广东省东莞市东华高级中学2021-2022学年高二下学期期中考试卷数学试题及答案

东莞市东华高级中学2021-2022学年下学期高二期中考试数 学

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷（选择题）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知函数，则（    ）

A． B． C． D．

2．已知函数的导函数的图象如图所示，则的图象可能是（    ）

A． B．

C． D．

3．将一枚骰子连续抛两次，得到正面朝上的点数分别为、，记事件A为“为偶数”，事件B为“”，则的值为（    ）

A． B． C． D．

4．已知随机变量的分布列如下表所示，且满足，则下列方差值中最大的是（    ）

A． B． C． D．

5．已知随机变量X服从二项分布，则（    ）

A． B． C． D．

6．为有效防范新冠病毒蔓延，国内将有新型冠状肺炎确诊病例地区及其周边划分为封控区､管控区､防范区．为支持某地新冠肺炎病毒查控，某院派出医护人员共5人，分别派往三个区，每区至少一人，甲､乙主动申请前往封控区或管控区，且甲､乙恰好分在同一个区，则不同的安排方法有（    ）

A．12种 B．18种 C．24种 D．30种

7．已知，则（    ）

A．280 B．35 C． D．

8．直线分别与曲线，交于，两点，则的最小值为（    ）

A． B．1 C． D．2

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．关于二项式的展开式，下列选项正确的有（    ）

A．总共有6项  B．存在常数项

C．项的系数是40 D．各项的系数之和为243

10．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示从甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示从乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（    ）

A． B．

C．事件B与事件相互独立 D．，，是两两互斥的事件

11．已知函数，则（    ）

A．有零点的充要条件是

B．当且仅当，有最小值

C．存在实数，使得在R上单调递增

D．是有极值点的充要条件

12．定义在上的函数的导函数为，且＜恒成立，则必有（    ）

A． B．

C． D．

第Ⅱ卷（非选择题）

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是__________．

14．已知的展开式中常数项为，则展开式中的系数为________．

15．某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的排法有_______种．

16．某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立．根据该厂现有的技术水平，第一次烧制，甲、乙、丙三件产品合格的概率分别为0．5，0．6，0．4，第二次烧制，甲、乙、丙三件产品合格的概率分别为0．6，0．5，0．75，则第一次烧制后恰有一件产品合格的概率为_______；经过两次烧制后，合格工艺品的件数为，则随机变量的方差为________．

四、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）已知函数在点处的切线斜率为4，且在处取得极值．

（1）求函数的解析式；

（2）当时，求函数的最大值．

18．（12分）在下列三个条件中任选一个条件，补充在问题中的横线上，并解答．

条件①：展开式中前三项的二项式系数之和为22；条件②：展开式中所有项的二项式系数之和减去展开式中所有项的系数之和等于64；条件③：展开式中常数项为第三项．

问题：已知二项式，若______，求：

（1）展开式中二项式系数最大的项；

（2）展开式中所有的有理项．

19．（12分）某传统文化学习小组有10名同学，其中男生5名，女生5名，现要从中选取4人参加学校举行的汇报展示活动．

（1）如果4人中男生、女生各2人，有多少种选法？

（2）如果男生甲与女生乙至少有1人参加，有多少种选法？

（3）如果4人中既有男生又有女生，有多少种选法？

20．（12分）（1）若，求的值；

（2）若，求的值．

21．（12分）近年来某手工艺品村制作的手工艺品在国外备受欢迎，该村村民成立了手工艺品外销合作社，为严把质量关，合作社对村民制作的每件手工艺品请3位专家进行质量把关，质量把关程序如下：（i）若1件手工艺品3位专家都认为质量过关，则该手工艺品质量为A级；（ii）若仅有1位专家认为质量不过关，再由另外2位专家进行第二次质量把关，若第二次质量把关的2位专家都认为质量过关，则该手工艺品质量为B级，若第二次质量把关的2位专家中有1位或2位认为质量不过关，则该手工艺品质量为C级；（iii）若有2位或3位专家认为质量不过关，则该手工艺品质量为D级．已知每一次质量把关中1件手工艺品被1位专家认为质量不过关的概率为，且各手工艺品质量是否过关相互独立．

