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专题15二次函数及其应用（基础巩固练习） 解析版
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这是一份专题15二次函数及其应用（基础巩固练习） 解析版，共40页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年中考数学 专题15 二次函数及其应用
（基础巩固练习，共50个小题）
一、选择题（共25小题）：
1.（2020秋•闵行区期末）下列函数中，是二次函数的是（ ）
A．y=-2x2-3x B．y＝﹣（x﹣1）2+x2
C．y＝11x2+29x D．y＝ax2+bx+c
【答案】C
【解析】解：A、含有分式，不是二次函数，故此选项不合题意；
B、y＝﹣（x﹣1）2+x2＝2x﹣1，不是二次函数，故此选项不合题意；
C、是二次函数，故此选项符合题意；
D、当a＝0时，不是二次函数，故此选项不合题意；
故选：C．
2．（2020秋•郫都区期末）若y＝（a﹣2）x2﹣3x+4是二次函数，则a的取值范围是（ ）
A．a≠2 B．a＞0 C．a＞2 D．a≠0
【答案】A
【解析】解：由题意得：a﹣2≠0，
解得：a≠2，
故选：A．
3.（2020•西宁）函数y＝ax2+1和y＝ax+a（a为常数，且a≠0），在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
【答案】D
【解析】解：∵y＝ax2+1，
∴二次函数y＝ax2+1的图象的顶点为（0，1），故A、B不符合题意；
当y＝ax+a＝0时，x＝﹣1，
∴一次函数y＝ax+a的图象过点（﹣1，0），故C不符题意．故选：D．
4.（2020•陕西）在同一平面直角坐标系中，若抛物线y＝mx2+2x﹣n与y＝﹣6x2﹣2x+m﹣n关于x轴对称，则m，n的值为（ ）
A．m＝﹣6，n＝﹣3 B．m＝﹣6，n＝3
C．m＝6，n＝﹣3 D．m＝6，n＝3
【答案】D
【解析】解：∵抛物线y＝mx2+2x﹣n与y＝﹣6x2﹣2x+m﹣n关于x轴对称，
∴﹣y＝﹣mx2﹣2x+n，
∴y＝﹣mx2﹣2x+n与y＝﹣6x2﹣2x+m﹣n相同，
∴﹣m＝﹣6，n＝m﹣n，
解得m＝6，n＝3，
故选：D．
5.（2020•葫芦岛）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的对称轴是直线x＝1，则以下四个结论中：①abc＞0，②2a+b＝0，③4a+b2＜4ac，④3a+c＜0．正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】解：①根据抛物线开口向下可知：a＜0，
因为对称轴在y轴右侧，所以b＞0，
因为抛物线与y轴正半轴相交，所以c＞0，
所以abc＜0，所以①错误；
②因为抛物线对称轴是直线x＝1，即-b2a=1，所以b＝﹣2a，
所以b+2a＝0，所以②正确；
③因为b＝﹣2a，由4a+b2＜4ac，得4a+4a2＜4ac，
∵a＜0，∴c＜1+a，
根据抛物线与y轴的交点，c＞1，所以③错误；
④当x＝﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0，
因为b＝﹣2a，所以3a+c＜0，所以④正确．
所以正确的是②④2个．故选：B．
6.（2020•镇江）点P（m，n）在以y轴为对称轴的二次函数y＝x2+ax+4的图象上．则m﹣n的最大值等于（ ）
A．154 B．4 C．-154 D．-174
【答案】C
【解析】解：∵点P（m，n）在以y轴为对称轴的二次函数y＝x2+ax+4的图象上，
∴a＝0，
∴n＝m2+4，
∴m﹣n＝m﹣（m2+4）＝﹣m2+m﹣4＝﹣（m-12）2-154，
∴当m=12时，m﹣n取得最大值，此时m﹣n=-154，
故选：C．
7.（2020•呼和浩特）已知二次函数y＝（a﹣2）x2﹣（a+2）x+1，当x取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值y总相等，则关于x的一元二次方程（a﹣2）x2﹣（a+2）x+1＝0的两根之积为（ ）
A．0 B．﹣1 C．-12 D．-14
【答案】D
【解析】解：∵二次函数y＝（a﹣2）x2﹣（a+2）x+1，
当x取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值y总相等，
可知二次函数图象的对称轴为直线x＝0，即y轴，
则--(a+2)2(a-2)=0，
解得：a＝﹣2，
则关于x的一元二次方程（a﹣2）x2﹣（a+2）x+1＝0为﹣4x2+1＝0，
则两根之积为-14，故选：D．
8.（2020•宿迁）将二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象向上平移3个单位长度，得到的拋物线相应的函数表达式为（ ）
A．y＝（x+2）2﹣2 B．y＝（x﹣4）2+2 C．y＝（x﹣1）2﹣1 D．y＝（x﹣1）2+5
【答案】D
【解析】解：由“上加下减”的原则可知，将二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象向上平移3个单位长度，所得抛物线的解析式为：y＝（x﹣1）2+2+3，即y＝（x﹣1）2+5；
故选：D．
9.（2020•广东）把函数y＝（x﹣1）2+2图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为（ ）
A．y＝x2+2 B．y＝（x﹣1）2+1 C．y＝（x﹣2）2+2 D．y＝（x﹣1）2+3
【答案】C
【解析】解：二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象的顶点坐标为（1，2），
∴向右平移1个单位长度后的函数图象的顶点坐标为（2，2），
∴所得的图象解析式为y＝（x﹣2）2+2．
故选：C．
10.（2020•温州）已知（﹣3，y1），（﹣2，y2），（1，y3）是抛物线y＝﹣3x2﹣12x+m上的点，则（ ）
A．y3＜y2＜y1 B．y3＜y1＜y2 C．y2＜y3＜y1 D．y1＜y3＜y2
【答案】B
【解析】解：抛物线的对称轴为直线x=--122×(-3)=-2，
∵a＝﹣3＜0，
∴x＝﹣2时，函数值最大，
又∵﹣3到﹣2的距离比1到﹣2的距离小，
∴y3＜y1＜y2．
故选：B．
11.2020•杭州）设函数y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是实数，a≠0），当x＝1时，y＝1；当x＝8时，y＝8，（ ）
A．若h＝4，则a＜0 B．若h＝5，则a＞0
C．若h＝6，则a＜0 D．若h＝7，则a＞0
【答案】C
【解析】解：当x＝1时，y＝1；当x＝8时，y＝8；代入函数式得：1=a(1-h)2+k8=a(8-h)2+k，
∴a（8﹣h）2﹣a（1﹣h）2＝7，
整理得：a（9﹣2h）＝1，
若h＝4，则a＝1，故A错误；
若h＝5，则a＝﹣1，故B错误；
若h＝6，则a=-13，故C正确；
若h＝7，则a=-15，故D错误；
故选：C．
12.（2018•山西）用配方法将二次函数y＝x2﹣8x﹣9化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为（ ）
A．y＝（x﹣4）2+7 B．y＝（x﹣4）2﹣25
C．y＝（x+4）2+7 D．y＝（x+4）2﹣25
【答案】B
【解析】解：y＝x2﹣8x﹣9
＝x2﹣8x+16﹣25
＝（x﹣4）2﹣25．
故选：B．
13.（2020•绵阳）三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同．当水面刚好淹没小孔时，大孔水面宽度为10米，孔顶离水面1.5米；当水位下降，大孔水面宽度为14米时，单个小孔的水面宽度为4米，若大孔水面宽度为20米，则单个小孔的水面宽度为（ ）
A．43米 B．52米 C．213米 D．7米
【答案】B
【解析】解：如图，建立如图所示的平面直角坐标系，
由题意可得MN＝4，EF＝14，BC＝10，DO=32，
设大孔所在抛物线解析式为y＝ax2+32，
∵BC＝10，
∴点B（﹣5，0），
∴0＝a×（﹣5）2+32，
∴a=-350，
∴大孔所在抛物线解析式为y=-350x2+32，
设点A（b，0），则设顶点为A的小孔所在抛物线的解析式为y＝m（x﹣b）2，
∵EF＝14，
∴点E的横坐标为﹣7，
∴点E坐标为（﹣7，-3625），
∴-3625=m（x﹣b）2，
∴x1=65-1m+b，x2=-65-1m+b，
∴MN＝4，
∴|65-1m+b﹣（-65-1m+b）|＝4
∴m=-925，
∴顶点为A的小孔所在抛物线的解析式为y=-925（x﹣b）2，
∵大孔水面宽度为20米，
∴当x＝﹣10时，y=-92，
∴-92=-925（x﹣b）2，
∴x1=522+b，x2=-522+b，
∴单个小孔的水面宽度＝|（522+b）﹣（-522+b）|＝52（米），
故选：B．
14.（2020•山西）竖直上抛物体离地面的高度h（m）与运动时间t（s）之间的关系可以近似地用公式h＝﹣5t2+v0t+h0表示，其中h0（m）是物体抛出时离地面的高度，v0（m/s）是物体抛出时的速度．某人将一个小球从距地面1.5m的高处以20m/s的速度竖直向上抛出，小球达到的离地面的最大高度为（ ）
A．23.5m B．22.5m C．21.5m D．20.5m
【答案】C
【解析】解：由题意可得，
h＝﹣5t2+20t+1.5＝﹣5（t﹣2）2+21.5，
因为a＝﹣5＜0，
故当t＝2时，h取得最大值，此时h＝21.5，
故选：C．
15.（2020秋•齐河县期末）今年由于受新型冠状病毒的影响，一次性医用口罩的销量剧增．某药店一月份销售量是5000枚，二、三两个月销售量连续增长．若月平均增长率为x，则该药店三月份销售口罩枚数y（枚）与x的函数关系式是（ ）
A．y＝5000（1+x） B．y＝5000（1+x）2
C．y＝5000（1+x2） D．y＝5000（1+2x）
【答案】B
【解析】解：该药店三月份销售口罩枚数y（枚）与x的函数关系式：y＝5000（1+x）2．
故选：B．
16.（2020秋•龙沙区期末）为测量某地温度变化情况，记录了一段时间的温度．一段时间内，温度y与时间t的函数关系满足y＝﹣t2+12t+2，当4≤t≤8时，该地区的最高温度是（ ）
A．38℃ B．37℃ C．36℃ D．34℃
【答案】A
【解析】解：∵y＝﹣t2+12t+2
＝﹣（t2﹣12t+36）+38
＝﹣（t﹣6）2+38，
∴当t＝6时，温度y有最大值，最大值为38℃．
∴当4≤t≤8时，该地区的最高温度是38℃．
故选：A．
