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专题13一次函数及其应用（基础巩固练习）解析版
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这是一份专题13一次函数及其应用（基础巩固练习）解析版，共41页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年中考数学 专题13 一次函数及其应用
（基础巩固练习，共46个小题）
一、选择题（共20小题）：
1.（2020秋•章丘区期末）下列关系式中，一次函数是（ ）
A．y=2x-1 B．y＝x2+3
C．y＝k+b（k、b是常数） D．y＝3x
【答案】D
【解析】解：A、自变量在分母上，不符合一次函数定义，故此选项不符合题意；
B、y＝x2+3是二次函数，不是一次函数，故此选项不符合题意；
C、少x，不符合一次函数定义，故此选项不符合题意；
D、y＝3x是正比例函数也是一次函数，故此选项符合题意；故选：D．
2.（2019•梧州）下列函数中，正比例函数是（ ）
A．y＝﹣8x B．y=8x C．y＝8x2 D．y＝8x﹣4
【答案】A
【解析】解：A、y＝﹣8x，是正比例函数，符合题意；
B、y=8x，是反比例函数，不合题意；
C、y＝8x2，是二次函数，不合题意；
D、y＝8x﹣4，是一次函数，不合题意；故选：A．
3.（2020•广安）一次函数y＝﹣x﹣7的图象不经过的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【解析】解：∵k＝﹣1＜0，b＝﹣7＜0，
∴一次函数y＝﹣x﹣7的图象经过第二、三、四象限，
∴一次函数y＝﹣x﹣7的图象不经过第一象限．故选：A．
4.（2020•桂林）直线y＝kx+2过点（﹣1，4），则k的值是（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
【答案】A
【解析】解：∵直线y＝kx+2过点（﹣1，4），
∴4＝﹣k+2，∴k＝﹣2．故选：A．
5.（2020•泰州）点P（a，b）在函数y＝3x+2的图象上，则代数式6a﹣2b+1的值等于（ ）
A．5 B．3 C．﹣3 D．﹣1
【答案】C
【解析】解：∵点P（a，b）在函数y＝3x+2的图象上，
∴b＝3a+2，则3a﹣b＝﹣2．
∴6a﹣2b+1＝2（3a﹣b）+1＝﹣4+1＝﹣3；故选：C．
6.（2018•辽阳）如图，直线y＝ax+b（a≠0）过点A（0，4），B（﹣3，0），则方程ax+b＝0的解是（ ）
A．x＝﹣3 B．x＝4 C．x=-43 D．x=-34
【答案】A
【解析】解：方程ax+b＝0的解，即为函数y＝ax+b图象与x轴交点的横坐标，
∵直线y＝ax+b过B（﹣3，0），
∴方程ax+b＝0的解是x＝﹣3，故选：A．
7.（2020•济宁）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P，根据图象可知，方程x+5＝ax+b的解是（ ）
A．x＝20 B．x＝5 C．x＝25 D．x＝15
【答案】A
【解析】解：∵直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P（20，25）
∴方程x+5＝ax+b的解为x＝20．故选：A．
8.（2020•广州）一次函数y＝﹣3x+1的图象过点（x1，y1），（x1+1，y2），（x1+2，y3），则（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y1＜y2
【答案】B
【解析】解：∵一次函数y＝﹣3x+1中，k＝﹣3＜0，
∴y随着x的增大而减小．
∵一次函数y＝﹣3x+1的图象过点（x1，y1），（x1+1，y2），（x1+2，y3），
且x1＜x1+1＜x1+2，
∴y3＜y2＜y1，故选：B．
9.（2020•济南）若m＜﹣2，则一次函数y＝（m+1）x+1﹣m的图象可能是（ ）
【答案】D
【解析】解：∵m＜﹣2，
∴m+1＜0，1﹣m＞0，
所以一次函数y＝（m+1）x+1﹣m的图象经过一，二，四象限，故选：D．
10.（2020•沈阳）一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（﹣3，0），点B（0，2），那么该图象不经过的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】解：（方法一）将A（﹣3，0），B（0，2）代入y＝kx+b，得：-3k+b=0b=2，
解得：k=23b=2，
∴一次函数解析式为y=23x+2．
∵k=23＞0，b＝2＞0，
∴一次函数y=23x+2的图象经过第一、二、三象限，
即该图象不经过第四象限．故选：D．
（方法二）依照题意，画出函数图象，如图所示．
观察函数图象，可知：一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象不经过第四象限．故选：D．
11.（2020•凉山州）若一次函数y＝（2m+1）x+m﹣3的图象不经过第二象限，则m的取值范围是（ ）
A．m＞-12 B．m＜3 C．-12＜m＜3 D．-12＜m≤3
【答案】D
【解析】解：根据题意得2m+1＞0m-3≤0，
解得-12＜m≤3．
故选：D．
12.（2020•陕西）在平面直角坐标系中，将直线y＝kx﹣6沿x轴向左平移3个单位后恰好经过原点，则k的值为（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣3 D．3
【答案】B
【解析】解：将直线y＝kx﹣6沿x轴向左平移3个单位后得到y＝k（x+3）﹣6，
∵经过原点，
∴0＝k（0+3）﹣6，解得k＝2，
故选：B．
13.（2020•内江）将直线y＝﹣2x﹣1向上平移两个单位，平移后的直线所对应的函数关系式为（ ）
A．y＝﹣2x﹣5 B．y＝﹣2x﹣3 C．y＝﹣2x+1 D．y＝﹣2x+3
【答案】C
【解析】解：直线y＝﹣2x﹣1向上平移两个单位，所得的直线是y＝﹣2x+1，
故选：C．
14.（2020•湖州）已知在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x+2和直线y=23x+2分别交x轴于点A和点B．则下列直线中，与x轴的交点不在线段AB上的直线是（ ）
A．y＝x+2 B．y=2x+2 C．y＝4x+2 D．y=233x+2
【答案】C
【解析】解：∵直线y＝2x+2和直线y=23x+2分别交x轴于点A和点B．
∴A（﹣1，0），B（﹣3，0）
A、y＝x+2与x轴的交点为（﹣2，0）；故直线y＝x+2与x轴的交点在线段AB上；
B、y=2x+2与x轴的交点为（-2，0）；故直线y=2x+2与x轴的交点在线段AB上；
C、y＝4x+2与x轴的交点为（-12，0）；故直线y＝4x+2与x轴的交点不在线段AB上；
D、y=233x+2与x轴的交点为（-3，0）；故直线y=233x+2与x轴的交点在线段AB上；
故选：C．
15.（2020•西宁）全民健身的今天，散步是大众喜欢的运动．甲、乙两人在绿道上同时从同一起点以各自的速度匀速同向而行，步行一段时间后，甲因有事按原速度原路返回，此时乙仍按原速度继续前行．甲乙两人之间的距离s（米）与他们出发后的时间t（分）的函数关系如图所示，已知甲步行速度比乙快．由图象可知，甲、乙的速度分别是（ ）
A．60米/分，40米/分 B．80米/分，60米/分
C．80米/分，40米/分 D．120米/分，80米/分
【答案】A
【解析】解：根据题意可知，甲每分钟比乙快：200÷10＝20（米），
设乙的速度为x米/分，则甲的速度为（x+20）米/分，
根据题意得：2x+2（x+20）＝200，
解得x＝40，
40+20＝60（米/分），
即甲的速度为米/分，乙的速度为40米/分，
故选：A．
16.（2020•西藏）如图，一个弹簧不挂重物时长6cm，挂上重物后，在弹性限度内弹簧伸长的长度与所挂重物的质量成正比．弹簧总长y（单位：cm）关于所挂物体质量x（单位：kg）的函数图象如图所示，则图中a的值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【解析】解：设y与x的函数关系式为y＝kx+b，
将点（0，6），（9，10.5）代入上式得，
b=69k+b=10.5，
解得，k=0.5b=6，
即y与x的函数关系式是y＝0.5x+6，
当y＝7.5时，7.5＝0.5x+6，得x＝3，
即a的值为3，
故选：A．
17.（2020•鄂尔多斯）鄂尔多斯动物园内的一段线路如图1所示，动物园内有免费的班车，从入口处出发，沿该线路开往大象馆，途中停靠花鸟馆（上下车时间忽略不计），第一班车上午9：20发车，以后每隔10分钟有一班车从入口处发车，且每一班车速度均相同．小聪周末到动物园游玩，上午9点到达入口处，因还没到班车发车时间，于是从入口处出发，沿该线路步行25分钟后到达花鸟馆．离入口处的路程y（米）与时间x（分）的函数关系如图2所示，下列结论错误的是（ ）
A．第一班车离入口处的路程y（米）与时间x（分）的解析式为y＝200x﹣4000（20≤x≤38）
B．第一班车从入口处到达花鸟馆所需的时间为10分钟
C．小聪在花鸟馆游玩40分钟后，想坐班车到大象馆，则小聪最早能够坐上第四班车
D．小聪在花鸟馆游玩40分钟后，如果坐第五班车到大象馆，那么比他在花鸟馆游玩结束后立即步行到大象馆提前了7分钟（假设小聪步行速度不变）
【答案】C
【解析】解：由题意得，可设第一班车离入口处的路程y（米）与时间x（分）的解析式为：y＝kx+b（k≠0），
把（20，0），（38，3600）代入y＝kx+b，得0=20k+b3600=38k+b，解得k=200b=-4000，
∴第一班车离入口处的路程y（米）与时间x（分）的函数表达为y＝200x﹣4000（20≤x≤38）；
故选项A不合题意；
把y＝2000代入y＝200x﹣4000，解得x＝30，
30﹣20＝10（分），
∴第一班车从入口处到达花鸟馆所需时间10分钟；
故选项B不合题意；
