广东省深圳市北师大附中中考数学二模试卷

这是一份广东省深圳市北师大附中中考数学二模试卷，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
广东省深圳市北师大附中中考数学二模试卷
　
一、选择题（每小题3分，共36分）
1．（3分）﹣2的相反数是（　　）
A． B．﹣ C．2 D．﹣2
2．（3分）太阳的半径约为696000km，把696000这个数用科学记数法表示为（　　）
A．6.96×103 B．69.6×105 C．6.96×105 D．6.96×106
3．（3分）不等式组的解集是（　　）
A．﹣2≤x≤1 B．﹣2＜x＜1 C．x≤﹣1 D．x≥2
4．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．a3÷a2=a3•a﹣2 B． C．2a2+a2=3a4 D．（a﹣b）2=a2﹣b2
5．（3分）如图所示的几何体是由一些小立方块搭成的，则这个几何体的俯视图是（　　）

A． B． C． D．
6．（3分）一副三角板有两个直角三角形，如图叠放在一起，则∠α的度数是（　　）

A．165° B．120° C．150° D．135°
7．（3分）在△ABC中，∠C=90°，BC=4cm，AC=3cm，把△ABC绕点A顺时针旋转90°后，得到△A1B1C1（如图所示），则线段AB所扫过的面积为（　　）

A．5 B．πcm2 C．πcm2 D．5πcm2
8．（3分）已知m，n是关于x的一元二次方程x2﹣3x+a=0的两个解，若（m﹣1）（n﹣1）=﹣6，则a的值为（　　）
A．﹣10 B．4 C．﹣4 D．10
9．（3分）2010年3月份，某市市区一周空气质量报告中某项污染指数的数据是：31，35，31，34，30，32，31，这组数据的中位数、众数分别是（　　）
A．32，31 B．31，32 C．31，31 D．32，35
10．（3分）在平面直角坐标系中，已知点E（﹣4，2），F（﹣2，﹣2），以原点O为位似中心，相似比为，把△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标是（　　）
A．（﹣2，1） B．（﹣8，4） C．（﹣8，4）或（8，﹣4） D．（﹣2，1）或（2，﹣1）
11．（3分）如图，有一矩形纸片ABCD，AB=6，AD=8，将纸片折叠使AB落在AD边上，折痕为AE，再将△ABE以BE为折痕向右折叠，AE与CD交于点F，则的值是（　　）

A．1 B． C． D．
12．（3分）小轩从如图所示的二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象中，观察得出了下面五条信息：
①ab＞0；②a+b+c＜0；③b+2c＞0；④a﹣2b+4c＞0；⑤．
你认为其中正确信息的个数有（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
　
二、填空题（每小题3分，共12分）
13．（3分）分解因式：ax2+2ax﹣3a=　　．
14．（3分）用半径为10cm，圆心角为216°的扇形做成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为　　cm．
15．（3分）如图，两建筑物的水平距离BC为18m，从A点测得D点的俯角α为30°，测得C点的俯角β为60°．则建筑物CD的高度为　　m（结果不作近似计算）．

16．（3分）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，BC=3AB，A，B两点的坐标分别是（﹣1，0），（0，2），C，D两点在反比例函数y=（x＜0）的图象上，则k的值等于　　．

　
三、计算题（17题5分，18题6分，共11分）
17．（5分）计算：|﹣2|+20100﹣（﹣）﹣1+3tan30°．
18．（6分）先化简，后求值：，其中a=3．
　
四、解答题（19题7分，20题7分，21题9分，22题9分，23题9分，共41分）
19．（7分）某中学九（1）班为了了解全班学生喜欢球类活动的情况，采取全面调查的方法，从足球、乒乓球、篮球、排球等四个方面调查了全班学生的兴趣爱好，根据调查的结果组建了4个兴趣小组，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图（如图①，②，要求每位学生只能选择一种自己喜欢的球类），请你根据图中提供的信息解答下列问题：

（1）九（1）班的学生人数为　　，并把条形统计图补充完整；
（2）扇形统计图中m=　　，n=　　，表示“足球”的扇形的圆心角是　　度；
（3）排球兴趣小组4名学生中有3男1女，现在打算从中随机选出2名学生参加学校的排球队，请用列表或画树状图的方法求选出的2名学生恰好是1男1女的概率．
20．（7分）如图，四边形ABCD是边长为a的正方形，点G、E分别是边AB、BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平方线CF于点F．
（1）证明：△AGE≌△ECF；
（2）求△AEF的面积．