（1）求1件手工艺品质量为B级的概率；

（2）若1件手工艺品质量为A，B，C级均可外销，且利润分别为900元、600元、300元，质量为D级不能外销，利润为100元．

①求10件手工艺品中不能外销的手工艺品最有可能是多少件；

②记1件手工艺品的利润为X元，求X的分布列与均值．

22．（12分）已知函数的导函数为，的图象在点处的切线方程为，且，又函数与函数的图象在原点处有相同的切线．

（1）求函数的解析式及k的值；

（2）若对于任意恒成立，求m的取值范围．

答 案

第Ⅰ卷（选择题）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．【答案】B

【解析】因为，则，故，

故选B．

2．【答案】D

【解析】由图可知，当时，，即在上单调递增；

当时，，即在上单调递减；

当时，，即在上单调递增，

结合各选项，只有D符合要求，故选D．

3．【答案】B

【解析】根据题意可知，

若事件为“为偶数”发生，则、两个数均为奇数或均为偶数，

其中基本事件数为，，，，，，，，，，，，，，，，，，一共个基本事件，

∴，

而A、同时发生，基本事件有且一共有9个基本事件，∴，

则在事件A发生的情况下，发生的概率为，故选B．

4．【答案】D

【解析】依题意，解得，

所以的分布列为：

则，

则，

所以的分布列为：

则，，

所以，

故选D．

5．【答案】A

【解析】因为，所以，故选A．

6．【答案】C

【解析】若甲乙和另一人共3人分为一组，则有种安排方法；

若甲乙两人分为一组，另外三人分为两组，一组1人，一组2人，

则有种安排方法，

综上：共有12+12=24种安排方法，故选C．

7．【答案】D

【解析】由题意得：

，

所以，故选D．

8．【答案】B

【解析】设，，则，

，，

令，则，

函数在上单调递减，在上单调递增，

时，函数的最小值为1，故选B．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．【答案】ACD

【解析】关于二项式，它的展开式共计有6项，故A正确；

由于它的通项公式为，令，求得，

无非负整数解，故不存在常数项，故B错误；

令，即，解得，可得项的系数是，故C正确；

令，可得各项的系数之和为，故D正确，

故选ACD．

10．【答案】BD

【解析】因为每次取一球，所以，，是两两互斥的事件，故D正确；

因为，

所以，故B正确；

同理，

所以，故A错误；

因为，所以，

故C错误，

故选BD．

11．【答案】BCD

【解析】对于A，函数有零点方程有解，

当时，方程有一解；

当时，方程有解，

综上知有零点的充要条件是，故A错误；

对于B，由，得，

当时，，在上单调递增，在上单调递减，

此时有最大值，无最小值；

当时，方程有两个不同实根，，

当时，有最小值，当时，；

当时，有最小值0；

当时，且当时，，无最小值；

当时，时，，无最小值，

综上，当且仅当时，有最小值，故B正确；

对于C，因为当时，，在R上恒成立，

此时在R上单调递增，故C正确；

对于D，由知，当时，是的极值点，

当，时，和都是的极值点，

当时，在R上单调递增，无极值点，

所以是有极值点的充要条件，故D正确，

故选BCD．

12．【答案】BD

【解析】由及，得．

设函数，，

则，

所以在上单调递减，从而，

即，

所以，，，，

故选BD．

第Ⅱ卷（非选择题）

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．【答案】

【解析】显然，且，

由，以及考虑定义域，解得．

在区间上单调递减，∴，解得，

故答案为．

14．【答案】

【解析】因为，

因为的通项公式为，

所以的展开式中常数项为，

则，解得，

所以展开式中的系数为，

故答案为．

15．【答案】432

【解析】间隔1节艺术课的排法有种；

间隔0节艺术课的排法有种，

故最多间隔1节艺术课的排法有种，

故答案为432．

16．【答案】0．38，0．63

【解析】第一次烧制后恰有一件产品合格的概率为

；

经过两次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率分别为

，，，

所以随机变量服从参数为，的二项分布，即，

故，

故答案为0．38，0．63．

四、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．【答案】（1）；（2）11．

【解析】（1），由题意得，即，

解得，，，

所以，

，令，得或．

符合题意．

（2）由（1）可知：，而，

所以．

18．【答案】（1）；（2），，，．

【解析】（1）选①，由，得（负值舍去）．

选②，令，可得展开式中所有项的系数之和为0．

由，得．

选③，设第项为常数项，，由，得．

由得展开式的二项式系数最大为，

则展开式中二项式系数最大的项为．

（2）设第项为有理项，，

因为，，，

所以，

则有理项为，，，．

19．【答案】（1）100；（2）140；（3）．

【解析】（1）第一步，从5名男生中选2人，有种选法；第二步，从5名女生中选2人，有种选法，

根据分步乘法计数原理，共有种选法．

（2）从10人中选取4人，有种选法；

男生甲与女生乙都不参加，有种选法，

所以男生甲与女生乙至少有1人参加，共有种选法．

（3）从10人中选取4人，有种选法；4人全是男生，有种选法；4人全是女生，有种选法．

所以4人中既有男生又有女生，共有种选法．

20．【答案】（1）2013；（2）．

【解析】（1）令，得，再令，得，

那么，．

（2）因为展开式的通项为，，

所以当r为偶数时，系数为正；当r为奇数时，系数为负．

故有．

令二项式中的，得，

故．

21．【答案】（1）；（2）①2件；②分布列见解析，．

【解析】（1）由题意知，1件手工艺品质量为B级的概率为．

（2）①由题意可知，1件手工艺品质量为D级的概率为，

设10件手工艺品中不能外销的手工艺品是件，则，

则，其中．

．

由得，所以当时，，

即，由得，

所以当时，，

所以当时，最大，即10件手工艺品中不能外销的手工艺品最有可能是2件．

②由题意可知，1件手工艺品质量为A级的概率为，

1件手工艺品质量为B级的概率为，

1件手工艺品质量为C级的概率为，

1件手工艺品质量为D级的概率为，

所以X的分布列为

则．

22．【答案】（1），；（2）．

【解析】（1），

，，

，，即，①

的图象在点处的切线方程为，

当时，，且切线斜率，

则，②，

，③，

联立解得，，，即，

函数，，

函数在原点处的切线斜率为1，

，．

（2）若对于任意恒成立，

则等价为对于任意恒成立，

即恒成立，

则只需要求出在上的最小值即可，

设，则，，

则当时，；当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增，

，，

，必有一个实根，且，使得，即，

当时，；当时，，

的最小值为，

则，，

所以在上的最小值，

从而，即．