专题17相交线与平行线（基础巩固练习）解析版

2021年中考数学 专题17 相交线与平行线

（基础巩固练习，共50个小题）

一、选择题（共30小题）：

1.（2020秋•吉林期末）下列说法正确的是（　　）

A．直线AB与直线BA不是同一条直线

B．射线AB与射线BA是同一条射线

C．延长线段AB和延长线段BA的含义一样

D．经过两点有一条直线，并且只有一条直线

【答案】D

【解析】解：A.直线AB与直线BA是同一条直线，因此A不正确，故A不符合题意；

B.射线AB与射线BA不是同一条射线，因此B不正确，故B不符合题意；

C.延长线段AB和延长线段BA的含义不一样，因此C不正确，故C不符合题意；

D.经过两点有一条直线，并且只有一条直线是正确的，故D符合题意；故选：D．

2.（2020秋•虎林市期末）如图所示，点A，B，C，D在同一条直线上，则图中线段的条数有（　　）

A．3条 B．4条 C．5条 D．6条

【答案】D

【解析】解：由图可得，线段有：线段AB、线段AC、线段AD、线段BC、线段BD、线段CD，共6条．故选：D．

3.（2020秋•怀安县期末）已知线段AB＝12cm，AB所在的直线上有一点C，且BC＝6cm，D是线段AC的中点，则线段AD的长为（　　）

A．3cm B．9cm C．3cm或6cm D．3cm或9cm

【答案】D

【解析】解：当C点在线段AB上，如图1，

∵AB＝12cm，BC＝6cm，∴AC＝AB﹣BC＝6（cm），

∵D是线段AC的中点，∴ADAC＝3（cm）；

当C点在线段AB的延长线上，如图2，

∵AB＝12cm，BC＝6cm，∴AC＝AB+BC＝18（cm），

∵D是线段AC的中点，∴ADAC＝9（cm）．

故线段AD的长为3cm或9cm．故选：D．

4.（2020•凉山州）点C是线段AB的中点，点D是线段AC的三等分点．若线段AB＝12cm，则线段BD的长为（　　）

A．10cm B．8cm C．10cm或8cm D．2cm或4cm

【答案】C

【解析】解：∵C是线段AB的中点，AB＝12cm，∴AC＝BCAB12＝6（cm），

点D是线段AC的三等分点，

①当ADAC时，如图，

BD＝BC+CD＝BCAC＝6+4＝10（cm）；

②当ADAC时，如图，

BD＝BC+CD′＝BCAC＝6+2＝8（cm）．

所以线段BD的长为10cm或8cm，故选：C．

5.（2020秋•龙湖区期末）修建高速公路时，经常把弯曲的公路改成直道，从而缩短路程，其道理用数学知识解释正确的是（　　）

A．线段可以比较大小            B．线段有两个端点

C．两点之间，线段最短            D．过两点有且只有一条直线

【答案】C

【解析】解：修建高速公路时，经常把弯曲的公路改成直道，从而缩短路程，其道理用数学知识解释正确的是：两点之间，线段最短．故选：C．

6.（2020秋•青山区期末）如图所示，某工厂有三个住宅区，A，B，C各区分别住有职工30人，15人，10人，且这三点在一条大道上（A，B，C三点在同一直线上），已知AB＝300米，BC＝600米．为了方便职工上下班，该厂的接送车打算在此路段只设一个停靠点，为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小，那么该停靠点的位置应设在（　　）

A．点A B．点B C．AB之间 D．BC之间

【答案】A

【解析】解：①以点A为停靠点，则所有人的路程的和＝15×300+10×900＝13500（米），

②以点B为停靠点，则所有人的路程的和＝30×300+10×600＝15000（米），

③以点C为停靠点，则所有人的路程的和＝30×900+15×600＝36000（米），

④当在AB之间停靠时，设停靠点到A的距离是m，则（0＜m＜300），则所有人的路程的和是：30m+15（300﹣m）+10（900﹣m）＝13500+5m＞13500，