17.（2020秋•光明区期末）如图，抛物线与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0）两点，点P从点A出发，沿线段AB向点B匀速运动，到达点B停止，PQ⊥x轴，交抛物线于点Q（m，n），设点P的运动时间为t秒，当t＝3和t＝9时，n的值相等．下列结论：
①t＝6时，n的值最大；②t＝10时，n＝0；③当t＝5和t＝7时，n的值不一定相等；④t＝4时，m＝0．
其中正确的是（ ）
A．①④ B．②④ C．①③ D．②③
【答案】A
【解析】解：根据题意知，该抛物线的对称轴是直线x=4-22=1．
设点P的运动速度是每秒v个单位长度，则
∵当t＝3和t＝9时，n的值相等，
∴x=(9v-2)+(3v-2)2=1．
∴v=12．
①当t＝6时，AP＝6×12=3，此时点Q是抛物线顶点坐标，即n的值最大，故结论正确；
②当t＝10时，AP＝10×12=5，此时点Q与点B不重合，即n≠0，故结论错误；
③当t＝5时，AP=52，此时点P的坐标是（-12，0）；当t＝7时，AP=72，此时点P的坐标是（32，0）．因为点（-12，0）与点（-12，0）关于对称轴直线x＝1对称，所以n的值一定相等，故结论错误；
④t＝4时，AP＝4×12=2，此时点P与原点重合，则m＝0，故结论正确．
综上所述，正确的结论是①④．故选：A．
18.（2020秋•武侯区期末）关于x的一元二次方程x2+4x+4m＝0有两个相等的实数根，则二次函数y＝x2+4x+4m的图象与x轴的交点情况为（ ）
A．没有交点 B．有一个交点 C．有两个交点 D．不能确定
【答案】B
【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2+4x+4m＝0有两个相等的实数根，
∴二次函数y＝x2+4x+4m的图象与x轴的交点情况为：有一个交点，
故选：B．
19.（2020秋•昆明期末）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的交点是（1，0），（﹣3，0），则这条抛物线的对称轴是（ ）
A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝2 D．x＝﹣3
【答案】B
【解析】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的交点是（1，0），（﹣3，0），
∴这条抛物线的对称轴是：x=-1+32=1，即x＝1．
故选：B．
20.（2020•阜新）已知二次函数y＝﹣x2+2x+4，则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是（ ）
A．图象的开口向上 B．图象的顶点坐标是（1，3）
C．当x＜1时，y随x的增大而增大 D．图象与x轴有唯一交点
【答案】C
【解析】解：∵y＝﹣x2+2x+4＝﹣（x﹣1）2+5，
∴抛物线的开口向下，顶点坐标为（1，5），抛物线的对称轴为直线x＝1，当x＜1时，y随x的增大而增大，
令y＝0，则﹣x2+2x+4＝0，解方程解得x1＝1+5，x2＝1-5，
∴△＝4﹣4×（﹣1）×4＝20＞0，
∴抛物线与x轴有两个交点．
故选：C．
21.（2020•娄底）二次函数y＝（x﹣a）（x﹣b）﹣2（a＜b）与x轴的两个交点的横坐标分别为m和n，且m＜n，下列结论正确的是（ ）
A．m＜a＜n＜b B．a＜m＜b＜n C．m＜a＜b＜n D．a＜m＜n＜b
【答案】C
【解析】解：二次函数y＝（x﹣a）（x﹣b）与x轴交点的横坐标为a、b，将其图象往下平移2个单位长度可得出二次函数y＝（x﹣a）（x﹣b）﹣2的图象，如图所示．
观察图象，可知：m＜a＜b＜n．
故选：C．
22.（2020•大连）抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），对称轴是直线x＝1，其部分图象如图所示，则此抛物线与x轴的另一个交点坐标是（ ）
A．（72，0） B．（3，0） C．（52，0） D．（2，0）
【答案】B
【解析】解：设抛物线与x轴交点横坐标分别为x1、x2，且x1＜x2，
根据两个交点关于对称轴直线x＝1对称可知：x1+x2＝2，
即x2﹣1＝2，得x2＝3，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），故选：B．
23.（2020•昆明）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与y轴交于点B（0，﹣2），点A（﹣1，m）在抛物线上，则下列结论中错误的是（ ）
A．ab＜0
B．一元二次方程ax2+bx+c＝0的正实数根在2和3之间
C．a=m+23
D．点P1（t，y1），P2（t+1，y2）在抛物线上，当实数t＞13时，y1＜y2
【答案】D
【解析】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴为直线x=-b2a=1，
∴b＝﹣2a＜0，
∴ab＜0，所以A选项的结论正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线与x轴的一个交点坐标在（0，0）与（﹣1，0）之间，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标在（2，0）与（3，0）之间，
∴一元二次方程ax2+bx+c＝0的正实数根在2和3之间，所以B选项的结论正确；
把B（0，﹣2），A（﹣1，m）代入抛物线得c＝﹣2，a﹣b+c＝m，
而b＝﹣2a，
∴a+2a﹣2＝m，
∴a=m+23，所以C选项的结论正确；
∵点P1（t，y1），P2（t+1，y2）在抛物线上，
∴当点P1、P2都在直线x＝1的右侧时，y1＜y2，此时t≥1；
当点P1在直线x＝1的左侧，点P2在直线x＝1的右侧时，y1＜y2，此时0＜t＜1且t+1﹣1＞1﹣t，即12＜t＜1，
∴当12＜t＜1或t≥1时，y1＜y2，所以D选项的结论错误．
故选：D．
24.（2020•宜宾）函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点（2，0），顶点坐标为（﹣1，n），其中n＞0．以下结论正确的是（ ）
①abc＞0；
②函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在x＝1和x＝﹣2处的函数值相等；
③函数y＝kx+1的图象与y＝ax2+bx+c（a≠0）的函数图象总有两个不同交点；
④函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在﹣3≤x≤3内既有最大值又有最小值．
A．①③ B．①②③ C．①④ D．②③④
【答案】C
【解析】解：依照题意，画出图形如下：
∵函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点（2，0），顶点坐标为（﹣1，n），其中n＞0．
∴a＜0，c＞0，对称轴为x=-b2a=-1，
∴b＝2a＜0，
∴abc＞0，故①正确，
∵对称轴为x＝﹣1，
∴x＝1与x＝﹣3的函数值是相等的，故②错误；
∵顶点为（﹣1，n），
∴抛物线解析式为；y＝a（x+1）2+n＝ax2+2ax+a+n，
联立方程组可得：y=kx+1y=ax2+2ax+a+n，
可得ax2+（2a﹣k）x+a+n﹣1＝0，
∴△＝（2a﹣k）2﹣4a（a+n﹣1）＝k2﹣4ak+4a﹣4an，
∵无法判断△是否大于0，
∴无法判断函数y＝kx+1的图象与y＝ax2+bx+c（a≠0）的函数图象的交点个数，故③错误；
当﹣3≤x≤3时，
当x＝﹣1时，y有最大值为n，当x＝3时，y有最小值为16a+n，故④正确，
故选：C．
25.（2020•随州）如图所示，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴的正半轴交于点C，顶点为D，则下列结论：
①2a+b＝0；
②2c＜3b；
③当△ABC是等腰三角形时，a的值有2个；
④当△BCD是直角三角形时，a=-22．
其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，
∴对称轴为直线x=-b2a=1，
∴b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，故①正确，
当x＝﹣1时，0＝a﹣b+c，
∴a+2a+c＝0，
∴c＝﹣3a，
∴2c＝3b，故②错误；
∵二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a，（a＜0）
∴点C（0，﹣3a），
当BC＝AB时，4=9+9a2，
∴a=-73，
当AC＝BA时，4=1+9a2，
∴a=-153，
∴当△ABC是等腰三角形时，a的值有2个，故③正确；
∵二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x﹣1）2﹣4a，
∴顶点D（1，﹣4a），
∴BD2＝4+16a2，BC2＝9+9a2，CD2＝a2+1，
若∠BDC＝90°，可得BC2＝BD2+CD2，
∴9+9a2＝4+16a2+a2+1，
∴a=-22，
若∠DCB＝90°，可得BD2＝CD2+BC2，
∴4+16a2＝9+9a2+a2+1，
∴a＝﹣1，
∴当△BCD是直角三角形时，a＝﹣1或-22，故④错误．
故选：B．
二、填空题（共18小题）：
26.（2020•凉山州一模）若y＝（m2+m）xm2﹣2m﹣1﹣x+3是关于x的二次函数，则m＝ ．
【答案】3
【解析】解：由题意，得
m2﹣2m﹣1＝2，且m2+m≠0，
解得m＝3，
故答案为：3．
27.（2020•哈尔滨）抛物线y＝3（x﹣1）2+8的顶点坐标为 ．
【答案】（1，8）
【解析】解：∵抛物线y＝3（x﹣1）2+8是顶点式，
∴顶点坐标是（1，8）．
故答案为：（1，8）．
28.（2020•兰州）点A（﹣4，3），B（0，k）在二次函数y＝﹣（x+2）2+h的图象上，则k＝ ．
【答案】3
【解析】解：由二次函数y＝﹣（x+2）2+h可知，抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，
∴A（﹣4，3）关于对称轴的对称点为（0，3），
∵B（0，k）在二次函数y＝﹣（x+2）2+h的图象上，
∴点B就是点A的对称点，
∴k＝3，
故答案为3．
29.（2020•德阳）若实数x，y满足x+y2＝3，设s＝x2+8y2，则s的取值范围是 ．
【答案】s≥9
【解析】解：由x+y2＝3，得：y2＝﹣x+3≥0，
∴x≤3，
代入s＝x2+8y2得：s＝x2+8y2＝x2+8（﹣x+3）＝x2﹣8x+24＝（x﹣4）2+8，
当x＝3时，s＝（3﹣4）2+8＝9，
∴s≥9；
故答案为：s≥9．
