广东省深圳市罗湖区九年级上学期期末数学试卷【解析版】

这是一份广东省深圳市罗湖区九年级上学期期末数学试卷【解析版】，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分，每小题给出的四个选项中，其中只有一项是正确的
1．一元二次方程（x﹣1）（x﹣2）=0的解是（ ）
A．x=1B．x=2C．x1=1，x2=2D．x1=﹣1，x2=﹣2

2．如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、C的中点，则S△ADE：S△ABC=（ ）
SHAPE \* MERGEFORMAT
A．1：2B．1：3C．1：4D．1：5

3．如图，平行四边形、矩形、菱形、正方形的包含关系可用如图表示，则图中阴影部分所表示的图形是（ ）
A．矩形B．菱形C．矩形或菱形D．正方形

4．在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=c，则sinA=（ ）
A．B．C．D．

5．小亮根据取x的值为：1.1，1.2，1.3，1.4，1.5时，代入x2﹣12x﹣15求值，估算一元二次方程的解（ ）
A．1.1＜x＜1.2B．1.2＜x＜1.3C．1.3＜x1.4D．1.4＜x＜1.5

6．如图，在2×2的正方形网格中有9个格点，已经取定点A、B、C，在余下的6个点中任取一点P，满足△ABP与△ABC相似的概率是（ ）
A．B．C．D．
7．对于抛物线y=﹣3（x﹣2）2+1，下列说法中错误的是（ ）
A．抛物线开口向下B．对称轴是直线x=2
C．顶点坐标是（2，1）D．抛物线与x轴没有交点

8．如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的侧面积是（ ）
A．12πcm2B．8πcm2C．6πcm2D．3πcm2

9．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D，下列结论正确的有（ ）
①AD=BD=BC；②△BCD≌△ABC；③AD2=AC•DC；④点D是AC的黄金分割点．
A．1个B．2个C．3个D．4个

10．如图，A、D是电线杆AB上的两个瓷壶，AC和DE分别表示太阳光线，若某一时刻线段AD在地面上的影长CE=1m，BD在地面上的影长BE=3m，瓷壶D到地面的距离DB=20m，则电线杆AB的高为（ ）
A．15mB．mC．21mD．m
11．如图，将n个边长都为2的正方形按如图所示摆放，点A1，A2，…An分别是正方形的中心，则这n个正方形重叠部分的面积之和是（ ）
SHAPE \* MERGEFORMAT
A．nB．n﹣1C．4（n﹣1）D．4n

12．如图，点A在双曲线y=上，且OA=4，过点A作AC⊥x轴，垂足为C，OA的垂直平分线交OC于点B，如果AB+BC﹣AC=2，则k的值为（ ）
A．8﹣2B．8+2C．3D．6


二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分
13．在某校组织的知识竞赛中共有三种试题，其中语文类4题，综合类8题，数学类若干题．已知从中随机抽取一题，是数学类的概率是，则数学类有 题．

14．如图，小明在A时测得某树的影长为2m，B时又测得该树的影长为8m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为 m．

15．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是直线x=1，若点P（4，0）在该抛物线上，则一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为 ．

16．如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R在DE上，且DR：RE=5：4，BR分别与AC、CD相交于点P、Q，则BP：PQ：PQ= ．

三、解答题：本题共7小题，其中第17小题6分，第18小题6分，第19小题7分，第20小题7分，第21小题8分，第22小题8分，第23小题10分，共52分
17．计算：|﹣|+sin45°﹣（）﹣1﹣（π﹣3）0．

18．如图，把带有指针的圆形转盘A、B分别分成4等份、3等份的扇形区域，并在每一个小区域内标上数字（如图所示）．小明、小乐两个人玩转盘游戏，游戏规则是：同时转动两个转盘，当转盘停止时，若指针所指两区域的数字之积为3的倍数，则小明胜；否则，小乐胜．（若有指针落在分割线上，则无效，需重新转动转盘）
（1）试用列表或画树状图的方法，求小明获胜的概率；
（2）请问这个游戏规则对小明、小乐双方公平吗？做出判断并说明理由．

