专题21锐角三角函数及解直角三角形（基础巩固练习）解析版

2021年中考数学 专题21 锐角三角函数及解直角三角形

（基础巩固练习，共40个小题）

一、选择题（共15小题）：

1.（2020•陕西）如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为（　　）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】解：由勾股定理得：AC，

∵S△ABC＝3×33.5，

∴，

∴，

∴BD，故选：D．

2.（2019秋•龙岩期末）如图，AB＝AC，AE＝EC＝CD，∠A＝60°，若EF＝2，则DF＝（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】D

【解析】解：如图，过点E作EG⊥BC，交BC于点G

∵AB＝AC，∠A＝60°，

∴△ABC是等边三角形，

∴∠ACB＝60°，

∵EC＝CD，

∴∠CED＝∠CDE∠ACB＝30°，

∴∠AEF＝30°，

∴∠AFE＝90°，即EF⊥AB，

∵△ABC是等边三角形，AE＝CE，

∴BE平分∠ABC，

∴EG＝EF＝2，

在Rt△DEG中，DE＝2EG＝4，

∴DF＝EF+DE＝2+4＝6；

方法二、

∵AB＝AC，∠A＝60°，

∴△ABC是等边三角形，

∴∠ACB＝60°，

∵EC＝CD，

∴∠CED＝∠CDE∠ACB＝30°，

∵△ABC是等边三角形，AE＝CE，

∴BE平分∠ABC，

∴∠ABE＝∠CBE＝30°＝∠CDE，

∴BE＝DE，∠BFD＝90°，

∴BE＝2EF＝4＝DE，

∴DF＝DE+EF＝6；

故选：D．

3.（2020•柳州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝3，则cosB（　　）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝3，

∴BC，

∴cosB．故选：C．

4.（2020•杭州）如图，在△ABC中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则（　　）

A．c＝bsinB B．b＝csinB C．a＝btanB D．b＝ctanB

【答案】B

【解析】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，

∴sinB，即b＝csinB，故A选项不成立，B选项成立；

tanB，即b＝atanB，故C选项不成立，D选项不成立．故选：B．

5．（2019•无锡）已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA，BC＝4，则AB长为（　　）

A．6 B． C． D．2

【答案】A

【解析】解：如图所示：∵sinA，BC＝4，

∴sinA，

解得：AB＝6．故选：A．

6.（2020•玉林）sin45°的值是（　　）

A． B． C． D．1

【答案】B

【解析】解：sin45°．

故选：B．

7.（2020•鸡西）如图，在△ABC中，sinB，tanC＝2，AB＝3，则AC的长为（　　）

A． B． C． D．2

【答案】B

【解析】解：过A作AD⊥BC于D，则∠ADC＝∠ADB＝90°，

∵tanC＝2，sinB，

∴AD＝2DC，AB＝3AD，

∵AB＝3，

∴AD＝1，DC，

在Rt△ADC中，由勾股定理得：AC，故选：B．

8.（2019•营口）如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，AD∥BC，BCAD，AC与BD交于点E，AC⊥BD，则tan∠BAC的值是（　　）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】解：∵AD∥BC，∠DAB＝90°，

∴∠ABC＝180°﹣∠DAB＝90°，∠BAC+∠EAD＝90°，

∵AC⊥BD，

∴∠AED＝90°，

∴∠ADB+∠EAD＝90°，

∴∠BAC＝∠ADB，

∴△ABC∽△DAB，

∴，

∵BCAD，

∴AD＝2BC，

∴AB2＝BC×AD＝BC×2BC＝2BC2，

∴ABBC，

在Rt△ABC中，tan∠BAC；故选：C．

9.（2019•湘西州）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，AB的垂直平分线EF交AC于点D，连接BD，若cos∠BDC，则BC的长是（　　）

A．10 B．8 C．4 D．2

【答案】D

【解析】解：∵∠C＝90°，cos∠BDC，

设CD＝5x，BD＝7x，

∴BC＝2x，

∵AB的垂直平分线EF交AC于点D，

∴AD＝BD＝7x，

∴AC＝12x，

∵AC＝12，

∴x＝1，

∴BC＝2；故选：D．

10.（2019•长沙）如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tanA＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CDBD的最小值是（　　）

