专题22多边形和平行四边形（基础巩固练习）解析版

这是一份专题22多边形和平行四边形（基础巩固练习）解析版，共39页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题）：
1.（2020•广安）如图，在五边形ABCDE中，若去掉一个30°的角后得到一个六边形BCDEMN，则∠1+∠2的度数为（ ）
A．210°B．110°C．150°D．100°
【答案】A
【解析】解：解法一：
∵∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝（5﹣2）×180°＝540°，∠A＝30°，
∴∠B+∠C+∠D+∠E＝510°，
∵∠1+∠2+∠B+∠C+∠D+∠E＝（6﹣2）×180°＝720°，
∴∠1+∠2＝720°﹣510°＝210°，
解法二：在△ANM中，∠ANM+∠AMN＝180°﹣∠A＝180°﹣30°＝150°，
∴∠1+∠2＝360°﹣（∠AMN+∠ANM）＝360°﹣150°＝210°；故选：A．
2.（2020秋•黄石港区校级期中）如图，五边形ABCDE是正五边形，则x为（ ）
A．30°B．35°C．36°D．45°
【答案】C
【解析】解：因为五边形ABCDE是正五边形，
所以∠E＝∠CDE=180°×(5-2)5=108°，AE＝DE，
所以∠1=∠3=180°-108°2=36°，所以x＝∠CDE﹣∠1﹣∠3＝36°．故选：C．
3.（2020•无锡）正十边形的每一个外角的度数为（ ）
A．36°B．30°C．144°D．150°
【答案】A
【解析】解：正十边形的每一个外角都相等，
因此每一个外角为：360°÷10＝36°，故选：A．
4.（2020秋•东莞市校级期中）七边形共有几条对角线（ ）
A．6B．7C．10D．14
【答案】D
【解析】解：七边形的对角线的条数是：n(n-3)2=7×(7-3)2=14，故选：D．
5.（2020春•长春期末）学校购买一种正多边形形状的瓷砖来铺满教室的地面，所购买的瓷砖形状不可能是（ ）
A．等边三角形B．正五边形C．正六边形D．正方形
【答案】B
【解析】解：A、等边三角形的每个内角是60°，能整除360°，能密铺；
B、正五边形的每个内角为：180°﹣360°÷5＝108°，不能整除360°，不能密铺；
C、正六边形的每个内角是120°，能整除360°，能密铺；
D、正方形的每个内角是90°，4个能密铺．故选：B．
6.（2020•河池）如图，在▱ABCD中，CE平分∠BCD，交AB于点E，EA＝3，EB＝5，ED＝4．则CE的长是（ ）
A．52B．62C．45D．55
【答案】C
【解析】解：∵CE平分∠BCD，∴∠BCE＝∠DCE，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，AB∥CD，∴∠BEC＝∠DCE，
∴∠BEC＝∠BCE，∴BC＝BE＝5，∴AD＝5，
∵EA＝3，ED＝4，在△AED中，32+42＝52，即EA2+ED2＝AD2，
∴∠AED＝90°，∴CD＝AB＝3+5＝8，∠EDC＝90°，
在Rt△EDC中，CE=ED2+DC2=42+82=45．故选：C．
7.（2020•益阳）如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，若AC＝6，BD＝8，则AB的长可能是（ ）
A．10B．8C．7D．6
【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=12AC＝3，OB=12BD＝4，
在△AOB中：4﹣3＜AB＜4+3，即1＜AB＜7，∴AB的长可能为6．故选：D．
8.（2020•温州）如图，在△ABC中，∠A＝40°，AB＝AC，点D在AC边上，以CB，CD为边作▱BCDE，则∠E的度数为（ ）
A．40°B．50°C．60°D．70°
【答案】D
【解析】解：∵在△ABC中，∠A＝40°，AB＝AC，∴∠C＝（180°﹣40°）÷2＝70°，
∵四边形BCDE是平行四边形，∴∠E＝70°．故选：D．
