q的运动的速度都是1cm/秒，
∴BC=BE=5，
∴AD=BE=5，故A正确；

又∵从M到N的变化是2，
∴ED=2，
∴AE=AD﹣ED=5﹣2=3，
在Rt△ABE中，AB===4，
∴cos∠ABE==，故B错误；

如图（1）过点P作PF⊥BC于点F，
∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠PBF，
∴sin∠PBF=sin∠AEB==，
∴PF=PBsin∠PBF=t，
∴当0＜t≤5时，y=BQ•PF=t•t=t2，故C正确；

当秒时，点P在CD上，此时，PD=﹣BE﹣ED=﹣5﹣2=，
PQ=CD﹣PD=4﹣=，
∵=，=，
∴=，
又∵∠A=∠Q=90°，
∴△ABE∽△QBP，故D正确．
由于该题选择错误的，故选：B．


　
二、填空题（本题4小题，每题3分，共12分）
13．（3分）函数的自变量x的取值范围是　x≤2　．
【解答】解：依题意，得2﹣x≥0，
解得x≤2．
故答案为：x≤2．
　
14．（3分）分解因式：9ax2﹣6ax+a=　a（3x﹣1）2　．
【解答】解：9ax2﹣6ax+a，
=a（3x）2﹣6x+1，
=a（3x﹣1）2．
故答案为：a（3x﹣1）2．
　
15．（3分）已知m和n是方程2x2﹣5x﹣3=0的两根，则=　﹣　．
【解答】解：∵m和n是方程2x2﹣5x﹣3=0的两根，
∴m+n=﹣=﹣=，m•n==﹣，
∴+===﹣
故答案为﹣．
　
16．（3分）如图，在平面直角坐标中，直线l经过原点，且与y轴正半轴所夹的锐角为60°，过点A（0，1）作y轴的垂线l于点B，过点B1作直线l的垂线交y轴于点A1，以A1B．BA为邻边作▱ABA1C1；过点A1作y轴的垂线交直线l于点B1，过点B1作直线l的垂线交y轴于点A2，以A2B1．B1A1为邻边作▱A1B1A2C2；…；按此作法继续下去，则Cn的坐标是　（﹣×4n﹣1，4n）　．

【解答】解：∵直线l经过原点，且与y轴正半轴所夹的锐角为60°，
∴直线l的解析式为y=x．
∵AB⊥y轴，点A（0，1），
∴可设B点坐标为（x，1），
将B（x，1）代入y=x，
得1=x，解得x=，
∴B点坐标为（，1），AB=．
在Rt△A1AB中，∠AA1B=90°﹣60°=30°，∠A1AB=90°，
∴AA1=AB=3，OA1=OA+AA1=1+3=4，
∵▱ABA1C1中，A1C1=AB=，
∴C1点的坐标为（﹣，4），即（﹣×40，41）；
由x=4，解得x=4，
∴B1点坐标为（4，4），A1B1=4．
在Rt△A2A1B1中，∠A1A2B1=30°，∠A2A1B1=90°，
∴A1A2=A1B1=12，OA2=OA1+A1A2=4+12=16，
∵▱A1B1A2C2中，A2C2=A1B1=4，
∴C2点的坐标为（﹣4，16），即（﹣×41，42）；
同理，可得C3点的坐标为（﹣16，64），即（﹣×42，43）；
以此类推，则Cn的坐标是（﹣×4n﹣1，4n）．
故答案为（﹣×4n﹣1，4n）．

　
三、解答题（共52分）
17．（6分）（﹣）﹣2﹣|1﹣|﹣（）0+2tan60°+．
【解答】解：原式=4﹣+1﹣1+2+
=++4．
　
18．（6分）解方程：．
【解答】解：方程两边都乘以（x+1）（x﹣1），得
4﹣（x+1）（x+2）=﹣（x2﹣1），
整理，3x=1，
解得x=．
经检验，x=是原方程的解．
故原方程的解是x=．
　
19．（7分）为积极响应市委，市政府提出的“实现伟大中国梦，建设美丽攀枝花”的号召，我市某校在八，九年级开展征文活动，校学生会对这两个年级各班内的投稿情况进行统计，并制成了如图所示的两幅不完整的统计图．
（1）求扇形统计图中投稿篇数为2所对应的扇形的圆心角的度数：
（2）求该校八，九年级各班在这一周内投稿的平均篇数，并将该条形统计图补充完整．
（3）在投稿篇数为9篇的4个班级中，八，九年级各有两个班，校学生会准备从这四个中选出两个班参加全市的表彰会，请你用列表法或画树状图的方法求出所选两个班正好不在同一年级的概率．