21．（9分）某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．
（1）不妨设该种品牌玩具的销售单价为x元（x＞40），请你分别用x的代数式来表示销售量y件和销售该品牌玩具获得利润w元，并把结果填写在表格中：
销售单价（元）
x
销售量y（件）
　　
销售玩具获得利润w（元）
　　
（2）在（1）问条件下，若商场获得了10000元销售利润，求该玩具销售单价x应定为多少元．
（3）在（1）问条件下，若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？
22．（9分）如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的圆O与AD、AC分别交于点E、F，且∠ACB=∠DCE．
（1）判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若tan∠ACB=，BC=2，求⊙O的半径．

23．（9分）如图，已知抛物线经过原点o和x轴上一点A（4，0），抛物线顶点为E，它的对称轴与x轴交于点D．直线y=﹣2x﹣1经过抛物线上一点B（﹣2，m）且与y轴交于点C，与抛物线的对称轴交于点F．
（1）求m的值及该抛物线对应的解析式；
（2）P（x，y）是抛物线上的一点，若S△ADP=S△ADC，求出所有符合条件的点P的坐标；
（3）点Q是平面内任意一点，点M从点F出发，沿对称轴向上以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设点M的运动时间为t秒，是否能使以Q、A、E、M四点为顶点的四边形是菱形．若能，请直接写出点M的运动时间t的值；若不能，请说明理由．

　

深圳市北师大附中中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
　
一、选择题（每小题3分，共36分）
1．（3分）﹣2的相反数是（　　）
A． B．﹣ C．2 D．﹣2
【解答】解：﹣2的相反数是2，
故选：C．
　
2．（3分）太阳的半径约为696000km，把696000这个数用科学记数法表示为（　　）
A．6.96×103 B．69.6×105 C．6.96×105 D．6.96×106
【解答】解：将696000用科学记数法表示为6.96×105．
故选C．
　
3．（3分）不等式组的解集是（　　）
A．﹣2≤x≤1 B．﹣2＜x＜1 C．x≤﹣1 D．x≥2
【解答】解：，
由①得，x≥﹣2；
由②得，x≤1；
故不等式组的解集为﹣2≤x≤1．
故选A．
　
4．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．a3÷a2=a3•a﹣2 B． C．2a2+a2=3a4 D．（a﹣b）2=a2﹣b2
【解答】解：A、a3÷a2=a3•a﹣2，计算正确，故本选项正确；
B、=|a|，计算错误，故本选项错误；
C、2a2+a2=3a2，计算错误，故本选项错误；
D、（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2，计算错误，故本选项错误；
故选A．
　
5．（3分）如图所示的几何体是由一些小立方块搭成的，则这个几何体的俯视图是（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：从几何体上面看，是左边2个，右边1个正方形．
故选：D．
　
6．（3分）一副三角板有两个直角三角形，如图叠放在一起，则∠α的度数是（　　）

A．165° B．120° C．150° D．135°
【解答】解：给图中标上∠1、∠2，如图所示．
∵∠1+45°+90°=180°，
∴∠1=45°，
∵∠1=∠2+30°，
∴∠2=15°．
又∵∠2+∠α=180°，
∴∠α=165°．
故选A．

　
7．（3分）在△ABC中，∠C=90°，BC=4cm，AC=3cm，把△ABC绕点A顺时针旋转90°后，得到△A1B1C1（如图所示），则线段AB所扫过的面积为（　　）

A．5 B．πcm2 C．πcm2 D．5πcm2
【解答】解：∵在△ABC中，∠C=90°，BC=4cm，AC=3cm，
∴AB===5cm，
∴线段AB所扫过的面积是以点A为圆心，AB为半径，圆心角是90°扇形的面积==cm2．
故选B．
　
8．（3分）已知m，n是关于x的一元二次方程x2﹣3x+a=0的两个解，若（m﹣1）（n﹣1）=﹣6，则a的值为（　　）
A．﹣10 B．4 C．﹣4 D．10
【解答】解：根据题意得：m+n=3，mn=a，
∵（m﹣1）（n﹣1）=mn﹣（m+n）+1=﹣6，
∴a﹣3+1=﹣6，
解得：a=﹣4．
故选C
　
9．（3分）2010年3月份，某市市区一周空气质量报告中某项污染指数的数据是：31，35，31，34，30，32，31，这组数据的中位数、众数分别是（　　）
A．32，31 B．31，32 C．31，31 D．32，35
【解答】解：∵数据31出现了3次，最多，
∴众数为31，
∵排序后位于中间位置的数是31，
∴中位数是31，
故选C．
　
10．（3分）在平面直角坐标系中，已知点E（﹣4，2），F（﹣2，﹣2），以原点O为位似中心，相似比为，把△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标是（　　）
A．（﹣2，1） B．（﹣8，4） C．（﹣8，4）或（8，﹣4） D．（﹣2，1）或（2，﹣1）
【解答】解：∵点E（﹣4，2），以O为位似中心，相似比为，
∴点E的对应点E′的坐标为：（﹣4×，2×）或（﹣4×（﹣），2×（﹣）），
即（﹣2，1）或（2，﹣1），
故选：D．
　
11．（3分）如图，有一矩形纸片ABCD，AB=6，AD=8，将纸片折叠使AB落在AD边上，折痕为AE，再将△ABE以BE为折痕向右折叠，AE与CD交于点F，则的值是（　　）