⑤当在BC之间停靠时，设停靠点到B的距离为n，则（0＜n＜600），

则总路程为30（300+n）+15n+10（600﹣n）＝15000+35n＞13500．

∴该停靠点的位置应设在点A；故选：A．

7.（2020秋•盐田区期末）如图，佳佳从A处沿正南方向骑行到B处，再右转60°骑行到C处，然后左转80°继续骑行，此时佳佳骑行的方向为（　　）

A．南偏西20° B．南偏西80° C．南偏东20° D．南偏东80°

【答案】C

【解析】解：过点C作DC∥AB，如图：

∵DC∥AB，∠GBH＝60°，

∴∠HCF＝∠GBH＝60°．

∵∠HCE＝80°，

∴∠ECF＝∠HCE﹣∠HCF＝80°﹣60°＝20°，

此时佳佳骑行的方向为南偏东20°，故选：C．

8.（2020•柳州）通过如下尺规作图，能确定点D是BC边中点的是（　　）

【答案】B

【解析】解：A、过A点作AD⊥BC于D；B、作了BC的垂直平分线得到BC的中点D；

C、过BC上的点D作BC的垂线；D、作AC的垂直平分线交BC于D．故选：B．

9.（2017•百色）如图，AM为∠BAC的平分线，下列等式错误的是（　　）

A．∠BAC＝∠BAM B．∠BAM＝∠CAM 

C．∠BAM＝2∠CAM D．2∠CAM＝∠BAC

【答案】C

【解析】解：∵AM为∠BAC的平分线，

∴∠BAC＝∠BAM，∠BAM＝∠CAM，∠BAM＝∠CAM，2∠CAM＝∠BAC．故选：C．

10.（2016•恩施州）已知∠AOB＝70°，以O为端点作射线OC，使∠AOC＝42°，则∠BOC的度数为（　　）

A．28° B．112° C．28°或112° D．68°

【答案】C

【解析】解：如图，当点C与点C1重合时，∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝70°﹣42°＝28°；

当点C与点C2重合时，∠BOC＝∠AOB+∠AOC＝70°+42°＝112°．故选：C．

11.（2020•襄阳）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，根据尺规作图的痕迹判断以下结论错误的是（　　）