30.（2020•西藏）当﹣1≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣4x+5有最大值m，则m＝ ．
【答案】10
【解析】解：∵二次函数y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1，
∴该函数开口向上，对称轴为x＝2，
∵当﹣1≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣4x+5有最大值m，
∴当x＝﹣1时，该函数取得最大值，此时m＝（﹣1﹣2）2+1＝10，
故答案为：10．
31.（2020秋•伊通县期末）二次函数y＝x2+bx+5配方后为y＝（x﹣2）2+k，则k＝ ．
【答案】1
【解析】解：∵y＝（x﹣2）2+k＝x2﹣4x+4+k＝x2﹣4x+（4+k），
又∵y＝x2+bx+5，
∴x2﹣4x+（4+k）＝x2+bx+5，
∴b＝﹣4，k＝1．
故答案是：1．
32.（2020•牡丹江）将抛物线y＝ax2+bx﹣1向上平移3个单位长度后，经过点（﹣2，5），则8a﹣4b﹣11的值是 ．
【答案】-5
【解析】解：将抛物线y＝ax2+bx﹣1向上平移3个单位长度后，
表达式为：y＝ax2+bx+2，
∵经过点（﹣2，5），代入得：4a﹣2b＝3，
则8a﹣4b﹣11＝2（4a﹣2b）﹣11＝2×3﹣11＝﹣5，
故答案为：﹣5．
33.（2020•长春）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（4，2）．若抛物线y=-32（x﹣h）2+k（h、k为常数）与线段AB交于C、D两点，且CD=12AB，则k的值为 ．
【答案】k=72
【解析】解：∵点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（4，2），
∴AB＝4，
∵抛物线y=-32（x﹣h）2+k（h、k为常数）与线段AB交于C、D两点，且CD=12AB＝2，
∴设点C的坐标为（c，2），则点D的坐标为（c+2，2），h=2c+22=c+1，
∴2=-32[c﹣（c+1）]2+k，解得，k=72．
34.（2020•益阳）某公司新产品上市30天全部售完，图1表示产品的市场日销售量与上市时间之间的关系，图2表示单件产品的销售利润与上市时间之间的关系，则最大日销售利润是 元．
【答案】1800
【解析】解：设日销售量y与上市时间t之间的函数关系式为y＝kx，
30k＝60，得k＝2，
即日销售量y与上市时间t之间的函数关系式为y＝2t，
当0＜t≤20时，设单件的利润w与t之间的函数关系式为w＝at，
20a＝30，得a＝1.5，
即当0＜t≤20时，单件的利润w与t之间的函数关系式为w＝1.5t，
当20＜t≤30时，单件的利润w与t之间的函数关系式为w＝30，
设日销售利润为W元，
当0＜t≤20时，W＝1.5t×2t＝3t2，
故当t＝20时，W取得最大值，此时W＝1200，
当20＜t≤30时，W＝30×2t＝60t，
故当t＝30时，W取得最大值，此时W＝1800，
综上所述，最大日销售利润为1800元，
故答案为：1800．
35.（2020•湖北）某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶．已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为 元．
【答案】70
【解析】解：设每顶头盔的售价为x元，获得的利润为w元，
w＝（x﹣50）[200+（80﹣x）×20]＝﹣20（x﹣70）2+8000，
∴当x＝70时，w取得最大值，此时w＝8000，
故答案为：70．
36.（2020•连云港）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率y与加工时间x（单位：min）满足函数表达式y＝﹣0.2x2+1.5x﹣2，则最佳加工时间为 min．
【答案】3.75
【解析】解：根据题意：y＝﹣0.2x2+1.5x﹣2，
当x=-1.52×(-0.2)=3.75时，y取得最大值，
则最佳加工时间为3.75min．
故答案为：3.75．
37.（2020秋•澄海区期末）汽车刹车后行驶的距离s（米）与行驶时间t（秒）的函数关系是s＝18t﹣6t2，汽车从刹车到停下来所用时间是 秒．
【答案】1.5
【解析】解：∵s＝18t﹣6t2，
＝﹣6（t﹣1.5）2+13.5，
∴当t＝1.5秒时，s取得最大值，即汽车停下来．
故答案为：1.5
38.（2020•朝阳）抛物线y＝（k﹣1）x2﹣x+1与x轴有交点，则k的取值范围是 ．
【答案】k≤54且k≠1
【解析】解：∵抛物线y＝（k﹣1）x2﹣x+1与x轴有交点，
∴△＝（﹣1）2﹣4×（k﹣1）×1≥0，解得k≤54，
又∵k﹣1≠0，
∴k≠1，
∴k的取值范围是k≤54且k≠1；
故答案为：k≤54且k≠1．
39.（2020•宁夏）若二次函数y＝﹣x2+2x+k的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围是 ．
【答案】k＞﹣1
【解析】解：∵二次函数y＝﹣x2+2x+k的图象与x轴有两个交点，
∴△＝4﹣4×（﹣1）•k＞0，
解得：k＞﹣1，
故答案为：k＞﹣1．
40.（2020•青岛）抛物线y＝2x2+2（k﹣1）x﹣k（k为常数）与x轴交点的个数是 ．
【答案】2
【解析】解：∵抛物线y＝2x2+2（k﹣1）x﹣k（k为常数），
∴当y＝0时，0＝2x2+2（k﹣1）x﹣k，
∴△＝[2（k﹣1）]2﹣4×2×（﹣k）＝4k2+4＞0，
∴0＝2x2+2（k﹣1）x﹣k有两个不相等的实数根，
∴抛物线y＝2x2+2（k﹣1）x﹣k（k为常数）与x轴有两个交点，
故答案为：2．
41.（2019•贵港）我们定义一种新函数：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0，且b2﹣4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象（如图所示），并写出下列五个结论：①图象与坐标轴的交点为（﹣1，0），（3，0）和（0，3）；②图象具有对称性，对称轴是直线x＝1；③当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大；④当x＝﹣1或x＝3时，函数的最小值是0；⑤当x＝1时，函数的最大值是4．其中正确结论的个数是 ．
【答案】4
【解析】解：①∵（﹣1，0），（3，0）和（0，3）坐标都满足函数y＝|x2﹣2x﹣3|，∴①是正确的；
②从图象可知图象具有对称性，对称轴可用对称轴公式求得是直线x＝1，因此②也是正确的；
③根据函数的图象和性质，发现当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大，因此③也是正确的；
④函数图象的最低点就是与x轴的两个交点，根据y＝0，求出相应的x的值为x＝﹣1或x＝3，因此④也是正确的；
⑤从图象上看，当x＜﹣1或x＞3，函数值要大于当x＝1时的y＝|x2﹣2x﹣3|＝4，因此⑤是不正确的；
故答案是：4
42.（2018•河池）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴只有一个交点，与x轴平行的直线l交抛物线于A、B，交y轴于M，若AB＝6，则OM的长为 ．
【答案】9
【解析】解：抛物线y＝x2+bx+c与x轴只有一个交点，则b2﹣4c＝0，
设OM＝h，A、B点的横坐标分别为m、n，
则：A（m，h）、B（n，h），
由题意得：x2+bx+（c﹣h）＝0，
则：m+n＝﹣b，mn＝c﹣h，
AB＝6＝n﹣m=(m+n)2-4mn=b2-4(c-h)=4h，
解得：h＝9，
故答案为9；
附注：其它解法：
将抛物线平移，顶点至原点，此时y＝x2，
则点B点横坐标为3，
故y＝9．
43.（2020•荆门）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A、B，顶点为C，对称轴为直线x＝1，给出下列结论：①abc＜0；②若点C的坐标为（1，2），则△ABC的面积可以等于2；③M（x1，y1），N（x2，y2）是抛物线上两点（x1＜x2），若x1+x2＞2，则y1＜y2； ④若抛物线经过点（3，﹣1），则方程ax2+bx+c+1＝0的两根为﹣1，3．其中正确结论的序号为 ．
【答案】①④
【解析】解：①抛物线的对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c＞0，故abc＜0，正确，符合题意；
②△ABC的面积=12AB•yC=12×AB×2＝2，解得：AB＝2，则点A（0，0），即c＝0与图象不符，故②错误，不符合题意；
③函数的对称轴为x＝1，若x1+x2＞2，则12（x1+x2）＞1，则点N离函数对称轴远，故y1＞y2，故③错误，不符合题意；
④抛物线经过点（3，﹣1），则y′＝ax2+bx+c+1过点（3，0），
根据函数的对称轴该抛物线也过点（﹣1，0），故方程ax2+bx+c+1＝0的两根为﹣1，3，故④正确，符合题意；
故答案为：①④．
三、解答题（共7小题）：
44.（2020•北京）在平面直角坐标系xOy中，M（x1，y1），N（x2，y2）为抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上任意两点，其中x1＜x2．
（1）若抛物线的对称轴为x＝1，当x1，x2为何值时，y1＝y2＝c；
（2）设抛物线的对称轴为x＝t，若对于x1+x2＞3，都有y1＜y2，求t的取值范围．
【答案】(1)x1＝0，x2＝2；(2)t≤32.
【解析】解：（1）由题意y1＝y2＝c，
∴x1＝0，
∵对称轴x＝1，
∴M，N关于x＝1对称，
∴x2＝2，
∴x1＝0，x2＝2时，y1＝y2＝c．
（2）①当x1≥t时，恒成立．
②当x1＜x2≤t时，恒不成立．
③当x1＜t．x2＞t时，∵抛物线的对称轴为x＝t，若对于x1+x2＞3，都有y1＜y2，
当x1+x2＝3，且y1＝y2时，对称轴x=32，
∴满足条件的值为：t≤32．
45.（2020•安徽）在平面直角坐标系中，已知点A（1，2），B（2，3），C（2，1），直线y＝x+m经过点A，抛物线y＝ax2+bx+1恰好经过A，B，C三点中的两点．
（1）判断点B是否在直线y＝x+m上，并说明理由；
（2）求a，b的值；
（3）平移抛物线y＝ax2+bx+1，使其顶点仍在直线y＝x+m上，求平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值．
【答案】(1)点B（2，3）在直线y＝x+m上；(2)a＝﹣1，b＝2；
(3)当p＝1时，平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值为54.