A．1 B． C． D．
【解答】解：由题意知：AB=BE=6，BD=AD﹣AB=2，AD=AB﹣BD=4；
∵CE∥AB，
∴△ECF∽△ADF，
得=，
即DF=2CF，所以CF：CD=1：3；
故选C．
　
12．（3分）小轩从如图所示的二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象中，观察得出了下面五条信息：
①ab＞0；②a+b+c＜0；③b+2c＞0；④a﹣2b+4c＞0；⑤．
你认为其中正确信息的个数有（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【解答】解：①如图，∵抛物线开口方向向下，∴a＜0．
∵对称轴x=﹣=﹣，∴b=a＜0，
∴ab＞0．故①正确；

②如图，当x=1时，y＜0，即a+b+c＜0．
故②正确；

③如图，当x=﹣1时，y=a﹣b+c＞0，
∴2a﹣2b+2c＞0，即3b﹣2b+2c＞0，
∴b+2c＞0．
故③正确；

④如图，当x=﹣时，y＞0，即a﹣b+c＞0．
∴a﹣2b+4c＞0，
故④正确；

⑤如图，对称轴x=﹣=﹣，则．故⑤正确．
综上所述，正确的结论是①②③④⑤，共5个．
故选D．

　
二、填空题（每小题3分，共12分）
13．（3分）分解因式：ax2+2ax﹣3a=　a（x+3）（x﹣1）　．
【解答】解：ax2+2ax﹣3a=a（x2+2x﹣3）=a（x+3）（x﹣1）．
故答案为：a（x+3）（x﹣1）
　
14．（3分）用半径为10cm，圆心角为216°的扇形做成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为　8　cm．
【解答】解：如图：圆的周长即为扇形的弧长，
列出关系式解答：=2πx，
又∵n=216，r=10，
∴（216×π×10）÷180=2πx，
解得x=6，
h==8．
故答案为：8cm．

　
15．（3分）如图，两建筑物的水平距离BC为18m，从A点测得D点的俯角α为30°，测得C点的俯角β为60°．则建筑物CD的高度为　12　m（结果不作近似计算）．

【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，
则四边形BCDE是矩形，
根据题意得：∠ACB=β=60°，∠ADE=α=30°，BC=18m，
∴DE=BC=18m，CD=BE，
在Rt△ABC中，AB=BC•tan∠ACB=18×tan60°=18（m），
在Rt△ADE中，AE=DE•tan∠ADE=18×tan30°=6（m），
∴DC=BE=AB﹣AE=18﹣6=12（m）．
故答案为：12．

　
16．（3分）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，BC=3AB，A，B两点的坐标分别是（﹣1，0），（0，2），C，D两点在反比例函数y=（x＜0）的图象上，则k的值等于　﹣24　．

【解答】解：设点C坐标为（a，），（a＜0），点D的坐标为（x，y）．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC与BD的中点坐标相同，
∴（a﹣1，+0）=（x+0，y+2），
则x=a﹣1，y=，
代入y=，可得：k=2a﹣2a2 ①；
在Rt△AOB中，AB==，
∴BC=3AB=3，
故BC2=（0﹣a）2+（﹣2）2=（3）2，
整理得：a4+k2﹣4ka=41a2，
将①k=2a﹣2a2，代入后化简可得：a2=9，
∵a＜0，
∴a=﹣3，
∴k=﹣6﹣18=﹣24．
故答案为：﹣24．
方法二：
因为ABCD是平行四边形，所以点C、D是点A、B分别向左平移a，向上平移b得到的．
故设点C坐标是（﹣a，2+b），点D坐标是（﹣1﹣a，b），（a＞0，b＞0）
根据K的几何意义，|﹣a|×|2+b|=|﹣1﹣a|×|b|，
整理得2a+ab=b+ab，
解得b=2a．
过点D作x轴垂线，交x轴于H点，在直角三角形ADH中，
由已知易得AD=3，AH=a，DH=b=2a．
AD2=AH2+DH2，即45=a2+4a2，
得a=3．
所以D坐标是（﹣4，6）
所以|k|=24，由函数图象在第二象限，
所以k=﹣24．