9.（2020•自贡）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2，AB=6，∠B是锐角，AE⊥BC于点E，F是AB的中点，连结DF、EF．若∠EFD＝90°，则AE长为（ ）
A．2B．5C．322D．332
【答案】B
【解析】解：如图，延长EF交DA的延长线于Q，连接DE，设BE＝x，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DQ∥BC，
∴∠Q＝∠BEF，
∵AF＝FB，∠AFQ＝∠BFE，
∴△QFA≌△EFB（AAS），
∴AQ＝BE＝x，QF＝EF，
∵∠EFD＝90°，
∴DF⊥QE，
∴DQ＝DE＝x+2，
∵AE⊥BC，BC∥AD，
∴AE⊥AD，
∴∠AEB＝∠EAD＝90°，
∵AE2＝DE2﹣AD2＝AB2﹣BE2，
∴（x+2）2﹣4＝6﹣x2，
整理得：2x2+4x﹣6＝0，
解得x＝1或﹣3（舍弃），
∴BE＝1，
∴AE=AB2-BE2=6-1=5，
故选：B．
10.（2019•遂宁）如图，▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，OE⊥BD交AD于点E，连接BE，若▱ABCD的周长为28，则△ABE的周长为（ ）
A．28B．24C．21D．14
【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，AB＝CD，AD＝BC，
∵平行四边形的周长为28，
∴AB+AD＝14
∵OE⊥BD，
∴OE是线段BD的中垂线，
∴BE＝ED，
∴△ABE的周长＝AB+BE+AE＝AB+AD＝14，故选：D．
11.（2020秋•苏州期末）如图，四边形ABCD中，以对角线AC为斜边作Rt△ACE，连接BE、DE，BE⊥DE，AC，BD互相平分．若2AB＝BC＝4，则BD的值为（ ）
A．25B．5C．3D．4
【答案】A
【解析】解：连接OE，如图所示：
∵2AB＝BC＝4，
∴AB＝2，
∵AC，BD互相平分，
∴OA＝OC，OB＝OD，四边形ABCD是平行四边形，
∵以AC为斜边作Rt△ACE，
∴OE＝OA＝OC=12AC，
∵BE⊥DE，
∴OE＝OB＝OD=12BD，
∴AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝4，∠BAD＝90°，
∴BD=AB2+AD2=22+42=25，
故选：A．
12.（2020•陕西）如图，在▱ABCD中，AB＝5，BC＝8．E是边BC的中点，F是▱ABCD内一点，且∠BFC＝90°．连接AF并延长，交CD于点G．若EF∥AB，则DG的长为（ ）
A．52B．32C．3D．2
【答案】D
【解析】解：如图，延长BF交CD的延长线于H，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝5，AB∥CD，
∴∠H＝∠ABF，
∵EF∥AB，
∴EF∥CD，
∵E是边BC的中点，
∴EF是△BCH的中位线，
∴BF＝FH，
∵∠BFC＝90°，
∴CF⊥BF，
∴CF是BH的中垂线，
∴BC＝CH＝8，
∴DH＝CH﹣CD＝3，
在△ABF和△GHF中，∠ABF=∠H∠AFB=∠GFHBF=FH，
∴△ABF≌△GFH（AAS），
∴AB＝GH＝5，∴DG＝GH﹣DH＝2，故选：D．
二、填空题（共13小题）：
13.（2020•陕西）如图，P为正五边形ABCDE的边AE上一点，过点P作PQ∥BC，交DE于点Q，则∠EPQ的度数为 ．
【答案】36°
【解析】解：连接AD，
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠B＝∠BAE＝∠E＝∠EDC＝∠C＝108°，AE＝DE，
∴∠EAD＝∠EDA＝36°，
∴∠BAD＝72°，
∵∠BAD+∠ABC＝180°，
∴BC∥AD，
∵PQ∥BC，
∴AD∥PQ，
∴∠EPQ＝∠EAD＝36°，
故答案为：36°．
14.（2020•福建）如图所示的六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，则∠ABC＝ 度．
【答案】30
