专题02 二次函数与营销问题-2022年中考数学复习压轴题突破之二次函数

中考数学压轴题之二次函数

专题02 二次函数与营销问题

                            【方法综述】[来源:学.科.网Z.X.X.K]

此类问题以营销问题为背景，通过各种数学知识的结合，考察和二次函数最值和自变量取值范围有关的问题。首先，考察有关利润的函数模型的构造，解答方法是通过利润公式根据题意找出等量关系；其次考察函数的最值计算、判断，解答方法是通过二次函数特性找到函数的最值或在一定自变量范围内函数值的最值；再次通常考察利润在一定范围内时对应的自变量取值范围，解答方法通常采用通过数形结合思想，画出函数图象根据题意找到答案。

【典例示范】

类型一常规盈利问题

例1：（2019湖北宜昌）某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利过程．下面的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润（万元）与销售时间（月）之间的关系（即前个月的利润总和和之间的关系）．根据图象提供的信息，解答下列问题：

由已知图象上的三点坐标，求累积利润（万元）与时间（月）之间的函数关系式；

求截止到几月末公司累积利润可达到万元；

求第个月公司所获利润是多少万元？

针对训练

1．(2018宁波)根据对宁波市相关的市场物价调研，某批发市场内甲种水果的销售利润y1（千元）与进货量x（吨）近似满足函数关系y1=0.25x，乙种水果的销售利润y2（千元）与进货量x（吨）之间的函数y2=ax2+bx+c的图象如图所示．

（1）求出y2与x之间的函数关系式；

（2）如果该市场准备进甲、乙两种水果共8吨，设乙水果的进货量为t吨，写出这两种水果所获得的销售利润之和W（千元）与t（吨）之间的函数关系式，并求出这两种水果各进多少吨时获得的销售利润之和最大，最大利润是多少？

2．（2019泰州姜堰区期末）某水果店销售某品牌苹果，该苹果每箱的进价是40元，若每箱售价60元，每星期可卖180箱．为了促销，该水果店决定降价销售．市场调查反映:若售价每降价1元，每星期可多卖10箱．设该苹果每箱售价x元（40≤x≤60），每星期的销售量为y箱．

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）当每箱售价为多少元时，每星期的销售利润达到3570元？

（3）当每箱售价为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润多少元?

3．（2019安徽阜阳期末）某企业生产了一款健身器材，可通过实体店和网上商店两种途径进行销售，销售了一段时间后，该企业对这种健身器材的销售情况进行了为期30天的跟踪调查，其中实体店的日销售量y1(套)与时间x(x为整数，单位:天)的部分对应值如下表所示:

(1)求出y1与x的二次函数关系式及自变量x的取值范围

(2)若网上商店的日销售量y2(套)与时间x(x为整数，单位:天)的函数关系为，则在跟踪调查的30天中，设实体店和网上商店的日销售总量为y(套),求y与x的函数关系式；当x为何值时，日销售总量y达到最大，并写出此时的最大值.

4．（2018广东中山）某电商在购物平台上销售一款小电器，其进价为45元/件，每销售一件需缴纳平台推广费5元，该款小电器每天的销售量y（件）与每件的销售价格x（元）满足函数关系：y＝﹣2x+200．为保证市场稳定，供货商规定销售价格不得低于75元/件．

（1）写出每天的销售利润w（元）与销售价格x（元）的函数关系式（不必写出x的取值范围）；

（2）每件小电器的销售价格定为多少元时，才能使该款小电器每天获得的利润是1200元？

5．（2019洛阳市月考）某公司为一工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．当每吨售价为260元时，月销售量为45吨．该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销．经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨．综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元．设每吨材料售价为x（元），该经销店的月利润为y（元）．当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；

（1）求出 y 与x的函数关系式（不要求写出x 的取值范围）；

（2）该经销店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？[来源:学。科。网Z。X。X。K]