【解析】解：（1）点B是在直线y＝x+m上，理由如下：
∵直线y＝x+m经过点A（1，2），
∴2＝1+m，解得m＝1，
∴直线为y＝x+1，
把x＝2代入y＝x+1得y＝3，
∴点B（2，3）在直线y＝x+m上；
（2）∵直线y＝x+1经过点B（2，3），直线y＝x+1与抛物线y＝ax2+bx+1都经过点（0，1），点（0，1），A（1，2），B（2，3）在直线上，点（0，1），A（1，2）在抛物线上，直线与抛物线不可能有三个交点 且B、C两点的横坐标相同，
∴抛物线只能经过A、C两点，
把A（1，2），C（2，1）代入y＝ax2+bx+1得a+b+1=24a+2b+1=1，
解得a＝﹣1，b＝2；
（3）由（2）知，抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+1，
设平移后的抛物线的解析式为y＝﹣x2+px+q，其顶点坐标为（p2，p24+q），
∵顶点仍在直线y＝x+1上，
∴p24+q=p2+1，
∴q=-p24+p2+1，
∵抛物线y＝﹣x2+px+q与y轴的交点的纵坐标为q，
∴q=-p24+p2+1=-14（p﹣1）2+54，
∴当p＝1时，平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值为54．
46.（2020•昆明）如图，两条抛物线y1＝﹣x2+4，y2=-15x2+bx+c相交于A，B两点，点A在x轴负半轴上，且为抛物线y2的最高点．
（1）求抛物线y2的解析式和点B的坐标；
（2）点C是抛物线y1上A，B之间的一点，过点C作x轴的垂线交y2于点D，当线段CD取最大值时，求S△BCD．
【答案】(1)抛物线y2的解析式为：y2=-15x2-45x-45，点B（3，﹣5）；
(2)S△BCD=254.
【解析】解：（1）当y1＝0时，即﹣x2+4＝0，解得x＝2或x＝﹣2，
又点A在x轴的负半轴，
∴点A（﹣2，0），
∵点A（﹣2，0），是抛物线y2的最高点．
∴-b2×(-15)=-2，即b=-45，
把A（﹣2，0）代入y2=-15x2-45x+c得，c=-45，
∴抛物线y2的解析式为：y2=-15x2-45x-45；
由y1=-x2+4y2=-15x2-45x-45得，x1=-2y1=0，x2=3y2=-5，
∵A（﹣2，0），
∴点B（3，﹣5），
答：抛物线y2的解析式为：y2=-15x2-45x-45，点B（3，﹣5）；
（2）由题意得，CD＝y1﹣y2＝﹣x2+4﹣（-15x2-45x-45），
即：CD=-45x2+45x+245，
当x=-b2a=12时，CD最大=-45×14+45×12+245=5，
∴S△BCD=12×5×（3-12）=254．
47.（2020•衡阳）在平面直角坐标系xOy中，关于x的二次函数y＝x2+px+q的图象过点（﹣1，0），（2，0）．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）求当﹣2≤x≤1时，y的最大值与最小值的差；
（3）一次函数y＝（2﹣m）x+2﹣m的图象与二次函数y＝x2+px+q的图象交点的横坐标分别是a和b，且a＜3＜b，求m的取值范围．
【答案】(1)y＝x2﹣x﹣2；(2)y的最大值与最小值的差为：4﹣（-94）=254；
(3)m的取值范围是m＜1.
【解析】解：（1）由二次函数y＝x2+px+q的图象经过（﹣1，0）和（2，0）两点，
∴1-p+q=04+2p+q=0，解得p=-1q=-2，
∴此二次函数的表达式为y＝x2﹣x﹣2；
（2）∵抛物线开口向上，对称轴为直线x=-1+22=12，
∴在﹣2≤x≤1范围内，当x＝﹣2，函数有最大值为：y＝4+2﹣2＝4；当x=12时函数有最小值：y=14-12-2=-94，
∴y的最大值与最小值的差为：4﹣（-94）=254；
（3）y＝（2﹣m）x+2﹣m与二次函数y＝x2﹣x﹣2图象交点的横坐标为a和b，
∴x2﹣x﹣2＝（2﹣m）x+2﹣m，整理得x2+（m﹣3）x+m﹣4＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝4﹣m，
∵a＜3＜b，
∴a＝﹣1，b＝4﹣m＞3，
故解得m＜1，即m的取值范围是m＜1．
48.（2020•西宁）如图1，一次函数的图象与两坐标轴分别交于A，B两点，且B点坐标为（0，4），以点A为顶点的抛物线解析式为y＝﹣（x+2）2．
（1）求一次函数的解析式；
（2）如图2，将抛物线的顶点沿线段AB平移，此时抛物线顶点记为C，与y轴交点记为D，当点C的横坐标为﹣1时，求抛物线的解析式及D点的坐标；
（3）在（2）的条件下，线段AB上是否存在点P，使以点B，D，P为顶点的三角形与△AOB相似，若存在，求出所有满足条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)y＝2x+4；(2)点C坐标为（﹣1，2）；
(3)点P的坐标为：（-32，1）或（-65，85）.
【解析】解：（1）∵抛物线解析式为y＝﹣（x+2）2，
∴点A的坐标为（﹣2，0），
设一次函数解析式为y＝kx+b（k≠0），
把A（﹣2，0），B（0，4）代入y＝kx+b，
得-2k+b=0b=4，
解得k=2b=4，
∴一次函数解析式为y＝2x+4；
（2）∵点C在直线y＝2x+4上，且点C的横坐标为﹣1，
∴y＝2×（﹣1）+4＝2，
∴点C坐标为（﹣1，2），
设平移后的抛物线解析式为y＝a（x﹣h）2+k（a≠0），
∵a＝﹣1，顶点坐标为C（﹣1，2），
∴抛物线的解析式是y＝﹣（x+1）2+2，
∵抛物线与y轴的交点为D，
∴令x＝0，得y＝1，
∴点D坐标为（0，1）；
（3）存在，
①过点D作P1D∥OA交AB于点P1，
∴△BDP1∽△BOA，
∴P1点的纵坐标为1，代入一次函数y＝2x+4，
得x=-32，
∴P1的坐标为（-32，1）；
②过点D作P2D⊥AB于点P2，
∴∠BP2D＝∠AOB＝90°，
又∵∠DBP2＝∠ABO（公共角），
∴△BP2D∽△BOA，
∴OBP2B=ABBD，
∵直线y＝2x+4与x轴的交点A（﹣2，0），B（0，4），
又∵D（0，1），
∴OA＝2，OB＝4，BD＝3，
∴AB=22+42=25，
∴4P2B=253，
∴P2B=655，
过P2作P2M⊥y轴于点M，
设P2（a，2a+4），
则P2M＝|a|＝﹣a，BM＝4﹣（2a+4）＝﹣2a，
在Rt△BP2M中 P2M2+BM2=P2B2，
∴(-a)2+(-2a)2=(655)2，
解得a=±65a=65（舍去），
∴a=-65，
∴2a+4=85，
∴P2的坐标为（-65，85），
综上所述：点P的坐标为：（-32，1）或（-65，85）．
49.（2020•广安）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，过点A的直线l交抛物线于点C（2，m）．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点P是线段AC上一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，求线段PE最大时点P的坐标．
（3）点F是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点D，使得以点A，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点D的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)y＝x2﹣2x﹣3；(2)当x=12时，PE的最大值=94，此时P（12，-32）；
(3)满足条件的点D的坐标为（﹣3，0）或（1，0）或（4-7，0）或（4+7，0）.
【解析】解：（1）将A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝x2+bx+c，
得到1-b+c=09+3b+c=0；解得b=-2c=-3，
∴y＝x2﹣2x﹣3．
（2）将C点的横坐标x＝2代入y＝x2﹣2x﹣3，得y＝﹣3，∴C（2，﹣3）；
∴直线AC的函数解析式是y＝﹣x﹣1．
设P点的横坐标为x（﹣1≤x≤2），则P、E的坐标分别为：P（x，﹣x﹣1），E（x，x2﹣2x﹣3）；
∵P点在E点的上方，PE＝（﹣x﹣1）﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣x2+x+2，
＝﹣（x-12）2+94，
∵﹣1＜0，
∴当x=12时，PE的最大值=94，此时P（12，-32）．
（3）存在．
理由：如图，设抛物线与y的交点为K，由题意K（0，﹣3），
∵C（2，﹣3），
∴CK∥x轴，CK＝2，
当AC是平行四边形ACF1D1的边时，可得D1（﹣3，0）．
当AC是平行四边形AF1CD2的对角线时，AD2＝CK，可得D2（1，0），
当点F在x轴的上方时，令y＝3，3＝x2﹣2x﹣3，解得x＝1±7，
∴F3（1-7，3），F4（1+7，3），
由平移的性质可知D3（4-7，0），D4（4+7，0）．
所以，满足条件的点D的坐标为（﹣3，0）或（1，0）或（4-7，0）或（4+7，0）。
50.（2020•苏州）如图，二次函数y＝x2+bx的图象与x轴正半轴交于点A，平行于x轴的直线l与该抛物线交于B、C两点（点B位于点C左侧），与抛物线对称轴交于点D（2，﹣3）．
（1）求b的值；
（2）设P、Q是x轴上的点（点P位于点Q左侧），四边形PBCQ为平行四边形．过点P、Q分别作x轴的垂线，与抛物线交于点P'（x1，y1）、Q'（x2，y2）．若|y1﹣y2|＝2，求x1、x2的值．
【答案】(1)b＝﹣4；(2)x1=32x2=72或x1=12x2=52.