设小聪坐上了第n班车，则
30﹣25+10（n﹣1）≥40，解得n≥4.5，
∴小聪坐上了第5班车，
故选项C符合题意；
等车的时间为5分钟，坐班车所需时间为：1600÷200＝8（分），
步行所需时间：1600÷（2000÷25）＝20（分），
20﹣（8+5）＝7（分），
∴比他在花鸟馆游玩结束后立即步行到大象馆提前了7分钟．
故选项D不合题意．故选：C．
18.（2020•恩施）甲乙两车从A城出发前往B城，在整个行程中，汽车离开A城的距离y与时刻t的对应关系如图所示，则下列结论错误的是（ ）
A．甲车的平均速度为60km/h
B．乙车的平均速度为100km/h
C．乙车比甲车先到B城
D．乙车比甲车先出发1h
【答案】D
【解析】解：由图象知：
A．甲车的平均速度为30010-5=60km/h，故A选项不合题意；
B．乙车的平均速度为3009-6=100km/h，故B选项不合题意；
C．甲10时到达B城，乙9时到达B城，所以乙比甲先到B城，故C选项不合题意；
D．甲5时出发，乙6时出发，所以乙比甲晚出发1h，故此选项错误，
故选：D．
19.（2020•武汉）一个容器有进水管和出水管，每分钟的进水量和出水量是两个常数．从某时刻开始4min内只进水不出水，从第4min到第24min内既进水又出水，从第24min开始只出水不进水，容器内水量y（单位：L）与时间x（单位：min）之间的关系如图所示，则图中a的值是（ ）
A．32 B．34 C．36 D．38
【答案】C
【解析】解：由图象可知，进水的速度为：20÷4＝5（L/min），
出水的速度为：5﹣（35﹣20）÷（16﹣4）＝3.75（L/min），
第24分钟时的水量为：20+（5﹣3.75）×（24﹣4）＝45（L），
a＝24+45÷3.75＝36．
故选：C．
20.（2020•连云港）快车从甲地驶往乙地，慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发并且在同一条公路上匀速行驶．图中折线表示快、慢两车之间的路程y（km）与它们的行驶时间x（h）之间的函数关系．小欣同学结合图象得出如下结论：
①快车途中停留了0.5h；
②快车速度比慢车速度多20km/h；
③图中a＝340；
④快车先到达目的地．
其中正确的是（ ）
A．①③ B．②③ C．②④ D．①④
【答案】B
【解析】解：根据题意可知，两车的速度和为：360÷2＝180（km/h），
相遇后慢车停留了0.5h，快车停留了1.6h，此时两车距离为88km，故①结论错误；
慢车的速度为：88÷（3.6﹣2.5）＝80（km/h），则快车的速度为100km/h，
所以快车速度比慢车速度多20km/h；故②结论正确；
88+180×（5﹣3.6）＝340（km），
所以图中a＝340，故③结论正确；
快车到达终点的时间为360÷100+1.6＝5.2小时，
慢车到达终点的时间为360÷80+0.5＝5小时，
因为5.2＞5，
所以慢车先到达目的地，故④结论错误．
所以正确的是②③．
故选：B．
二、填空题（共15小题）：
21.（2020秋•浦东新区期末）如果函数y＝（m-2）xm2-1是正比例函数，那么m＝ ．
【答案】-2
【解析】解：∵函数y＝（m-2）xm2-1是正比例函数，
∴m-2≠0且m2﹣1＝1，
解得：m=-2，
故答案为：-2．
22.（2020秋•九龙县期末）已知y与x﹣1成正比例，且当x=12时，y＝﹣1，则y关于x的函数解析式为 ．
【答案】y＝2x﹣2
【解析】解：根据题意，设y＝k（x﹣1），
将x=12、y＝﹣1代入，得：﹣1＝k（12-1），
解得：k＝2，
∴y＝2（x﹣1）＝2x﹣2，
故答案为：y＝2x﹣2．
23.（2020秋•会宁县期末）当k＝ 时，函数y＝（k+3）xk2-8-5是关于x的一次函数．
【答案】3
【解析】解：∵函数y＝（k+3）xk2-8-5是关于x的一次函数，
∴k2﹣8＝1，且k+3≠0．
解得 k＝3．
故答案是：3．
24.（2020秋•雁塔区校级月考）若y＝（m﹣2）xm2-3+5是一次函数函数，则其解析式为 ．
【答案】y＝﹣4x+5
【解析】解：∵y＝（m﹣2）xm2-3+5是一次函数函数，
∴m﹣2≠0，且m2﹣3＝1，
解得：m＝﹣2，
∴y＝﹣4x+5，
故答案为y＝﹣4x+5．
25.（2020秋•金东区期中）已知一次函数y＝2x+b图象与正比例函数y＝kx图象交于点（2，3）（k，b是常数），则关于x的方程2x＝kx﹣b的解是 ．
【答案】x＝2
【解析】解：一次函数y＝2x+b图象与正比例函数y＝kx图象交于点（2，3），
当x＝2时，2x+b＝kx，
方程2x+b＝kx的解是x＝2，
故答案为：x＝2．
26.（2020•宿迁）已知一次函数y＝2x﹣1的图象经过A（x1，1），B（x2，3）两点，则x1 x2（填“＞”“＜”或“＝”）．
【答案】＜
【解析】解：（解法一）∵k＝2＞0，
∴y随x的增大而增大．
又∵1＜3，
∴x1＜x2．
故答案为：＜．
（解法二）当y＝1时，2x1﹣1＝1，
解得：x1＝1；
当y＝3时，2x2﹣1＝3，
解得：x2＝2．
又∵1＜2，
∴x1＜x2．
故答案为：＜．
27.（2020秋•潮阳区期末）如图所示，在平面直角坐标系中，A（4，0），B（0，2），AC由AB绕点A顺时针旋转90°而得，则AC所在直线的解析式是 ．
【答案】y＝2x﹣8
【解析】解：∵A（4，0），B（0，2），
∴OA＝4，OB＝2，
过点C作CD⊥x轴于点D，
∵∠ABO+∠BAO＝∠BAO+∠CAD，
∴∠ABO＝∠CAD，
在△ACD和△BAO中
∠ABO=∠CAD∠AOB=∠CDAAB=AC，
∴△ACD≌△BAO（AAS）
∴AD＝OB＝2，CD＝OA＝4，
∴C（6，4）
设直线AC的解析式为y＝kx+b，将点A，点C坐标代入得4k+b=06k+b=4，
∴k=2b=-8，
∴直线AC的解析式为y＝2x﹣8．
故答案为：y＝2x﹣8．
28.（2018•邵阳）如图所示，一次函数y＝ax+b的图象与x轴相交于点（2，0），与y轴相交于点（0，4），结合图象可知，关于x的方程ax+b＝0的解是 ．
【答案】x＝2
【解析】解：∵一次函数y＝ax+b的图象与x轴相交于点（2，0），
∴关于x的方程ax+b＝0的解是x＝2．
故答案为x＝2．
29.（2020•广安）一次函数y＝2x+b的图象过点（0，2），将函数y＝2x+b的图象向上平移5个单位长度，所得函数的解析式为 ．
【答案】y＝2x+7
【解析】解：∵一次函数y＝2x+b的图象过点（0，2），
∴b＝2，
∴一次函数为y＝2x+2，
将函数y＝2x+2的图象向上平移5个单位长度，所得函数的解析式为y＝2x+2+5，
即y＝2x+7．
故答案为y＝2x+7．
30.（2020•黔东南州）把直线y＝2x﹣1向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则平移后所得直线的解析式为 ．
【答案】y＝2x+3
【解析】解：把直线y＝2x﹣1向左平移1个单位长度，得到y＝2（x+1）﹣1＝2x+1，
再向上平移2个单位长度，得到y＝2x+3．
故答案为：y＝2x+3．
31.（2020•南京）将一次函数y＝﹣2x+4的图象绕原点O逆时针旋转90°，所得到的图象对应的函数表达式是 ．
【答案】y=12x+2
【解析】解：在一次函数y＝﹣2x+4中，令x＝0，则y＝4，令y＝0，则x＝2，
∴直线y＝﹣2x+4经过点（0，4），（2，0）
将一次函数y＝﹣2x+4的图象绕原点O逆时针旋转90°，则点（0，4）的对应点为（﹣4，0），（2，0）的对应点是（0，2）
设对应的函数解析式为：y＝kx+b，
将点（﹣4，0）、（0，2）代入得-4k+b=0b=2，解得k=12b=2，
∴旋转后对应的函数解析式为：y=12x+2，
故答案为y=12x+2．
32.（2020•宁夏）如图，直线y=52x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△AOB绕点B逆时针旋转90°后得到△A1O1B，则点A1的坐标是 ．
【答案】（4，125）
【解析】解：在y=52x+4中，令x＝0得，y＝4，
令y＝0，得0=52x+4，解得x=-85，
∴A（-85，0），B（0，4），
由旋转可得△AOB≌△A1O1B，∠ABA1＝90°，
∴∠ABO＝∠A1BO1，∠BO1A1＝∠AOB＝90°，OA＝O1A1=85，OB＝O1B＝4，
∴∠OBO1＝90°，
∴O1B∥x轴，
∴点A1的纵坐标为OB﹣OA的长，即为4-85=125；
横坐标为O1B＝OB＝4，
故点A1的坐标是（4，125），
故答案为：（4，125）．
33.（2020•重庆）周末，自行车骑行爱好者甲、乙两人相约沿同一路线从A地出发前往B地进行骑行训练，甲、乙分别以不同的速度匀速骑行，乙比甲早出发5分钟．乙骑行25分钟后，甲以原速的85继续骑行，经过一段时间，甲先到达B地，乙一直保持原速前往B地．在此过程中，甲、乙两人相距的路程y（单位：米）与乙骑行的时间x（单位：分钟）之间的关系如图所示，则乙比甲晚 分钟到达B地．
【答案】12
【解析】解：由题意乙的速度为1500÷5＝300（米/分），设甲的速度为x米/分．
则有：7500﹣20x＝2500，
解得，x＝250，
25分钟后甲的速度为250×85=400（米/分）．
由题意总里程＝250×20+61×400＝29400（米），
86分钟乙的路程为86×300＝25800（米），
∴29400-25800300=12（分钟）．
故答案为：12．
34.（2019•济南）某市为提倡居民节约用水，自今年1月1日起调整居民用水价格．图中l1、l2分别表示去年、今年水费y（元）与用水量x（m3）之间的关系．小雨家去年用水量为150m3，若今年用水量与去年相同，水费将比去年多 元．
【答案】210
【解析】解：设当x＞120时，l2对应的函数解析式为y＝kx+b，
120k+b=480160k+b=720，得k=6b=-240，
即当x＞120时，l2对应的函数解析式为y＝6x﹣240，
当x＝150时，y＝6×150﹣240＝660，