A．DB＝DE B．AB＝AE C．∠EDC＝∠BAC D．∠DAC＝∠C

【答案】D

【解析】解：由作图可知，∠DAE＝∠DAB，∠DEA＝∠B＝90°，

∵AD＝AD，

∴△ADE≌△ADB（AAS），

∴DB＝DE，AB＝AE，

∵∠AED+∠B＝180°

∴∠BAC+∠BDE＝180°，

∵∠EDC+∠BDE＝180°，

∴∠EDC＝∠BAC，

故A，B，C正确，故选：D．

12.（2020秋•鞍山期末）如图，下列说法中不正确的是（　　）

A．∠1与∠AOB是同一个角 

B．∠α与∠COB是同一个角 

C．图中共有三个角：∠AOB，∠BOC，∠AOC 

D．∠AOC可以用∠O来表示

【答案】D

【解析】解：A、∠1与∠AOB是同一个角，故原题说法正确；

B、∠α与∠COB是同一个角，故原题说法正确；

C、图中共有三个角：∠AOB，∠BOC，∠AOC，故原题说法正确；

D、∠AOC不可以用∠O来表示，故原题说法错误；故选：D．

13.（2020春•红河州期末）如图，点O在直线AB上，若∠AOC＝30°，则∠BOC的度数是（　　）

A．60° B．70° C．140° D．150°

【答案】D

【解析】解：∵∠AOC与∠BOC互为邻补角，

∴∠AOC+∠BOC＝180°，

又∵∠AOC＝30°，

∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣30°＝150°．故选：D．

14.（2020•石景山区二模）如图，用量角器度量∠AOB，可以读出∠AOB的度数为（　　）

A．30° B．60° C．120° D．150°

【答案】C

【解析】解：看内圈的数字可得：∠AOB＝120°，故选：C．

15.（2020秋•凤县期末）如图∠AOB＝60°，射线OC平分∠AOB，以OC为一边作∠COP＝15°，则∠BOP＝（　　）

A．15° B．45° C．15°或30° D．15°或45°

【答案】D

【解析】解：∵∠AOB＝60°，射线OC平分∠AOB，

∴∠AOC＝∠BOCAOB＝30°，

又∠COP＝15°

①当OP在∠BOC内，

∠BOP＝∠BOC﹣∠COP＝30°﹣15°＝15°，

②当OP在∠AOC内，

∠BOP＝∠BOC+∠COP＝30°+15°＝45°，

综上所述：∠BOP＝15°或45°．故选：D．

16.（2020秋•双阳区期末）用一副三角板按如图方式放置，恰好与∠AOB重合，则∠AOB的大小为（　　）

A．60° B．105° C．85° D．75°

【答案】D

【解析】解：∠AOB＝45°+30°＝75°．故选：D．

17.（2020秋•惠来县期末）如图，∠AOB＝120°，OC是∠AOB内部任意一条射线，OD，OE分别是∠AOC，∠BOC的角平分线，下列叙述正确的是（　　）

A．∠AOD+∠BOE＝60° B．∠AOD∠EOC 

C．∠BOE＝2∠COD D．∠DOE的度数不能确定

【答案】A

【解析】解：如图所示：

∵OD，OE分别是∠AOC，∠BOC的角平分线，

∴∠AOD＝∠DOC，

∠COE＝∠BOE，

又∵∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝120°，

∴∠AOD+∠BOE＝60°，故选：A．

18.（2020秋•金牛区期末）如图，已知∠AOB＝∠COD＝90°，∠BOD＝130°，则∠BOC的度数为（　　）

A．130° B．140° C．135° D．120°

【答案】B

【解析】解：∵∠BOD＝130°，∠COD＝90°，

∴∠BOC＝360°﹣∠BOD﹣∠COD＝360°﹣130°﹣90°＝140°，故选：B．

19.（2020秋•鼓楼区校级月考）观察图形，下列说法正确的个数是（　　）

①直线BA和直线AB是同一条直线； ②射线AC和射线AD是同一条射线；

③线段AC和线段CA是同一条线段； ④三条直线两两相交时，一定有三个交点．

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【解析】解：①直线没有方向，直线BA和直线AB是同一条直线，故①说法正确；

②射线AC和射线AD是同一条射线，故②说法正确；

③线段AC和线段CA是同一条线段，故③说法正确；

④三条直线两两相交时，一定有三个交点，还可能有一个，故④说法不正确．

共3个说法正确．故选：C．

20.（2020•广西）如图，已知直线AB，CD被直线ED所截，AB∥CD，∠1＝140°，则∠D为（　　）

A．40° B．50° C．60° D．70°

【答案】A

【解析】解：如图，

∵AB∥CD，

∴∠2＝∠D，

∵∠1＝140°，

∴∠D＝∠2＝180°﹣∠1＝180°﹣140°＝40°，故选：A．

21.（2020•兰州）如图，AB∥CD，AE∥CF，∠A＝50°，则∠C＝（　　）

A．40° B．50° C．60° D．70°

【答案】B

【解析】解：如图，

∵AE∥CF，∠A＝50°，

∴∠1＝∠A＝50°，

∵AB∥CD，

∴∠C＝∠1＝50°，

故选：B．

22.（2020•济南）如图，AB∥CD，AD⊥AC，∠BAD＝35°，则∠ACD＝（　　）

A．35° B．45° C．55° D．70°

【答案】C

【解析】解：∵AB∥CD，

∴∠ADC＝∠BAD＝35°，

∵AD⊥AC，

∴∠ADC+∠ACD＝90°，

∴∠ACD＝90°﹣35°＝55°，故选：C．

23.（2020•呼伦贝尔）如图，直线AB∥CD，AE⊥CE于点E，若∠EAB＝120°，则∠ECD的度数是（　　）

A．120° B．100° C．150° D．160°

【答案】C

【解析】解：延长AE，与DC的延长线交于点F，

∵AB∥CD，

∴∠A+∠AFC＝180°，

∵∠EAB＝120°，

∴∠AFC＝60°，

∵AE⊥CE，

∴∠AEC＝90°，

而∠AEC＝∠AFC+∠ECF，

∴∠ECF＝∠AEC﹣∠F＝30°，

∴∠ECD＝180°﹣30°＝150°，故选：C．

24.（2020•河池）如图，直线a，b被直线c所截，则∠1与∠2的位置关系是（　　）

A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．邻补角

【答案】A

【解析】解：如图所示，∠1和∠2两个角都在被截直线b和a同侧，并且在第三条直线c（截线）的同旁，故∠1和∠2是直线b、a被c所截而成的同位角．故选：A．

25.（2020•鞍山）如图，直线l1∥l2，点A在直线l1上，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线l1，l2于B，C两点，连接AC，BC，若∠ABC＝54°，则∠1的度数为（　　）

