压轴专题12击破类比、探究类综合题利器之全等知识答案解析
展开专题12 击破类比、探究类综合题利器之全等知识
模型一、A字形(手拉手)及其旋转
模型二、K字型及其旋转
1.在菱形 ABCD 中,∠ABC=60°,点P是射线BD上一动点,以AP为边向右侧作等边△APE,点 E 的位置随着点 P 的位置变化而变化.
(1)探索发现
如图1,当点E在菱形ABCD 内部或边上时,连接CE.填空:BP与CE的数量关系是 ,CE 与 AD 的位置关系是 .
(2)归纳证明
当点E在菱形 ABCD 外部时,(1)中的结论是否还成立?若成立,请予以证明;若不成立,请说明理由.(选择图2,图3中的一种情况予以证明或说理)
(3)拓展应用
如图4,当点P在线段 BD 的延长线上时,连接BE,若AB=,BE=,请直接写出四边形 ADPE 的面积.
图1 图2
图3 图4
【答案】(1)BP=CE,CE⊥AD;(2)(3)见解析.
【解析】解:(1)连接AC,延长CE至AD,
∵四边形ABCD是菱形,∠ABC=60°,
∴∠BAD=120°,
∴∠BAC=60°,∠CAD=60°,
∴△ABC是等边三角形,
∴AB=AC,
∵△APE是等边三角形,
∴AP=AE,∠PAE=60°,
∴∠BAP=∠CAE,
∴△BAP≌△CAE,
∴BP=CE,
∵∠ABC=60°,
∴∠ABP=30°,
∵△BAP≌△CAE,
∴∠ABP=∠ACE=30°,
∵∠CAD=60°,
∴∠ACE+∠CAD=90°,
即CD⊥AD.
(2)结论仍然成立,理由如下:(以图2为例)
连接AC,设CE与AD交于点H,
∵四边形ABCD是菱形,∠ABC=60°,
∴△ABC和△ACD是等边三角形,∠ABD=∠CBD=30°,
∴AB=AC,∠BAC=60°,
∵△APE是等边三角形,
∴AP=AE,∠PAE=60°,
∴∠BAP=∠CAE,
∴△BAP≌△CAE,
∴BP=CE,∠ACE=∠ABP=30°,
∵∠CAH=60°,
∴∠AHC=90°,即CE⊥AD;
(3)连接AC交BD于O,连接CE,
由(2)知,CE⊥BC,
∵AB=,BE=,
在Rt△BCF中,由勾股定理得:CE=8,
由△BAP≌△CAE,
得:BP=CE,BD=6,
∴DP=BP-BD=2,
AO=,
在Rt△AOP中,由勾股定理得:AP=,
∴S=S△ADP+S△APE
=
=8.
2.在△ABC中,∠ABC为锐角,点M为射线AB上一动点,连接CM,以点C为直角顶点,以CM为直角边在CM右侧作等腰直角三角形CMN,连接NB.
(1)如图1,图2,若△ABC为等腰直角三角形,
问题初现:①当点M为线段AB上不与点A重合的一个动点,则线段BN,AM之间的位置关系是_____________,数量关系是______________;
深入探究:②当点M在线段AB的延长线上时,判断线段BN,AM之间的位置关系和数量关系,并说明理由;
类比拓展:(2)如图3,∠ACB≠90°,若当点M为线段AB上不与点A重合的一个动点,MP⊥CM交线段BN于点P,且∠CBA=45°,BC=,当BM=_________时,BP的最大值为__________.
图1 图2 图3
【答案】(1)BN⊥AM,BN=AM;(2)见解析,(3)2, 1.
【解析】解:(1)由AC=BC,∠ACM=∠BCN,CM=CN,可证△ACM≌△BCN,
∴BN=AM,∠A=∠CBN=45°,
∴∠ABN=90°,即BN⊥AM.
(2)BN⊥AM,BN=AM;理由如下:
∵△ABC是等腰直角三角形,
∴AC=BC,∠A=∠ABC=45°,∠ACB=90°,
同理,∠NCM=90°,NC=MC,
∴∠ACM=∠BCN,
∴△ACM≌△BCN,
∴BN=AM,∠A=∠CBN=45°,
∴∠ABN=90°,即BN⊥AM.