由图象可知，去年的水价是480÷160＝3（元/m3），故小雨家去年用水量为150m3，需要缴费：150×3＝450（元），
660﹣450＝210（元），
即小雨家去年用水量为150m3，若今年用水量与去年相同，水费将比去年多210元，
故答案为：210．
35.（2019•重庆）一天，小明从家出发匀速步行去学校上学．几分钟后，在家休假的爸爸发现小明忘带数学书，于是爸爸立即匀速跑步去追小明，爸爸追上小明后以原速原路跑回家．小明拿到书后以原速的54快步赶往学校，并在从家出发后23分钟到校（小明被爸爸追上时交流时间忽略不计）．两人之间相距的路程y（米）与小明从家出发到学校的步行时间x（分钟）之间的函数关系如图所示，则小明家到学校的路程为 米．
【答案】2080
【解析】解：设小明原速度为x（米/分钟），则拿到书后的速度为1.25x（米/分钟），则家校距离为
11x+（23﹣11）×1.25x＝26x．
设爸爸行进速度为y（米/分钟），由题意及图形得：11x=(16-11)y(16-11)×(1.25x+y)=1380．
解得：x＝80，y＝176．
∴小明家到学校的路程为：80×26＝2080（米）．
故答案为：2080．
三、解答题（共11小题）：
36.（2020•南通）如图，直线l1：y＝x+3与过点A（3，0）的直线l2交于点C（1，m），与x轴交于点B．
（1）求直线l2的解析式；
（2）点M在直线l1上，MN∥y轴，交直线l2于点N，若MN＝AB，求点M的坐标．
【答案】(1)直线l2的解析式为y＝﹣2x+6；（2）M（3，6）或（﹣1，2）。
【解析】解：（1）在y＝x+3中，令y＝0，得x＝﹣3，
∴B（﹣3，0），
把x＝1代入y＝x+3得y＝4，
∴C（1，4），
设直线l2的解析式为y＝kx+b，
∴k+b=43k+b=0，解得k=-2b=6，
∴直线l2的解析式为y＝﹣2x+6；
（2）AB＝3﹣（﹣3）＝6，
设M（a，a+3），由MN∥y轴，得N（a，﹣2a+6），
MN＝|a+3﹣（﹣2a+6）|＝AB＝6，
解得a＝3或a＝﹣1，
∴M（3，6）或（﹣1，2）．
37.（2020•北京）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由函数y＝x的图象平移得到，且经过点（1，2）．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）当x＞1时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值大于一次函数y＝kx+b的值，直接写出m的取值范围．
【答案】(1)一次函数的解析式为y＝x+1；（2）m≥2。
【解析】解：（1）∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由直线y＝x平移得到，
∴k＝1，
将点（1，2）代入y＝x+b，
得1+b＝2，解得b＝1，
∴一次函数的解析式为y＝x+1；
（2）把点（1，2）代入y＝mx，求得m＝2，
∵当x＞1时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值大于一次函数y＝x+1的值，
∴m≥2．
38.（2020•陕西）小蕾家与外婆家相距270km，她假期去看望外婆，返回时，恰好有一辆顺路车可以带小蕾到A服务区，于是，小蕾与爸爸约定，她先搭乘顺路车到A服务区，爸爸驾车到A服务区接小蕾回家．两人在A服务区见面后，休息了一会儿，然后小蕾乘坐爸爸的车以60km/h的速度返回家中．返回途中，小蕾与自己家的距离y（km）和时间x（h）之间的关系大致如图所示．
（1）求小蕾从外婆家到A服务区的过程中，y与x之间的函数关系式；
（2）小蕾从外婆家回到自己家共用了多长时间？
【答案】(1)y与x之间的函数关系式为y＝﹣90x+270（0≤x≤2）；
（2）小蕾从外婆家回到自己家共用了4小时。
【解析】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，根据题意得：
b=270k+b=180，解得k=-90b=270，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣90x+270（0≤x≤2）；
（2）把x＝2代入y＝﹣90x+270，得y＝﹣180+270＝90，
从A服务区到家的时间为：90÷60＝1.5（小时），
2.5+1.5＝4（小时），
答：小蕾从外婆家回到自己家共用了4小时．
39.（2020•大连）甲、乙两个探测气球分别从海拔5m和15m处同时出发，匀速上升60min．如图是甲、乙两个探测气球所在位置的海拔y（单位：m）与气球上升时间x（单位：min）的函数图象．
（1）求这两个气球在上升过程中y关于x的函数解析式；
（2）当这两个气球的海拔高度相差15m时，求上升的时间．
【答案】(1)甲气球的函数解析式为：y＝x+5（x≥0），
乙气球的函数解析式为：y=12x+15（x≥0）；
（2）当这两个气球的海拔高度相差15m时，上升的时间为50min。
【解析】解：（1）设甲气球的函数解析式为：y＝kx+b，
乙气球的函数解析式为：y＝mx+n，
分别将（0，5），（20，25）和（0，15），（20，25）代入，
5=b25=20k+b，15=n25=20m+n，解得：k=1b=5，m=12n=15，
∴甲气球的函数解析式为：y＝x+5（x≥0），乙气球的函数解析式为：y=12x+15（x≥0）；
（2）由初始位置可得：
当x大于20时，两个气球的海拔高度可能相差15m，
且此时甲气球海拔更高，∴x+5﹣（12x+15）＝15，
解得：x＝50，
∴当这两个气球的海拔高度相差15m时，上升的时间为50min．
40.（2020•长春）已知A、B两地之间有一条长240千米的公路．甲车从A地出发匀速开往B地，甲车出发两小时后，乙车从B地出发匀速开往A地，两车同时到达各自的目的地．两车行驶的路程之和y（千米）与甲车行驶的时间x（时）之间的函数关系如图所示．
（1）甲车的速度为 40 千米/时，a的值为 480 ．
（2）求乙车出发后，y与x之间的函数关系式．
（3）当甲、乙两车相距100千米时，求甲车行驶的时间．
【答案】(1)40；480；
（2）y与x之间的函数关系式为y＝100x﹣120（2≤x≤6）；
（3）当甲、乙两车相距100千米时，甲车行驶的时间是135小时或235小时。
【解析】解：（1）由题意可知，甲车的速度为：80÷2＝40（千米/时）；
a＝40×6×2＝480，
故答案为：40；480；
（2）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，
由图可知，函数图象经过（2，80），（6，480），
∴2k+b=806k+b=480，解得k=100b=-120，
∴y与x之间的函数关系式为y＝100x﹣120（2≤x≤6）；
（3）两车相遇前：80+100（x﹣2）＝240﹣100，解得x=135；
两车相遇后：80+100（x﹣2）＝240+100，解得x=235，
答：当甲、乙两车相距100千米时，甲车行驶的时间是135小时或235小时．
41.（2020•鸡西）A，B两城市之间有一条公路相连，公路中途穿过C市，甲车从A市到B市，乙车从C市到A市，甲车的速度比乙车的速度慢20千米/时，两车距离C市的路程y（单位：千米）与行驶的时间t（单位：小时）的函数图象如图所示，结合图象信息，解答下列问题：
（1）甲车的速度是 60 千米/时，在图中括号内填入正确的数；
（2）求图象中线段MN所在直线的函数解析式，不需要写出自变量的取值范围；
（3）直接写出甲车出发后几小时，两车距C市的路程之和是460千米．
【答案】(1)60；
（2）线段MN所在直线的函数解析式为y＝80t﹣320；
（3）甲车出发13小时或9小时时，两车距C市的路程之和是460千米。
【解析】解：（1）由题意，甲的速度为4808=60千米/小时．乙的速度为80千米/小时，
48080=6（小时），4+6＝10（小时），
∴图中括号内的数为10．
故答案为：60．
（2）设线段MN所在直线的解析式为 y＝kt+b （ k≠0 ）．
把点M（4，0），N（10，480）代入y＝kt+b，
得：4k+b=010k+b=480，解得：k=80b=-320．
∴线段MN所在直线的函数解析式为y＝80t﹣320．
（3）（480﹣460）＝20，
20÷60=13（小时），
或60t﹣480+80（t﹣4）＝460，解得t＝9，
答：甲车出发13小时或9小时时，两车距C市的路程之和是460千米．
42.（2020•福建）某公司经营甲、乙两种特产，其中甲特产每吨成本价为10万元，销售价为10.5万元；乙特产每吨成本价为1万元，销售价为1.2万元．由于受有关条件限制，该公司每月这两种特产的销售量之和都是100吨，且甲特产的销售量都不超过20吨．
（1）若该公司某月销售甲、乙两种特产的总成本为235万元，问这个月该公司分别销售甲、乙两种特产各多少吨？
（2）求该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润．
【答案】(1)这个月该公司销售甲、乙两种特产分别为15吨，85吨；
（2）该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润是26万元。
【解析】解：（1）设销售甲种特产x吨，则销售乙种特产（100﹣x）吨，
10x+（100﹣x）×1＝235，
解得，x＝15，
∴100﹣x＝85，
答：这个月该公司销售甲、乙两种特产分别为15吨，85吨；
（2）设利润为w万元，销售甲种特产a吨，
w＝（10.5﹣10）a+（1.2﹣1）×（100﹣a）＝0.3a+20，
∵0≤a≤20，
∴当a＝20时，w取得最大值，此时w＝26，
答：该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润是26万元．
43.（2020•乐山）某汽车运输公司为了满足市场需要，推出商务车和轿车对外租赁业务．下面是乐山到成都两种车型的限载人数和单程租赁价格表：
车型
每车限载人数（人）
租金（元/辆）
商务车
6
300
轿车
4