【解析】解：（1）直线与抛物线的对称轴交于点D（2，﹣3），
故抛物线的对称轴为x＝2，即-12b＝2，解得：b＝﹣4，
（2）∵b＝﹣4
∴抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x；
把y＝﹣3代入y＝x2﹣4x并解得x＝1或3，
故点B、C的坐标分别为（1，﹣3）、（3，﹣3），则BC＝2，
∵四边形PBCQ为平行四边形，
∴PQ＝BC＝2，故x2﹣x1＝2，
又∵y1＝x12﹣4x1，y2＝x22﹣4x2，|y1﹣y2|＝2，
故|（x12﹣4x1）﹣（x22﹣4x2）|＝2，|x1+x2﹣4|＝1．
∴x1+x2＝5或x1+x2＝3，
由x2-x1=2x1+x2=5，解得x1=32x2=72；
由x2-x1=2x1+x2=3，解得x1=12x2=52．
2021年中考数学 专题15 二次函数及其应用
（基础巩固练习，共50个小题）
一、选择题（共25小题）：
1.（2020秋•闵行区期末）下列函数中，是二次函数的是（ ）
A．y=-2x2-3x B．y＝﹣（x﹣1）2+x2
C．y＝11x2+29x D．y＝ax2+bx+c
【答案】C
【解析】解：A、含有分式，不是二次函数，故此选项不合题意；
B、y＝﹣（x﹣1）2+x2＝2x﹣1，不是二次函数，故此选项不合题意；
C、是二次函数，故此选项符合题意；
D、当a＝0时，不是二次函数，故此选项不合题意；
故选：C．
2．（2020秋•郫都区期末）若y＝（a﹣2）x2﹣3x+4是二次函数，则a的取值范围是（ ）
A．a≠2 B．a＞0 C．a＞2 D．a≠0
【答案】A
【解析】解：由题意得：a﹣2≠0，
解得：a≠2，
故选：A．
3.（2020•西宁）函数y＝ax2+1和y＝ax+a（a为常数，且a≠0），在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
【答案】D
【解析】解：∵y＝ax2+1，
∴二次函数y＝ax2+1的图象的顶点为（0，1），故A、B不符合题意；
当y＝ax+a＝0时，x＝﹣1，
∴一次函数y＝ax+a的图象过点（﹣1，0），故C不符题意．故选：D．
4.（2020•陕西）在同一平面直角坐标系中，若抛物线y＝mx2+2x﹣n与y＝﹣6x2﹣2x+m﹣n关于x轴对称，则m，n的值为（ ）
A．m＝﹣6，n＝﹣3 B．m＝﹣6，n＝3
C．m＝6，n＝﹣3 D．m＝6，n＝3
【答案】D
【解析】解：∵抛物线y＝mx2+2x﹣n与y＝﹣6x2﹣2x+m﹣n关于x轴对称，
∴﹣y＝﹣mx2﹣2x+n，
∴y＝﹣mx2﹣2x+n与y＝﹣6x2﹣2x+m﹣n相同，
∴﹣m＝﹣6，n＝m﹣n，
解得m＝6，n＝3，
故选：D．
5.（2020•葫芦岛）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的对称轴是直线x＝1，则以下四个结论中：①abc＞0，②2a+b＝0，③4a+b2＜4ac，④3a+c＜0．正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】解：①根据抛物线开口向下可知：a＜0，
因为对称轴在y轴右侧，所以b＞0，
因为抛物线与y轴正半轴相交，所以c＞0，
所以abc＜0，所以①错误；
②因为抛物线对称轴是直线x＝1，即-b2a=1，所以b＝﹣2a，
所以b+2a＝0，所以②正确；
③因为b＝﹣2a，由4a+b2＜4ac，得4a+4a2＜4ac，
∵a＜0，∴c＜1+a，
根据抛物线与y轴的交点，c＞1，所以③错误；
④当x＝﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0，
因为b＝﹣2a，所以3a+c＜0，所以④正确．
所以正确的是②④2个．故选：B．
6.（2020•镇江）点P（m，n）在以y轴为对称轴的二次函数y＝x2+ax+4的图象上．则m﹣n的最大值等于（ ）
A．154 B．4 C．-154 D．-174
【答案】C
【解析】解：∵点P（m，n）在以y轴为对称轴的二次函数y＝x2+ax+4的图象上，
∴a＝0，
∴n＝m2+4，
∴m﹣n＝m﹣（m2+4）＝﹣m2+m﹣4＝﹣（m-12）2-154，
∴当m=12时，m﹣n取得最大值，此时m﹣n=-154，
故选：C．
7.（2020•呼和浩特）已知二次函数y＝（a﹣2）x2﹣（a+2）x+1，当x取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值y总相等，则关于x的一元二次方程（a﹣2）x2﹣（a+2）x+1＝0的两根之积为（ ）
A．0 B．﹣1 C．-12 D．-14
【答案】D
【解析】解：∵二次函数y＝（a﹣2）x2﹣（a+2）x+1，
当x取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值y总相等，
可知二次函数图象的对称轴为直线x＝0，即y轴，
则--(a+2)2(a-2)=0，
解得：a＝﹣2，
则关于x的一元二次方程（a﹣2）x2﹣（a+2）x+1＝0为﹣4x2+1＝0，
则两根之积为-14，故选：D．
8.（2020•宿迁）将二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象向上平移3个单位长度，得到的拋物线相应的函数表达式为（ ）
A．y＝（x+2）2﹣2 B．y＝（x﹣4）2+2 C．y＝（x﹣1）2﹣1 D．y＝（x﹣1）2+5
【答案】D
【解析】解：由“上加下减”的原则可知，将二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象向上平移3个单位长度，所得抛物线的解析式为：y＝（x﹣1）2+2+3，即y＝（x﹣1）2+5；
故选：D．
9.（2020•广东）把函数y＝（x﹣1）2+2图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为（ ）
A．y＝x2+2 B．y＝（x﹣1）2+1 C．y＝（x﹣2）2+2 D．y＝（x﹣1）2+3
【答案】C
【解析】解：二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象的顶点坐标为（1，2），
∴向右平移1个单位长度后的函数图象的顶点坐标为（2，2），
∴所得的图象解析式为y＝（x﹣2）2+2．
故选：C．
10.（2020•温州）已知（﹣3，y1），（﹣2，y2），（1，y3）是抛物线y＝﹣3x2﹣12x+m上的点，则（ ）
A．y3＜y2＜y1 B．y3＜y1＜y2 C．y2＜y3＜y1 D．y1＜y3＜y2
【答案】B
【解析】解：抛物线的对称轴为直线x=--122×(-3)=-2，
∵a＝﹣3＜0，
∴x＝﹣2时，函数值最大，
又∵﹣3到﹣2的距离比1到﹣2的距离小，
∴y3＜y1＜y2．
故选：B．
11.2020•杭州）设函数y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是实数，a≠0），当x＝1时，y＝1；当x＝8时，y＝8，（ ）
A．若h＝4，则a＜0 B．若h＝5，则a＞0
C．若h＝6，则a＜0 D．若h＝7，则a＞0
【答案】C
【解析】解：当x＝1时，y＝1；当x＝8时，y＝8；代入函数式得：1=a(1-h)2+k8=a(8-h)2+k，
∴a（8﹣h）2﹣a（1﹣h）2＝7，
整理得：a（9﹣2h）＝1，
若h＝4，则a＝1，故A错误；
若h＝5，则a＝﹣1，故B错误；
若h＝6，则a=-13，故C正确；
若h＝7，则a=-15，故D错误；
故选：C．
12.（2018•山西）用配方法将二次函数y＝x2﹣8x﹣9化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为（ ）
A．y＝（x﹣4）2+7 B．y＝（x﹣4）2﹣25
C．y＝（x+4）2+7 D．y＝（x+4）2﹣25
【答案】B
【解析】解：y＝x2﹣8x﹣9
＝x2﹣8x+16﹣25
＝（x﹣4）2﹣25．
故选：B．
13.（2020•绵阳）三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同．当水面刚好淹没小孔时，大孔水面宽度为10米，孔顶离水面1.5米；当水位下降，大孔水面宽度为14米时，单个小孔的水面宽度为4米，若大孔水面宽度为20米，则单个小孔的水面宽度为（ ）
A．43米 B．52米 C．213米 D．7米
【答案】B
【解析】解：如图，建立如图所示的平面直角坐标系，
由题意可得MN＝4，EF＝14，BC＝10，DO=32，
设大孔所在抛物线解析式为y＝ax2+32，
∵BC＝10，
∴点B（﹣5，0），
∴0＝a×（﹣5）2+32，
∴a=-350，
∴大孔所在抛物线解析式为y=-350x2+32，
设点A（b，0），则设顶点为A的小孔所在抛物线的解析式为y＝m（x﹣b）2，
∵EF＝14，
∴点E的横坐标为﹣7，
∴点E坐标为（﹣7，-3625），
∴-3625=m（x﹣b）2，
∴x1=65-1m+b，x2=-65-1m+b，
∴MN＝4，
∴|65-1m+b﹣（-65-1m+b）|＝4
∴m=-925，
∴顶点为A的小孔所在抛物线的解析式为y=-925（x﹣b）2，
∵大孔水面宽度为20米，
∴当x＝﹣10时，y=-92，
∴-92=-925（x﹣b）2，
∴x1=522+b，x2=-522+b，
∴单个小孔的水面宽度＝|（522+b）﹣（-522+b）|＝52（米），
故选：B．
14.（2020•山西）竖直上抛物体离地面的高度h（m）与运动时间t（s）之间的关系可以近似地用公式h＝﹣5t2+v0t+h0表示，其中h0（m）是物体抛出时离地面的高度，v0（m/s）是物体抛出时的速度．某人将一个小球从距地面1.5m的高处以20m/s的速度竖直向上抛出，小球达到的离地面的最大高度为（ ）
A．23.5m B．22.5m C．21.5m D．20.5m
【答案】C
【解析】解：由题意可得，
h＝﹣5t2+20t+1.5＝﹣5（t﹣2）2+21.5，
因为a＝﹣5＜0，
故当t＝2时，h取得最大值，此时h＝21.5，
故选：C．
15.（2020秋•齐河县期末）今年由于受新型冠状病毒的影响，一次性医用口罩的销量剧增．某药店一月份销售量是5000枚，二、三两个月销售量连续增长．若月平均增长率为x，则该药店三月份销售口罩枚数y（枚）与x的函数关系式是（ ）
A．y＝5000（1+x） B．y＝5000（1+x）2
C．y＝5000（1+x2） D．y＝5000（1+2x）
【答案】B
【解析】解：该药店三月份销售口罩枚数y（枚）与x的函数关系式：y＝5000（1+x）2．
故选：B．
16.（2020秋•龙沙区期末）为测量某地温度变化情况，记录了一段时间的温度．一段时间内，温度y与时间t的函数关系满足y＝﹣t2+12t+2，当4≤t≤8时，该地区的最高温度是（ ）
A．38℃ B．37℃ C．36℃ D．34℃
【答案】A
【解析】解：∵y＝﹣t2+12t+2
＝﹣（t2﹣12t+36）+38