(3)过C作CG⊥BC交BA的延长线于G,过C作CH⊥AB于H,如图所示,
易证△GCM≌△BCN,
由(2)知,BN⊥AB,
∴△CHM∽△MBP,
∴,
即,
设BM=x,
则BP=,
∴当BM=2时,BP取最小值,最小值为1.
3.在正方形ABCD中,动点E、F分别从D、C两点出发,以相同的速度在直线DC,CB上移动.
(1)如图1,当点E在边CD上自D向C移动,同时点F在边CB上自C向B移动时,连接AE和DF交于点P,请你写出AE与DF的数量关系和位置关系,并说明理由;
(2)如图2,当E,F分别在边CD,BC的延长线上移动时,连接AE,DF,(1)中的结论还成立吗?(请你直接回答“是”或“否”,不需证明);连接AC,请你直接写出△ACE为等腰三角形时CE:CD的值;
(3)如图3,当E,F分别在直线DC,CB上移动时,连接AE和DF交于点P,由于点E,F的移动,使得点P也随之运动,请你画出点P运动路径的草图.若AD=2,试求出线段CP的最大值.
【答案】见解析.
【解析】解:
(1)AE=DF,AE⊥DF,理由如下:
∵四边形ABCD是正方形,
∴AD=DC,∠ADE=∠DCF=90°,
由题意知:DE=CF,
∴△ADE≌△DCF,
∴AE=DF,∠DAE=∠FDC,
∵∠ADE=90°,
∴∠ADP+∠CDF=90°,
∴∠ADP+∠DAE=90°,
∴∠APD=180°﹣90°=90°,
∴AE⊥DF;
(2)(1)中的结论还成立,CE:CD=或2,理由如下:
①如图,当AC=CE时,
设正方形ABCD的边长为a,由勾股定理得:AC=CE=a,
则CE:CD=a:a=;
②如图,当AE=AC时,
设正方形ABCD的边长为a,由勾股定理得:AC=AE=a,
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠ADC=90°,即AD⊥CE,
∴DE=CD=a,
∴CE:CD=2a:a=2;
故,CE:CD=或2;
(3)∵点P在运动中∠APD=90°,
∴点P的路径是以AD为直径的圆,
如图,设AD的中点为Q,连接CQ并延长交圆Q于点P,此时CP的长度最大,
在Rt△QDC中,由勾股定理得:QC=,
∴CP=QC+QP=+1,
即线段CP的最大值是+1.
4.如图1,在正方形ABCD中,点E,F分别是边BC,AB上的点,且CE=BF.连接DE,过点E作EG⊥DE,使EG=DE,连接FG,FC.
(1)请判断:FG与CE的数量关系是 ,位置关系是 ;
(2)如图2,若点E,F分别是边CB,BA延长线上的点,其它条件不变,(1)中结论是否仍然成立?请作出判断并给予证明;
(3)如图3,若点E,F分别是边BC,AB延长线上的点,其它条件不变,(1)中结论是否仍然成立?请直接写出你的判断.
图1 图2 图3
【答案】(1)FG=CE,FG∥CE;(2)(3)见解析.
【解析】解:(1)FG=CE,FG∥CE;
∵BF=CE,BC=CD,∠FBC=∠DCE=90°,
∴△BCF≌△CDE,
∴∠DEC=∠CFB,
∵∠CFB+∠FCB=90°,
∴∠DEC +∠FCB=90°,
即CF⊥DE,
∵DE⊥EG,
∴EG∥CF,
∴EG=DE=CF,
∴四边形FCEG是平行四边形,
∴FG=CE,FG∥CE;
(2)∵BF=CE,BC=CD,∠FBC=∠DCE=90°,
∴△BCF≌△CDE,
∴∠DEC=∠CFB,CF=DE,
∵∠CFB+∠FCB=90°,
∴∠DEC +∠FCB=90°,
即CF⊥DE,
∵DE⊥EG,
∴EG∥CF,
∴EG=DE=CF,
∴四边形FCEG是平行四边形,
∴FG=CE,FG∥CE;
(3)成立.