　
三、计算题（17题5分，18题6分，共11分）
17．（5分）计算：|﹣2|+20100﹣（﹣）﹣1+3tan30°．
【解答】解：原式=2﹣+1+3+3×
=6．
　
18．（6分）先化简，后求值：，其中a=3．
【解答】解：÷
=÷
=
=
=
=
=a．
∴当a=3时，原式=3．
　
四、解答题（19题7分，20题7分，21题9分，22题9分，23题9分，共41分）
19．（7分）某中学九（1）班为了了解全班学生喜欢球类活动的情况，采取全面调查的方法，从足球、乒乓球、篮球、排球等四个方面调查了全班学生的兴趣爱好，根据调查的结果组建了4个兴趣小组，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图（如图①，②，要求每位学生只能选择一种自己喜欢的球类），请你根据图中提供的信息解答下列问题：

（1）九（1）班的学生人数为　40　，并把条形统计图补充完整；
（2）扇形统计图中m=　10　，n=　20　，表示“足球”的扇形的圆心角是　72　度；
（3）排球兴趣小组4名学生中有3男1女，现在打算从中随机选出2名学生参加学校的排球队，请用列表或画树状图的方法求选出的2名学生恰好是1男1女的概率．
【解答】解：（1）九（1）班的学生人数为：12÷30%=40（人），
喜欢足球的人数为：40﹣4﹣12﹣16=40﹣32=8（人），
补全统计图如图所示；

（2）∵×100%=10%，
×100%=20%，
∴m=10，n=20，
表示“足球”的扇形的圆心角是20%×360°=72°；
故答案为：（1）40；（2）10；20；72；

（3）根据题意画出树状图如下：

一共有12种情况，恰好是1男1女的情况有6种，
∴P（恰好是1男1女）==．
　
20．（7分）如图，四边形ABCD是边长为a的正方形，点G、E分别是边AB、BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平方线CF于点F．
（1）证明：△AGE≌△ECF；
（2）求△AEF的面积．

【解答】（1）证明：∵G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC的中点，
∴AG=GB=BE=EC，且∠AGE=180°﹣45°=135°；
又∵CF是∠DCH的平分线，
∴∠DCF=∠FCH=45°，
∠ECF=90°+45°=135°；
在△AGE和△ECF中，
；
∴△AGE≌△ECF；

（2）解：由△AGE≌△ECF，得AE=EF；
又∵∠AEF=90°，
∴△AEF是等腰直角三角形；
∵AB=a，E为BC中点，
∴BE=BC=AB=a，
根据勾股定理得：AE==a，
∴S△AEF=a2．
　
21．（9分）某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．
（1）不妨设该种品牌玩具的销售单价为x元（x＞40），请你分别用x的代数式来表示销售量y件和销售该品牌玩具获得利润w元，并把结果填写在表格中：
销售单价（元）
x
销售量y（件）
　1000﹣10x　
销售玩具获得利润w（元）
　﹣10x2+1300x﹣30000　
（2）在（1）问条件下，若商场获得了10000元销售利润，求该玩具销售单价x应定为多少元．
（3）在（1）问条件下，若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？
【解答】解：（1）
销售单价（元）
x
销售量y（件）
1000﹣10x
销售玩具获得利润w（元）
﹣10x2+1300x﹣30000
（2）﹣10x2+1300x﹣30000=10000
解之得：x1=50，x2=80
答：玩具销售单价为50元或80元时，可获得10000元销售利润，

（3）根据题意得
解之得：44≤x≤46，
w=﹣10x2+1300x﹣30000=﹣10（x﹣65）2+12250，
∵a=﹣10＜0，对称轴是直线x=65，
∴当44≤x≤46时，w随x增大而增大．
∴当x=46时，W最大值=8640（元）．
答：商场销售该品牌玩具获得的最大利润为8640元．
　
22．（9分）如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的圆O与AD、AC分别交于点E、F，且∠ACB=∠DCE．
（1）判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若tan∠ACB=，BC=2，求⊙O的半径．