【解析】解：正六边形的每个内角的度数为：(6-2)×180°6=120°，
所以∠ABC＝120°﹣90°＝30°，
故答案为：30．
15.（2020•陕西）如图，在正五边形ABCDE中，DM是边CD的延长线，连接BD，则∠BDM的度数是 ．
【答案】144°
【解析】解：因为五边形ABCDE是正五边形，
所以∠C=(5-2)×180°5=108°，BC＝DC，
所以∠BDC=180°-108°2=36°，
所以∠BDM＝180°﹣36°＝144°，
故答案为：144°．
16.（2020•包头）如图，在▱ABCD中，AB＝2，∠ABC的平分线与∠BCD的平分线交于点E，若点E恰好在边AD上，则BE2+CE2的值为 ．
【答案】16
【解析】解：∵BE、CE 分别平分∠ABC 和∠BCD
∴∠EBC=12∠ABC，∠ECB=12∠BCD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB＝CD＝2，BC＝AD，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∴∠EBC+∠ECB＝90°，
∴∠BEC＝90°，
∴BE2+CE2＝BC2 ，
∵AD∥BC，
∴∠EBC＝∠AEB，
∵BE平分∠ABC，
∴∠EBC＝∠ABE，
∴∠AEB＝∠ABE，
∴AB＝AE＝2，
同理可证 DE＝DC＝2，
∴DE+AE＝AD＝4，
∴BE2+CE2＝BC2＝AD2＝16．
故答案为：16．
17.（2020•武汉）在探索数学名题“尺规三等分角”的过程中，有下面的问题：如图，AC是▱ABCD的对角线，点E在AC上，AD＝AE＝BE，∠D＝102°，则∠BAC的大小是 ．
【答案】26°
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠D＝102°，AD＝BC，
∵AD＝AE＝BE，
∴BC＝AE＝BE，
∴∠EAB＝∠EBA，∠BEC＝∠ECB，
∵∠BEC＝∠EAB+∠EBA＝2∠EAB，
∴∠ACB＝2∠CAB，
∴∠CAB+∠ACB＝3∠CAB＝180°﹣∠ABC＝180°﹣102°，
∴∠BAC＝26°，
故答案为：26°．
18.（2020•天津）如图，▱ABCD的顶点C在等边△BEF的边BF上，点E在AB的延长线上，G为DE的中点，连接CG．若AD＝3，AB＝CF＝2，则CG的长为 ．
【答案】32
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，CD＝AB，DC∥AB，
∵AD＝3，AB＝CF＝2，
∴CD＝2，BC＝3，
∴BF＝BC+CF＝5，
∵△BEF是等边三角形，G为DE的中点，
∴BF＝BE＝5，DG＝EG，
延长CG交BE于点H，
∵DC∥AB，
∴∠CDG＝∠HEG，
在△DCG和△EHG中，∠CDG=∠HEGDG=EG∠DGC=∠EGH，
∴△DCG≌△EHG（ASA），
∴DC＝EH，CG＝HG，
∵CD＝2，BE＝5，
∴HE＝2，BH＝3，
∵∠CBH＝60°，BC＝BH＝3，
∴△CBH是等边三角形，
∴CH＝BC＝3，
∴CG=12CH=32，
故答案为：32．
19.（2020•甘孜州）如图，在▱ABCD中，过点C作CE⊥AB，垂足为E，若∠EAD＝40°，则∠BCE的度数为 ．
【答案】50°
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠B＝∠EAD＝40°，
∵CE⊥AB，
∴∠BCE＝90°﹣∠B＝50°；
故答案为：50°．
20.（2020•德阳）如图，在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC，CF⊥BE，连接AE，G是AB的中点，连接GF，若AE＝4，则GF＝ ．
【答案】2
【解析】解：在平行四边形ABCD中，AB∥CD，
∴∠ABE＝∠BEC．
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠CBE＝∠BEC，
∴CB＝CE．
∵CF⊥BE，
∴BF＝EF．
∵G是AB的中点，
∴GF是△ABE的中位线，
∴GF=12AE，
∵AE＝4，