A．36° B．54° C．72° D．73°

【答案】C

【解析】解：∵l1∥l2，∠ABC＝54°，

∴∠2＝∠ABC＝54°，

∵以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线l1、l2于B、C两点，

∴AC＝AB，

∴∠ACB＝∠ABC＝54°，

∵∠1+∠ACB+∠2＝180°，

∴∠1＝72°．故选：C．

26.（2019•锦州）如图，AC与BD交于点O，AB∥CD，∠AOB＝105°，∠B＝30°，则∠C的度数为（　　）

A．45° B．55° C．60° D．75°

【答案】A

【解析】解：∵∠A+∠AOB+∠B＝180°，

∴∠A＝180°﹣105°﹣30°＝45°，

∵AB∥CD，

∴∠C＝∠A＝45°，故选：A．

27.（2019•莱芜区）如图，直线AB∥CD，直线EF分别与AB，CD交于点E，F，EG平分∠BEF，交CD于点G，若∠1＝65°，则∠2的度数是（　　）

A．122.5° B．123° C．123.5° D．124°

【答案】A

【解析】解：∵∠1＝65°，

∴∠BEF＝180°﹣65°＝115°，

∵EG平分∠BEF，

∴∠BEG∠BEF＝57.5°，

∵AB∥CD，

∴∠2+∠BEG＝180°，

∴∠2＝180°﹣57.5°＝122.5°，故选：A．

28.（2019•湖北）如图，CD∥AB，点O在AB上，OE平分∠BOD，OF⊥OE，∠D＝110°，则∠AOF的度数是（　　）

A．20° B．25° C．30° D．35°

【答案】D

【解析】解：∵CD∥AB，

∴∠AOD+∠D＝180°，

∴∠AOD＝70°，

∴∠DOB＝110°，

∵OE平分∠BOD，

∴∠DOE＝55°，

∵OF⊥OE，

∴∠FOE＝90°，

∴∠DOF＝90°﹣55°＝35°，

∴∠AOF＝70°﹣35°＝35°，故选：D．

29.（2019•资阳）如图，l1∥l2，点O在直线l1上，若∠AOB＝90°，∠1＝35°，则∠2的度数为（　　）

A．65° B．55° C．45° D．35°

【答案】B

【解析】解：∵l1∥l2，∠1＝35°，

∴∠OAB＝∠1＝35°．

∵OA⊥OB，

∴∠2＝∠OBA＝90°﹣∠OAB＝55°．故选：B．

30.（2018•莱芜）如图，AB∥CD，∠BED＝61°，∠ABE的平分线与∠CDE的平分线交于点F，则∠DFB＝（　　）

A．149° B．149.5° C．150° D．150.5°

【答案】B

【解析】解：如图，过点E作EG∥AB，

∵AB∥CD，

∴AB∥CD∥GE，

∴∠ABE+∠BEG＝180°，∠GED+∠EDC＝180°，

∴∠ABE+∠CDE+∠BED＝360°；

又∵∠BED＝61°，

∴∠ABE+∠CDE＝299°．

∵∠ABE和∠CDE的平分线相交于F，

∴∠FBE+∠EDF（∠ABE+∠CDE）＝149.5°，

∵四边形的BFDE的内角和为360°，

∴∠BFD＝360°﹣149.5°﹣61°＝149.5°．故选：B．

二、填空题（共12小题）：

31.（2019•日照）如图，已知AB＝8cm，BD＝3cm，C为AB的中点，则线段CD的长为　 　cm．

【答案】1

【解析】解：∵C为AB的中点，AB＝8cm，

∴BCAB8＝4（cm），

∵BD＝3cm，

∴CD＝BC﹣BD＝4﹣3＝1（cm），

则CD的长为1cm；故答案为：1．

32.（2020秋•东西湖区期末）如图，建筑工人在砌墙时，为了使砌的墙是直的，经常在两个墙脚的位置分别插一根木桩，然后拉一条直的细线绳作参照线．这样做的依据是：　                       　．