＝﹣（t﹣6）2+38，
∴当t＝6时，温度y有最大值，最大值为38℃．
∴当4≤t≤8时，该地区的最高温度是38℃．
故选：A．
17.（2020秋•光明区期末）如图，抛物线与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0）两点，点P从点A出发，沿线段AB向点B匀速运动，到达点B停止，PQ⊥x轴，交抛物线于点Q（m，n），设点P的运动时间为t秒，当t＝3和t＝9时，n的值相等．下列结论：
①t＝6时，n的值最大；②t＝10时，n＝0；③当t＝5和t＝7时，n的值不一定相等；④t＝4时，m＝0．
其中正确的是（ ）
A．①④ B．②④ C．①③ D．②③
【答案】A
【解析】解：根据题意知，该抛物线的对称轴是直线x=4-22=1．
设点P的运动速度是每秒v个单位长度，则
∵当t＝3和t＝9时，n的值相等，
∴x=(9v-2)+(3v-2)2=1．
∴v=12．
①当t＝6时，AP＝6×12=3，此时点Q是抛物线顶点坐标，即n的值最大，故结论正确；
②当t＝10时，AP＝10×12=5，此时点Q与点B不重合，即n≠0，故结论错误；
③当t＝5时，AP=52，此时点P的坐标是（-12，0）；当t＝7时，AP=72，此时点P的坐标是（32，0）．因为点（-12，0）与点（-12，0）关于对称轴直线x＝1对称，所以n的值一定相等，故结论错误；
④t＝4时，AP＝4×12=2，此时点P与原点重合，则m＝0，故结论正确．
综上所述，正确的结论是①④．故选：A．
18.（2020秋•武侯区期末）关于x的一元二次方程x2+4x+4m＝0有两个相等的实数根，则二次函数y＝x2+4x+4m的图象与x轴的交点情况为（ ）
A．没有交点 B．有一个交点 C．有两个交点 D．不能确定
【答案】B
【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2+4x+4m＝0有两个相等的实数根，
∴二次函数y＝x2+4x+4m的图象与x轴的交点情况为：有一个交点，
故选：B．
19.（2020秋•昆明期末）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的交点是（1，0），（﹣3，0），则这条抛物线的对称轴是（ ）
A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝2 D．x＝﹣3
【答案】B
【解析】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的交点是（1，0），（﹣3，0），
∴这条抛物线的对称轴是：x=-1+32=1，即x＝1．
故选：B．
20.（2020•阜新）已知二次函数y＝﹣x2+2x+4，则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是（ ）
A．图象的开口向上 B．图象的顶点坐标是（1，3）
C．当x＜1时，y随x的增大而增大 D．图象与x轴有唯一交点
【答案】C
【解析】解：∵y＝﹣x2+2x+4＝﹣（x﹣1）2+5，
∴抛物线的开口向下，顶点坐标为（1，5），抛物线的对称轴为直线x＝1，当x＜1时，y随x的增大而增大，
令y＝0，则﹣x2+2x+4＝0，解方程解得x1＝1+5，x2＝1-5，
∴△＝4﹣4×（﹣1）×4＝20＞0，
∴抛物线与x轴有两个交点．
故选：C．
21.（2020•娄底）二次函数y＝（x﹣a）（x﹣b）﹣2（a＜b）与x轴的两个交点的横坐标分别为m和n，且m＜n，下列结论正确的是（ ）
A．m＜a＜n＜b B．a＜m＜b＜n C．m＜a＜b＜n D．a＜m＜n＜b
【答案】C
【解析】解：二次函数y＝（x﹣a）（x﹣b）与x轴交点的横坐标为a、b，将其图象往下平移2个单位长度可得出二次函数y＝（x﹣a）（x﹣b）﹣2的图象，如图所示．
观察图象，可知：m＜a＜b＜n．
故选：C．
22.（2020•大连）抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），对称轴是直线x＝1，其部分图象如图所示，则此抛物线与x轴的另一个交点坐标是（ ）
A．（72，0） B．（3，0） C．（52，0） D．（2，0）
【答案】B
【解析】解：设抛物线与x轴交点横坐标分别为x1、x2，且x1＜x2，
根据两个交点关于对称轴直线x＝1对称可知：x1+x2＝2，
即x2﹣1＝2，得x2＝3，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），故选：B．
23.（2020•昆明）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与y轴交于点B（0，﹣2），点A（﹣1，m）在抛物线上，则下列结论中错误的是（ ）
A．ab＜0
B．一元二次方程ax2+bx+c＝0的正实数根在2和3之间
C．a=m+23
D．点P1（t，y1），P2（t+1，y2）在抛物线上，当实数t＞13时，y1＜y2
【答案】D
【解析】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴为直线x=-b2a=1，
∴b＝﹣2a＜0，
∴ab＜0，所以A选项的结论正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线与x轴的一个交点坐标在（0，0）与（﹣1，0）之间，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标在（2，0）与（3，0）之间，
∴一元二次方程ax2+bx+c＝0的正实数根在2和3之间，所以B选项的结论正确；
把B（0，﹣2），A（﹣1，m）代入抛物线得c＝﹣2，a﹣b+c＝m，
而b＝﹣2a，
∴a+2a﹣2＝m，
∴a=m+23，所以C选项的结论正确；
∵点P1（t，y1），P2（t+1，y2）在抛物线上，
∴当点P1、P2都在直线x＝1的右侧时，y1＜y2，此时t≥1；
当点P1在直线x＝1的左侧，点P2在直线x＝1的右侧时，y1＜y2，此时0＜t＜1且t+1﹣1＞1﹣t，即12＜t＜1，
∴当12＜t＜1或t≥1时，y1＜y2，所以D选项的结论错误．
故选：D．
24.（2020•宜宾）函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点（2，0），顶点坐标为（﹣1，n），其中n＞0．以下结论正确的是（ ）
①abc＞0；
②函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在x＝1和x＝﹣2处的函数值相等；
③函数y＝kx+1的图象与y＝ax2+bx+c（a≠0）的函数图象总有两个不同交点；
④函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在﹣3≤x≤3内既有最大值又有最小值．
A．①③ B．①②③ C．①④ D．②③④
【答案】C
【解析】解：依照题意，画出图形如下：
∵函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点（2，0），顶点坐标为（﹣1，n），其中n＞0．
∴a＜0，c＞0，对称轴为x=-b2a=-1，
∴b＝2a＜0，
∴abc＞0，故①正确，
∵对称轴为x＝﹣1，
∴x＝1与x＝﹣3的函数值是相等的，故②错误；
∵顶点为（﹣1，n），
∴抛物线解析式为；y＝a（x+1）2+n＝ax2+2ax+a+n，
联立方程组可得：y=kx+1y=ax2+2ax+a+n，
可得ax2+（2a﹣k）x+a+n﹣1＝0，
∴△＝（2a﹣k）2﹣4a（a+n﹣1）＝k2﹣4ak+4a﹣4an，
∵无法判断△是否大于0，
∴无法判断函数y＝kx+1的图象与y＝ax2+bx+c（a≠0）的函数图象的交点个数，故③错误；
当﹣3≤x≤3时，
当x＝﹣1时，y有最大值为n，当x＝3时，y有最小值为16a+n，故④正确，
故选：C．
25.（2020•随州）如图所示，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴的正半轴交于点C，顶点为D，则下列结论：
①2a+b＝0；
②2c＜3b；
③当△ABC是等腰三角形时，a的值有2个；
④当△BCD是直角三角形时，a=-22．
其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，
∴对称轴为直线x=-b2a=1，
∴b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，故①正确，
当x＝﹣1时，0＝a﹣b+c，
∴a+2a+c＝0，
∴c＝﹣3a，
∴2c＝3b，故②错误；
∵二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a，（a＜0）
∴点C（0，﹣3a），
当BC＝AB时，4=9+9a2，
∴a=-73，
当AC＝BA时，4=1+9a2，
∴a=-153，
∴当△ABC是等腰三角形时，a的值有2个，故③正确；
∵二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x﹣1）2﹣4a，
∴顶点D（1，﹣4a），
∴BD2＝4+16a2，BC2＝9+9a2，CD2＝a2+1，
若∠BDC＝90°，可得BC2＝BD2+CD2，
∴9+9a2＝4+16a2+a2+1，
∴a=-22，
若∠DCB＝90°，可得BD2＝CD2+BC2，
∴4+16a2＝9+9a2+a2+1，
∴a＝﹣1，
∴当△BCD是直角三角形时，a＝﹣1或-22，故④错误．
故选：B．
二、填空题（共18小题）：
26.（2020•凉山州一模）若y＝（m2+m）xm2﹣2m﹣1﹣x+3是关于x的二次函数，则m＝ ．
【答案】3
【解析】解：由题意，得
m2﹣2m﹣1＝2，且m2+m≠0，
解得m＝3，
故答案为：3．
27.（2020•哈尔滨）抛物线y＝3（x﹣1）2+8的顶点坐标为 ．
【答案】（1，8）
【解析】解：∵抛物线y＝3（x﹣1）2+8是顶点式，
∴顶点坐标是（1，8）．
故答案为：（1，8）．
28.（2020•兰州）点A（﹣4，3），B（0，k）在二次函数y＝﹣（x+2）2+h的图象上，则k＝ ．
【答案】3
【解析】解：由二次函数y＝﹣（x+2）2+h可知，抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，
∴A（﹣4，3）关于对称轴的对称点为（0，3），
∵B（0，k）在二次函数y＝﹣（x+2）2+h的图象上，
∴点B就是点A的对称点，
∴k＝3，
故答案为3．
29.（2020•德阳）若实数x，y满足x+y2＝3，设s＝x2+8y2，则s的取值范围是 ．
【答案】s≥9
【解析】解：由x+y2＝3，得：y2＝﹣x+3≥0，
∴x≤3，
代入s＝x2+8y2得：s＝x2+8y2＝x2+8（﹣x+3）＝x2﹣8x+24＝（x﹣4）2+8，