∴GF＝2．
故答案为2．
21.（2020•鞍山）如图，在平行四边形ABCD中，点E是CD的中点，AE，BC的延长线交于点F．若△ECF的面积为1，则四边形ABCE的面积为 ．
【答案】3
【解析】解：∵在▱ABCD中，AB∥CD，点E是CD中点，
∴EC是△ABF的中位线；
∵∠B＝∠DCF，∠F＝∠F（公共角），
∴△ABF∽△ECF，
∵ECAB=EFAF=CFBF=12，
∴S△ABF：S△CEF＝4：1；
又∵△ECF的面积为1，
∴S△ABF＝4，
∴S四边形ABCE＝S△ABF﹣S△CEF＝3．
故答案为：3．
22.（2020•沈阳）如图，在平行四边形ABCD中，点M为边AD上一点，AM＝2MD，点E，点F分别是BM，CM中点，若EF＝6，则AM的长为 ．
【答案】8
【解析】解：∵点E，点F分别是BM，CM中点，
∴EF是△BCM的中位线，
∵EF＝6，
∴BC＝2EF＝12，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC＝12，
∵AM＝2MD，
∴AM＝8，
故答案为：8．
23.（2020•凉山州）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OE∥AB交AD于点E，若OA＝1，△AOE的周长等于5，则▱ABCD的周长等于 ．
【答案】16
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，OB＝OD，
∵OE∥AB，
∴OE是△ABD的中位线，
∴AB＝2OE，AD＝2AE，
∵△AOE的周长等于5，
∴OA+AE+OE＝5，
∴AE+OE＝5﹣OA＝5﹣1＝4，
∴AB+AD＝2AE+2OE＝8，
∴▱ABCD的周长＝2×（AB+AD）＝2×8＝16；
故答案为：16．
24.（2020•株洲）如图所示，点D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，连接BE，过点C作CF∥BE，交DE的延长线于点F，若EF＝3，则DE的长为 ．
【答案】32
【解析】解：∵D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE=12BC，
∵CF∥BE，
∴四边形BCFE为平行四边形，
∴BC＝EF＝3，
∴DE=12BC=32．
故答案为：32．
25.（2020•黔东南州）以▱ABCD对角线的交点O为原点，平行于BC边的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若A点坐标为（﹣2，1），则C点坐标为 ．
【答案】（2，﹣1）
【解析】解：方法一：∵▱ABCD对角线的交点O为原点，A点坐标为（﹣2，1），
∴点C的坐标为（2，﹣1），
故答案为：（2，﹣1）．
方法二：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴点A和C关于对角线的交点O对称，
又∵O为原点，
∴点A和C关于原点对称，
∵点A（﹣2，1），
∴点C的坐标为（2，﹣1），
故答案为：（2，﹣1）．
三、解答题（共15小题）：
26.（2020•济南）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线分别交AD，BC于点E，F．求证：AE＝CF．
【答案】见解析。
【解析】证明：∵▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，
∴AO＝CO，AD∥BC，
∴∠EAC＝∠FCO，
在△AOE和△COF中
∠EAO=∠FCOAO=OC∠AOE=∠COF，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴AE＝CF．
27.（2020•柳州）如图，已知▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AD＝12，BD＝10，AC＝26．
（1）求△ADO的周长；
（2）求证：△ADO是直角三角形．
【答案】(1)△AOD的周长＝30；(2)见解析.