A．2 B．4

C．5 D．10

【答案】B

【解析】解：如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M．

∵BE⊥AC，

∴∠AEB＝90°，

∵tanA2，设AE＝a，BE＝2a，

则有：100＝a2+4a2，

∴a2＝20，

∴a＝2或﹣2（舍弃），

∴BE＝2a＝4，

∵AB＝AC，BE⊥AC，CM⊥AB，

∴CM＝BE＝4（等腰三角形两腰上的高相等），

∵∠DBH＝∠ABE，∠BHD＝∠BEA，

∴sin∠DBH，

∴DHBD，

∴CDBD＝CD+DH，

∴CD+DH≥CM，

∴CDBD≥4，

∴CDBD的最小值为4．

方法二：作CM⊥AB于M，交BE于点D，则点D满足题意．通过三角形相似或三角函数证得BD＝DM，从而得到CDBD＝CM＝4．

故选：B．

11.（2020•广西）如图，要测量一条河两岸相对的两点A，B之间的距离，我们可以在岸边取点C和D，使点B，C，D共线且直线BD与AB垂直，测得∠ACB＝56.3°，∠ADB＝45°，CD＝10m，则AB的长约为（　　）

（参考数据sin56.3°≈0.8，cos56.3°≈0.6，tan56.3°≈1.5，sin45°≈0.7，cos45°≈0.7，tan45°＝1）

A．15m B．30m C．35m D．40m

【答案】B

【解析】解：设AB＝xm，

在Rt△ABD中，∵∠ADB＝45°，

∴AB＝BD＝xm，

在Rt△ABC中，∵∠ACB＝56.3°，且tan∠ACB，

∴BCx，

由BC+CD＝BD得x+10＝x，

解得x＝30，

∴AB的长约为30m，

故选：B．

12.（2020•济南）如图，△ABC、△FED区域为驾驶员的盲区，驾驶员视线PB与地面BE的夹角∠PBE＝43°，视线PE与地面BE的夹角∠PEB＝20°，点A，F为视线与车窗底端的交点，AF∥BE，AC⊥BE，FD⊥BE．若A点到B点的距离AB＝1.6m，则盲区中DE的长度是（　　）

（参考数据：sin43°≈0.7，tan43°≈0.9，sin20°≈0.3，tan20°≈0.4）

A．2.6m B．2.8m C．3.4m D．4.5m

【答案】B

【解析】解：∵FD⊥EB，AC⊥EB，

∴DF∥AC，

∵AF∥EB，

∴四边形ACDF是平行四边形，

∵∠ACD＝90°，

∴四边形ACDF是矩形，

∴DF＝AC，

在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，

∴AC＝AB•sin43°≈1.6×0.7＝1.12（m），

∴DF＝AC＝1.12（m），

在Rt△DEF中，∵∠FDE＝90°，

∴tan∠E，

∴DE2.8（m），故选：B．

13.（2020•长春）比萨斜塔是意大利的著名建筑，其示意图如图所示，设塔顶中心点为点B，塔身中心线AB与垂直中心线AC的夹角为∠A，过点B向垂直中心线AC引垂线，垂足为点D．通过测量可得AB、BD、AD的长度，利用测量所得的数据计算∠A的三角函数值，进而可求∠A的大小．下列关系式正确的是（　　）

A．sinA B．cosA C．tanA D．sinA

【答案】A

【解析】解：在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，

则sinA，cosA，tanA，

因此选项A正确，选项B、C、D不正确；故选：A．

14.（2020•南充）如图，点A，B，C在正方形网格的格点上，则sin∠BAC＝（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】解：如图，过点B作BD⊥AC于D，

由勾股定理得，AB，AC3，

∵S△ABCAC•BD3•BD1×3，

∴BD，

∴sin∠BAC．故选：B．

15.（2020•重庆）如图，在距某居民楼AB楼底B点左侧水平距离60m的C点处有一个山坡，山坡CD的坡度（或坡比）i＝1：0.75，山坡坡底C点到坡顶D点的距离CD＝45m，在坡顶D点处测得居民楼楼顶A点的仰角为28°，居民楼AB与山坡CD的剖面在同一平面内，则居民楼AB的高度约为（参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）（　　）