【答案】两点确定一条直线

【解析】解：建筑工人砌墙时，经常在两个墙脚的位置分别插一根木桩，然后拉一条直的参照线，

这种做法运用到的数学原理是：两点确定一条直线．故答案为：两点确定一条直线．

33.（2020•通辽）如图，点O在直线AB上，∠AOC＝53°17′28″．则∠BOC的度数是　       　．

【答案】126°42′32″

【解析】解：∵点O在直线AB上，且∠AOC＝53°17′28″，

∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣53°17′28″＝126°42′32″，

故答案为：126°42′32″．

34.（2020秋•双阳区期末）如图，OC平分∠AOB，若∠BOC＝29°，则∠AOB＝　 　°．

【答案】58

【解析】解：因为OC平分∠AOB，∠BOC＝29°，

所以∠AOB＝2∠BOC＝2×29°＝58°．故答案为：58．

35.（2020秋•兰山区期末）如图，点A、O、E在同一直线上，∠AOB＝40°，∠EOD＝28°46′，OD平分∠COE，则∠COB的度数为　 　．

【答案】82°28′

【解析】解：∵∠EOD＝28°46′，OD平分∠COE，

∴∠COE＝2∠EOD＝2×28°46′＝57°32′，

∵∠AOB＝40°，

∴∠COB＝180°﹣∠AOB﹣∠COE＝180°﹣40°﹣57°32′＝82°28′．

故答案为：82°28′．

36.（2020秋•滦州市期末）如图，已知OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，∠AOB＝90°，∠BOC＝30°．则∠MON的度数为　   　．

【答案】45°

【解析】解：∵∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝90°+30°＝120°．

∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，

∴∠MOC∠AOC＝60°，∠CON∠BOC＝15°．

∴∠MON＝∠MOC﹣∠CON＝60°﹣15°

＝45°．故答案为：45°．

37.（2020秋•北碚区期末）将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BD、BE为折痕．若∠ABE＝30°，则∠DBC为　   　度．

