专题1.1 几何图形中的动点最值问题-2022年中考数学备考优生百日闯关系列（解析版）

【考查知识点】 “两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。

原型----“饮马问题”，“造桥选址问题”。考的较多的还是“饮马问题”，出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。

【解题思路】找点关于线的对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查.求线段和的最小值需要用到三个基本知识：两点之间，线段最短；轴对称的性质；线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等.常见情况有三种：“两点一线”型、“一点两线”型和“两点连线” 型.

平面上最短路径问题：

（1）归于“两点之间的连线中，线段最短”。凡属于求“变动的两线段之和的最小值”时，大都应用这一模型。

（2）归于“三角形两边之差小于第三边”。凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时，大都应用这一模型。

（3）平面图形中，直线同侧两点到直线上一点距离之和最短问题。

【典型例题】

【例1】（2018山东滨州中考）如图，∠AOB=60°，点P是∠AOB内的定点且OP=，若点M、N分别是射线OA、OB上异于点O的动点，则△PMN周长的最小值是（　　）

A．    B．    C．6    D．3

【答案】D

【解析】

详解：作P点分别关于OA、OB的对称点C、D，连接CD分别交OA、OB于M、N，如图，

则MP=MC，NP=ND，OP=OD=OC=，∠BOP=∠BOD，∠AOP=∠AOC，

∴PN+PM+MN=ND+MN+MC=DC，∠COD=∠BOP+∠BOD+∠AOP+∠AOC=2∠AOB=120°，

∴此时△PMN周长最小，

作OH⊥CD于H，则CH=DH，

∵∠OCH=30°，

∴OH=OC=，

CH=OH=,

∴CD=2CH=3．

故选D．学科*网[来源:Z&xx&k.Com]

【名师点睛】本题考查了菱形的性质，平面直角坐标系，，轴对称——最短路线问题，三角形相似，勾股定理，动点问题．关于最短路线问题：在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点（注：本题C，D位于OB的同侧）．如下图，解决本题的关键：一是找出最短路线，二是根据一次函数与方程组的关系，将两直线的解析式联立方程组，求出交点坐标.

【例2】（2017四川省内江市）如图，已知直线l1∥l2，l1、l2之间的距离为8，点P到直线l1的距离为6，点Q到直线l2的距离为4，PQ=，在直线l1上有一动点A，直线l2上有一动点B，满足AB⊥l2，且PA+AB+BQ最小，此时PA+BQ=______．

【答案】16．

考点：轴对称﹣最短路线问题；平行线的性质；动点型；最值问题；综合题．

【名师点睛】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，根据题意正确正确作出图形是解决问题的关键.

【方法归纳】

在平面几何的动态问题中，求几何量的最大值或最小值问题常会运用以下知识：

①     三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；

②两点之间线段最短；

③连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短；

④定圆中的所有弦中，直径最长；

⑤利用对称的性质求两条线段之和最小的问题，解决此类问题的方法为：如图，要求线段l上的一动点P到点A、B距离和的最小值，先作点A关于直线L的对称点A′,连接A′B,则A′B与直线L的交点即为P点，根据对称性可知A′B的长即为PA+PB的最小值，求出A′B的值即可.

【针对练习】

1．如图，在等边△ABC中，AB=4，点P是BC边上的动点，点P关于直线AB，AC的对称点分别为M，N，则线段MN长的取值范围是         .

【答案】.

此时E、F分别为AB、AC的中点，
∴PE=AC，PF=AB，EF=BC，
∴MN=ME+EF+FN=PE+EF+PF=6；
如图2，当点P和点B（或点C）重合时，此时BN（或CM）最长．

此时G（H）为AB（AC）的中点，
∴CG=2（BH=2），
CM=4（BN=4）．学科&网
故线段MN长的取值范围是6≤MN≤4．

 2．如图，∠AOB的边OB与x轴正半轴重合，点P是OA上的一动点，点N（3，0）是OB上的一定点，点M是ON的中点，∠AOB=30°，要使PM+PN最小，则点P的坐标为______．