当x＝3时，s＝（3﹣4）2+8＝9，
∴s≥9；
故答案为：s≥9．
30.（2020•西藏）当﹣1≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣4x+5有最大值m，则m＝ ．
【答案】10
【解析】解：∵二次函数y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1，
∴该函数开口向上，对称轴为x＝2，
∵当﹣1≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣4x+5有最大值m，
∴当x＝﹣1时，该函数取得最大值，此时m＝（﹣1﹣2）2+1＝10，
故答案为：10．
31.（2020秋•伊通县期末）二次函数y＝x2+bx+5配方后为y＝（x﹣2）2+k，则k＝ ．
【答案】1
【解析】解：∵y＝（x﹣2）2+k＝x2﹣4x+4+k＝x2﹣4x+（4+k），
又∵y＝x2+bx+5，
∴x2﹣4x+（4+k）＝x2+bx+5，
∴b＝﹣4，k＝1．
故答案是：1．
32.（2020•牡丹江）将抛物线y＝ax2+bx﹣1向上平移3个单位长度后，经过点（﹣2，5），则8a﹣4b﹣11的值是 ．
【答案】-5
【解析】解：将抛物线y＝ax2+bx﹣1向上平移3个单位长度后，
表达式为：y＝ax2+bx+2，
∵经过点（﹣2，5），代入得：4a﹣2b＝3，
则8a﹣4b﹣11＝2（4a﹣2b）﹣11＝2×3﹣11＝﹣5，
故答案为：﹣5．
33.（2020•长春）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（4，2）．若抛物线y=-32（x﹣h）2+k（h、k为常数）与线段AB交于C、D两点，且CD=12AB，则k的值为 ．
【答案】k=72
【解析】解：∵点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（4，2），
∴AB＝4，
∵抛物线y=-32（x﹣h）2+k（h、k为常数）与线段AB交于C、D两点，且CD=12AB＝2，
∴设点C的坐标为（c，2），则点D的坐标为（c+2，2），h=2c+22=c+1，
∴2=-32[c﹣（c+1）]2+k，解得，k=72．
34.（2020•益阳）某公司新产品上市30天全部售完，图1表示产品的市场日销售量与上市时间之间的关系，图2表示单件产品的销售利润与上市时间之间的关系，则最大日销售利润是 元．
【答案】1800
【解析】解：设日销售量y与上市时间t之间的函数关系式为y＝kx，
30k＝60，得k＝2，
即日销售量y与上市时间t之间的函数关系式为y＝2t，
当0＜t≤20时，设单件的利润w与t之间的函数关系式为w＝at，
20a＝30，得a＝1.5，
即当0＜t≤20时，单件的利润w与t之间的函数关系式为w＝1.5t，
当20＜t≤30时，单件的利润w与t之间的函数关系式为w＝30，
设日销售利润为W元，
当0＜t≤20时，W＝1.5t×2t＝3t2，
故当t＝20时，W取得最大值，此时W＝1200，
当20＜t≤30时，W＝30×2t＝60t，
故当t＝30时，W取得最大值，此时W＝1800，
综上所述，最大日销售利润为1800元，
故答案为：1800．
35.（2020•湖北）某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶．已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为 元．
【答案】70
【解析】解：设每顶头盔的售价为x元，获得的利润为w元，
w＝（x﹣50）[200+（80﹣x）×20]＝﹣20（x﹣70）2+8000，
∴当x＝70时，w取得最大值，此时w＝8000，
故答案为：70．
36.（2020•连云港）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率y与加工时间x（单位：min）满足函数表达式y＝﹣0.2x2+1.5x﹣2，则最佳加工时间为 min．
【答案】3.75
【解析】解：根据题意：y＝﹣0.2x2+1.5x﹣2，
当x=-1.52×(-0.2)=3.75时，y取得最大值，
则最佳加工时间为3.75min．
故答案为：3.75．
37.（2020秋•澄海区期末）汽车刹车后行驶的距离s（米）与行驶时间t（秒）的函数关系是s＝18t﹣6t2，汽车从刹车到停下来所用时间是 秒．
【答案】1.5
【解析】解：∵s＝18t﹣6t2，
＝﹣6（t﹣1.5）2+13.5，
∴当t＝1.5秒时，s取得最大值，即汽车停下来．
故答案为：1.5
38.（2020•朝阳）抛物线y＝（k﹣1）x2﹣x+1与x轴有交点，则k的取值范围是 ．
【答案】k≤54且k≠1
【解析】解：∵抛物线y＝（k﹣1）x2﹣x+1与x轴有交点，
∴△＝（﹣1）2﹣4×（k﹣1）×1≥0，解得k≤54，
又∵k﹣1≠0，
∴k≠1，
∴k的取值范围是k≤54且k≠1；
故答案为：k≤54且k≠1．
39.（2020•宁夏）若二次函数y＝﹣x2+2x+k的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围是 ．
【答案】k＞﹣1
【解析】解：∵二次函数y＝﹣x2+2x+k的图象与x轴有两个交点，
∴△＝4﹣4×（﹣1）•k＞0，
解得：k＞﹣1，
故答案为：k＞﹣1．
40.（2020•青岛）抛物线y＝2x2+2（k﹣1）x﹣k（k为常数）与x轴交点的个数是 ．
【答案】2
【解析】解：∵抛物线y＝2x2+2（k﹣1）x﹣k（k为常数），
∴当y＝0时，0＝2x2+2（k﹣1）x﹣k，
∴△＝[2（k﹣1）]2﹣4×2×（﹣k）＝4k2+4＞0，
∴0＝2x2+2（k﹣1）x﹣k有两个不相等的实数根，
∴抛物线y＝2x2+2（k﹣1）x﹣k（k为常数）与x轴有两个交点，
故答案为：2．
41.（2019•贵港）我们定义一种新函数：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0，且b2﹣4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象（如图所示），并写出下列五个结论：①图象与坐标轴的交点为（﹣1，0），（3，0）和（0，3）；②图象具有对称性，对称轴是直线x＝1；③当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大；④当x＝﹣1或x＝3时，函数的最小值是0；⑤当x＝1时，函数的最大值是4．其中正确结论的个数是 ．
【答案】4
【解析】解：①∵（﹣1，0），（3，0）和（0，3）坐标都满足函数y＝|x2﹣2x﹣3|，∴①是正确的；
②从图象可知图象具有对称性，对称轴可用对称轴公式求得是直线x＝1，因此②也是正确的；
③根据函数的图象和性质，发现当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大，因此③也是正确的；
④函数图象的最低点就是与x轴的两个交点，根据y＝0，求出相应的x的值为x＝﹣1或x＝3，因此④也是正确的；
⑤从图象上看，当x＜﹣1或x＞3，函数值要大于当x＝1时的y＝|x2﹣2x﹣3|＝4，因此⑤是不正确的；
故答案是：4
42.（2018•河池）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴只有一个交点，与x轴平行的直线l交抛物线于A、B，交y轴于M，若AB＝6，则OM的长为 ．
【答案】9
【解析】解：抛物线y＝x2+bx+c与x轴只有一个交点，则b2﹣4c＝0，
设OM＝h，A、B点的横坐标分别为m、n，
则：A（m，h）、B（n，h），
由题意得：x2+bx+（c﹣h）＝0，
则：m+n＝﹣b，mn＝c﹣h，
AB＝6＝n﹣m=(m+n)2-4mn=b2-4(c-h)=4h，
解得：h＝9，
故答案为9；
附注：其它解法：
将抛物线平移，顶点至原点，此时y＝x2，
则点B点横坐标为3，
故y＝9．
43.（2020•荆门）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A、B，顶点为C，对称轴为直线x＝1，给出下列结论：①abc＜0；②若点C的坐标为（1，2），则△ABC的面积可以等于2；③M（x1，y1），N（x2，y2）是抛物线上两点（x1＜x2），若x1+x2＞2，则y1＜y2； ④若抛物线经过点（3，﹣1），则方程ax2+bx+c+1＝0的两根为﹣1，3．其中正确结论的序号为 ．
【答案】①④
【解析】解：①抛物线的对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c＞0，故abc＜0，正确，符合题意；
②△ABC的面积=12AB•yC=12×AB×2＝2，解得：AB＝2，则点A（0，0），即c＝0与图象不符，故②错误，不符合题意；
③函数的对称轴为x＝1，若x1+x2＞2，则12（x1+x2）＞1，则点N离函数对称轴远，故y1＞y2，故③错误，不符合题意；
④抛物线经过点（3，﹣1），则y′＝ax2+bx+c+1过点（3，0），
根据函数的对称轴该抛物线也过点（﹣1，0），故方程ax2+bx+c+1＝0的两根为﹣1，3，故④正确，符合题意；
故答案为：①④．
三、解答题（共7小题）：
44.（2020•北京）在平面直角坐标系xOy中，M（x1，y1），N（x2，y2）为抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上任意两点，其中x1＜x2．
（1）若抛物线的对称轴为x＝1，当x1，x2为何值时，y1＝y2＝c；
（2）设抛物线的对称轴为x＝t，若对于x1+x2＞3，都有y1＜y2，求t的取值范围．
【答案】(1)x1＝0，x2＝2；(2)t≤32.
【解析】解：（1）由题意y1＝y2＝c，
∴x1＝0，
∵对称轴x＝1，
∴M，N关于x＝1对称，
∴x2＝2，
∴x1＝0，x2＝2时，y1＝y2＝c．
（2）①当x1≥t时，恒成立．
②当x1＜x2≤t时，恒不成立．
③当x1＜t．x2＞t时，∵抛物线的对称轴为x＝t，若对于x1+x2＞3，都有y1＜y2，
当x1+x2＝3，且y1＝y2时，对称轴x=32，
∴满足条件的值为：t≤32．
45.（2020•安徽）在平面直角坐标系中，已知点A（1，2），B（2，3），C（2，1），直线y＝x+m经过点A，抛物线y＝ax2+bx+1恰好经过A，B，C三点中的两点．
（1）判断点B是否在直线y＝x+m上，并说明理由；
（2）求a，b的值；
（3）平移抛物线y＝ax2+bx+1，使其顶点仍在直线y＝x+m上，求平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值．
【答案】(1)点B（2，3）在直线y＝x+m上；(2)a＝﹣1，b＝2；
(3)当p＝1时，平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值为54.