A．76.9m B．82.1m C．94.8m D．112.6m

【答案】B

【解析】解：如图，过点D作DF⊥AB，垂足为F，作DE⊥BC交BC的延长线于点E，

由题意得，∠ADF＝28°，CD＝45m，BC＝60m，

在Rt△DEC中，

∵山坡CD的坡度i＝1：0.75，

∴，

设DE＝4x，则EC＝3x，由勾股定理可得CD＝5x，

又CD＝45，即5x＝45，

∴x＝9，

∴EC＝3x＝27（m），DE＝4x＝36（m）＝FB，

∴BE＝BC+EC＝60+27＝87（m）＝DF，

在Rt△ADF中，

AF＝tan28°×DF≈0.53×87≈46.11（m），

∴AB＝AF+FB＝46.11+36≈82.1（m），故选：B．

二、填空题（共10小题）：

16.（2020•宿迁）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC的平分线AD交BC于点D，E为AB的中点，若BC＝12，AD＝8，则DE的长为　  　．

【答案】5

【解析】解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，

∴AD⊥BC，BD＝CD＝6，

∴∠ADB＝90°，

∴AB10，

∵AE＝EB，

∴DEAB＝5，

故答案为5．

17.（2020•绥化）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB﹣AC＝2，BC＝8，则AB的长是　 　．

【答案】17

【解析】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB﹣AC＝2，BC＝8，

∴AC2+BC2＝AB2，

即（AB﹣2）2+82＝AB2，

解得AB＝17．

故答案为：17．

18.（2020•桂林）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，则cosA的值是　   　．

【答案】

【解析】解：在Rt△ABC中，cosA，故答案为：．

19.（2020•鄂尔多斯）计算：（）﹣2﹣3tan60°+（π）0＝　 　．

【答案】10

【解析】解：原式＝39﹣31＝10．故答案为：10．

20.（2020•宜昌）如图，在一个池塘两旁有一条笔直小路（B，C为小路端点）和一棵小树（A为小树位置）．测得的相关数据为：∠ABC＝60°，∠ACB＝60°，BC＝48米，则AC＝　 　米．

【答案】48

【解析】解：∵∠ABC＝60°，∠ACB＝60°，

∴∠BAC＝60°，

∴△ABC是等边三角形，

∵BC＝48米，∴AC＝48米．故答案为：48．

21.（2020•黔南州）如图所示，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝2，CD＝8．连接AC，AC⊥CD，若sin∠ACB，则AD长度是　  　．

【答案】10

【解析】解：在Rt△ABC中，

∵AB＝2，sin∠ACB，

∴AC＝26．

在Rt△ADC中，

AD ＝10．故答案为：10．

22.（2020•广西）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，sinA，点C关于直线AB的对称点为D，点E为边AC上不与点A，C重合的动点，过点D作BE的垂线交BC于点F，则的值为　   　．

【答案】

【解析】解：如图，设DF交AB于M，CD交AB于N，BE交DF于J．

∵∠ACB＝90°，

∴sinA，

∴可以假设BC＝4k，AB＝5k，则AC＝3k，

∵C，D关于AB对称，

∴CD⊥AB，CN＝DN，

∵S△ABCBC×ACAB×CN，

∴CN＝DNk，

∴CDk，

∵∠FCD+∠DCA＝90°，∠DCA+∠A＝90°，

∴∠DCF＝∠A，

∵DF⊥BE，CD⊥AB，

∴∠BJM＝∠DNM＝90°，

∵∠BMJ＝∠DMN，

∴∠D＝∠ABE，

∴△DCF∽△BAE，

∴．

23.（2020•深圳）如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，∠ABC＝∠DAC＝90°，tan∠ACB，，则　   　．

【答案】

【解析】解：如图，过点D作DM∥BC，交CA的延长线于点M，延长BA交DM于点N，

∵DM∥BC，

∴△ABC∽△ANM，△OBC∽△ODM，

∴tan∠ACB，，

又∵∠ABC＝∠DAC＝90°，

∴∠BAC+∠NAD＝90°，

∵∠BAC+∠BCA＝90°，

∴∠NAD＝∠BCA，

∴△ABC∽△DAN，

∴，

设BC＝4a，

由得，DM＝3a，

∴AB＝2a，DNa，ANa，

∴NB＝AB+AN＝2aaa，

∴．

故答案为：．

24.（2020•赤峰）如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部C的仰角是30°，测得底部B的俯角是60°，此时无人机与该建筑物的水平距离AD是9米，那么该建筑物的高度BC为　   　米（结果保留根号）．

【答案】12

【解析】解：根据题意可知：

在Rt△ADC中，∠CAD＝30°，AD＝9，

∴CD＝AD•tan30°＝93，

在Rt△ADB中，∠BAD＝60°，AD＝9，

∴BD＝AD•tan60°＝9，

∴BC＝CD+BD＝3912（米）．

答；该建筑物的高度BC为12米．

故答案为：12．

25．（2020•乐山）如图是某商场营业大厅自动扶梯示意图．自动扶梯AB的倾斜角为30°，在自动扶梯下方地面C处测得扶梯顶端B的仰角为60°，A、C之间的距离为4m．则自动扶梯的垂直高度BD＝　  　m．（结果保留根号）