【答案】60

【解析】解：∵BD、BE为折痕，∴BD、BE分别平分∠CBC′、∠ABA′

∴∠A′BE＝∠ABE＝30°，

∠DBC＝∠DBC′

∵∠A′BE+∠ABE+∠DBC+∠DBC′＝180°

∴∠ABE+∠DBC＝90°

∴∠DBC＝60°．故答案为60°

38.（2020秋•丹阳市期末）如图，∠AOB＝90°，∠AOC＝2∠BOC，则∠BOC＝　   　°．

【答案】30

【解析】解：∵∠AOB＝90°，∠AOC＝2∠BOC，

∴∠AOC+∠BOC＝90°，

即2∠BOC+∠BOC＝90°，

∴∠BOC＝30°故答案为：30°．

39.（2020春•长春期末）一副三角尺按如图方式摆放，且∠1的度数比∠2的度数大50°，则∠2的大小为　  　度．

【答案】20

【解析】解：由图可知：∠1+∠2+90°＝180°，

即∠1+∠2＝90°，

∵∠1﹣∠2＝50°，

∴∠1＝70°，∠2＝20°．故答案为20°．

40.（2019•益阳）如图，直线AB∥CD，OA⊥OB，若∠1＝142°，则∠2＝　  　度．

【答案】52

【解析】解：∵AB∥CD，

∴∠3＝∠2，

∵OA⊥OB，

∴∠O＝90°，

∵∠1＝∠3+∠O＝142°，

∴∠2＝∠1﹣∠O＝142°﹣90°＝52°，故答案为：52．

41.（2019•景洪市一模）如图，已知AB∥CD，OE平分∠AOD，OF⊥OE，∠CDO＝50°，则∠DOF＝　  　度．

【答案】25

【解析】解：∵AB∥CD，OE平分∠AOD，∠CDO＝50°，

∴∠AOD＝180°﹣∠CDO＝180°﹣50°＝130°，

∠AOE＝∠DOE∠AOD130°＝65°．

∵OF⊥OE，

∴∠EOF＝90°．

∴∠DOF＝∠EOF﹣∠DOE＝90°﹣65°＝25°．

42.（2018•铜仁市）如图，m∥n，∠1＝110°，∠2＝100°，则∠3＝　  　°．

【答案】150

【解析】解：如图，

∵m∥n，∠1＝110°，

∴∠4＝70°，

∵∠2＝100°，

∴∠5＝80°，

∴∠6＝180°﹣∠4﹣∠5＝30°，

∴∠3＝180°﹣∠6＝150°，故答案为：150．

三、解答题（共8小题）：

43.（2020秋•金昌期末）填空，完成下列说理过程

如图，点A，O，B在同一条直线上，OD，OE分别平分∠AOC和∠BOC．

（1）求∠DOE的度数；

（2）如果∠COD＝65°，求∠AOE的度数．

【答案】(1)90°；(2)155°.

【解析】解：（1）如图，∵OD是∠AOC的平分线，

∴∠COD∠AOC．

∵OE是∠BOC的平分线，

∴∠COE∠BOC．

所以∠DOE＝∠COD+∠COE（∠AOC+∠BOC）∠AOB＝90°．

（2）由（1）可知：∠BOE＝∠COE＝90°﹣∠COD＝25°．

所以∠AOE＝180°﹣∠BOE＝155°．

44.（2016•广州）如图，利用尺规，在△ABC的边AC上方作∠CAE＝∠ACB，在射线AE上截取AD＝BC，连接CD，并证明：CD∥AB（尺规作图要求保留作图痕迹，不写作法）

【答案】见解析。

【解析】解：图象如图所示，

∵∠EAC＝∠ACB，

∴AD∥CB，

∵AD＝BC，∠DAC＝∠ACB，AC＝CA，

∴△ACD≌△CAB（SAS），

∴∠ACD＝∠CAB，

∴AB∥CD．

45.（2019•武汉）如图，点A、B、C、D在一条直线上，CE与BF交于点G，∠A＝∠1，CE∥DF，求证：∠E＝∠F．

【答案】见解析。

【解析】证明一：∵∠A＝∠1，∴AE∥BF，

∴∠2＝∠E．

∵CE∥DF，

∴∠2＝∠F，

∴∠E＝∠F．

证明二：∵CE∥DF，

∴∠ACE＝∠D，

∵∠A＝∠1，

∴180°﹣∠ACE﹣∠A＝180°﹣∠D﹣∠1，

又∵∠E＝180°﹣∠ACE﹣∠A，∠F＝180°﹣∠D﹣∠1，

∴∠E＝∠F．

46.（2017•重庆）如图，直线EF∥GH，点A在EF上，AC交GH于点B，若∠FAC＝72°，∠ACD＝58°，点D在GH上，求∠BDC的度数．

【答案】50°

【解析】解：∵EF∥GH，

∴∠ABD+∠FAC＝180°，

∴∠ABD＝180°﹣72°＝108°，

∵∠ABD＝∠ACD+∠BDC，

∴∠BDC＝∠ABD﹣∠ACD＝108°﹣58°＝50°．

47.（2016•淄博）如图，一个由4条线段构成的“鱼”形图案，其中∠1＝50°，∠2＝50°，∠3＝130°，找出图中的平行线，并说明理由．

【答案】OB∥AC；OA∥BC.

【解析】解：OA∥BC，OB∥AC．

∵∠1＝50°，∠2＝50°，

∴∠1＝∠2，

∴OB∥AC，

∵∠2＝50°，∠3＝130°，

∴∠2+∠3＝180°，

∴OA∥BC．

48.（2020春•无棣县期末）已知：如图，点C在∠MON的一边OM上，过点C的直线AB∥ON，CD平分∠ACM，CE⊥CD．

（1）若∠O＝50°，求∠BCD的度数；

（2）求证：CE平分∠OCA；

（3）当∠O为多少度时，CA分∠OCD成1：2两部分，并说明理由．

【答案】(1)115°；(2)见解析；(3)当∠O＝36°或90°时，CA分∠OCD成1：2两部分.