【解析】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴对角线AC与BD相互平分，
∴OA＝OC=12AC，OB＝OD=12BD，
∵AC＝26，BD＝10，
∴OA＝13，OD＝5，
∵AD＝12，
∴△AOD的周长＝5+12+13＝30；
（2）由（1）知 OA＝13，OD＝5，AD＝12，
∵52+ 122＝132 ，
∴在△AOD中，AD2+DO2＝AO2 ，
∴△AOD是直角三角形．
28.（2020•重庆）如图，在平行四边形ABCD中，AE，CF分别平分∠BAD和∠DCB，交对角线BD于点E，F．
（1）若∠BCF＝60°，求∠ABC的度数；
（2）求证：BE＝DF．
【答案】(1)∠ABC＝60°；(2)见解析.
【解析】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∵CF平分∠DCB，
∴∠BCD＝2∠BCF，
∵∠BCF＝60°，
∴∠BCD＝120°，
∴∠ABC＝180°﹣120°＝60°；
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，∠BAD＝∠DCB，
∴∠ABE＝∠CDF，
∵AE，CF分别平分∠BAD和∠DCB，
∴∠BAE=12∠BAD，∠DCF=12∠BCD，
∴∠BAE＝∠DCE，
∴△ABE≌△CDF（ASA），
∴BE＝DF．
29.（2020•重庆）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，分别过点A，C作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F．AC平分∠DAE．
（1）若∠AOE＝50°，求∠ACB的度数；
（2）求证：AE＝CF．
【答案】(1)∠ACB＝40°；(2)见解析.
【解析】（1）解：∵AE⊥BD，∴∠AEO＝90°，
∵∠AOE＝50°，
∴∠EAO＝40°，
∵CA平分∠DAE，
∴∠DAC＝∠EAO＝40°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ACB＝∠DAC＝40°；
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEO＝∠CFO＝90°，
∵∠AOE＝∠COF，
∴△AEO≌△CFO（AAS），
∴AE＝CF．
30.（2020•娄底）如图，▱ABCD中，BC＝2AB，AB⊥AC，分别在边BC、AD上的点E与点F关于AC对称，连接EF、AE、CF、DE．
（1）试判定四边形AECF的形状，并说明理由；
（2）求证：AE⊥DE．
【答案】(1)四边形AECF是菱形；(2)见解析.
【解析】（1）解：四边形AECF是菱形，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠OAF＝∠OCE，
∵点E与点F关于AC对称，
∴AE＝AF，CE＝CF，OE＝OF，
在△AOF和△COE中，∠OAF=∠OCE∠AOF=∠COEOF=OE，
∴△AOF≌△COE（AAS），
∴AF＝CE，
∴AE＝AF＝CE＝CF，
∴四边形AECF是菱形；
（2）证明：∵BC＝2AB，AB⊥AC，
∴∠ACB＝30°，
∴∠B＝60°，
∵AE＝CE，
∴∠EAC＝∠ACB＝30°，
∴∠BAE＝90°﹣30°＝60°＝∠B，
∴△ABE是等边三角形，
∴AE＝AB＝BE，∠AEB＝60°，
∴∠AEC＝120°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠DCE＝180°﹣∠B＝120°，
又∵CE＝AE，
∴CE＝BE=12BC＝AB＝CD，
∴∠CED＝∠CDE＝30°，
∴∠AED＝120°﹣30°＝90°，
∴AE⊥DE．
31.（2020•广元）已知▱ABCD，O为对角线AC的中点，过O的一条直线交AD于点E，交BC于点F．
（1）求证：△AOE≌△COF；
（2）若AE：AD＝1：2，△AOE的面积为2，求▱ABCD的面积．
【答案】(1)见解析；(2)平行四边形ABCD的面积＝16.