（1）如果单程租赁2辆商务车和3辆轿车共需付租金1320元，求一辆轿车的单程租金为多少元？
（2）某公司准备组织34名职工从乐山赴成都参加业务培训，拟单程租用商务车或轿车前往．在不超载的情况下，怎样设计租车方案才能使所付租金最少？
【答案】(1)租用一辆轿车的租金为240元；
（2）租用商务车5辆和轿车1辆时，所付租金最少为1740元。
【解析】解：（1）设租用一辆轿车的租金为x元，
由题意得：300×2+3x＝1320，解得 x＝240，
答：租用一辆轿车的租金为240元；
（2）设租赁商务车m辆，租赁轿车n辆，根据题意可得6m+4n≥34，
得4n＝﹣6m+36≥0，解得m≤173，
当不租赁商务车时，需要租赁轿车9辆，所用租金为：9×240＝2160（元）；
租1辆赁商务车（坐满）时，则需租赁轿车7辆，所用租金为：1×300+7×240＝2040（元）；
租2辆赁商务车（坐满）时，则需租赁轿车6辆，所用租金为：2×300+6×240＝1980（元）；
租3辆赁商务车（坐满）时，则需租赁轿车4辆，所用租金为：3×300+4×240＝1860（元）；
租4辆赁商务车（坐满）时，则需租赁轿车3辆，所用租金为：4×300+3×240＝1920（元）；
租5辆赁商务车（坐满）时，则需租赁轿车1辆，所用租金为：5×300+1×240＝1740（元）；
所以租用商务车5辆和轿车1辆时，所付租金最少为1740元．
44.（2020•广安）某小区为了绿化环境，计划分两次购进A，B两种树苗，第一次购进A种树苗30棵，B种树苗15棵，共花费1350元；第二次购进A种树苗24棵，B种树苗10棵，共花费1060元．（两次购进的A，B两种树苗各自的单价均不变）
（1）A，B两种树苗每棵的价格分别是多少元？
（2）若购买A，B两种树苗共42棵，总费用为W元，购买A种树苗t棵，B种树苗的数量不超过A种树苗数量的2倍．求W与t的函数关系式．请设计出最省钱的购买方案，并求出此方案的总费用．
【答案】(1)A种树苗每棵的价格40元，B种树苗每棵的价格10元；
（2）购进A种花草的数量为14棵、B种28棵，费用最省；最省费用是840元。
【解析】解：（1）设A种树苗每棵的价格x元，B种树苗每棵的价格y元，根据题意得：
30x+15y=135024x+10y=1060，解得x=40y=10，
答：A种树苗每棵的价格40元，B种树苗每棵的价格10元；
（2）设A种树苗的数量为t棵，则B种树苗的数量为（42﹣t）棵，
∵B种树苗的数量不超过A种树苗数量的2倍，
∴42﹣t≤2t，
解得：t≥14，
∵t是正整数，
∴t最小值＝14，
设购买树苗总费用为W＝40t+10（42﹣t）＝30t+420，
∵k＞0，
∴W随t的减小而减小，
当t＝14时，W最小值＝30×14+420＝840（元）．
答：购进A种花草的数量为14棵、B种28棵，费用最省；最省费用是840元．
45.（2020•宜昌）已知函数y1＝x+2m﹣1，y2＝（2m+1）x+1均为一次函数，m为常数．
（1）如图1，将直线AO绕点A（﹣1，0）逆时针旋转45°得到直线l，直线l交y轴于点B．若直线l恰好是y1＝x+2m﹣1，y2＝（2m+1）x+1中某个函数的图象，请直接写出点B坐标以及m可能的值；
（2）若存在实数b，使得|m|﹣（b﹣1）1-b=0成立，求函数y1＝x+2m﹣1，y2＝（2m+1）x+1图象间的距离；
（3）当m＞1时，函数y1＝x+2m﹣1图象分别交x轴，y轴于C，E两点，y2＝（2m+1）x+1图象交x轴于D点，将函数y＝y1•y2的图象最低点F向上平移562m+1个单位后刚好落在一次函数y1＝x+2m﹣1图象上．设y＝y1•y2的图象，线段OD，线段OE围成的图形面积为S，试利用初中知识，探究S的一个近似取值范围．（要求：说出一种得到S的更精确的近似值的探究办法，写出探究过程，得出探究结果，结果的取值范围两端的数值差不超过0.01．）
【答案】(1)B（0，1），m的值为1或0；
（2）直线y1＝x﹣1与直线y2＝x+1之间的距离为2；
(3)348112000＜S＜310。
【解析】解：（1）由题意，OA＝OB＝1，
∴B（0，1），
当y1＝x+2m﹣1是直线l时，2m﹣1＝1，解得m＝1，
当直线y2＝（2m+1）x+1是直线l时，2m+1＝1，解得m＝0，
∴B（0，1），m的值为1或0．
（2）∵|m|﹣（b﹣1）1-b=0，
∵1﹣b≥0，
∴b﹣1≤0，
∵|m|≥0，﹣（b﹣1）1-b≥0，
∴m＝0，b＝1，
∴y1＝x﹣1，y2＝x+1，
如图1中，设直线y＝x+1交x轴于G，交y轴于H，直线y＝x﹣1交x轴于T，交y轴于P．
∵OG＝OT＝OH＝OP＝1，GT⊥PH，
∴四边形PTHG是正方形，
∴PG=OG2+OP2=2，
∴直线y1＝x﹣1与直线y2＝x+1之间的距离为2．
（3）∵y1＝x+2m﹣1图象分别交x轴，y轴于C，E两点，y2＝（2m+1）x+1图象交x轴于D点，
∴C（1﹣2m，0），E（0，2m﹣1），D（-12m+1，0），
∵y＝y1•y2＝（2m+1）x2+4m2x+2m﹣1，
∵m＞1，
∴2m+1＞0，
∴二次函数y＝（2m+1）x2+4m2x+2m﹣1的开口向上，图象的最低点是顶点，
∴顶点F（-2m22m+1，-(2m2-1)22m+1），
∵函数y＝y1•y2的图象最低点F向上平移562m+1个单位后刚好落在一次函数y1＝x+2m﹣1图象上，
∴-(2m2-1)22m+1+562m+1=-2m22m+1+（2m﹣1）且m＞1，
解得m＝2，
∴y＝y1•y2＝5x2+16x+3，y1＝x+3，y2＝5x+1，
∴D（-15，0），E（0，3），
由y＝5x2+16x+3得到与x轴，y轴的交点为（﹣3，0），（-15，0），（0，3），
∴抛物线经过D（-15，0），E（0，3）两点，
∴y＝y1•y2的图象，线段OD，线段OE围成的图形是封闭图形，S为该封闭图形的面积，
探究方法：利用规则图形面积来估计不规则图形的面积．
①观察大于S的情形，如图2中，易知S△DEO＞S，
∵D（-15，0），E（0，3），
∴S△ODE=12×3×15=310，
∴S＜310．
②观察小于S的情形，
当直线MN∥DE且与抛物线相切时，设直线MN与x，y轴分别交于M，N，
∵直线DE的解析式为y＝15x+3，设直线MN的解析式为y＝15x+b1，
由y=15x+b1y=5x2+16x+3，消去y得到，5x2+x+3﹣b1＝0，
由题意△＝0，1﹣20（3﹣b1）＝0，
解得b1=5920，
∴直线MN的解析式为y＝15x+5920，
∴M（-59300，0），N（0，5920），
∴S△MON=12×59300×5920=348112000，
∴S＞348112000，
综上所述，348112000＜S＜310．
46.（2020•广西）如图1，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+1与直线l2：x＝﹣2相交于点D，点A是直线l2上的动点，过点A作AB⊥l1于点B，点C的坐标为（0，3），连接AC，BC．设点A的纵坐标为t，△ABC的面积为s．
（1）当t＝2时，请直接写出点B的坐标；
（2）s关于t的函数解析式为s=14t2+bt-54，t＜-1或t＞5a(t+1)(t-5)，-1＜t＜5，其图象如图2所示，结合图1、2的信息，求出a与b的值；
（3）在l2上是否存在点A，使得△ABC是直角三角形？若存在，请求出此时点A的坐标和△ABC的面积；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)B（-12，12）；（2）a=-14；(3)S△ABC=12AC⋅BC=12×2×2=2。
【解析】解：（1）如图1，连接AG，
当t＝2时，A（﹣2，2），
设B（x，x+1），
在y＝x+1中，当x＝0时，y＝1，
∴G（0，1），
∵AB⊥l1，
∴∠ABG＝90°，
∴AB2+BG2＝AG2，
即（x+2）2+（x+1﹣2）2+x2+（x+1﹣1）2＝（﹣2）2+（2﹣1）2，
解得：x1＝0（舍），x2=-12，
∴B（-12，12）；
（2）如图2可知：当t＝7时，s＝4，
把（7，4）代入s=14t2+bt-54中得：494+7b-54=4，
解得：b＝﹣1，
如图3，过B作BH∥y轴，交AC于H，
由（1）知：当t＝2时，A（﹣2，2），B（-12，12），
∵C（0，3），
设AC的解析式为：y＝kx+n，
则-2k+n=2n=3，解得k=12n=3，
∴AC的解析式为：y=12x+3，
∴H（-12，114），
∴BH=114-12=94，
∴s=12BH⋅|xC-xA|=12×94×2=94，
把（2，94）代入s＝a（t+1）（t﹣5）得：a（2+1）（2﹣5）=94，
解得：a=-14；
（3）存在，设B（x，x+1），
分两种情况：
①当∠CAB＝90°时，如图4，
∵AB⊥l1，
∴AC∥l1，
∵l1：y＝x+1，C（0，3），
∴AC：y＝x+3，
∴A（﹣2，1），
∵D（﹣2，﹣1），
在Rt△ABD中，AB2+BD2＝AD2，
即（x+2）2+（x+1﹣1）2+（x+2）2+（x+1+1）2＝22，
解得：x1＝﹣1，x2＝﹣2（舍），
∴B（﹣1，0），即B在x轴上，
∴AB=12+12=2，AC=22+22=22，
∴S△ABC=12AB⋅AC=12⋅2⋅22=2；
②当∠ACB＝90°时，如图5，
∵∠ABD＝90°，∠ADB＝45°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴AB＝BD，
∵A（﹣2，t），D（﹣2，﹣1），
∴（x+2）2+（x+1﹣t）2＝（x+2）2+（x+1+1）2，
（x+1﹣t）2＝（x+2）2，
x+1﹣t＝x+2或x+1﹣t＝﹣x﹣2，
解得：t＝﹣1（舍）或t＝2x+3，
Rt△ACB中，AC2+BC2＝AB2，
即（﹣2）2+（t﹣3）2+x2+（x+1﹣3）2＝（x+2）2+（x+1﹣t）2，
把t＝2x+3代入得：x2﹣3x＝0，
解得：x＝0或3，
当x＝3时，如图5，则t＝2×3+3＝9，
∴A（﹣2，9），B（3，4），
∴AC=22+(9-3)2=210，BC=32+(4-3)2=10，