19．如图，一次函数的图象与反比例函数y=的图象交于点A（m，6）和点B（4，﹣3）．
（1）求反比例函数的表达式和点A的坐标；
（2）根据图象回答，x在什么范围时，一次函数的值大于反比例函数的值．

20．人民公园划出一块矩形区域，用以栽植鲜花．
（1）经测量，该矩形区域的周长是72m，面积为320m2，请求出该区域的长与宽；
（2）公园管理处曾设想使矩形的周长和面积分别为（1）中区域的周长和面积的一半，你认为此设想合理吗？如果此设想合理，请求出其长和宽；如果不合理，请说明理由，并求出在（1）中周长减半的条件下矩形面积的最大值．

21．如图，某测量员测量公园内一棵树DE的高度，他们在这棵树左侧一斜坡上端点A处测得树顶端D的仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为60°．已知A点的高度AB为3米，台阶AC的坡度为1：（即AB：BC=1：），且B、C、E三点在同一条直线上．
（1）求斜坡AC的长；
（2）请根据以上条件求出树DE的高度（侧倾器的高度忽略不计）．

22．如图，正方形ABCD中，P、Q分别是边AB、BC上的两个动点，P、Q同时分别从A、B出发，点P沿AB向B运动；点Q沿BC向C运动，速度都是1个单位长度/秒．运动时间为t秒．
（1）连结AQ、DP相交于点F，求证：AQ⊥DP；
（2）当正方形边长为4，而t=3时，求tan∠QDF的值．

23．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C（0，3）．且点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（3，0），点P是抛物线上第一象限内的一个点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）连PO、PB，如果把△POB沿OB翻转，所得四边形POP′B恰为菱形，那么在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△QAB与△POB相似？若存在求出点Q的坐标；若不存在，说明理由；
（3）若（2）中点Q存在，指出△QAB与△POB是否位似？若位似，请直接写出其位似中心的坐标．


广东省深圳市罗湖区九年级上学期期末数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分，每小题给出的四个选项中，其中只有一项是正确的
1．一元二次方程（x﹣1）（x﹣2）=0的解是（ ）
A．x=1B．x=2C．x1=1，x2=2D．x1=﹣1，x2=﹣2
【考点】解一元二次方程-因式分解法．
【专题】计算题．
【分析】利用因式分解法解方程．
【解答】解：x﹣1=0或x﹣2=0，
所以x1=1，x2=2．
故选C．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．

2．如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、C的中点，则S△ADE：S△ABC=（ ）
A．1：2B．1：3C．1：4D．1：5
【考点】相似三角形的判定与性质；三角形中位线定理．
【分析】证出DE是△ABC的中位线，由三角形中位线定理得出DE∥BC，DE=BC，证出△ADE∽△ABC，由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得出结论．
【解答】解：∵点D、E分别是AB、C的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE=BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴S△ADE：S△ABC=（）2=；
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理；熟练掌握三角形中位线定理，证明三角形相似是解决问题的关键．

3．如图，平行四边形、矩形、菱形、正方形的包含关系可用如图表示，则图中阴影部分所表示的图形是（ ）
A．矩形B．菱形C．矩形或菱形D．正方形
【考点】多边形．
【分析】根据正方形、平行四边形、菱形和矩形的定义或性质逐个进行分析，即可得出答案．
【解答】解：正方形是特殊的矩形，即是邻边相等的矩形，
也是特殊的菱形，即有是一个角为直角的菱形；
正方形、矩形和菱形都是特殊的平行四边形，
故图中阴影部分表示的图形是正方形．
故选：D．
【点评】此题主要考查学生对正方形、平行四边形、菱形和矩形的包含关系的理解和掌握，解答此题的关键是熟练掌握这四种图形的性质．