【解析】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠EAO＝∠FCO，
∵O是AC的中点，
∴OA＝OC，
在△AOE和△COF中，∠EAO=∠FCOOA=OC∠AOE=∠COF，
∴△AOE≌△COF（ASA）；
（2）∵O为对角线AC的中点，
∴AO：AC＝1：2，
∵AE：AD＝1：2，
∴AEAD=AOAC，
∵∠EAO＝∠DAC，
∴△AEO∽△ADC，
∴S△AEOS△ADC=（AEAD）2＝（12）2=14，
∵△AOE的面积为2，
∴△ADC的面积为8，
∴平行四边形ABCD的面积＝2×8＝16．
32.（2020•广西）如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）连接AD，求证：四边形ABED是平行四边形．
【答案】(1)见解析；(2)见解析.
【解析】（1）证明：∵BE＝CF，
∴BE+EC＝CF+EC，
∴BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，AB=DEAC=DFBC=EF，
∴△ABC≌△DEF（SSS）；
（2）证明：由（1）得：△ABC≌△DEF，
∴∠B＝∠DEF，
∴AB∥DE，
又∵AB＝DE，
∴四边形ABED是平行四边形．
33.（2020秋•石景山区期末）如图，△ABC中，D是AB边上任意一点，F是AC中点，过点C作CE∥AB交DF的延长线于点E，连接AE，CD．
（1）求证：四边形ADCE是平行四边形；
（2）若∠B＝30°，∠CAB＝45°，AC=6，CD＝BD，求AD的长．
【答案】(1)见解析；(2)AD=AG+GD=3+1.
【解析】（1）证明：∵AB∥CE，
∴∠CAD＝∠ACE，∠ADE＝∠CED．
∵F是AC中点，
∴AF＝CF．
在△AFD与△CFE中，
∠CAD=∠ACE∠ADE=∠CEDAF=CF．
∴△AFD≌△CFE（AAS），
∴AD＝CE，
∴四边形ADCE是平行四边形；
（2）解：过点C作CG⊥AB于点G．
∵CD＝BD，∠B＝30°，
∴∠DCB＝∠B＝30°，
∴∠CDA＝60°．
在△ACG中，∠AGC＝90°，AC=6，∠CAG＝45°，
∴CG=AG=3．
在△CGD中，∠DGC＝90°，∠CDG＝60°，CG=3，
∴GD＝1，
∴AD=AG+GD=3+1．
34.（2018•永州）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，以线段AB为边向外作等边△ABD，点E是线段AB的中点，连接CE并延长交线段AD于点F．
（1）求证：四边形BCFD为平行四边形；
（2）若AB＝6，求平行四边形BCFD的面积．
【答案】(1)见解析；(2)S平行四边形BCFD＝93.
【解析】（1）证明：在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，
∴∠ABC＝60°．
在等边△ABD中，∠BAD＝60°，
∴∠BAD＝∠ABC＝60°．
∵E为AB的中点，
∴AE＝BE．
又∵∠AEF＝∠BEC，
∴△AEF≌△BEC．
在△ABC中，∠ACB＝90°，E为AB的中点，
∴CE=12AB，BE=12AB．
∴CE＝AE，
∴∠EAC＝∠ECA＝30°，
∴∠BCE＝∠EBC＝60°．
又∵△AEF≌△BEC，
∴∠AFE＝∠BCE＝60°．
又∵∠D＝60°，
∴∠AFE＝∠D＝60°．
∴FC∥BD．
又∵∠BAD＝∠ABC＝60°，
∴AD∥BC，即FD∥BC．
∴四边形BCFD是平行四边形．
（2）解：在Rt△ABC中，∵∠BAC＝30°，AB＝6，
∴BC=12AB＝3，AC=3BC＝33，
∴S平行四边形BCFD＝3×33=93．
35.（2020秋•朝阳区校级期末）如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，M，N分别是AB、AD的中点．
（1）求证：四边形AMON是平行四边形；
（2）若AC＝6，BD＝4，∠AOB＝90°，求四边形AMON的周长．
【答案】(1)见解析；(2)四边形AMON的周长＝213.