【答案】（，）．

3．（长春外国语学校一模）如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形内，在对角线AC上找到一点P，使PD+PE的和最小，则这个和的最小值是（　　　）．

A．    B．    C．3    D．

【答案】A

4．（2018新疆中考）如图，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上的一个动点，点M，N分别是AB，BC边上的中点，则MP+PN的最小值是（　　）

A．    B．1    C．    D．2

【答案】B

∵菱形ABCD关于AC对称，M是AB边上的中点，

∴M′是AD的中点，

又∵N是BC边上的中点，

∴AM′∥BN，AM′=BN，

∴四边形ABNM′是平行四边形，

∴M′N=AB=1，学*科网

∴MP+NP=M′N=1，即MP+NP的最小值为1，

故选：B．

5．（2016包头中考)直线y＝x＋4与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C，D分别为线段AB，OB的中点，点P为OA上一动点，PC＋PD值最小时点P的坐标为.

A．(－3，0)    B．(－6，0)    C．(－，0)    D．(－，0)

【答案】C

考点：一次函数图象上点的坐标特征；轴对称-最短路线问题．

6．如图，菱形ABCD的边长为6，∠ABC=120°，M是BC边的一个三等分点，P是对角线AC上的动点，当PB+PM的值最小时，PM的长是（　　）

A．    B．    C．    D．

【答案】A

7．（2017菏泽中考)如图，矩形的顶点的坐标为，是的中点，是上的一点，当的周长最小时，点的坐标是（ ）

A．         B．       C.         D．

【答案】B.

8．（2018泰安中考）如图，的半径为2，圆心的坐标为，点是上的任意一点，，且、与轴分别交于、两点，若点、点关于原点对称，则的最小值为（   ）

A．3    B．4    C．6    D．8

【答案】C

【解析】分析：连接OP．由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到OP=AB，当OP最短时，AB最短．连接OM交⊙M于点P，则此时OP最短，且OP=OM－PM，计算即可得到结论．

详解：连接OP．学*科网

∵PA⊥PB，OA=OB，∴OP=AB，当OP最短时，AB最短．

连接OM交⊙M于点P，则此时OP最短，且OP=OM－PM==3，∴AB的最小值为2OP=6．故选C．

9．如图，在等边△ABC中，AB＝6，N为AB上一点，且AN＝2，∠BAC的平分线交BC于点D，M是AD上的动点，连结BM，MN，则BM+MN的最小值是（　　）

A．8    B．10    C．    D．2

【答案】D

又∵AD是BC边上的中线，

∴DE是△BCN的中位线，

∴CN＝2DE，CN∥DE，

又∵N为AE的中点，

∴M为AD的中点，

∴MN是△ADE的中位线，

∴DE＝2MN，

∴CN＝2DE＝4MN，

∴CM＝CN．学科&网

在直角△CDM中，CD＝BC＝3，DM＝AD＝，

∴CM＝，

∴CN＝．

∵BM+MN＝CN，

∴BM+MN的最小值为2 ．

故选：D．

10．（扬州一模）如图,在矩形纸片ABCD中,AB=2,AD=3,点E是AB的中点,点F是AD边上的一个动点,将△AEF沿EF所在直线翻折,得到△A′EF,则A′C的长的最小值是(    )

A．    B．    C．    D．

【答案】A

质可知A′E=1，在Rt△BCE中利用勾股定理可求出CE的长度，用CE-A′E即可求出结论．

【详解】

以点E为圆心，AE长度为半径作圆，连接CE，当点A′在线段CE上时，A′C的长取最小值，如图所示．[来源:学§科§网Z§X§X§K]

根据折叠可知：A′E=AE=AB=1．

在Rt△BCE中，BE=AB=1，BC=3，∠B=90°，

∴CE=，学科&网

∴A′C的最小值=CE-A′E=-1．

故选A．

11．（天津二模）如图，等腰三角形ABC底边BC的长为4 cm，面积为12 cm2，腰AB的垂直平分线EF交AB于点E，交AC于点F，若D为BC边上的中点，M为线段EF上一点，则△BDM的周长最小值为(    )