【解答】解：（1）3÷25%=12（个），
×360°=30°．
故投稿篇数为2所对应的扇形的圆心角的度数为30°；

（2）12﹣1﹣2﹣3﹣4=2（个），
（2+3×2+5×2+6×3+9×4）÷12
=72÷12
=6（篇），
将该条形统计图补充完整为：


（3）画树状图如下：

总共12种情况，不在同一年级的有8种情况，
所选两个班正好不在同一年级的概率为：8÷12=．
　
20．（8分）已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BC=2AD，E是BC的中点，连接AE、AC．
（1）点F是DC上一点，连接EF，交AC于点O（如图1），求证：△AOE∽△COF；
（2）若点F是DC的中点，连接BD，交AE与点G（如图2），求证：四边形EFDG是菱形．

【解答】证明：（1）∵点E是BC的中点，BC=2AD，
∴EC=BE=BC=AD，
又∵AD∥BC，
∴四边形AECD为平行四边形，
∴AE∥DC，
∴△AOE∽△COF；

（2）连接DE，
∵AD∥BE，AD=BE，
∴四边形ABED是平行四边形，
又∠ABE=90°，
∴四边形ABED是矩形，
∴GE=GA=GB=GD=BD=AE，
∴E、F分别是BC、CD的中点，
∴EF、GE是△CBD的两条中位线，
∴EF=BD=GD，GE=CD=DF，
又GE=GD，
∴EF=GD=GE=DF，
∴四边形EFDG是菱形．

　
21．（9分）为迎接中国森博会，某商家计划从厂家采购A，B两种产品共20件，产品的采购单价（元/件）是采购数量（件）的一次函数，下表提供了部分采购数据．
采购数量（件）
1
2
…
A产品单价（元/件）
1480
1460
…
B产品单价（元/件）
1290
1280
…
（1）设A产品的采购数量为x（件），采购单价为y1（元/件），求y1与x的关系式；
（2）经商家与厂家协商，采购A产品的数量不少于B产品数量的，且A产品采购单价不低于1200元，求该商家共有几种进货方案；
（3）该商家分别以1760元/件和1700元/件的销售单价售出A，B两种产品，且全部售完，在（2）的条件下，求采购A种产品多少件时总利润最大，并求最大利润．
【解答】解：（1）设y1与x的关系式y1=kx+b，
由表知，
解得k=﹣20，b=1500，
即y1=﹣20x+1500（0＜x≤20，x为整数），

（2）根据题意可得
，
解得11≤x≤15，
∵x为整数，
∴x可取的值为：11，12，13，14，15，
∴该商家共有5种进货方案；

（3）解法一：y2=﹣10（20﹣x）+1300=10x+1100，
令总利润为W，
则W=（1760﹣y1）x+（20﹣x）×[1700﹣（10x+1100）]=30x2﹣540x+12000，
=30（x﹣9）2+9570，
∵a=30＞0，
∴当x≥9时，W随x的增大而增大，
∵11≤x≤15，
∴当x=15时，W最大=10650；
解法二：根据题意可得B产品的采购单价可表示为：
y2=﹣10（20﹣x）+1300=10x+1100，
则A、B两种产品的每件利润可分别表示为：
1760﹣y1=20x+260，
1700﹣y2=﹣10x+600，
则当20x+260＞﹣10x+600时，A产品的利润高于B产品的利润，
即x＞=11时，A产品越多，总利润越高，
∵11≤x≤15，
∴当x=15时，总利润最高，
此时的总利润为（20×15+260）×15+（﹣10×15+600）×5=10650．
答：采购A种产品15件时总利润最大，最大利润为10650元．
　
22．（7分）如图，将边长为4的等边三角形AOB放置于平面直角坐标系xoy中，F是AB边上的动点（不与端点A、B重合），过点F的反比例函数y=（k＞0，x＞0）与OA边交于点E，过点F作FC⊥x轴于点C，连结EF、OF．
（1）若S△OCF=，求反比例函数的解析式；
（2）在（1）的条件下，试判断以点E为圆心，EA长为半径的圆与y轴的位置关系，并说明理由；
（3）AB边上是否存在点F，使得EF⊥AE？若存在，请求出BF：FA的值；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）设F（x，y），（x＞0，y＞0），则OC=x，CF=y，
∴S△OCF=xy=，
∴xy=2，
∴k=2，
∴反比例函数解析式为y=（x＞0）；

