北师大版九年级下册1 二次函数学案设计

二次函数y=ax2(a≠0)的图象与性质—知识讲解（基础）

【学习目标】

1．经历探索二次函数y=ax2和y=ax2＋c的图象的作法和性质的过程，进一步获得将表格、表达式、图象三者联系起来的经验．

2．会作出y=ax2和y=ax2＋c的图象，并能比较它们与y=x2的异同，理解a与c对二次函数图象的影响．

3．能说出y=ax2＋c与y=ax2图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．

4．体会二次函数是某些实际问题的数学模型．

【要点梳理】

要点一、二次函数y=ax2（a≠0）的图象与性质

1.二次函数y=ax2(a≠0)的图象

二次函数y=ax2的图象（如图），是一条关于y轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线.     

抛物线y=ax2（a≠0）的对称轴是y轴，它的顶点是坐标原点.当a＞ 0时，抛物线的开口向上，顶点是它的最低点；当a＜0时，抛物线的开口向下，顶点是它的最高点.

2.二次函数y=ax2(a≠0)的图象的画法——描点法

描点法画图的基本步骤：列表、描点、连线.

（1）列表：选择自变量取值范围内的一些适当的x的值，求出相应的y值，填入表中.（自变量x的值写在第一行，其值从左到右，从小到大.） 

（2）描点：以表中每对x和y的值为坐标，在坐标平面内准确描出相应的点.一般地，点取的越多，图象就越准确.

（3）连线：按照自变量的值由小到大的顺序，把所描的点用平滑的曲线连结起来.

要点诠释：

（1）用描点法画二次函数y=ax2（a≠0）的图象时，应在顶点的左、右两侧对称地选取自变量x的值，然后计算出对应的y值.

（2）二次函数y=ax2(a≠0)的图象，是轴对称图形，对称轴是y轴．y=ax2(a≠0)是最简单的二次函数.

（3）画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.

3.二次函数y=ax2(a≠0)的图象的性质

二次函数y=ax2（a≠0）的图象的性质，见下表：

要点诠释：
    顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. │a│相同，抛物线的开口大小、形状相同.

│a│越大，开口越小，图象两边越靠近y轴，│a│越小，开口越大，图象两边越靠近x轴.

要点二、二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象与性质

1.二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象

（1）

（2）

2.二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象的性质

关于二次函数的性质，主要从抛物线的开口方向、顶点、对称轴、函数值的增减性以及函数的最大值或最小值等方面来研究．下面结合图象，将其性质列表归纳如下：

【典型例题】

类型一、二次函数y=ax2（a≠0）的图象与性质

1．(2020秋•青海校级月考）二次函数y=ax2与直线y=2x﹣1的图象交于点P（1，m）

（1）求a，m的值；

（2）写出二次函数的表达式，并指出x取何值时该表达式y随x的增大而增大？

（3）写出该抛物线的顶点坐标和对称轴．

【思路点拨】（1）把点P（1，m）分别代入二次函数y=ax2与直线y=2x﹣1即可求出未知数的值；

（2）把a代入二次函数y=ax2与即可求出二次函数表达式；

根据二次函数的对称轴及增减性判断出x的取值．

（3）根据二次函数的性质直接写出即可．

【答案与解析】解：（1）点P（1，m）在y=2x﹣1的图象上

∴m=2×1﹣1=1代入y=ax2

∴a=1

（2）二次函数表达式：y=x2

因为函数y=x2的开口向上，对称轴为y轴，当x＞0时，y随x的增大而增大；

（3）y=x2的顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴．

【总结升华】本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，及二次函数的增减性．

举一反三：

【变式1】二次函数与的形状相同，开口大小一样，开口方向相反，则        ．

【答案】2.

【变式2】（2020•山西模拟）抛物线y=﹣x2不具有的性质是（　　）．

A.开口向上                                B. 对称轴是y轴   

  C. 在对称轴的左侧，y随x的增大而增大     D. 最高点是原点

【答案】A.

2．已知y=(m+1)x是二次函数且其图象开口向上,求m的值和函数解析式.

【思路点拨】根据二次函数的定义以及函数y=ax2（a≠0）的图象性质来解答.

【答案与解析】

由题意，，解得m=1，

   ∴二次函数的解析式为：y=.

【总结升华】本题中二次函数还应该有m+1≠0的限制条件，但当时，一定存在m+1≠0，所以就不再考虑了.

类型二、二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象与性质

3．求下列抛物线的解析式：

（1）与抛物线形状相同，开口方向相反，顶点坐标是（0，-5）的抛物线；

（2）顶点为（0，1），经过点（3，-2）并且关于y轴对称的抛物线．

【思路点拨】抛物线形状相同则相同，再由开口方向可确定的符号，由顶点坐标可确定c的值，从而确定抛物线的解析式．

【答案与解析】

（1）由于待求抛物线形状相同，开口方向相反，可知二次项系数为，

又顶点坐标是（0，-5），故常数项，所以所求抛物线为．

（2）因为抛物线的顶点为（0，1），所以其解析式可设为，

又∵该抛物线过点（3，-2），∴，解得． 

∴所求抛物线为．

【总结升华】本题考察函数的基本性质，并考察待定系数法求简单函数的解析式.

4．在同一直角坐标系中，画出和的图象，并根据图象回答下列问题．

(1)抛物线向________平移________个单位得到抛物线；

    (2)抛物线开口方向是________，对称轴为________，顶点坐标为________；

(3)抛物线，当x________时，随x的增大而减小；当x________时，函数y有最________值，其最________值是________．

【思路点拨】利用描点法画出函数图象，根据图象进行解答.

【答案与解析】函数与的图象如图所示：

 (1)下； l ；   (2)向下； y轴； (0，1)；    (3)＞0； ＝0； 大； 大 ； 1.

【总结升华】

本例题把函数与函数的图象放在同一直角坐标系中进行对比，易得出二次函数与的图象形状相同，只是位置上下平移的结论．可以看作是把的图象向上或向下平移个单位得到的．

举一反三：

【变式】函数可以由怎样平移得到？

【答案】向上平移1个单位.