【解析】解：（1）∵AB∥ON

∴∠O＝∠MCB（两直线平行，同位角相等）

∵∠O＝50°

∴∠MCB＝50°

∵∠ACM+∠MCB＝180°（平角定义）

∴∠ACM＝180°﹣50°＝130°

又∵CD平分∠ACM

∴∠DCM＝65°（角平分线定义）

∴∠BCD＝∠DCM+∠MCB＝65°+50°＝115°

（2）证明：∵CE⊥CD

∴∠DCE＝90°

∴∠ACE+∠DCA＝90°

又∵∠MCO＝180°（平角定义）

∴∠ECO+∠DCM＝90°

∵∠DCA＝∠DCM

∴∠ACE＝∠ECO（等角的余角相等）

即CE平分∠OCA

（3）结论：当∠O＝36°或90°时，CA分∠OCD成1：2两部分

①当∠O＝36°时

∵AB∥ON

∴∠ACO＝∠O＝36°

∴∠ACM＝144°

又∵CD平分∠ACM

∴∠ACD＝72°

∴∠ACO∠ACD

即CA分∠OCD成1：2两部分

②当∠O＝90°时

∵AB∥ON

∴∠ACO＝∠O＝90°

∴∠ACM＝90°

又∵CD平分∠ACM

∴∠ACD＝45°

∴∠ACD∠ACO

即CA分∠OCD成1：2两部分

49.（2019秋•江城区期末）如图①，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，将一直角三角板如图摆放（∠MON＝90°）．

（1）将图①中的三角板绕点O旋转一定的角度得图②，使边OM恰好平分∠BOC，问：ON是否平分∠AOC？请说明理由；

（2）将图①中的三角板绕点O旋转一定的角度得图③，使边ON在∠BOC的内部，如果∠BOC＝60°，则∠BOM与∠NOC之间存在怎样的数量关系？请说明理由．

【答案】(1)ON平分∠AOC；(2)∠BOM＝∠NOC+30°.

【解析】解：（1）ON平分∠AOC．

理由如下：∵∠MON＝90°，

∴∠BOM+∠AON＝90°，∠MOC+∠NOC＝90°．

又∵OM平分∠BOC，

∴∠BOM＝∠MOC，

∴∠AON＝∠NOC．

∴ON平分∠AOC．

（2）∠BOM＝∠NOC+30°．

理由如下：∵∠CON+∠NOB＝60°，∠BOM+∠NOB＝90°，

∴∠BOM＝90°﹣∠NOB＝90°﹣（60°﹣∠NOC）＝∠NOC+30°．

∴∠BOM与∠NOC之间存在的数量关系是：∠BOM＝∠NOC+30°．

50.（2020春•封开县期末）将一副三角板中的两根直角顶点C叠放在一起（如图①），其中∠A＝30°，∠B＝60°，∠D＝∠E＝45°．

（1）若∠BCD＝150°，求∠ACE的度数；

（2）试猜想∠BCD与∠ACE的数量关系，请说明理由；

（3）若按住三角板ABC不动，绕顶点C转动三角板DCE，试探究∠BCD等于多少度时，CD∥AB，并简要说明理由．

【答案】(1)30°；(2)∠BCD+∠ACE＝180°；(3)当∠BCD＝120°或60°时，CD∥AB.

【解析】解：（1）∵∠BCA＝∠ECD＝90°，∠BCD＝150°，

∴∠DCA＝∠BCD﹣∠BCA＝150°﹣90°＝60°，

∴∠ACE＝∠ECD﹣∠DCA＝90°﹣60°＝30°；

（2）∠BCD+∠ACE＝180°，理由如下：

∵∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝90°+∠ACD，

∠ACE＝∠DCE﹣∠ACD＝90°﹣∠ACD，

∴∠BCD+∠ACE＝180°；

（3）当∠BCD＝120°或60°时，CD∥AB．

如图②，根据同旁内角互补，两直线平行，

当∠B+∠BCD＝180°时，CD∥AB，此时∠BCD＝180°﹣∠B＝180°﹣60°＝120°；

如图③，根据内错角相等，两直线平行，

当∠B＝∠BCD＝60°时，CD∥AB．