∴S△ABC=12AC⋅BC=12⋅10⋅210=10；
当x＝0时，如图6，
此时，A（﹣2，3），AC＝2，BC＝2，
∴S△ABC=12AC⋅BC=12×2×2=2．
2021年中考数学 专题13 一次函数及其应用
（基础巩固练习，共46个小题）
一、选择题（共20小题）：
1.（2020秋•章丘区期末）下列关系式中，一次函数是（ ）
A．y=2x-1 B．y＝x2+3
C．y＝k+b（k、b是常数） D．y＝3x
【答案】D
【解析】解：A、自变量在分母上，不符合一次函数定义，故此选项不符合题意；
B、y＝x2+3是二次函数，不是一次函数，故此选项不符合题意；
C、少x，不符合一次函数定义，故此选项不符合题意；
D、y＝3x是正比例函数也是一次函数，故此选项符合题意；故选：D．
2.（2019•梧州）下列函数中，正比例函数是（ ）
A．y＝﹣8x B．y=8x C．y＝8x2 D．y＝8x﹣4
【答案】A
【解析】解：A、y＝﹣8x，是正比例函数，符合题意；
B、y=8x，是反比例函数，不合题意；
C、y＝8x2，是二次函数，不合题意；
D、y＝8x﹣4，是一次函数，不合题意；故选：A．
3.（2020•广安）一次函数y＝﹣x﹣7的图象不经过的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【解析】解：∵k＝﹣1＜0，b＝﹣7＜0，
∴一次函数y＝﹣x﹣7的图象经过第二、三、四象限，
∴一次函数y＝﹣x﹣7的图象不经过第一象限．故选：A．
4.（2020•桂林）直线y＝kx+2过点（﹣1，4），则k的值是（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
【答案】A
【解析】解：∵直线y＝kx+2过点（﹣1，4），
∴4＝﹣k+2，∴k＝﹣2．故选：A．
5.（2020•泰州）点P（a，b）在函数y＝3x+2的图象上，则代数式6a﹣2b+1的值等于（ ）
A．5 B．3 C．﹣3 D．﹣1
【答案】C
【解析】解：∵点P（a，b）在函数y＝3x+2的图象上，
∴b＝3a+2，则3a﹣b＝﹣2．
∴6a﹣2b+1＝2（3a﹣b）+1＝﹣4+1＝﹣3；故选：C．
6.（2018•辽阳）如图，直线y＝ax+b（a≠0）过点A（0，4），B（﹣3，0），则方程ax+b＝0的解是（ ）
A．x＝﹣3 B．x＝4 C．x=-43 D．x=-34
【答案】A
【解析】解：方程ax+b＝0的解，即为函数y＝ax+b图象与x轴交点的横坐标，
∵直线y＝ax+b过B（﹣3，0），
∴方程ax+b＝0的解是x＝﹣3，故选：A．
7.（2020•济宁）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P，根据图象可知，方程x+5＝ax+b的解是（ ）
A．x＝20 B．x＝5 C．x＝25 D．x＝15
【答案】A
【解析】解：∵直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P（20，25）
∴方程x+5＝ax+b的解为x＝20．故选：A．
8.（2020•广州）一次函数y＝﹣3x+1的图象过点（x1，y1），（x1+1，y2），（x1+2，y3），则（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y1＜y2
【答案】B
【解析】解：∵一次函数y＝﹣3x+1中，k＝﹣3＜0，
∴y随着x的增大而减小．
∵一次函数y＝﹣3x+1的图象过点（x1，y1），（x1+1，y2），（x1+2，y3），
且x1＜x1+1＜x1+2，
∴y3＜y2＜y1，故选：B．
9.（2020•济南）若m＜﹣2，则一次函数y＝（m+1）x+1﹣m的图象可能是（ ）
【答案】D
【解析】解：∵m＜﹣2，
∴m+1＜0，1﹣m＞0，
所以一次函数y＝（m+1）x+1﹣m的图象经过一，二，四象限，故选：D．
10.（2020•沈阳）一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（﹣3，0），点B（0，2），那么该图象不经过的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】解：（方法一）将A（﹣3，0），B（0，2）代入y＝kx+b，得：-3k+b=0b=2，
解得：k=23b=2，
∴一次函数解析式为y=23x+2．
∵k=23＞0，b＝2＞0，
∴一次函数y=23x+2的图象经过第一、二、三象限，
即该图象不经过第四象限．故选：D．
（方法二）依照题意，画出函数图象，如图所示．
观察函数图象，可知：一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象不经过第四象限．故选：D．
11.（2020•凉山州）若一次函数y＝（2m+1）x+m﹣3的图象不经过第二象限，则m的取值范围是（ ）
A．m＞-12 B．m＜3 C．-12＜m＜3 D．-12＜m≤3
【答案】D
【解析】解：根据题意得2m+1＞0m-3≤0，
解得-12＜m≤3．
故选：D．
12.（2020•陕西）在平面直角坐标系中，将直线y＝kx﹣6沿x轴向左平移3个单位后恰好经过原点，则k的值为（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣3 D．3
【答案】B
【解析】解：将直线y＝kx﹣6沿x轴向左平移3个单位后得到y＝k（x+3）﹣6，
∵经过原点，
∴0＝k（0+3）﹣6，解得k＝2，
故选：B．
13.（2020•内江）将直线y＝﹣2x﹣1向上平移两个单位，平移后的直线所对应的函数关系式为（ ）
A．y＝﹣2x﹣5 B．y＝﹣2x﹣3 C．y＝﹣2x+1 D．y＝﹣2x+3
【答案】C
【解析】解：直线y＝﹣2x﹣1向上平移两个单位，所得的直线是y＝﹣2x+1，
故选：C．
14.（2020•湖州）已知在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x+2和直线y=23x+2分别交x轴于点A和点B．则下列直线中，与x轴的交点不在线段AB上的直线是（ ）
A．y＝x+2 B．y=2x+2 C．y＝4x+2 D．y=233x+2
【答案】C
【解析】解：∵直线y＝2x+2和直线y=23x+2分别交x轴于点A和点B．
∴A（﹣1，0），B（﹣3，0）
A、y＝x+2与x轴的交点为（﹣2，0）；故直线y＝x+2与x轴的交点在线段AB上；
B、y=2x+2与x轴的交点为（-2，0）；故直线y=2x+2与x轴的交点在线段AB上；
C、y＝4x+2与x轴的交点为（-12，0）；故直线y＝4x+2与x轴的交点不在线段AB上；
D、y=233x+2与x轴的交点为（-3，0）；故直线y=233x+2与x轴的交点在线段AB上；
故选：C．
15.（2020•西宁）全民健身的今天，散步是大众喜欢的运动．甲、乙两人在绿道上同时从同一起点以各自的速度匀速同向而行，步行一段时间后，甲因有事按原速度原路返回，此时乙仍按原速度继续前行．甲乙两人之间的距离s（米）与他们出发后的时间t（分）的函数关系如图所示，已知甲步行速度比乙快．由图象可知，甲、乙的速度分别是（ ）
A．60米/分，40米/分 B．80米/分，60米/分
C．80米/分，40米/分 D．120米/分，80米/分
【答案】A
【解析】解：根据题意可知，甲每分钟比乙快：200÷10＝20（米），
设乙的速度为x米/分，则甲的速度为（x+20）米/分，
根据题意得：2x+2（x+20）＝200，
解得x＝40，
40+20＝60（米/分），
即甲的速度为米/分，乙的速度为40米/分，
故选：A．
16.（2020•西藏）如图，一个弹簧不挂重物时长6cm，挂上重物后，在弹性限度内弹簧伸长的长度与所挂重物的质量成正比．弹簧总长y（单位：cm）关于所挂物体质量x（单位：kg）的函数图象如图所示，则图中a的值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【解析】解：设y与x的函数关系式为y＝kx+b，
将点（0，6），（9，10.5）代入上式得，
b=69k+b=10.5，
解得，k=0.5b=6，
即y与x的函数关系式是y＝0.5x+6，
当y＝7.5时，7.5＝0.5x+6，得x＝3，
即a的值为3，
故选：A．
17.（2020•鄂尔多斯）鄂尔多斯动物园内的一段线路如图1所示，动物园内有免费的班车，从入口处出发，沿该线路开往大象馆，途中停靠花鸟馆（上下车时间忽略不计），第一班车上午9：20发车，以后每隔10分钟有一班车从入口处发车，且每一班车速度均相同．小聪周末到动物园游玩，上午9点到达入口处，因还没到班车发车时间，于是从入口处出发，沿该线路步行25分钟后到达花鸟馆．离入口处的路程y（米）与时间x（分）的函数关系如图2所示，下列结论错误的是（ ）
A．第一班车离入口处的路程y（米）与时间x（分）的解析式为y＝200x﹣4000（20≤x≤38）
B．第一班车从入口处到达花鸟馆所需的时间为10分钟
C．小聪在花鸟馆游玩40分钟后，想坐班车到大象馆，则小聪最早能够坐上第四班车
D．小聪在花鸟馆游玩40分钟后，如果坐第五班车到大象馆，那么比他在花鸟馆游玩结束后立即步行到大象馆提前了7分钟（假设小聪步行速度不变）
【答案】C
【解析】解：由题意得，可设第一班车离入口处的路程y（米）与时间x（分）的解析式为：y＝kx+b（k≠0），
把（20，0），（38，3600）代入y＝kx+b，得0=20k+b3600=38k+b，解得k=200b=-4000，
∴第一班车离入口处的路程y（米）与时间x（分）的函数表达为y＝200x﹣4000（20≤x≤38）；
故选项A不合题意；
把y＝2000代入y＝200x﹣4000，解得x＝30，
30﹣20＝10（分），
∴第一班车从入口处到达花鸟馆所需时间10分钟；
故选项B不合题意；
设小聪坐上了第n班车，则
30﹣25+10（n﹣1）≥40，解得n≥4.5，
∴小聪坐上了第5班车，
故选项C符合题意；
等车的时间为5分钟，坐班车所需时间为：1600÷200＝8（分），
步行所需时间：1600÷（2000÷25）＝20（分），