A．5 cm    B．6 cm    C．8 cm    D．10 cm

【答案】C

∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，∴S△ABC=BC•AD=×4×AD=12，解得：AD=6（cm）．

∵EF是线段AB的垂直平分线，∴点B关于直线EF的对称点为点A，∴AD的长为BM+MD的最小值，∴△BDM的周长最短=（BM+MD）+BD=AD+BC=6+×4=6+2=8（cm）．

故选C．学*科网

12．如图，已知长方形ABCD，AB＝1，BC＝2，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA＋MD＋ME的最小值为(     )

A．1    B．1+    C．2+    D．3

【答案】B

由于点E也为动点，

∴当D’E⊥BC时最短，此时易求得D’E=DG+GE=4+3，

∴MA+MD+ME的最小值为4+3．学科&网

故选B．

13．如图所示，∠MON=40°，P为∠MON内一点，A为OM上一点，B为ON上一点，当△PAB的周长取最小值时，∠APB的度数为

A．80°    B．100°    C．110°    D．120°

【答案】B

【详解】

如图，作出P点关于OM、ON的对称点P1，P2连接P1，P2交OM，ON于A、B两点，此时△PAB的周长最小，由题意可知，
，
．学科&网
故答案为：B．

14．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，BC＝5，EF垂直平分BC，点P为直线EF上的任一点，则AP＋BP的最小值是（    ）

A．5    B．4    C．3    D．7

【答案】B

∴PA+BP=AP+PC．

∴当点A，P，C在一条直线上时，PA+BP有最小值，最小值=AC=4．

故选：B．

15．如图，在锐角△ABC中，AB=6，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M,N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是 (    )

A．    B．    C．6    D．3

【答案】B

【详解】

如图,作BH⊥AC,垂足为H,交AD于M′点,过M′点作M′N′⊥AB,垂足为N′,则BM′+M′N′为所求的最小值,

∵AD是∠BAC的平分线，

∴M′H=M′N′，

∴BH是点B到直线AC的最短距离(垂线段最短)，

∵ 学科*网

∴

∵BM+MN的最小值是BM′+M′N′=BM′+M′H=BH

故选:B.

16．如图，已知等边△ABC的面积为4， P、Q、R分别为边AB、BC、AC上的动点，则PR＋QR的最小值是（  ）

A．3    B．2    C．    D．4

【答案】B

17．如图：等腰△ABC的底边BC长为6，面积是18，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（　　）

A．6    B．8    C．9    D．10

【答案】C

【详解】

连接AD，MA．

∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，∴S△ABCBC•AD6×AD＝18，解得：AD＝6．

∵EF是线段AC的垂直平分线，∴点A关于直线EF的对称点为点C，MA＝MC，∴MC+DM＝MA+DM≥AD，∴AD的长为CM+MD的最小值，∴△CDM的周长最短＝（CM+MD）+CD＝ADBC＝66＝6+3＝9．

故选C．

18．（2016四川泸州）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），B（1﹣a，0），C（1+a，0）（a＞0），点P在以D（4，4）为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC=90°，则a的最大值是      ．

[来源:Z。xx。k.Com]

【答案】6．

考点：三角形的外接圆与外心；动点型；最值问题．

19．（2016湖北随州）如图，直线y=x+4与双曲线y=（k≠0）相交于A（﹣1，a）、B两点，在y轴上找一点P，当PA+PB的值最小时，点P的坐标为      ．

【答案】（0，）．

【解析】

试题分析：把点A坐标代入y=x+4得a=3，即A（﹣1，3），把点A坐标代入双曲线的解析式得3=﹣k，即k=﹣3，联立两函数解析式得：，解得：，，即点B坐标为：（﹣3，1），作出点A关于y轴的对称点C，连接BC，与y轴的交点即为点P，使得PA+PB的值最小，则点C坐标为：（1，3），设直线BC的解析式为：y=ax+b，把B、C的坐标代入得：，解得：，所以函数解析式为：y=x+，则与y轴的交点为：（0，）．学科&网

考点：反比例函数与一次函数的交点问题；轴对称-最短路线问题．