【解析】（1）根据平行四边形的性质得到AO＝OC，BO＝OD，AB∥CD，AD∥BC，
由三角形的中位线的性质得到MO∥BC，NO∥CD，
∴MO∥AN，NO∥AM，
∴四边形AMON是平行四边形；
（2）解：∵AC＝6，BD＝4，
∴AO＝3，BO＝2，
∵∠AOB＝90°，
∴AB=AO2+BO2=32+22=13，
∴OM＝AM＝MB=132，
∴NO＝AN=132，
四边形AMON的周长＝AM+OM+AN+NO＝213．
36.（2018•兰州）如图，在△ABC中，过点C作CD∥AB，E是AC的中点，连接DE并延长，交AB于点F，交CB的延长线于点G，连接AD，CF．
（1）求证：四边形AFCD是平行四边形．
（2）若GB＝3，BC＝6，BF=32，求AB的长．
【答案】(1)见解析；(2)AB＝6.
【解析】解：（1）∵E是AC的中点，
∴AE＝CE，
∵AB∥CD，
∴∠AFE＝∠CDE，
在△AEF和△CED中，
∵∠AFE=∠CDE∠AEF=∠CEDAE=CE，
∴△AEF≌△CED（AAS），
∴AF＝CD，
又AB∥CD，即AF∥CD，
∴四边形AFCD是平行四边形；
（2）∵AB∥CD，
∴△GBF∽△GCD，
∴GBGC=BFCD，即33+6=32CD，
解得：CD=92，
∵四边形AFCD是平行四边形，
∴AF＝CD=92，
∴AB＝AF+BF=92+32=6．
37.（2020•长春）如图，在▱ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E、F．
（1）求证：OE＝OF．
（2）若BE＝5，OF＝2，求tan∠OBE的值．
【答案】(1)见解析；(2)tan∠OBE=OEBE=25.
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD，
∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠OEB＝∠OFD＝90°，
在△OEB和△OFD中，∠OEB=∠OFD∠BOE=∠DOFOB=OD，
∴△OEB≌△OFD（AAS），
∴OE＝OF；
（2）解：由（1）得：OE＝OF，
∵OF＝2，∴OE＝2，
∵BE⊥AC，
∴∠OEB＝90°，在Rt△OEB中，tan∠OBE=OEBE=25．
38.（2020•鄂州）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点M，N分别为OA、OC的中点，延长BM至点E，使EM＝BM，连接DE．
（1）求证：△AMB≌△CND；
（2）若BD＝2AB，且AB＝5，DN＝4，求四边形DEMN的面积．
【答案】(1)见解析；(2)矩形DEMN的面积＝24.
【解析】解：（1）∵平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，
∴AO＝CO，
又∵点M，N分别为OA、OC的中点，
∴AM＝CN，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠BAM＝∠DCN，
∴△AMB≌△CND（SAS）；
（2）∵△AMB≌△CND，
∴BM＝DN，∠ABM＝∠CDN，
又∵BM＝EM，
∴DN＝EM，
∵AB∥CD，
∴∠ABO＝∠CDO，
∴∠MBO＝∠NDO，
∴ME∥DN
∴四边形DEMN是平行四边形，
∵BD＝2AB，BD＝2BO，
∴AB＝OB，
又∵M是AO的中点，
∴BM⊥AO，
∴∠EMN＝90°，
∴四边形DEMN是矩形，
∵AB＝5，DN＝BM＝4，
∴AM＝3＝MO，
∴MN＝6，
∴矩形DEMN的面积＝6×4＝24．
39.（2019•重庆）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，连接AE，EM⊥AE，垂足为E，交CD于点M，AF⊥BC，垂足为F，BH⊥AE，垂足为H，交AF于点N，点P是AD上一点，连接CP．
（1）若DP＝2AP＝4，CP=17，CD＝5，求△ACD的面积．
（2）若AE＝BN，AN＝CE，求证：AD=2CM+2CE．
【答案】(1)S△ACD＝12；(2)见解析.