【答案】2

【解析】解：∵∠BCD＝∠BAC+∠ABC，∠BAC＝30°，∠BCD＝60°，

∴∠ABC＝∠BCD﹣∠BAC＝30°，

∴∠BAC＝∠ABC，

∴BC＝AC＝4，

在Rt△BDC中，sin∠BCD，

∴sin60°，

∴BD＝2（m），

故答案为：2．

三、解答题（共15小题）：

26.（2020•青海）计算：（）﹣1+|1tan45°|+（π﹣3.14）0．

【答案】

【解析】解：原式＝3+|1|+1﹣3

＝3

．

27.（2020•呼伦贝尔）计算：（）﹣12cos60°﹣（π﹣1）0．

【答案】0

【解析】解：原式

＝0，

故答案为：0．

28.（2020秋•龙口市期末）计算：tan60°•cos30°．

【答案】

【解析】直接利用特殊角的三角函数值代入得出答案．

解：原式

＝1

．

29.（2020秋•莱州市期末）计算：2sin45°．

【答案】

【解析】直接利用特殊角的三角函数值代入得出答案．

解：原式

．

30.（2020秋•崇明区期末）计算：tan60°sin245°．

【答案】2

【解析】直接利用特殊角的三角函数值分别代入得出答案．

解：原式（）2

1

＝2．

31.（2020秋•普陀区期末）计算：cos30°﹣2sin245°．

【答案】2

【解析】直接利用特殊角的三角函数值以及二次根式的性质化简得出答案．

解：原式2×（）2

2

11

2．

32.（2020秋•肇州县期末）计算：

（1）2sin30°一3tan45°•sin45°+4cos60°；

（2）cos45°•sin60°．

【答案】(1)3；(2).

【解析】（1）把特殊角的三角函数值代入原式，根据二次根式的加减混合运算法则计算；

（2）把特殊角的三角函数值代入原式，根据二次根式的混合运算法则计算．

解：（1）2sin30°一3tan45°•sin45°+4cos60°

＝23×14

＝12

＝3；

（2）cos45°•sin60°

．

33.（2020•盐城）如图，在△ABC中，∠C＝90°，tanA，∠ABC的平分线BD交AC于点D，CD，求AB的长？

【答案】AB的长为6

【解析】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA，

∴∠A＝30°，

∴∠ABC＝60°，

∵BD是∠ABC的平分线，

∴∠CBD＝∠ABD＝30°，

又∵CD，

∴BC3，

在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，

∴AB6．

答：AB的长为6．

34.（2020•西宁）如图1，通海桥是西宁市海湖新区地标建筑，也是我省首座大规模斜拉式大桥，通海桥主塔两侧斜拉链条在夜间亮灯后犹如天鹅之翼，优雅非凡．某数学“综合与实践”小组的同学利用课余时间按照如图2所示的测量示意图对该桥进行了实地测量，测得如下数据：∠A＝30°，∠B＝45°，斜拉主跨度AB＝260米．

（1）过点C作CD⊥AB，垂足为D，求CD的长（取1.7）；

（2）若主塔斜拉链条上的LED节能灯带每米造价800元，求斜拉链条AC上灯带的总造价是多少元？

【答案】(1)CD＝91（米）；(2)斜拉链条AC上的LED节能灯带造价是145600元.

【解析】解：（1）∵CD⊥AB于点D，

∴∠ADC＝∠BDC＝90°，

设CD＝x，

在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，∠A＝30°，

∴，即，

∴，

在Rt△BDC中，∠B＝45°，

∴CD＝BD＝x，

∵AB＝AD+BD．

∴，

∴，

∴，

∴CD＝91（米）．

（2）在Rt△ADC中∠ADC＝90°，∠A＝30°，

∴AC＝2CD（直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半），

∴AC＝182，

∵LED节能灯带每米造价为800元，

∴800×182＝145600（元），

答：斜拉链条AC上的LED节能灯带造价是145600元．

35.（2020•眉山）某数学兴趣小组去测量一座小山的高度，在小山顶上有一高度为20米的发射塔AB，如图所示．在山脚平地上的D处测得塔底B的仰角为30°，向小山前进80米到达点E处，测得塔顶A的仰角为60°，求小山BC的高度．