6．（2018重庆月考）某文具店购进A，B两种钢笔，若购进A种钢笔2支，B种钢笔3支，共需90元；购进A种钢笔3支，B种钢笔5支，共需145元．

（1）求该文具店购进A、B两种钢笔每支各多少元？

（2）经统计，B种钢笔售价为30元时，每月可卖64支；每涨价3元，每月将少卖12支，求该文具店B种钢笔销售单价定为多少元时，每月获利最大？最大利润是多少元？

7．（青岛市李沧区期末）某公司营销 A，B 两种产品，根据市场调研，确定两条信息：

信息 1：销售 A 种产品所获利润 y（万元）与所售产品 x（吨）之间存在二次函数关系，如图所示：

信息 2：销售 B 种产品所获利润 y（万元）与销售产品 x（吨）之间存在正比例函数关系 y＝0.3x．

根据以上信息，解答下列问题；

(1)求二次函数的表达式；

(2)该公司准备购进 A、B 两种产品共 10 吨，请设计一个营销方案，使销售 A 、 B 两种产品获得的利润之和最大，最大利润是多少万元？

类型二一次函数与二次函数相结合的营销问题

例2．（2019江苏东台）某校部分团员参加社会公益活动，准备购进一批许愿瓶进行销售，并将所得利润捐给慈善机构.根据市场调查，这种许愿瓶一段时间内的销售量y（个）与销售单价x（元/个）之间的对应关系如图所示：

（1）试判断y与x之间的函数关系，并求出函数关系式；

（2）若许愿瓶的进价为6元/个，按照上述市场调查的销售规律，求销售利润w（元）与销售单价x（元/个）之间的函数关系式；[来源:学*科*网]

（3）在（2）的条件下，若许愿瓶的进货成本不超过900元，要想获得最大的利润，试确定这种许愿瓶的销售单价，并求出此时的最大利润.

针对训练

1. 国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，某环保节能设备生产企业的产品供不应求．若该企业的某种环保设备每月的产量保持在一定的范围，每套产品的生产成本不高于50万元，每套产品的售价不低于80万元，已知这种设备的月产量x（套）与每套的售价y（万元）之间满足关系式y＝150﹣2x，月产量x（套）与生产总成本y2（万元）存在如图所示的函数关系．

（1）直接写出y2与x之间的函数关系式；

（2）求月产量x的范围；

（3）当月产量x（套）为多少时，这种设备的利润W（万元）最大？最大利润是多少？

2．（2019天津南开期末）某商家独家销售具有地方特色的某种商品,每件进价为40元。经注市场调查,一周的销售量件与销售单价元/件的关系如下表：

(1)直接写出与的函数关系式；

(2)设一周的销售利润为元,请求出与的函数关系式,并确定当销售单价在什么范围内变化时,一周的销售利润随着销售单价的增大而增大?

(3)商家决定将商品一周的销售利润全部做公益捐岀,在商家购进该商品的货款不超过10000元情况下,请你求出该商家最大捐款数额是多少元?

3．（2019张家港期末）小丽老师家有一片80棵桃树的桃园，现准备多种一些桃树提高桃园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每棵树所受光照就会减少，单棵树的产量随之降低.若该桃园每棵桃树产桃(千克)与增种桃树(棵)之间的函数关系如图所示.

(1)求与之间的函数关系式;

(2)在投入成本最低的情况下，增种桃树多少棵时，桃园的总产量可以达到6750千克?

(3)如果增种的桃树 (棵)满足: ，请你帮小丽老师家计算一下，桃园的总产量最少是多少千克，最多又是多少千克?

4．（2019湖北省鄂州）某大学生创业团队抓住商机，购进一批干果分装成营养搭配合理的小包装后出售，每袋成本3元．试销期间发现每天的销售量y（袋）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示，其中3.5≤x≤5.5，另外每天还需支付其他各项费用80元．

（1）请直接写出y与x之间的函数关系式；

（2）如果每天获得160元的利润，销售单价为多少元？[来源:学科网]

（3）设每天的利润为w元，当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少元？

5．（2019合肥市庐阳区）某公司2017年初刚成立时投资1000万元购买新生产线生产新产品，此外，生产每件该产品还需要成本40元.按规定，该产品售价不得低于60元/件且不超过160元/件，且每年售价确定以后不再变化，该产品的年销售量（万件）与产品售价（元）之间的函数关系如图所示．