【解答】解：（1）直线CE与⊙O相切．…（1分）
理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC∥AD，∠ACB=∠DAC；
又∵∠ACB=∠DCE，
∴∠DAC=∠DCE；
连接OE，则∠DAC=∠AEO=∠DCE；
∵∠DCE+∠DEC=90°
∴∠AE0+∠DEC=90°
∴∠OEC=90°，即OE⊥CE．
又OE是⊙O的半径，
∴直线CE与⊙O相切．…（5分）

（2）∵tan∠ACB==，BC=2，
∴AB=BC•tan∠ACB=，
∴AC=；
又∵∠ACB=∠DCE，
∴tan∠DCE=tan∠ACB=，
∴DE=DC•tan∠DCE=1；
方法一：在Rt△CDE中，CE==，
连接OE，设⊙O的半径为r，则在Rt△COE中，CO2=OE2+CE2，即=r2+3
解得：r=
方法二：AE=AD﹣DE=1，过点O作OM⊥AE于点M，则AM=AE=
在Rt△AMO中，OA==÷=…（9分）

　
23．（9分）如图，已知抛物线经过原点o和x轴上一点A（4，0），抛物线顶点为E，它的对称轴与x轴交于点D．直线y=﹣2x﹣1经过抛物线上一点B（﹣2，m）且与y轴交于点C，与抛物线的对称轴交于点F．
（1）求m的值及该抛物线对应的解析式；
（2）P（x，y）是抛物线上的一点，若S△ADP=S△ADC，求出所有符合条件的点P的坐标；
（3）点Q是平面内任意一点，点M从点F出发，沿对称轴向上以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设点M的运动时间为t秒，是否能使以Q、A、E、M四点为顶点的四边形是菱形．若能，请直接写出点M的运动时间t的值；若不能，请说明理由．

【解答】解：（1）∵点B（﹣2，m）在直线y=﹣2x﹣1上
∴m=﹣2×（﹣2）﹣1=4﹣1=3，
所以，点B（﹣2，3），
又∵抛物线经过原点O，
∴设抛物线的解析式为y=ax2+bx，
∵点B（﹣2，3），A（4，0）在抛物线上，
∴，
解得：．
∴抛物线的解析式为y=x2﹣x．

（2）∵P（x，y）是抛物线上的一点，
∴P（x，x2﹣x），
若S△ADP=S△ADC，
∵S△ADC=AD•OC，S△ADP=AD•|y|
又∵点C是直线y=﹣2x﹣1与y轴交点，
∴C（0，﹣1），
∴OC=1，
∴|x2﹣x|=，即x2﹣x=1或x2﹣x=﹣1，
解得：x1=2+2，x2=2﹣2，x3=x4=2，
∴点P的坐标为 P1（2+2，1），P2（2﹣2，1），P3（2，﹣1）

（3）结论：存在．如图2
∵抛物线的解析式为y=x2﹣x，
∴顶点E（2，﹣1），对称轴为x=2；
点F是直线y=﹣2x﹣1与对称轴x=2的交点，∴F（2，﹣5），DF=5．
又∵A（4，0），
∴AE=．
如右图所示，在点M的运动过程中，依次出现四个菱形：
①菱形AEM1Q1．
∵此时EM1=AE=，
∴M1F=DF﹣DE﹣DM1=4﹣，
∴t1=4﹣；
②菱形AEOM2．
∵此时DM2=DE=1，
∴M2F=DF+DM2=6，
∴t2=6；
③菱形AEM3Q3．
∵此时EM3=AE=，
∴DM3=EM3﹣DE=﹣1，
∴M3F=DM3+DF=（﹣1）+5=4+，
∴t3=4+；
④菱形AM4EQ4．
此时AE为菱形的对角线，设对角线AE与M4Q4交于点H，则AE⊥M4Q4，
∵易知△AED∽△M4EH，
∴=，
即=，得M4E=2.5，
∴DM4=M4E﹣DE=2.5﹣1=1.5，
∴M4F=DM4+DF=1.5+5=6.5，
∴t4=6.5．
综上所述，存在点M、点Q，使得以Q、A、E、M四点为顶点的四边形是菱形；时间t的值为：t1=4﹣，t2=6，t3=4+，t4=6.5．