（2）该圆与y轴相离，
理由为：过点E作EH⊥x轴，垂足为H，过点E作EG⊥y轴，垂足为G，

在△AOB中，OA=AB=4，∠AOB=∠ABO=∠A=60°，
设OH=m，则tan∠AOB==，
∴EH=m，OE=2m，
∴E坐标为（m，m），
∵E在反比例y=图象上，
∴m=，
∴m1=，m2=﹣（舍去），
∴OE=2，EA=4﹣2，EG=，
∵4﹣2＜，
∴EA＜EG，
∴以E为圆心，EA长为半径的圆与y轴相离；

（3）存在．
假设存在点F，使AE⊥FE，
过E点作EH⊥OB于点H，设BF=x．
∵△AOB是等边三角形，
∴AB=OA=OB=4，∠AOB=∠ABO=∠A=60°，

∴BC=FB•cos∠FBC=x，FC=FB•sin∠FBC=x，
∴AF=4﹣x，OC=OB﹣BC=4﹣x，
∵AE⊥FE，
∴AE=AF•cosA=2﹣x，
∴OE=OA﹣AE=x+2，
∴OH=OE•cos∠AOB=x+1，EH=OE•sin∠AOB=x+，
∴E（x+1，x+），F（4﹣x，x），
∵E、F都在双曲线y=的图象上，
∴（x+1）（x+）=（4﹣x）•x，
解得：x1=4，x2=，
当BF=4时，AF=0，不存在，舍去；
当BF=时，AF=，BF：AF=1：4．
　
23．（9分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+3的顶点为M（2，﹣1），交x轴于A、B两点，交y轴于点C，其中点B的坐标为（3，0）．

（1）求该抛物线的解析式；
（2）设经过点C的直线与该抛物线的另一个交点为D，且直线CD和直线CA关于直线BC对称，求直线CD的解析式；
（3）点E为线段BC上的动点（点E不与点C，B重合），以E为顶点作∠OEF=45°，射线EF交线段OC于点F，当△EOF为等腰三角形时，求此时点E的坐标；
（4）在该抛物线的对称轴上存在点P，满足PM2+PB2+PC2=35，求点P的坐标；并直接写出此时直线OP与该抛物线交点的个数．
【解答】解：（1）设抛物线的解析式为线Y=a（x﹣2）2﹣1．
∵点B（3，0）在抛物线上，∴0=a（3﹣2）2﹣1，
解得：a=1．
则该抛物线的解析式为：y=（x﹣2）2﹣1，即y=x2﹣4x+3；

（2）在y=x2﹣4x+3中令x=0，得y=3．
故C（0，3）．
则OB=OC=3．
则∠ABC=45°．
过点B作BN⊥x轴交CD于点N（如图1），则∠ABC=∠NBC=45°．
∵直线CD和直线CA关于直线BC对称，
∴∠ACB=∠NCB，
在△ACB和△NCB中
，
∴△ACB≌△NCB（ASA）．
∴BN=BA．
∵A，B关于抛物线的对称轴x=2对称，B（3，0），
∴A（1，0）．∴BN=BA=2．∴N（3，2）．
设直线CD的解析式为：y=kx+3，
则2=3k+3，
解得：k=﹣，
则直线CD的解析式为：y=﹣x+3；

（3）当EF=OF时，E（，），
当OE=EF时，证明△OBE≌△ECF，E（，）；

（4）设P（2，p），∵M（2，﹣1），B（3，0），C（0，3），
∴根据勾股定理，得PM2=（p+1）2=p2+2p+1，PB2=（3﹣2）2+p2=p2+1，
PC2=22+（p﹣3）2=p2﹣6p+13，
∵PM2+PB2+PC2=35，
∴p2+2p+1+p2﹣6p+13=35，
整理，得3p2﹣4p﹣20=0，
解得：p1=﹣2，p2=．
∴P（2，﹣2）或（2，）．
当P（2，）时，直线OP：y=x，联立抛物线的解析式有：x=x2﹣4x+3，
解得△＞0，与该抛物线有2个交点；
当P（2，﹣2）时，直线OP：y=﹣x，联立抛物线的解析式有：
x2﹣4x+3=﹣x，即 x2﹣3x+3=0
△=（﹣3）2﹣4×3＜0，
故该直线与抛物线没有交点；
综上，当P（2，）时，直线OP与抛物线有两个交点；当P（2，﹣2）时，直线OP与抛物线没有交点．