专题01 角平分线相关问题模型解题-决胜2022中考数学模型攻略

解题模型一

针对训练

1.（2016•枣庄）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D的度数为（　　）

A．15°             B．17.5°          C．20°           D．22.5°

【答案】A

【点睛】本题若不套用模型，则需要通过三角形的外角性质证明得到∠A、∠D的数量关系.

2.（2018•巴中）如图，在△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB．若∠BOC=110°，则∠A=　  　．

【答案】40°

【分析】由解题模型一中的（1）可知，∠BOC=90°+∠A，把∠BOC=110°代入计算可得到∠A的度数．

【详解】∵∠BOC=90°+∠A，∠BOC=110°，

∴90°+∠A=110°.

∴∠A=40°．  学科￥#网[来源:学科网]

【点睛】本题若不套用模型，则需要利用三角形的内角和定理、角平分线的定义得到∠BOC、∠A的数量关系.

3.（2018•深圳）在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BE平分∠ABC，AD、BE相交于点F，且AF=4，EF=，则AC=　　．

【答案】

∵AD平分∠CAB，BE平分∠ABC，

∴CF是∠ACB的平分线.

∴∠ACF=45°=∠AFE.

∵∠CAF=∠FAE，∴△AEF∽△AFC.

∴.

∴AC===，

故答案为．

【点睛】此题主要考查了角平分线定义，勾股定理，相似三角形的判定和性质，求出AE是解本题的关键．

4.（2018•济南历城区模拟）如图，BA1和CA1分别是△ABC的内角平分线和外角平分线，BA2是∠A1BD的角平分线，CA2是∠A1CD的角平分线，BA3是∠A2BD的角平分线，CA3是∠A2CD的角平分线，若∠A1=α，则∠A2018=　     　．

【答案】

【详解】∵A1B是∠ABC的平分线，A1C是∠ACD的平分线，

∴∠A1BC=∠ABC，∠A1CD=∠ACD，

又∵∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1BC+∠A1，

【点睛】本题主要考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，以及角平分线的定义，熟记性质然后推出后一个角是前一个角的一半是解题的关键．  学#￥科网

解题模型二

针对训练

5.（2018•长春）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E．若∠A=54°，∠B=48°，则∠CDE的大小为（　　）

A．44°            B．40°             C．39°                D．38°

【答案】C

【点睛】此题考查三角形内角和问题，关键是根据三角形内角和、角平分线的定义和平行线的性质详解．

6.（2016•湖州）如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD=8，则点P到BC的距离是（　　）

   A．8   B．6 C．4 D．2 

【答案】C

【分析】过点P作PE⊥BC于E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PA=PE，PD=PE，那么PE=PA=PD，又AD=8，进而求出PE=4．  学￥科网

【详解】过点P作PE⊥BC于点E.

∵AB∥CD，PA⊥AB，

∴PD⊥CD.

∵BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，

∴PA=PE，PD=PE.

∴PE=PA=PD.

∵PA+PD=AD=8，

∴PA=PD=4.

∴PE=4．

故选：C．

【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质并作辅助线是解题的关键．

7.（2018•常德）如图，已知BD是△ABC的角平分线，ED是BC的垂直平分线，∠BAC=90°，AD=3，则CE的长为（　　）

A．6              B．5            C．4              D．3[来源:学#科#网Z#X#X#K]

【答案】D

【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．

8.（2018•淄博）如图，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，若AN=1，则BC的长为（　　）

A．4              B．6              C．             D．8

【答案】B

【分析】根据题意，可以求得∠B的度数，然后根据解直角三角形的知识可以求得NC的长，从而可以求得BC的长．

【点睛】本题考查30°角的直角三角形、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质，详解本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想详解．

9.（2018•大庆）如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC=110°，则∠MAB=（　　）

A．30°               B．35°               C．45°                 D．60°

【答案】B

【分析】作MN⊥AD于N，根据平行线的性质求出∠DAB，根据角平分线的判定定理得到∠MAB=∠DAB，计算即可．  学科.网

【点睛】本题考查的是角平分线的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两个端点的距离相等.