【解析】（1）解：作CG⊥AD于G，如图1所示：
设PG＝x，则DG＝4﹣x，
在Rt△PGC中，GC2＝CP2﹣PG2＝17﹣x2，
在Rt△DGC中，GC2＝CD2﹣GD2＝52﹣（4﹣x）2＝9+8x﹣x2，
∴17﹣x2＝9+8x﹣x2，
解得：x＝1，即PG＝1，
∴GC＝4，
∵DP＝2AP＝4，
∴AD＝6，
∴S△ACD=12×AD×CG=12×6×4＝12；
（2）证明：连接NE，如图2所示：
∵BH⊥AE，AF⊥BC，AE⊥EM，
∴∠AEB+∠NBF＝∠AEB+∠EAF＝∠AEB+∠MEC＝90°，
∴∠NBF＝∠EAF＝∠MEC，
在△NBF和△EAF中，∠NBF=∠EAF∠BFN=∠EFAAE=BN，
∴△NBF≌△EAF（AAS），
∴BF＝AF，NF＝EF，
∴∠ABC＝45°，∠ENF＝45°，
∵∠ANB＝90°+∠EAF，∠CEA＝90°+∠MEC，
∴∠ANB＝∠CEA，
在△ANB和△CEA中，AN=CE∠ANB=∠CEABN=AE，
∴△ANB≌△CEA（SAS），
∴∠CAE＝∠ABN，
∵∠NBF＝∠EAF，
∴∠ABF＝∠FAC＝45°
∴FC＝AF＝BF，
∴∠ANE＝∠BCD＝135°，AD＝BC＝2AF，
在△ANE和△ECM中，∠MEC=∠EAFAN=EC∠ANE=∠ECM，
∴△ANE≌△ECM（ASA），
∴CM＝NE，
又∵NF=22NE=22MC，
∴AF=22MC+EC，
∴AD=2MC+2EC．
40.（2018•重庆）如图，在平行四边形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点E是BC上一点，且AB＝AE，连接EO并延长交AD于点F．过点B作AE的垂线，垂足为H，交AC于点G．
（1）若AH＝3，HE＝1，求△ABE的面积；
（2）若∠ACB＝45°，求证：DF=2CG．
【答案】(1)S△ABE=12AE×BH=12×4×7=27；(2)见解析.
【解析】解：（1）∵AH＝3，HE＝1，
∴AB＝AE＝4，
又∵Rt△ABH中，BH=AB2-AH2=7，
∴S△ABE=12AE×BH=12×4×7=27；
（2）如图，过A作AM⊥BC于M，交BG于K，过G作GN⊥BC于N，则∠AMB＝∠AME＝∠BNG＝90°，
∵∠ACB＝45°，
∴∠MAC＝∠NGC＝45°，
∵AB＝AE，
∴BM＝EM=12BE，∠BAM＝∠EAM，
又∵AE⊥BG，
∴∠AHK＝90°＝∠BMK，而∠AKH＝∠BKM，
∴∠MAE＝∠NBG，
设∠BAM＝∠MAE＝∠NBG＝α，则∠BAG＝45°+α，∠BGA＝∠GCN+∠GBC＝45°+α，
∴AB＝BG，
∴AE＝BG，
在△AME和△BNG中，
∠AME=∠BNG∠MAE=∠NBGAE=BG，
∴△AME≌△BNG（AAS），
∴ME＝NG，
在等腰Rt△CNG中，NG＝NC，
∴GC=2NG=2ME=22BE，
∴BE=2GC，
∵O是AC的中点，
∴OA＝OC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠OAF＝∠OCE，∠AFO＝∠CEO，
∴△AFO≌△CEO（AAS），
∴AF＝CE，
∴AD﹣AF＝BC﹣EC，即DF＝BE，
∴DF＝BE=2CG．