20﹣（8+5）＝7（分），
∴比他在花鸟馆游玩结束后立即步行到大象馆提前了7分钟．
故选项D不合题意．故选：C．
18.（2020•恩施）甲乙两车从A城出发前往B城，在整个行程中，汽车离开A城的距离y与时刻t的对应关系如图所示，则下列结论错误的是（ ）
A．甲车的平均速度为60km/h
B．乙车的平均速度为100km/h
C．乙车比甲车先到B城
D．乙车比甲车先出发1h
【答案】D
【解析】解：由图象知：
A．甲车的平均速度为30010-5=60km/h，故A选项不合题意；
B．乙车的平均速度为3009-6=100km/h，故B选项不合题意；
C．甲10时到达B城，乙9时到达B城，所以乙比甲先到B城，故C选项不合题意；
D．甲5时出发，乙6时出发，所以乙比甲晚出发1h，故此选项错误，
故选：D．
19.（2020•武汉）一个容器有进水管和出水管，每分钟的进水量和出水量是两个常数．从某时刻开始4min内只进水不出水，从第4min到第24min内既进水又出水，从第24min开始只出水不进水，容器内水量y（单位：L）与时间x（单位：min）之间的关系如图所示，则图中a的值是（ ）
A．32 B．34 C．36 D．38
【答案】C
【解析】解：由图象可知，进水的速度为：20÷4＝5（L/min），
出水的速度为：5﹣（35﹣20）÷（16﹣4）＝3.75（L/min），
第24分钟时的水量为：20+（5﹣3.75）×（24﹣4）＝45（L），
a＝24+45÷3.75＝36．
故选：C．
20.（2020•连云港）快车从甲地驶往乙地，慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发并且在同一条公路上匀速行驶．图中折线表示快、慢两车之间的路程y（km）与它们的行驶时间x（h）之间的函数关系．小欣同学结合图象得出如下结论：
①快车途中停留了0.5h；
②快车速度比慢车速度多20km/h；
③图中a＝340；
④快车先到达目的地．
其中正确的是（ ）
A．①③ B．②③ C．②④ D．①④
【答案】B
【解析】解：根据题意可知，两车的速度和为：360÷2＝180（km/h），
相遇后慢车停留了0.5h，快车停留了1.6h，此时两车距离为88km，故①结论错误；
慢车的速度为：88÷（3.6﹣2.5）＝80（km/h），则快车的速度为100km/h，
所以快车速度比慢车速度多20km/h；故②结论正确；
88+180×（5﹣3.6）＝340（km），
所以图中a＝340，故③结论正确；
快车到达终点的时间为360÷100+1.6＝5.2小时，
慢车到达终点的时间为360÷80+0.5＝5小时，
因为5.2＞5，
所以慢车先到达目的地，故④结论错误．
所以正确的是②③．
故选：B．
二、填空题（共15小题）：
21.（2020秋•浦东新区期末）如果函数y＝（m-2）xm2-1是正比例函数，那么m＝ ．
【答案】-2
【解析】解：∵函数y＝（m-2）xm2-1是正比例函数，
∴m-2≠0且m2﹣1＝1，
解得：m=-2，
故答案为：-2．
22.（2020秋•九龙县期末）已知y与x﹣1成正比例，且当x=12时，y＝﹣1，则y关于x的函数解析式为 ．
【答案】y＝2x﹣2
【解析】解：根据题意，设y＝k（x﹣1），
将x=12、y＝﹣1代入，得：﹣1＝k（12-1），
解得：k＝2，
∴y＝2（x﹣1）＝2x﹣2，
故答案为：y＝2x﹣2．
23.（2020秋•会宁县期末）当k＝ 时，函数y＝（k+3）xk2-8-5是关于x的一次函数．
【答案】3
【解析】解：∵函数y＝（k+3）xk2-8-5是关于x的一次函数，
∴k2﹣8＝1，且k+3≠0．
解得 k＝3．
故答案是：3．
24.（2020秋•雁塔区校级月考）若y＝（m﹣2）xm2-3+5是一次函数函数，则其解析式为 ．
【答案】y＝﹣4x+5
【解析】解：∵y＝（m﹣2）xm2-3+5是一次函数函数，
∴m﹣2≠0，且m2﹣3＝1，
解得：m＝﹣2，
∴y＝﹣4x+5，
故答案为y＝﹣4x+5．
25.（2020秋•金东区期中）已知一次函数y＝2x+b图象与正比例函数y＝kx图象交于点（2，3）（k，b是常数），则关于x的方程2x＝kx﹣b的解是 ．
【答案】x＝2
【解析】解：一次函数y＝2x+b图象与正比例函数y＝kx图象交于点（2，3），
当x＝2时，2x+b＝kx，
方程2x+b＝kx的解是x＝2，
故答案为：x＝2．
26.（2020•宿迁）已知一次函数y＝2x﹣1的图象经过A（x1，1），B（x2，3）两点，则x1 x2（填“＞”“＜”或“＝”）．
【答案】＜
【解析】解：（解法一）∵k＝2＞0，
∴y随x的增大而增大．
又∵1＜3，
∴x1＜x2．
故答案为：＜．
（解法二）当y＝1时，2x1﹣1＝1，
解得：x1＝1；
当y＝3时，2x2﹣1＝3，
解得：x2＝2．
又∵1＜2，
∴x1＜x2．
故答案为：＜．
27.（2020秋•潮阳区期末）如图所示，在平面直角坐标系中，A（4，0），B（0，2），AC由AB绕点A顺时针旋转90°而得，则AC所在直线的解析式是 ．
【答案】y＝2x﹣8
【解析】解：∵A（4，0），B（0，2），
∴OA＝4，OB＝2，
过点C作CD⊥x轴于点D，
∵∠ABO+∠BAO＝∠BAO+∠CAD，
∴∠ABO＝∠CAD，
在△ACD和△BAO中
∠ABO=∠CAD∠AOB=∠CDAAB=AC，
∴△ACD≌△BAO（AAS）
∴AD＝OB＝2，CD＝OA＝4，
∴C（6，4）
设直线AC的解析式为y＝kx+b，将点A，点C坐标代入得4k+b=06k+b=4，
∴k=2b=-8，
∴直线AC的解析式为y＝2x﹣8．
故答案为：y＝2x﹣8．
28.（2018•邵阳）如图所示，一次函数y＝ax+b的图象与x轴相交于点（2，0），与y轴相交于点（0，4），结合图象可知，关于x的方程ax+b＝0的解是 ．
【答案】x＝2
【解析】解：∵一次函数y＝ax+b的图象与x轴相交于点（2，0），
∴关于x的方程ax+b＝0的解是x＝2．
故答案为x＝2．
29.（2020•广安）一次函数y＝2x+b的图象过点（0，2），将函数y＝2x+b的图象向上平移5个单位长度，所得函数的解析式为 ．
【答案】y＝2x+7
【解析】解：∵一次函数y＝2x+b的图象过点（0，2），
∴b＝2，
∴一次函数为y＝2x+2，
将函数y＝2x+2的图象向上平移5个单位长度，所得函数的解析式为y＝2x+2+5，
即y＝2x+7．
故答案为y＝2x+7．
30.（2020•黔东南州）把直线y＝2x﹣1向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则平移后所得直线的解析式为 ．
【答案】y＝2x+3
【解析】解：把直线y＝2x﹣1向左平移1个单位长度，得到y＝2（x+1）﹣1＝2x+1，
再向上平移2个单位长度，得到y＝2x+3．
故答案为：y＝2x+3．
31.（2020•南京）将一次函数y＝﹣2x+4的图象绕原点O逆时针旋转90°，所得到的图象对应的函数表达式是 ．
【答案】y=12x+2
【解析】解：在一次函数y＝﹣2x+4中，令x＝0，则y＝4，令y＝0，则x＝2，
∴直线y＝﹣2x+4经过点（0，4），（2，0）
将一次函数y＝﹣2x+4的图象绕原点O逆时针旋转90°，则点（0，4）的对应点为（﹣4，0），（2，0）的对应点是（0，2）
设对应的函数解析式为：y＝kx+b，
将点（﹣4，0）、（0，2）代入得-4k+b=0b=2，解得k=12b=2，
∴旋转后对应的函数解析式为：y=12x+2，
故答案为y=12x+2．
32.（2020•宁夏）如图，直线y=52x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△AOB绕点B逆时针旋转90°后得到△A1O1B，则点A1的坐标是 ．
【答案】（4，125）
【解析】解：在y=52x+4中，令x＝0得，y＝4，
令y＝0，得0=52x+4，解得x=-85，
∴A（-85，0），B（0，4），
由旋转可得△AOB≌△A1O1B，∠ABA1＝90°，
∴∠ABO＝∠A1BO1，∠BO1A1＝∠AOB＝90°，OA＝O1A1=85，OB＝O1B＝4，
∴∠OBO1＝90°，
∴O1B∥x轴，
∴点A1的纵坐标为OB﹣OA的长，即为4-85=125；
横坐标为O1B＝OB＝4，
故点A1的坐标是（4，125），
故答案为：（4，125）．
33.（2020•重庆）周末，自行车骑行爱好者甲、乙两人相约沿同一路线从A地出发前往B地进行骑行训练，甲、乙分别以不同的速度匀速骑行，乙比甲早出发5分钟．乙骑行25分钟后，甲以原速的85继续骑行，经过一段时间，甲先到达B地，乙一直保持原速前往B地．在此过程中，甲、乙两人相距的路程y（单位：米）与乙骑行的时间x（单位：分钟）之间的关系如图所示，则乙比甲晚 分钟到达B地．
【答案】12
【解析】解：由题意乙的速度为1500÷5＝300（米/分），设甲的速度为x米/分．
则有：7500﹣20x＝2500，
解得，x＝250，
25分钟后甲的速度为250×85=400（米/分）．
由题意总里程＝250×20+61×400＝29400（米），
86分钟乙的路程为86×300＝25800（米），
∴29400-25800300=12（分钟）．
故答案为：12．
34.（2019•济南）某市为提倡居民节约用水，自今年1月1日起调整居民用水价格．图中l1、l2分别表示去年、今年水费y（元）与用水量x（m3）之间的关系．小雨家去年用水量为150m3，若今年用水量与去年相同，水费将比去年多 元．
【答案】210
【解析】解：设当x＞120时，l2对应的函数解析式为y＝kx+b，
120k+b=480160k+b=720，得k=6b=-240，
即当x＞120时，l2对应的函数解析式为y＝6x﹣240，
当x＝150时，y＝6×150﹣240＝660，
由图象可知，去年的水价是480÷160＝3（元/m3），故小雨家去年用水量为150m3，需要缴费：150×3＝450（元），
660﹣450＝210（元），
即小雨家去年用水量为150m3，若今年用水量与去年相同，水费将比去年多210元，
故答案为：210．