10.（2018•河北）如图，点I为△ABC的内心，AB=4，AC=3，BC=2，将∠ACB平移使其顶点与I重合，则图中阴影部分的周长为（　　）

A．4.5                 B．4              C．3               D．2

【答案】B

【分析】连接AI、BI，因为三角形的内心是角平分线的交点，所以AI是∠CAB的平分线，由平行的性质和等角对等边可得：AD=DI，同理BE=EI，所以图中阴影部分的周长就是边AB的长．

【点睛】本题考查了三角形内心的定义、平移的性质及角平分线的定义等知识，熟练掌握三角形的内心是角平分线的交点是关键．

11.（2018•枣庄）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F．若AC=3，AB=5，则CE的长为（　　）

A．                B．                  C．              D．

【答案】A

【分析】根据三角形的内角和定理得出∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°，根据角平分线和对顶角相等得出∠CEF=∠CFE，即可得出EC=FC，再利用相似三角形的判定与性质得出答案．

【详解】过点F作FG⊥AB于点G，如图所示.

∴BC=4.

∴=.

∵FC=FG，

∴=.

解得FC=，

即CE的长为．

故选：A．  学科@#网

【点睛】本题考查了直角三角形性质、等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理以及相似三角形的判定与性质等知识，关键是推出∠CEF=∠CFE．

12.（2017•滨州）如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：（1）PM=PN恒成立；（2）OM+ON的值不变；（3）四边形PMON的面积不变；（4）MN的长不变，其中正确的个数为（　　）

A．4             B．3             C．2             D．1

【答案】B [来源:学科网ZXXK]

在△POE和△POF中，

，

∴△POE≌△POF（HL）.∴OE=OF.

在△PEM和△PFN中，

，

∴△PEM≌△PFN（ASA）.

∴EM=NF，PM=PN，故（1）正确.

∴S△PEM=S△PNF.

∴S四边形PMON=S四边形PEOF=定值，故（3）正确.

∵OM+ON=OE+ME+OF﹣NF=2OE=定值，故（2）正确，

MN的长度是变化的，故（4）错误.

故选：B．

【点睛】本题考查全等三角形的性质、角平分线的性质定理、四边形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．

13.（2018•德州）如图，OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB，OC=5，OM=4，则点C到射线OA的距离为　3　．

【答案】3

【点睛】此题主要考查了角平分线的性质，关键是掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等．

14.（2018•广安）如图，∠AOE=∠BOE=15°，EF∥OB，EC⊥OB于C，若EC=1，则OF=　2　．

【答案】2

【分析】作EH⊥OA于点H，根据角平分线的性质求出EH，根据直角三角形的性质求出EF，根据等腰三角形的性质详解．

【详解】作EH⊥OA于点H，如图所示.

【点睛】本题考查的是角平分线的性质、平行线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．

15.（2018•桂林）如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD平分∠ABC，则图中等腰三角形的个数是　3　．

【答案】3

【分析】首先根据已知条件分别计算图中每一个三角形每个角的度数，然后根据等腰三角形的判定：等角对等边详解，做题时要注意，从最明显的找起，由易到难，不重不漏．  学%&科网

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及等腰三角形的判定，角的平分线的性质；求得各个角的度数是正确详解本题的关键．

16.（2016•长春）感知：如图1，AD平分∠BAC．∠B+∠C=180°，∠B=90°，易知：DB=DC．

探究：如图2，AD平分∠BAC，∠ABD+∠ACD=180°，∠ABD＜90°，求证：DB=DC．[来源:学科网ZXXK]

应用：如图3，四边形ABCD中，∠B=45°，∠C=135°，DB=DC=a，则AB﹣AC=　　（用含a的代数式表示）

【答案】KD：全等三角形的判定与性质．

【分析】探究：欲证明DB=DC，只要证明△DFC≌△DEB即可．

应用：先证明△DFC≌△DEB，再证明△ADF≌△ADE，结合BD=EB即可解决问题．

【详解】探究：

证明：如图②中，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，[来源:学+科+网Z+X+X+K]

∵DA平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，

∴DE=DF.

∵∠B+∠ACD=180°，∠ACD+∠FCD=180°，

∴∠B=∠FCD.

在△DFC和△DEB中，

，

∴△DFC≌△DEB（AAS）.

∴DC=DB．

∴AB﹣AC=a．

故答案为a．

【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形，属于中考常考题型．