4．在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=c，则sinA=（ ）
A．B．C．D．
【考点】锐角三角函数的定义．
【分析】根据正弦的定义解答即可．
【解答】解：sinA==，
故选：B．
【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．

5．小亮根据取x的值为：1.1，1.2，1.3，1.4，1.5时，代入x2﹣12x﹣15求值，估算一元二次方程的解（ ）
A．1.1＜x＜1.2B．1.2＜x＜1.3C．1.3＜x1.4D．1.4＜x＜1.5
【考点】估算一元二次方程的近似解．
【分析】由表格可发现y的值﹣0.59和0.84最接近0，再看对应的x的值即可得．
【解答】解：由表可以看出，当x取1.1与1.2之间的某个数时，y=0，即这个数是x2﹣12x﹣15=0的一个根．
x2﹣12x﹣15=0的一个解x的取值范围为1.1＜x＜1.2．
故选：A．
【点评】本题考查了估算一元二次方程的近似解，正确估算是建立在对二次函数图象和一元二次方程关系正确理解的基础上的．

6．如图，在2×2的正方形网格中有9个格点，已经取定点A、B、C，在余下的6个点中任取一点P，满足△ABP与△ABC相似的概率是（ ）
A．B．C．D．
【考点】概率公式；相似三角形的判定．
【分析】找到可以使△ABP与△ABC相似的点，根据概率公式解答即可．
【解答】解：满足△ABP与△ABC相似的点有3个，
所以满足△ABP与△ABC相似的概率是．
故选A．
【点评】本题考查了概率公式：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．

7．对于抛物线y=﹣3（x﹣2）2+1，下列说法中错误的是（ ）
A．抛物线开口向下B．对称轴是直线x=2
C．顶点坐标是（2，1）D．抛物线与x轴没有交点
【考点】二次函数的性质．
【分析】根据抛物线的解析式，由a的值可得到开口方向，由顶点式可以得到顶点坐标和对称轴，根据抛物线所处的位置即可确定与x轴的交点情况．
【解答】解：∵抛物线y=﹣3（x﹣2）2+1，
∴a=﹣3＜0，抛物线的开口向下，故选项A错误；
顶点坐标是（2，1），则对称轴为直线x=2，故选项B、C错误；
∵顶点在第一象限，开口向下，
∴抛物线与x轴有两个交点，故选项D正确；
故选D．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是根据二次函数的解析式可以得到开口方向、对称轴、顶点坐标．

8．如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的侧面积是（ ）
A．12πcm2B．8πcm2C．6πcm2D．3πcm2
【考点】由三视图判断几何体；圆柱的计算．
【分析】首先判断出该几何体，然后计算其面积即可．
【解答】解：观察三视图知：该几何体为圆柱，高为3cm，底面直径为2cm，
侧面积为：πdh=2×3π=6π，
故选C．
【点评】本题考查了由三视图判断几何体及圆柱的计算，解题的关键是首先判断出该几何体．

9．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D，下列结论正确的有（ ）
①AD=BD=BC；②△BCD≌△ABC；③AD2=AC•DC；④点D是AC的黄金分割点．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；黄金分割．
【分析】在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D，可推出△BCD，△ABD为等腰三角形，可得AD=BD=BC，①正确；由三角形的面积公式得出②正确；利用三角形相似的判定与性质得出③④正确，即可得出结果．
【解答】解：①由AB=AC，∠A=36°，得∠ABC=∠C=72°，
又BD平分∠ABC交AC于点D，
∴∠ABD=∠CBD=∠ABC=36°=∠A，
∴AD=BD，
∠BDC=∠ABD+∠A=72°=∠C，
∴BC=BD，
∴BC=BD=AD，
∴①正确；
②∵△BCD是△ABC的一部分，
∴②错误；
③由①知：∠CBD=∠A，
∵∠C=∠C，
∴△BCD∽△ACB，
∴BC：AC=CD：BC，
∴BC2=CD•AC，
∵AD=BD=BC，AD2=CD•AC，
∴③正确；
④设AD=x，则AC=AB=1，CD=AC﹣AD=1﹣x，
由AD2=CD•AC，得x2=（1﹣x），
解得x=±﹣1（舍去负值），
∴AD=，
∴④正确．
正确的有3个．
故选C．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，相似三角形判定与性质．明确图形中的三个等腰三角形的特点与关系是解决问题的关键．