（1）求与之间的函数关系式，并写出的取值范围；

（2）求2017年该公司的最大利润？

（3）在2017年取得最大利润的前提下，2018年公司将重新确定产品售价，能否使两年共盈利达980万元.若能，求出2018年产品的售价；若不能，请说明理由．

6. （2019郑州期末）丹尼斯超市进了一批成本为 8 元/个的文具盒.  调查发现：这种文具盒每个星期的销售量y(个)与它的定价 x(元/个)的关系如图所示：

(1)求这种文具盒每个星期的销售量 y(个)与它的定价 x(元/个)之间的函数关系式(不必写出自变量 x的取值范围)；

 (2)每个文具盒的定价是多少元，超市每星期销售这种文具盒 (不考虑其他因素)可或得的利润为 1200 元?

(3)若该超市每星期销售这种文具盒的销售量小于 115 个， 且单件利润不低于 4 元(x 为整数)，当每个文具盒定价多少 元时，超市每星期利润最高?最高利润是多少?

7．（2018重庆巴南区期末）我区某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为40元，若销售价为70元，每天可售出20件，为迎接“双十一”，专卖店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均每天可多售出2件．设每件童装降价x元（x＞0）时，平均每天可盈利y元．

（1）写出y与x的函数关系式；[来源:学科网]

（2）根据（1）中你写出的函数关系式，解答下列问题：

①当该专卖店每件童装降价6元时，平均每天盈利多少元？

②当该专卖店每件童装降价多少元时，平均每天盈利最大？

③该专卖店要想平均每天盈利900元，可能吗？请说明理由．

类型三一次函数与二次函数相结合的营销问题

例3：（2019安徽桐城联考）合肥周谷堆农副产品批发市场某商铺购进一批红薯，通过商店批发和在淘宝网上进行销售．首月进行了销售情况的统计，其中商店日批发量（百斤）与时间（为整数，单位：天）的部分对应值如下表所示；在淘宝网上的日销售量（百斤）与时间（为整数，单位：天）的部分对应值如图所示．

（1）请你在一次函数、二次函数和反比例函数中，选择合适的函数能反映与的变化规律，求出与之间的函数关系式；

（2）求与之间的函数关系式；

（3）设这个月中，日销售总量为，求出与之间的函数关系式，并求出当为何值时，日销售总量最大，最大值为多少？

针对训练

1.（2019杭州期末）绿色生态农场生产并销售某种有机产品，假设生产出的产品能全部售出．如图，线段EF、折线ABCD分别表示该有机产品每千克的销售价y1（元）、生产成本y2（元）与产量x（kg）之间的函数关系．

（1）求该产品销售价y1（元）与产量x（kg）之间的函数关系式；

（2）直接写出生产成本y2（元）与产量x（kg）之间的函数关系式；

（3）当产量为多少时，这种产品获得的利润最大？最大利润为多少？

2.国家为支持大学生创业，提供小额无息贷款，学生王芳享受政策无息贷款元用来代理品牌服装的销售．已知该品牌服装进价每件元，日销售（件）与销售价 （元/件）之间的关系如图所示（实线），每天付员工的工资每人每天元，每天应支付其它费用元．

求日销售（件）与销售价 （元/件）之间的函数关系式；

若暂不考虑还贷，当某天的销售价为元/件时，收支恰好平衡（收入支出），求该店员工人数；

若该店只有名员工，则该店至少需要多少天才能还清贷款，此时，每件服装的价格应定为多少元？

3.（2019江苏昆山期末）某专卖店经市场调查得知，一种商品的月销售量 Q(单位：吨)与销售价格 x(单位：万元/吨)的关系可用下图中的折线表示．

(1)写出月销售量 Q 关于销售价格 x 的关系；

(2)如果该商品的进价为 5 万元/吨，除去进货成本外，专卖店销售该商品每月的固定成本为 10 万元，问该商品 每吨定价多少万元时，销售该商品的月利润最大？并求月利润的最大值．