35.（2019•重庆）一天，小明从家出发匀速步行去学校上学．几分钟后，在家休假的爸爸发现小明忘带数学书，于是爸爸立即匀速跑步去追小明，爸爸追上小明后以原速原路跑回家．小明拿到书后以原速的54快步赶往学校，并在从家出发后23分钟到校（小明被爸爸追上时交流时间忽略不计）．两人之间相距的路程y（米）与小明从家出发到学校的步行时间x（分钟）之间的函数关系如图所示，则小明家到学校的路程为 米．
【答案】2080
【解析】解：设小明原速度为x（米/分钟），则拿到书后的速度为1.25x（米/分钟），则家校距离为
11x+（23﹣11）×1.25x＝26x．
设爸爸行进速度为y（米/分钟），由题意及图形得：11x=(16-11)y(16-11)×(1.25x+y)=1380．
解得：x＝80，y＝176．
∴小明家到学校的路程为：80×26＝2080（米）．
故答案为：2080．
三、解答题（共11小题）：
36.（2020•南通）如图，直线l1：y＝x+3与过点A（3，0）的直线l2交于点C（1，m），与x轴交于点B．
（1）求直线l2的解析式；
（2）点M在直线l1上，MN∥y轴，交直线l2于点N，若MN＝AB，求点M的坐标．
【答案】(1)直线l2的解析式为y＝﹣2x+6；（2）M（3，6）或（﹣1，2）。
【解析】解：（1）在y＝x+3中，令y＝0，得x＝﹣3，
∴B（﹣3，0），
把x＝1代入y＝x+3得y＝4，
∴C（1，4），
设直线l2的解析式为y＝kx+b，
∴k+b=43k+b=0，解得k=-2b=6，
∴直线l2的解析式为y＝﹣2x+6；
（2）AB＝3﹣（﹣3）＝6，
设M（a，a+3），由MN∥y轴，得N（a，﹣2a+6），
MN＝|a+3﹣（﹣2a+6）|＝AB＝6，
解得a＝3或a＝﹣1，
∴M（3，6）或（﹣1，2）．
37.（2020•北京）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由函数y＝x的图象平移得到，且经过点（1，2）．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）当x＞1时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值大于一次函数y＝kx+b的值，直接写出m的取值范围．
【答案】(1)一次函数的解析式为y＝x+1；（2）m≥2。
【解析】解：（1）∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由直线y＝x平移得到，
∴k＝1，
将点（1，2）代入y＝x+b，
得1+b＝2，解得b＝1，
∴一次函数的解析式为y＝x+1；
（2）把点（1，2）代入y＝mx，求得m＝2，
∵当x＞1时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值大于一次函数y＝x+1的值，
∴m≥2．
38.（2020•陕西）小蕾家与外婆家相距270km，她假期去看望外婆，返回时，恰好有一辆顺路车可以带小蕾到A服务区，于是，小蕾与爸爸约定，她先搭乘顺路车到A服务区，爸爸驾车到A服务区接小蕾回家．两人在A服务区见面后，休息了一会儿，然后小蕾乘坐爸爸的车以60km/h的速度返回家中．返回途中，小蕾与自己家的距离y（km）和时间x（h）之间的关系大致如图所示．
（1）求小蕾从外婆家到A服务区的过程中，y与x之间的函数关系式；
（2）小蕾从外婆家回到自己家共用了多长时间？
【答案】(1)y与x之间的函数关系式为y＝﹣90x+270（0≤x≤2）；
（2）小蕾从外婆家回到自己家共用了4小时。
【解析】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，根据题意得：
b=270k+b=180，解得k=-90b=270，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣90x+270（0≤x≤2）；
（2）把x＝2代入y＝﹣90x+270，得y＝﹣180+270＝90，
从A服务区到家的时间为：90÷60＝1.5（小时），
2.5+1.5＝4（小时），
答：小蕾从外婆家回到自己家共用了4小时．
39.（2020•大连）甲、乙两个探测气球分别从海拔5m和15m处同时出发，匀速上升60min．如图是甲、乙两个探测气球所在位置的海拔y（单位：m）与气球上升时间x（单位：min）的函数图象．
（1）求这两个气球在上升过程中y关于x的函数解析式；
（2）当这两个气球的海拔高度相差15m时，求上升的时间．
【答案】(1)甲气球的函数解析式为：y＝x+5（x≥0），
乙气球的函数解析式为：y=12x+15（x≥0）；
（2）当这两个气球的海拔高度相差15m时，上升的时间为50min。
【解析】解：（1）设甲气球的函数解析式为：y＝kx+b，
乙气球的函数解析式为：y＝mx+n，
分别将（0，5），（20，25）和（0，15），（20，25）代入，
5=b25=20k+b，15=n25=20m+n，解得：k=1b=5，m=12n=15，
∴甲气球的函数解析式为：y＝x+5（x≥0），乙气球的函数解析式为：y=12x+15（x≥0）；
（2）由初始位置可得：
当x大于20时，两个气球的海拔高度可能相差15m，
且此时甲气球海拔更高，∴x+5﹣（12x+15）＝15，
解得：x＝50，
∴当这两个气球的海拔高度相差15m时，上升的时间为50min．
40.（2020•长春）已知A、B两地之间有一条长240千米的公路．甲车从A地出发匀速开往B地，甲车出发两小时后，乙车从B地出发匀速开往A地，两车同时到达各自的目的地．两车行驶的路程之和y（千米）与甲车行驶的时间x（时）之间的函数关系如图所示．
（1）甲车的速度为 40 千米/时，a的值为 480 ．
（2）求乙车出发后，y与x之间的函数关系式．
（3）当甲、乙两车相距100千米时，求甲车行驶的时间．
【答案】(1)40；480；
（2）y与x之间的函数关系式为y＝100x﹣120（2≤x≤6）；
（3）当甲、乙两车相距100千米时，甲车行驶的时间是135小时或235小时。
【解析】解：（1）由题意可知，甲车的速度为：80÷2＝40（千米/时）；
a＝40×6×2＝480，
故答案为：40；480；
（2）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，
由图可知，函数图象经过（2，80），（6，480），
∴2k+b=806k+b=480，解得k=100b=-120，
∴y与x之间的函数关系式为y＝100x﹣120（2≤x≤6）；
（3）两车相遇前：80+100（x﹣2）＝240﹣100，解得x=135；
两车相遇后：80+100（x﹣2）＝240+100，解得x=235，
答：当甲、乙两车相距100千米时，甲车行驶的时间是135小时或235小时．
41.（2020•鸡西）A，B两城市之间有一条公路相连，公路中途穿过C市，甲车从A市到B市，乙车从C市到A市，甲车的速度比乙车的速度慢20千米/时，两车距离C市的路程y（单位：千米）与行驶的时间t（单位：小时）的函数图象如图所示，结合图象信息，解答下列问题：
（1）甲车的速度是 60 千米/时，在图中括号内填入正确的数；
（2）求图象中线段MN所在直线的函数解析式，不需要写出自变量的取值范围；
（3）直接写出甲车出发后几小时，两车距C市的路程之和是460千米．
【答案】(1)60；
（2）线段MN所在直线的函数解析式为y＝80t﹣320；
（3）甲车出发13小时或9小时时，两车距C市的路程之和是460千米。
【解析】解：（1）由题意，甲的速度为4808=60千米/小时．乙的速度为80千米/小时，
48080=6（小时），4+6＝10（小时），
∴图中括号内的数为10．
故答案为：60．
（2）设线段MN所在直线的解析式为 y＝kt+b （ k≠0 ）．
把点M（4，0），N（10，480）代入y＝kt+b，
得：4k+b=010k+b=480，解得：k=80b=-320．
∴线段MN所在直线的函数解析式为y＝80t﹣320．
（3）（480﹣460）＝20，
20÷60=13（小时），
或60t﹣480+80（t﹣4）＝460，解得t＝9，
答：甲车出发13小时或9小时时，两车距C市的路程之和是460千米．
42.（2020•福建）某公司经营甲、乙两种特产，其中甲特产每吨成本价为10万元，销售价为10.5万元；乙特产每吨成本价为1万元，销售价为1.2万元．由于受有关条件限制，该公司每月这两种特产的销售量之和都是100吨，且甲特产的销售量都不超过20吨．
（1）若该公司某月销售甲、乙两种特产的总成本为235万元，问这个月该公司分别销售甲、乙两种特产各多少吨？
（2）求该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润．
【答案】(1)这个月该公司销售甲、乙两种特产分别为15吨，85吨；
（2）该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润是26万元。
【解析】解：（1）设销售甲种特产x吨，则销售乙种特产（100﹣x）吨，
10x+（100﹣x）×1＝235，
解得，x＝15，
∴100﹣x＝85，
答：这个月该公司销售甲、乙两种特产分别为15吨，85吨；
（2）设利润为w万元，销售甲种特产a吨，
w＝（10.5﹣10）a+（1.2﹣1）×（100﹣a）＝0.3a+20，
∵0≤a≤20，
∴当a＝20时，w取得最大值，此时w＝26，
答：该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润是26万元．
43.（2020•乐山）某汽车运输公司为了满足市场需要，推出商务车和轿车对外租赁业务．下面是乐山到成都两种车型的限载人数和单程租赁价格表：
车型
每车限载人数（人）
租金（元/辆）
商务车
6
300
轿车
4
（1）如果单程租赁2辆商务车和3辆轿车共需付租金1320元，求一辆轿车的单程租金为多少元？
（2）某公司准备组织34名职工从乐山赴成都参加业务培训，拟单程租用商务车或轿车前往．在不超载的情况下，怎样设计租车方案才能使所付租金最少？
【答案】(1)租用一辆轿车的租金为240元；