10．如图，A、D是电线杆AB上的两个瓷壶，AC和DE分别表示太阳光线，若某一时刻线段AD在地面上的影长CE=1m，BD在地面上的影长BE=3m，瓷壶D到地面的距离DB=20m，则电线杆AB的高为（ ）
A．15mB．mC．21mD．m
【考点】相似三角形的应用．
【分析】根据阳光是平行的得到△BDE∽△BAC，利用相似三角形对应边成比例得到关于AB的比例式，再代入数据求解即可．
【解答】解：∵太阳光线是平行的，
∴AC∥DE，
∴△BDE∽△BAC，
∴，
∵BE=3m，CE=1m，
∴BC=4m，
∴，
解得：AB=．
故选：B．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形，难度不大．

11．如图，将n个边长都为2的正方形按如图所示摆放，点A1，A2，…An分别是正方形的中心，则这n个正方形重叠部分的面积之和是（ ）
A．nB．n﹣1C．4（n﹣1）D．4n
【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．
【分析】根据题意可得，阴影部分的面积是正方形的面积的，已知两个正方形可得到一个阴影部分，则n个这样的正方形重叠部分即为（n﹣1）个阴影部分的和．
【解答】解：由题意可得一个阴影部分面积等于正方形面积的，即是×4=1，
n个这样的正方形重叠部分的面积和为：1×（n﹣1）=n﹣1．
故选：B．
【点评】此题考查了正方形的性质，解决本题的关键是得到n个这样的正方形重叠部分的面积和的计算方法，难点是求得一个阴影部分的面积．

12．如图，点A在双曲线y=上，且OA=4，过点A作AC⊥x轴，垂足为C，OA的垂直平分线交OC于点B，如果AB+BC﹣AC=2，则k的值为（ ）
A．8﹣2B．8+2C．3D．6
【考点】勾股定理；反比例函数图象上点的坐标特征；线段垂直平分线的性质．
【分析】首先设点A的坐标为（x，y），由OA=4，可得x2+y2=16①，由题意得出x﹣y=2②，由①②得出xy=6，即可得出结果．
【解答】解：设点A的坐标为（x，y），
∵OA=4，
∴x2+y2=16①，
∵OA的垂直平分线交OC于B，
∴AB=OB，
∵AB+BC﹣AC=OB+BC+AC=OC+AC=x﹣y=2②，
由①②得：xy=6，
∵点A在双曲线y=上，
∴k=6．
故选：D．
【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及反比例函数的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．

二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分
13．在某校组织的知识竞赛中共有三种试题，其中语文类4题，综合类8题，数学类若干题．已知从中随机抽取一题，是数学类的概率是，则数学类有 24 题．
【考点】概率公式．
【分析】首先设数学类有x题，由在某校组织的知识竞赛中共有三种试题，其中语文类4题，综合类8题，数学类若干题，由概率公式可得：=，继而求得答案．
【解答】解：设数学类有x题．
根据题意得：=，
解得：x=24，
经检验，x=24是原分式方程的解，
故数学类有24题．
故答案为：24．
【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

14．如图，小明在A时测得某树的影长为2m，B时又测得该树的影长为8m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为 4 m．
【考点】平行投影；相似三角形的应用．
【专题】计算题．
【分析】根据题意，画出示意图，易得：Rt△EDC∽Rt△CDF，进而可得=；即DC2=ED•FD，代入数据可得答案．
【解答】解：如图：过点C作CD⊥EF，
由题意得：△EFC是直角三角形，∠ECF=90°，
∴∠EDC=∠CDF=90°，
∴∠E+∠ECD=∠ECD+∠DCF=90°，
∴∠E=∠DCF，
∴Rt△EDC∽Rt△CDF，
有=；即DC2=ED•FD，
代入数据可得DC2=16，
DC=4；
故答案为：4．
【点评】本题通过投影的知识结合三角形的相似，求解高的大小；是平行投影性质在实际生活中的应用．