【答案】小山BC的高度为（10+40）米

【解析】解：设BC为x米，则AC＝（20+x）米，

由条件知：∠DBC＝∠AEC＝60°，DE＝80米．

在直角△DBC中，tan60°，则DCx米．

∴CE＝（x﹣80）米．

在直角△ACE中，tan60°．

解得x＝10+40．

答：小山BC的高度为（10+40）米．

36.（2020•吉林）如图，某班数学小组测量塔的高度，在与塔底部B相距35m的C处，用高1.5m的测角仪CD测得该塔顶端A的仰角∠EDA为36°．求塔AB的高度（结果精确到1m）．

（参考数据：sin36°＝0.59，cos36°＝0.81，tan36°＝0.73）

【答案】塔AB的高度约27m

【解析】解：设AB与DE交于点F，如图所示：

由题意得：DF⊥AB，BF＝CD＝1.5m，DF＝BC＝35m，

在Rt△ADF中，∠AFD＝90°，tan∠EDA，

∴AF＝DF×tan36°≈35×0.73＝25.55（m），

∴AB＝AF+BF＝25.55+1.5≈27（m）；

答：塔AB的高度约27m．

37.（2020•通辽）从A处看一栋楼顶部的仰角为α，看这栋楼底部的俯角为β，A处与楼的水平距离AD为90m．若tanα＝0.27，tanβ＝2.73，求这栋楼高．

【答案】这栋楼高BC为270米

【解析】解：在Rt△ABD中，BD＝tanα•AD＝0.27×90＝24.3（米），

在Rt△ACD中，CD＝AD•tanβ＝90×2.73＝245.7（米），

∴BC＝BD+CD＝24.3+245.7＝270（米），

答：这栋楼高BC为270米．

38.（2020•凉山州）如图，⊙O的半径为R，其内接锐角三角形ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别是a、b、c．

（1）求证：2R；

（2）若∠A＝60°，∠C＝45°，BC＝4，利用（1）的结论求AB的长和sin∠B的值．

【答案】(1)见解析；(2)sin∠B.

【解析】（1）证明：作直径BE，连接CE，如图所示：

则∠BCE＝90°，∠E＝∠A，

∴sinA＝sinE，

∴2R，

同理：2R，2R，

∴2R；

（2）解：由（1）得：，

即2R，

∴AB4，2R8，

过B作BH⊥AC于H，

∵∠AHB＝∠BHC＝90°，

∴AH＝AB•cos60°＝42，CHBC＝2，

∴AC＝AH+CH＝2（），

∴sin∠B．

39.（2020•宜宾）如图，AB和CD两幢楼地面距离BC为30米，楼AB高30米，从楼AB的顶部点A测得楼CD的顶部点D的仰角为45°．

（1）求∠CAD的大小；

（2）求楼CD的高度（结果保留根号）．

【答案】(1)∠CAD＝75°；(2)CD＝（30+30）米.

【解析】解：（1）过A作AE⊥CD于点E，

则AB＝EC＝30米，AE＝BC＝30米，

在Rt△AEC中，tan∠CAE，

则∠CAE＝30°，

则∠CAD＝30°+45°＝75°；

（2）在Rt△AED中，DE＝AE＝30米，

CD＝CE+ED＝（30+30）米．

40.（2020•随州）如图，某楼房AB顶部有一根天线BE，为了测量天线的高度，在地面上取同一条直线上的三点C，D，A，在点C处测得天线顶端E的仰角为60°，从点C走到点D，测得CD＝5米，从点D测得天线底端B的仰角为45°，已知A，B，E在同一条垂直于地面的直线上，AB＝25米．

（1）求A与C之间的距离；

（2）求天线BE的高度．（参考数据：1.73，结果保留整数）

【答案】(1)A与C之间的距离是30米；(2)天线BE的高度为27米.

【解析】解：（1）由题意得，在Rt△ABD中，∠ADB＝45°，

∴AD＝AB＝25米，

∵CD＝5米，

∴AC＝AD+CD＝25+5＝30（米），

即A与C之间的距离是30米；

（2）在Rt△ACE中．∠ACE＝60°，AC＝30米，

∴AE＝30•tan60°＝30（米），

∵AB＝25米，

∴BE＝AE﹣AB＝（3025）米，

∵1.73，

∴BE≈1.73×30﹣25＝27米．即天线BE的高度为27米．