4.（2018四川金牛区）经过市场调查得知，某种商品的销售期为100天，设该商品销量单价为y(万元/kg)，y与时间t(天)函数关系如下图所示，其中线段AB表示前50天销售单价y(万元/kg)与时间t(天)的函数关系；线段BC的函数关系式为y=-t+m.该商品在销售期内的销量如下表：

(1)分别求出当0＜t≤50和50＜t≤100时y与t的函数关系式；

(2)设每天的销售收入为w(万元)，则当t为何值时，w的值最大？求出最大值；

5.（2018四川广安月考）由于国家重点扶持节能环保产业，某种节能产品的销售市场逐渐回暖，某经销商销售这种产品，年初与生产厂家签订了一份进货合同，约定一年内进价为0.1万元/台．若一年内该产品的售价y（万元/台）与月份x（1≤x≤12且为整数）满足关系式：y＝，一年后，发现这一年来实际每月的销售量p（台）与月份x之间存在如图所示的变化趋势．

（1）求实际每月的销售量p（台）与月份x之间的函数表达式；

（2）全年中哪个月份的实际销售利润w最高，最高为多少万元？

6.某药厂销售部门根据市场调研结果，对该厂生产的一种新型原料药未来两年的销售进行预测，并建立如下模型：

设第t个月该原料药的月销售量为P（单位：吨），P与t之间存在如图所示的函数关系，其图象是函数P=（0＜t≤8）的图象与线段AB的组合；设第t个月销售该原料药每吨的毛利润为Q（单位：万元），Q与t之间满足如下关系：Q=．

（1）当8＜t≤24时，求P关于t的函数解析式；

（2）设第t个月销售该原料药的月毛利润为w（单位：万元）．

①求w关于t的函数解析式；

②该药厂销售部门分析认为，当w=336时是最有利于该厂可持续发展，求所对应的月销售量P的值．

7.某企业接到一批酸奶生产任务，按要求在16天内完成，规定这批酸奶的出厂价为每瓶8元，为按时完成任务，该企业招收了新工人小孙，设小孙第x天生产的酸奶数量为y瓶，y与x满足下列关系式：

（1）小孙第几天生产的酸奶数量为520瓶？

（2）如图，设第x天每瓶酸奶的成本是p元，已知p与x之间的关系可以用图中的函数图象来刻画．若小孙第x天创造的利润为w元，求w与x之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大，最大利润是多少元？（利润=出厂价一成本）

（3）设（2）小题中第m天利润达到最大值，若要使第m+1天的利润比第m天的润至少多50元，则第（m+1）天每瓶酸奶至少应提价几元？

8.某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图（1）的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图（2）的抛物线段Q=（t﹣150）2+100 （0≤t≤300）表示，（注：市场售价和种植成本的单位：元/100kg，时间单位：天）

（1）写出图（1）表示的市场售价P与时间t的函数关系式；

（2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？

类型四盈利讨论问题

例4.（2018山东青岛期末）利客来超市新进一批工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．

（1）求出每天的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；

（2）求出销售单价为多少元时，每天的销售利润为4000元？

（3）如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，且每天的总成本不超过7000元，那么销售单价应控制在什么范围内？（每天的总成本=每件的成本×每天的销售量）

针对训练

1．某商场试销一种成本为每件元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于，经试销发现，销售量（件）与销售单价（元）符合一次函数，且时，；时，．

求一次函数的表达式；

若该商场获得利润为元，试写出利润与销售单价之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？

2．（2018厦门期末）小李的活鱼批发店以44元/公斤的价格从港口买进一批2000公斤的某品种活鱼，在运输过程中，有部分鱼未能存活，小李对运到的鱼进行随机抽查，结果如表一.由于市场调节，该品种活鱼的售价与日销售量之间有一定的变化规律，表二是近一段时间该批发店的销售记录.

(1)请估计运到的2000公斤鱼中活鱼的总重量；(直接写出答案)

(2)按此市场调节的观律，

①若该品种活鱼的售价定为52.5元/公斤，请估计日销售量，并说明理由；

②考虑到该批发店的储存条件，小李打算8天内卖完这批鱼(只卖活鱼)，且售价保持不变，求该批发店每日卖鱼可能达到的最大利润，并说明理由.