15．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是直线x=1，若点P（4，0）在该抛物线上，则一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为 ﹣2和4 ．
【考点】抛物线与x轴的交点．
【分析】根据抛物线的对称性求出抛物线与x轴的另一个交点的坐标，根据二次函数与一元二次方程的关系解答即可．
【解答】解：∵抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是直线x=1，点P（4，0），
∴另一个交点坐标为（﹣2，0），
∴一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为﹣2和4，
故答案为：﹣2和4．
【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点的求法，掌握二次函数的性质以及二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y=0，即ax2+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标是解题的关键．

16．如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R在DE上，且DR：RE=5：4，BR分别与AC、CD相交于点P、Q，则BP：PQ：PQ= 7：2：5 ．
【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
【分析】用平行四边形的性质得到平行，可得到PB=PR，，且DR：RE=5：4，代入可得到QR和PQ之间的关系，结合BP=PR=PQ+QR=PQ，可得到答案．
【解答】解：∵四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，
∴BC=AD=CE，AC∥DE，
∴PB=PR，，
又∵PC∥DR，
∴△PCQ∽△RDQ，
∴，
∵DR：RE=5：4，
∴RE=DR，
∴=，
∴QR=PQ，
又∵BP=PR=PQ+QR=PQ，
∴BP：PQ：QR=7：2：5，
故答案为：7：2：5．
【点评】本题主要考查平行线分线段成比例的性质及平行四边形的性质，由条件得到QR=PQ，BP=PQ，是解题的关键．

三、解答题：本题共7小题，其中第17小题6分，第18小题6分，第19小题7分，第20小题7分，第21小题8分，第22小题8分，第23小题10分，共52分
17．计算：|﹣|+sin45°﹣（）﹣1﹣（π﹣3）0．
【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．
【专题】计算题；实数．
【分析】原式第一项利用绝对值的代数意义化简，第二项利用特殊角的三角函数值计算，第三项利用负整数指数幂法则计算，最后一项利用零指数幂法则计算即可得到结果．
【解答】解：原式=+×﹣3﹣2=﹣2﹣．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

18．如图，把带有指针的圆形转盘A、B分别分成4等份、3等份的扇形区域，并在每一个小区域内标上数字（如图所示）．小明、小乐两个人玩转盘游戏，游戏规则是：同时转动两个转盘，当转盘停止时，若指针所指两区域的数字之积为3的倍数，则小明胜；否则，小乐胜．（若有指针落在分割线上，则无效，需重新转动转盘）
（1）试用列表或画树状图的方法，求小明获胜的概率；
（2）请问这个游戏规则对小明、小乐双方公平吗？做出判断并说明理由．
【考点】游戏公平性；列表法与树状图法．
【分析】（1）列举出所有情况，看指针所指两区域的数字之积为3的倍数的情况占总情况的多少，即可求得小明胜的概率；
（2）由（1）进而求得小乐胜的概率，比较两个概率即可得出游戏是否公平．
【解答】解：（1）根据题意画图如下：
共有12种情况，指针所指两区域的数字之积为3的倍数的有5种情况，则小明胜的概率是；
（2）由（1）得乐乐胜的概率为1﹣=，两人获胜的概率不相同，所以游戏不公平．
【点评】此题考查了概率的公平性，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=，注意本题是放回实验．解决本题的关键是得到相应的概率，概率相等就公平，否则就不公平．