【解析】解：（1）点B是在直线y＝x+m上，理由如下：
∵直线y＝x+m经过点A（1，2），
∴2＝1+m，解得m＝1，
∴直线为y＝x+1，
把x＝2代入y＝x+1得y＝3，
∴点B（2，3）在直线y＝x+m上；
（2）∵直线y＝x+1经过点B（2，3），直线y＝x+1与抛物线y＝ax2+bx+1都经过点（0，1），点（0，1），A（1，2），B（2，3）在直线上，点（0，1），A（1，2）在抛物线上，直线与抛物线不可能有三个交点 且B、C两点的横坐标相同，
∴抛物线只能经过A、C两点，
把A（1，2），C（2，1）代入y＝ax2+bx+1得a+b+1=24a+2b+1=1，
解得a＝﹣1，b＝2；
（3）由（2）知，抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+1，
设平移后的抛物线的解析式为y＝﹣x2+px+q，其顶点坐标为（p2，p24+q），
∵顶点仍在直线y＝x+1上，
∴p24+q=p2+1，
∴q=-p24+p2+1，
∵抛物线y＝﹣x2+px+q与y轴的交点的纵坐标为q，
∴q=-p24+p2+1=-14（p﹣1）2+54，
∴当p＝1时，平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值为54．
46.（2020•昆明）如图，两条抛物线y1＝﹣x2+4，y2=-15x2+bx+c相交于A，B两点，点A在x轴负半轴上，且为抛物线y2的最高点．
（1）求抛物线y2的解析式和点B的坐标；
（2）点C是抛物线y1上A，B之间的一点，过点C作x轴的垂线交y2于点D，当线段CD取最大值时，求S△BCD．
【答案】(1)抛物线y2的解析式为：y2=-15x2-45x-45，点B（3，﹣5）；
(2)S△BCD=254.
【解析】解：（1）当y1＝0时，即﹣x2+4＝0，解得x＝2或x＝﹣2，
又点A在x轴的负半轴，
∴点A（﹣2，0），
∵点A（﹣2，0），是抛物线y2的最高点．
∴-b2×(-15)=-2，即b=-45，
把A（﹣2，0）代入y2=-15x2-45x+c得，c=-45，
∴抛物线y2的解析式为：y2=-15x2-45x-45；
由y1=-x2+4y2=-15x2-45x-45得，x1=-2y1=0，x2=3y2=-5，
∵A（﹣2，0），
∴点B（3，﹣5），
答：抛物线y2的解析式为：y2=-15x2-45x-45，点B（3，﹣5）；
（2）由题意得，CD＝y1﹣y2＝﹣x2+4﹣（-15x2-45x-45），
即：CD=-45x2+45x+245，
当x=-b2a=12时，CD最大=-45×14+45×12+245=5，
∴S△BCD=12×5×（3-12）=254．
47.（2020•衡阳）在平面直角坐标系xOy中，关于x的二次函数y＝x2+px+q的图象过点（﹣1，0），（2，0）．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）求当﹣2≤x≤1时，y的最大值与最小值的差；
（3）一次函数y＝（2﹣m）x+2﹣m的图象与二次函数y＝x2+px+q的图象交点的横坐标分别是a和b，且a＜3＜b，求m的取值范围．
【答案】(1)y＝x2﹣x﹣2；(2)y的最大值与最小值的差为：4﹣（-94）=254；
(3)m的取值范围是m＜1.
【解析】解：（1）由二次函数y＝x2+px+q的图象经过（﹣1，0）和（2，0）两点，
∴1-p+q=04+2p+q=0，解得p=-1q=-2，
∴此二次函数的表达式为y＝x2﹣x﹣2；
（2）∵抛物线开口向上，对称轴为直线x=-1+22=12，
∴在﹣2≤x≤1范围内，当x＝﹣2，函数有最大值为：y＝4+2﹣2＝4；当x=12时函数有最小值：y=14-12-2=-94，
∴y的最大值与最小值的差为：4﹣（-94）=254；
（3）y＝（2﹣m）x+2﹣m与二次函数y＝x2﹣x﹣2图象交点的横坐标为a和b，
∴x2﹣x﹣2＝（2﹣m）x+2﹣m，整理得x2+（m﹣3）x+m﹣4＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝4﹣m，
∵a＜3＜b，
∴a＝﹣1，b＝4﹣m＞3，
故解得m＜1，即m的取值范围是m＜1．
48.（2020•西宁）如图1，一次函数的图象与两坐标轴分别交于A，B两点，且B点坐标为（0，4），以点A为顶点的抛物线解析式为y＝﹣（x+2）2．
（1）求一次函数的解析式；
（2）如图2，将抛物线的顶点沿线段AB平移，此时抛物线顶点记为C，与y轴交点记为D，当点C的横坐标为﹣1时，求抛物线的解析式及D点的坐标；
（3）在（2）的条件下，线段AB上是否存在点P，使以点B，D，P为顶点的三角形与△AOB相似，若存在，求出所有满足条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)y＝2x+4；(2)点C坐标为（﹣1，2）；
(3)点P的坐标为：（-32，1）或（-65，85）.
【解析】解：（1）∵抛物线解析式为y＝﹣（x+2）2，
∴点A的坐标为（﹣2，0），
设一次函数解析式为y＝kx+b（k≠0），
把A（﹣2，0），B（0，4）代入y＝kx+b，
得-2k+b=0b=4，
解得k=2b=4，
∴一次函数解析式为y＝2x+4；
（2）∵点C在直线y＝2x+4上，且点C的横坐标为﹣1，
∴y＝2×（﹣1）+4＝2，
∴点C坐标为（﹣1，2），
设平移后的抛物线解析式为y＝a（x﹣h）2+k（a≠0），
∵a＝﹣1，顶点坐标为C（﹣1，2），
∴抛物线的解析式是y＝﹣（x+1）2+2，
∵抛物线与y轴的交点为D，
∴令x＝0，得y＝1，
∴点D坐标为（0，1）；
（3）存在，
①过点D作P1D∥OA交AB于点P1，
∴△BDP1∽△BOA，
∴P1点的纵坐标为1，代入一次函数y＝2x+4，
得x=-32，
∴P1的坐标为（-32，1）；
②过点D作P2D⊥AB于点P2，
∴∠BP2D＝∠AOB＝90°，
又∵∠DBP2＝∠ABO（公共角），
∴△BP2D∽△BOA，
∴OBP2B=ABBD，
∵直线y＝2x+4与x轴的交点A（﹣2，0），B（0，4），
又∵D（0，1），
∴OA＝2，OB＝4，BD＝3，
∴AB=22+42=25，
∴4P2B=253，
∴P2B=655，
过P2作P2M⊥y轴于点M，
设P2（a，2a+4），
则P2M＝|a|＝﹣a，BM＝4﹣（2a+4）＝﹣2a，
在Rt△BP2M中 P2M2+BM2=P2B2，
∴(-a)2+(-2a)2=(655)2，
解得a=±65a=65（舍去），
∴a=-65，
∴2a+4=85，
∴P2的坐标为（-65，85），
综上所述：点P的坐标为：（-32，1）或（-65，85）．
49.（2020•广安）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，过点A的直线l交抛物线于点C（2，m）．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点P是线段AC上一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，求线段PE最大时点P的坐标．
（3）点F是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点D，使得以点A，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点D的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)y＝x2﹣2x﹣3；(2)当x=12时，PE的最大值=94，此时P（12，-32）；
(3)满足条件的点D的坐标为（﹣3，0）或（1，0）或（4-7，0）或（4+7，0）.
【解析】解：（1）将A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝x2+bx+c，
得到1-b+c=09+3b+c=0；解得b=-2c=-3，
∴y＝x2﹣2x﹣3．
（2）将C点的横坐标x＝2代入y＝x2﹣2x﹣3，得y＝﹣3，∴C（2，﹣3）；
∴直线AC的函数解析式是y＝﹣x﹣1．
设P点的横坐标为x（﹣1≤x≤2），则P、E的坐标分别为：P（x，﹣x﹣1），E（x，x2﹣2x﹣3）；
∵P点在E点的上方，PE＝（﹣x﹣1）﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣x2+x+2，
＝﹣（x-12）2+94，
∵﹣1＜0，
∴当x=12时，PE的最大值=94，此时P（12，-32）．
（3）存在．
理由：如图，设抛物线与y的交点为K，由题意K（0，﹣3），
∵C（2，﹣3），
∴CK∥x轴，CK＝2，
当AC是平行四边形ACF1D1的边时，可得D1（﹣3，0）．
当AC是平行四边形AF1CD2的对角线时，AD2＝CK，可得D2（1，0），
当点F在x轴的上方时，令y＝3，3＝x2﹣2x﹣3，解得x＝1±7，
∴F3（1-7，3），F4（1+7，3），
由平移的性质可知D3（4-7，0），D4（4+7，0）．
所以，满足条件的点D的坐标为（﹣3，0）或（1，0）或（4-7，0）或（4+7，0）。
50.（2020•苏州）如图，二次函数y＝x2+bx的图象与x轴正半轴交于点A，平行于x轴的直线l与该抛物线交于B、C两点（点B位于点C左侧），与抛物线对称轴交于点D（2，﹣3）．
（1）求b的值；
（2）设P、Q是x轴上的点（点P位于点Q左侧），四边形PBCQ为平行四边形．过点P、Q分别作x轴的垂线，与抛物线交于点P'（x1，y1）、Q'（x2，y2）．若|y1﹣y2|＝2，求x1、x2的值．
【答案】(1)b＝﹣4；(2)x1=32x2=72或x1=12x2=52.
【解析】解：（1）直线与抛物线的对称轴交于点D（2，﹣3），
故抛物线的对称轴为x＝2，即-12b＝2，解得：b＝﹣4，
（2）∵b＝﹣4
∴抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x；
把y＝﹣3代入y＝x2﹣4x并解得x＝1或3，
故点B、C的坐标分别为（1，﹣3）、（3，﹣3），则BC＝2，
∵四边形PBCQ为平行四边形，
∴PQ＝BC＝2，故x2﹣x1＝2，
又∵y1＝x12﹣4x1，y2＝x22﹣4x2，|y1﹣y2|＝2，
故|（x12﹣4x1）﹣（x22﹣4x2）|＝2，|x1+x2﹣4|＝1．
∴x1+x2＝5或x1+x2＝3，
由x2-x1=2x1+x2=5，解得x1=32x2=72；
由x2-x1=2x1+x2=3，解得x1=12x2=52．
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