【答案】(1) 估计运到的2000公斤鱼中活鱼的总重量为1760公斤；(2) ①可以估计当活鱼的售价定为52.5元/公斤时，日销售量为300公斤；②售价定为54.5元/公斤，每日卖鱼可能达到的最大利润为990元.

3．某体育用品商店试销一款成本为50元的排球，规定试销期间单价不低于成本价，且获利不得高于40%．经试销发现，销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系．

（1）试确定y与x之间的函数关系式；

（2）若该体育用品商店试销的这款排球所获得的利润Q元，试写出利润Q（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；当试销单价定为多少元时，该商店可获最大利润？最大利润是多少元？

（3）若该商店试销这款排球所获得的利润不低于600元，请确定销售单价x的取值范围．

4．（2019哈尔滨期末）某商场经调研得出某种商品每天的利润y（元）与销售单价x（元）之间满足关系：y＝ax2+bx﹣75，其图象如图所示．

（1）求a与b的值；

（2）销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润是多少元？（参考公式：当x＝时，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）有最小（大）值）

（3）销售单价定在多少时，该种商品每天的销售利润为21元？结合图象，直接写出销售单价定在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于21元？

5.（2018安徽安庆市）安庆市某水产养殖户进行小龙虾养殖.已知每千克小龙虾养殖成本为6元，在整个销售旺季的80天里，销售单价p（元/千克）与时间第t（天）之间的函数关系为：，日销售量y（千克）与时间第t（天）之间的函数关系如图所示：

（1）求日销售量与时间t的函数关系式；

（2）求利润w与时间t的函数关系式。

（3）哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？

6.（2018义乌期中）为迎接11.1—11.4义乌市森博会，某商家计划从厂家采购A，B两种产品共20件，产品的采购单价（元/件）是采购数量（件）的一次函数．下表提供了部分采购数据．

（1）设A产品的采购数量为x（件），采购单价为y1（元/件），求y1与x的关系式；

（2）经商家与厂家协商，采购A产品的数量不少于B产品数量的，且A产品采购单价不低于1200元．求该商家共有几种进货方案；

（3）该商家分别以1760元/件和1700元/件的销售单价售出A，B两种产品，且全部售完．在（2）的条件下，求采购A种产品多少件时总利润最大，并求最大利润．

7.某公司销售一种新型节能产品，现准备从国内和国外两种销售方案中选择一种进行销售．若只在国内销售，销售价格（元/件）与月销量（件）的函数关系式为，成本为元/件，无论销售多少，每月还需支出广告费元，设月利润为（元）．

若只在国外销售，销售价格为元/件，受各种不确定因素影响，成本为元/件为常数，，当月销量为（件）时，每月还需缴纳元的附加费，设月利润为（元）．

当时，________元/件；

分别求出，与之间的函数关系式；

如果某月要求将件产品全部销售完，请你通过分析帮公司决策，选择在国内还是在国外销售，才能使所获月利润较大？

8.企业的污水处理有两种方式：一种是输送到污水厂进行集中处理，另一种是通过企业的自身设备进行处理．某企业去年每月的污水量均为12000吨，由于污水厂处于调试阶段，污水处理能力有限，该企业投资自建设备处理污水，两种处理方式同时进行．1至6月，该企业向污水厂输送的污水量y1（吨）与月份x（1≤x≤6，且x取整数）之间满足的函数关系如下表：

7至12月，该企业自身处理的污水量y2（吨）与月份x（7≤x≤12，且x取整数）之间满足二次函数关系式为y2=ax2+c（a≠0）．其图象如图所示．1至6月，污水厂处理每吨污水的费用：z1（元）与月份x之间满足函数关系式：z1=x，该企业自身处理每吨污水的费用：z2（元）与月份x之间满足函数关系式：z2=x﹣x2；7至12月，污水厂处理每吨污水的费用均为2元，该企业自身处理每吨污水的费用均为1.5元．

（1）请观察题中的表格和图象，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，分别直接写出y1，y2与x之间的函数关系式；

（2）请你求出该企业去年哪个月用于污水处理的费用W（元）最多，并求出这个最多费用．