19．如图，一次函数的图象与反比例函数y=的图象交于点A（m，6）和点B（4，﹣3）．
（1）求反比例函数的表达式和点A的坐标；
（2）根据图象回答，x在什么范围时，一次函数的值大于反比例函数的值．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】（1）根据k=xy=6m=4×（﹣3），求k、m的值即可求得；
（2）找到一次函数图象在反比例函数图象之上的x的取值范围即可．
【解答】解：（1）由反比例函数解析式可知，k=xy=6m=4×（﹣3），解得k=﹣12，m=﹣2，
∴反比例函数解析式为y=﹣，A（﹣2，6）．
（2）一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围为：x＜﹣2或0＜x＜4．
【点评】本题主要考查了待定系数法求反比例函数，一次函数和反比例函数的交点，函数与不等式的关系．这里体现了数形结合的思想．

20．人民公园划出一块矩形区域，用以栽植鲜花．
（1）经测量，该矩形区域的周长是72m，面积为320m2，请求出该区域的长与宽；
（2）公园管理处曾设想使矩形的周长和面积分别为（1）中区域的周长和面积的一半，你认为此设想合理吗？如果此设想合理，请求出其长和宽；如果不合理，请说明理由，并求出在（1）中周长减半的条件下矩形面积的最大值．
【考点】一元二次方程的应用；二次函数的应用．
【专题】几何图形问题．
【分析】（1）设矩形的一边长为x，则另一边的长为36﹣x米，利用矩形的面积计算方法列出方程求解即可；
（2）设矩形的一边长为y，根据题意得矩形的另一边的长为（18﹣y）米，利用矩形的面积计算方法列出方程后用根的判别式进行判断即可．
【解答】解：（1）设矩形的一边长为x，则另一边的长为36﹣x米，根据题意得：
x（36﹣x）=320，
解得：x=20或x=16，
答：矩形的长和宽分别为20米和16米；
（2）设矩形的一边长为y，根据题意得矩形的另一边的长为（18﹣y）米，
根据题意得：y（18﹣y）=160，
整理得：y2﹣18y+160=0，
∵△=b2﹣4ac=（﹣18）2﹣4×160=﹣316＜0，
∴此设想不合理．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意表示出矩形的长和宽，从而根据矩形的面积的计算方法列出方程求解．

21．如图，某测量员测量公园内一棵树DE的高度，他们在这棵树左侧一斜坡上端点A处测得树顶端D的仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为60°．已知A点的高度AB为3米，台阶AC的坡度为1：（即AB：BC=1：），且B、C、E三点在同一条直线上．
（1）求斜坡AC的长；
（2）请根据以上条件求出树DE的高度（侧倾器的高度忽略不计）．
【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题；解直角三角形的应用-坡度坡角问题．
【分析】过点A作AF⊥DE于F，可得四边形ABEF为矩形，设DE=x，在Rt△DCE和Rt△ABC中分别表示出CE，BC的长度，求出DF的长度，然后在Rt△ADF中表示出AF的长度，根据AF=BE，代入解方程求出x的值即可．
【解答】解：如图，过点A作AF⊥DE于F，
则四边形ABEF为矩形，
∴AF=BE，EF=AB=3米，
设DE=x，
在Rt△CDE中，CE==x，
在Rt△ABC中，
∵=，AB=3，
∴BC=3，
在Rt△AFD中，DF=DE﹣EF=x﹣3，
∴AF==（x﹣3），
∵AF=BE=BC+CE，
∴（x﹣3）=3+x，
解得x=9．
答：树高为9米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是正确的构造直角三角形并选择正确的边角关系解直角三角形，难度一般．