（2）租用商务车5辆和轿车1辆时，所付租金最少为1740元。
【解析】解：（1）设租用一辆轿车的租金为x元，
由题意得：300×2+3x＝1320，解得 x＝240，
答：租用一辆轿车的租金为240元；
（2）设租赁商务车m辆，租赁轿车n辆，根据题意可得6m+4n≥34，
得4n＝﹣6m+36≥0，解得m≤173，
当不租赁商务车时，需要租赁轿车9辆，所用租金为：9×240＝2160（元）；
租1辆赁商务车（坐满）时，则需租赁轿车7辆，所用租金为：1×300+7×240＝2040（元）；
租2辆赁商务车（坐满）时，则需租赁轿车6辆，所用租金为：2×300+6×240＝1980（元）；
租3辆赁商务车（坐满）时，则需租赁轿车4辆，所用租金为：3×300+4×240＝1860（元）；
租4辆赁商务车（坐满）时，则需租赁轿车3辆，所用租金为：4×300+3×240＝1920（元）；
租5辆赁商务车（坐满）时，则需租赁轿车1辆，所用租金为：5×300+1×240＝1740（元）；
所以租用商务车5辆和轿车1辆时，所付租金最少为1740元．
44.（2020•广安）某小区为了绿化环境，计划分两次购进A，B两种树苗，第一次购进A种树苗30棵，B种树苗15棵，共花费1350元；第二次购进A种树苗24棵，B种树苗10棵，共花费1060元．（两次购进的A，B两种树苗各自的单价均不变）
（1）A，B两种树苗每棵的价格分别是多少元？
（2）若购买A，B两种树苗共42棵，总费用为W元，购买A种树苗t棵，B种树苗的数量不超过A种树苗数量的2倍．求W与t的函数关系式．请设计出最省钱的购买方案，并求出此方案的总费用．
【答案】(1)A种树苗每棵的价格40元，B种树苗每棵的价格10元；
（2）购进A种花草的数量为14棵、B种28棵，费用最省；最省费用是840元。
【解析】解：（1）设A种树苗每棵的价格x元，B种树苗每棵的价格y元，根据题意得：
30x+15y=135024x+10y=1060，解得x=40y=10，
答：A种树苗每棵的价格40元，B种树苗每棵的价格10元；
（2）设A种树苗的数量为t棵，则B种树苗的数量为（42﹣t）棵，
∵B种树苗的数量不超过A种树苗数量的2倍，
∴42﹣t≤2t，
解得：t≥14，
∵t是正整数，
∴t最小值＝14，
设购买树苗总费用为W＝40t+10（42﹣t）＝30t+420，
∵k＞0，
∴W随t的减小而减小，
当t＝14时，W最小值＝30×14+420＝840（元）．
答：购进A种花草的数量为14棵、B种28棵，费用最省；最省费用是840元．
45.（2020•宜昌）已知函数y1＝x+2m﹣1，y2＝（2m+1）x+1均为一次函数，m为常数．
（1）如图1，将直线AO绕点A（﹣1，0）逆时针旋转45°得到直线l，直线l交y轴于点B．若直线l恰好是y1＝x+2m﹣1，y2＝（2m+1）x+1中某个函数的图象，请直接写出点B坐标以及m可能的值；
（2）若存在实数b，使得|m|﹣（b﹣1）1-b=0成立，求函数y1＝x+2m﹣1，y2＝（2m+1）x+1图象间的距离；
（3）当m＞1时，函数y1＝x+2m﹣1图象分别交x轴，y轴于C，E两点，y2＝（2m+1）x+1图象交x轴于D点，将函数y＝y1•y2的图象最低点F向上平移562m+1个单位后刚好落在一次函数y1＝x+2m﹣1图象上．设y＝y1•y2的图象，线段OD，线段OE围成的图形面积为S，试利用初中知识，探究S的一个近似取值范围．（要求：说出一种得到S的更精确的近似值的探究办法，写出探究过程，得出探究结果，结果的取值范围两端的数值差不超过0.01．）
【答案】(1)B（0，1），m的值为1或0；
（2）直线y1＝x﹣1与直线y2＝x+1之间的距离为2；
(3)348112000＜S＜310。
【解析】解：（1）由题意，OA＝OB＝1，
∴B（0，1），
当y1＝x+2m﹣1是直线l时，2m﹣1＝1，解得m＝1，
当直线y2＝（2m+1）x+1是直线l时，2m+1＝1，解得m＝0，
∴B（0，1），m的值为1或0．
（2）∵|m|﹣（b﹣1）1-b=0，
∵1﹣b≥0，
∴b﹣1≤0，
∵|m|≥0，﹣（b﹣1）1-b≥0，
∴m＝0，b＝1，
∴y1＝x﹣1，y2＝x+1，
如图1中，设直线y＝x+1交x轴于G，交y轴于H，直线y＝x﹣1交x轴于T，交y轴于P．
∵OG＝OT＝OH＝OP＝1，GT⊥PH，
∴四边形PTHG是正方形，
∴PG=OG2+OP2=2，
∴直线y1＝x﹣1与直线y2＝x+1之间的距离为2．
（3）∵y1＝x+2m﹣1图象分别交x轴，y轴于C，E两点，y2＝（2m+1）x+1图象交x轴于D点，
∴C（1﹣2m，0），E（0，2m﹣1），D（-12m+1，0），
∵y＝y1•y2＝（2m+1）x2+4m2x+2m﹣1，
∵m＞1，
∴2m+1＞0，
∴二次函数y＝（2m+1）x2+4m2x+2m﹣1的开口向上，图象的最低点是顶点，
∴顶点F（-2m22m+1，-(2m2-1)22m+1），
∵函数y＝y1•y2的图象最低点F向上平移562m+1个单位后刚好落在一次函数y1＝x+2m﹣1图象上，
∴-(2m2-1)22m+1+562m+1=-2m22m+1+（2m﹣1）且m＞1，
解得m＝2，
∴y＝y1•y2＝5x2+16x+3，y1＝x+3，y2＝5x+1，
∴D（-15，0），E（0，3），
由y＝5x2+16x+3得到与x轴，y轴的交点为（﹣3，0），（-15，0），（0，3），
∴抛物线经过D（-15，0），E（0，3）两点，
∴y＝y1•y2的图象，线段OD，线段OE围成的图形是封闭图形，S为该封闭图形的面积，
探究方法：利用规则图形面积来估计不规则图形的面积．
①观察大于S的情形，如图2中，易知S△DEO＞S，
∵D（-15，0），E（0，3），
∴S△ODE=12×3×15=310，
∴S＜310．
②观察小于S的情形，
当直线MN∥DE且与抛物线相切时，设直线MN与x，y轴分别交于M，N，
∵直线DE的解析式为y＝15x+3，设直线MN的解析式为y＝15x+b1，
由y=15x+b1y=5x2+16x+3，消去y得到，5x2+x+3﹣b1＝0，
由题意△＝0，1﹣20（3﹣b1）＝0，
解得b1=5920，
∴直线MN的解析式为y＝15x+5920，
∴M（-59300，0），N（0，5920），
∴S△MON=12×59300×5920=348112000，
∴S＞348112000，
综上所述，348112000＜S＜310．
46.（2020•广西）如图1，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+1与直线l2：x＝﹣2相交于点D，点A是直线l2上的动点，过点A作AB⊥l1于点B，点C的坐标为（0，3），连接AC，BC．设点A的纵坐标为t，△ABC的面积为s．
（1）当t＝2时，请直接写出点B的坐标；
（2）s关于t的函数解析式为s=14t2+bt-54，t＜-1或t＞5a(t+1)(t-5)，-1＜t＜5，其图象如图2所示，结合图1、2的信息，求出a与b的值；
（3）在l2上是否存在点A，使得△ABC是直角三角形？若存在，请求出此时点A的坐标和△ABC的面积；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)B（-12，12）；（2）a=-14；(3)S△ABC=12AC⋅BC=12×2×2=2。
【解析】解：（1）如图1，连接AG，
当t＝2时，A（﹣2，2），
设B（x，x+1），
在y＝x+1中，当x＝0时，y＝1，
∴G（0，1），
∵AB⊥l1，
∴∠ABG＝90°，
∴AB2+BG2＝AG2，
即（x+2）2+（x+1﹣2）2+x2+（x+1﹣1）2＝（﹣2）2+（2﹣1）2，
解得：x1＝0（舍），x2=-12，
∴B（-12，12）；
（2）如图2可知：当t＝7时，s＝4，
把（7，4）代入s=14t2+bt-54中得：494+7b-54=4，
解得：b＝﹣1，
如图3，过B作BH∥y轴，交AC于H，
由（1）知：当t＝2时，A（﹣2，2），B（-12，12），
∵C（0，3），
设AC的解析式为：y＝kx+n，
则-2k+n=2n=3，解得k=12n=3，
∴AC的解析式为：y=12x+3，
∴H（-12，114），
∴BH=114-12=94，
∴s=12BH⋅|xC-xA|=12×94×2=94，
把（2，94）代入s＝a（t+1）（t﹣5）得：a（2+1）（2﹣5）=94，
解得：a=-14；
（3）存在，设B（x，x+1），
分两种情况：
①当∠CAB＝90°时，如图4，
∵AB⊥l1，
∴AC∥l1，
∵l1：y＝x+1，C（0，3），
∴AC：y＝x+3，
∴A（﹣2，1），
∵D（﹣2，﹣1），
在Rt△ABD中，AB2+BD2＝AD2，
即（x+2）2+（x+1﹣1）2+（x+2）2+（x+1+1）2＝22，
解得：x1＝﹣1，x2＝﹣2（舍），
∴B（﹣1，0），即B在x轴上，
∴AB=12+12=2，AC=22+22=22，
∴S△ABC=12AB⋅AC=12⋅2⋅22=2；
②当∠ACB＝90°时，如图5，
∵∠ABD＝90°，∠ADB＝45°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴AB＝BD，
∵A（﹣2，t），D（﹣2，﹣1），
∴（x+2）2+（x+1﹣t）2＝（x+2）2+（x+1+1）2，
（x+1﹣t）2＝（x+2）2，
x+1﹣t＝x+2或x+1﹣t＝﹣x﹣2，
解得：t＝﹣1（舍）或t＝2x+3，
Rt△ACB中，AC2+BC2＝AB2，
即（﹣2）2+（t﹣3）2+x2+（x+1﹣3）2＝（x+2）2+（x+1﹣t）2，
把t＝2x+3代入得：x2﹣3x＝0，
解得：x＝0或3，
当x＝3时，如图5，则t＝2×3+3＝9，
∴A（﹣2，9），B（3，4），
∴AC=22+(9-3)2=210，BC=32+(4-3)2=10，
∴S△ABC=12AC⋅BC=12⋅10⋅210=10；
当x＝0时，如图6，
此时，A（﹣2，3），AC＝2，BC＝2，
∴S△ABC=12AC⋅BC=12×2×2=2．
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