22．如图，正方形ABCD中，P、Q分别是边AB、BC上的两个动点，P、Q同时分别从A、B出发，点P沿AB向B运动；点Q沿BC向C运动，速度都是1个单位长度/秒．运动时间为t秒．
（1）连结AQ、DP相交于点F，求证：AQ⊥DP；
（2）当正方形边长为4，而t=3时，求tan∠QDF的值．
【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．
【分析】（1）根据正方形的性质得到AB=AD，∠BAD=∠B=90°，推出△ADP≌△ABQ，由全等三角形的性质得到∠BAQ=∠ADP，根据余角的性质即可得到结论；
（2）根据勾股定理得到PD=AQ=5，推出△APF∽△ADP，根据相似三角形的性质得到，求得PF=，得到DF=，同理得到AF=，求得FQ=，根据三角函数的定义即可得到结论．
【解答】解：（1）在正方形ABCD中，
∵AB=AD，∠BAD=∠B=90°，
由题意得：AP=BQ，
在△ADP与△ABQ中，，
∴△ADP≌△ABQ，
∴∠BAQ=∠ADP，
∵∠PAF+∠DAF=90°，
∴∠DAF+∠ADF=90°，
∴∠AFD=90°，
∴AQ⊥DP；
（2）∵正方形边长为4，而t=3时，
∴AD=AB=4，AP=BQ=3，
∴PD=AQ=5，
∵∠PAF=∠ADP，∠AFP=∠PAD=90°，
∴△APF∽△ADP，
∴，
∴PF=，
∴DF=，
∵∠AFP=∠AFD=90°，
∴△APF∽△ADF，
∴，
∴AF=，
∴FQ=，
∴tan∠QDF==．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．

23．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C（0，3）．且点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（3，0），点P是抛物线上第一象限内的一个点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）连PO、PB，如果把△POB沿OB翻转，所得四边形POP′B恰为菱形，那么在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△QAB与△POB相似？若存在求出点Q的坐标；若不存在，说明理由；
（3）若（2）中点Q存在，指出△QAB与△POB是否位似？若位似，请直接写出其位似中心的坐标．
【考点】二次函数综合题；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的性质；位似变换．
【专题】综合题．
【分析】（1）点A、B、C的坐标已知，只需运用待定系数法就可求出抛物线的解析式；
（2）由四边形POP′B为菱形可得PO=PB，从而有∠POB=∠PBO．由点Q在抛物线的对称轴上可得QA=QB，从而有∠QAB=∠QBA．由△QAB与△POB相似可得∠PBO=∠QBA，从而可得点Q、P、B共线．由PO=PB可得点P在OB的垂直平分线上，从而可得xP=，代入抛物线即可求出点P的坐标，设直线PB的解析式为y=mx+n，运用待定系数法就可求出直线PB的解析式．由抛物线的对称轴方程可得到点Q的横坐标，代入直线PB的解析式，即可得到点Q的坐标；
（3）观察图象，易知△QAB与△POB位似，位似中心即为点B，由此可得到位似中心的坐标．
【解答】解：（1）∵A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）在抛物线y=ax2+bx+c上，
∴，
解得．
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3；
（2）在抛物线的对称轴上存在点Q，使△QAB与△POB相似，如图所示．
∵四边形POP′B为菱形，
∴PO=PB，
∴∠POB=∠PBO．
∵点Q在抛物线的对称轴上，
∴QA=QB，
∴∠QAB=∠QBA．
由△QAB与△POB相似可得∠PBO=∠QBA，
∴点Q、P、B共线．
∵PO=PB，
∴点P在OB的垂直平分线上，
∴xP=，
此时yP=﹣（）2+2×+3=，
点P的坐标为（，）．
设直线PB的解析式为y=mx+n，
则有，
解得．
∴直线PB的解析式为y=﹣x+．
∵抛物线的对称轴为x=﹣=1，
∴xQ=1，yQ=﹣×1+=5，
∴点Q的坐标为（1，5）．
（3）△QAB与△POB位似，位似中心为点B，点B的坐标为（3，0）．
【点评】本题主要考查了运用待定系数法求抛物线的解析式及直线的解析式、抛物线的对称性、菱形的性质、相似三角形的性质、图形的位似等知识，证到点Q、P、B共线是解决第（2）小题的关键． x
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
x2+12x﹣15
﹣.59
0.84
2.29
3.76
5.25
x
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
x2+12x﹣15
﹣.59
0.84
2.29
3.76
5.25