由上可证:△CBF≌△DCE,
得:∠BCF=∠CDE,CF=DE,
∵EG=DE,
∴CF=EG,
∵DE⊥EG
∴∠DEC+∠CEG=90°
∵∠CDE+∠DEC=90°
∴∠CDE=∠CEG,
∴∠BCF=∠CEG,
∴CF∥EG,
∴四边形CEGF平行四边形,
∴FG∥CE,FG=CE.
5.我们定义:如图1,在△ABC中,把AB绕点A顺时针旋转α(0°<α<180°)得到AB’,把AC绕点A逆时针旋转β得到AC’,连接B’C’,当α+β=180°时,我们称△AB’C’是△ABC的“旋补三角形”,△AB’C’边B’C’上的中线AD是△ABC的旋补中线,点A叫旋补中心.
特例感知:
(1)在图2,图3中,△AB’C’是△ABC的“旋补三角形”,△AB’C’边B’C’上的中线AD是△ABC的旋补中线,
①如图2,当△ABC是等边三角形时,AD与BC的数量关系是
②如图3,当∠BAC=90°,BC=8时,则AD的长为
猜想论证:
(2)如图1,当△ABC是任意三角形时,猜想AD与BC的数量关系,并给予证明.
【分析】(1)①由△ABC是等边三角形,得AB=BC=AC=AB’=AC’,∠BAC=60°,∠BAC+∠B’AC’=180°,得∠B’=∠C’=30°,即BC=2AD;②可利用“直角三角形中,斜边的中线等于斜边的一半”,证得:BC=2AD,AD=4;(2)BC=2AD,利用倍长中线构造全等三角形,延长AD至M使DM=AD,连接B’M,C’M,证得△ABC≌△B’AM,得BC=AM,BC=2AD.
【解析】解:(1)①∵△ABC是等边三角形,
∴AB=BC=AC=AB’=AC’,∠BAC=60°,
∵DB’=DC’,
∴AD⊥B’C’,
∵BAC+∠B’AC’=180°,
∴∠B’AC’=120°,
∴∠B’=∠C’=30°,
∴BC=2AD,
即:答案为BC=2AD.
②∵∠BAC=90°,BAC+∠B’AC’=180°,
∴∠B’AC’=∠BAC=90°
∵AB=AB’,AC=AC’,
∴△BAC≌△B’AC’,
∴BC=B’C’,
∵B’D=DC’,
∴BC=2AD,
∵BC=8,
∴AD=4;
(2)结论:BC=2AD,理由如下:
如图,延长长AD至M使DM=AD,连接B’M,C’M,
∵AD=DM,B’D=DC’,
∴四边形AC’MB’是平行四边形,
∴AC’=B’M=AC,
∵∠BAC+∠B’AC’=180°,∠AB’M+∠B’AC’=180°,
∴∠BAC=∠AB’M,
∵AB=AB’,
∴△BAC≌△AB’M,
∴BC=AM,
即BC=2AD.
6.已知如图1所示,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点D在AB上,DE⊥AB交BC于E,点F是AE的中点,
(1)写出线段FD与线段FC的关系并证明;
(2)如图2所示,将△BDE绕点B逆时针旋转α(0°<α<90°),其它条件不变,线段FD与线段FC的关系是否变化,写出结论并证明;
(3)将△BDE绕点B逆时针旋转一周,如果BC=4,BE=2,直接写出线段BF的范围.
【答案】见解析.
【解析】解:(1)FD=FC,FD⊥FC,理由如下:
由题意知:∠ADE=∠ACE=90°,AF=EF,
∴DF=AF=EF=CF,
∴∠FAD=∠FDA,∠FAC=∠FCA,
∴∠DFE=∠FDA+∠FAD=2∠FAD,∠EFC=2∠FAC,
∵CA=CB,∠ACB=90°,
∴∠BAC=∠B=45°,
∴∠DFC=∠EFD+∠EFC=2(∠FAD+∠FAC)=90°,
∴FD=FC,FD⊥FC.
(2)结论不变,理由如下:
延长AC至M使得CM=AC,延长ED至N,使DN=DE,连接BN、BM、EM、AN,延长ME交AN于H,交AB于O,如图所示,
∵BC⊥AM,AC=CM,
∴AB=BM,同理得:BE=BN,
∵∠ABM=∠EBN,∠NBA=∠EBM,
∴△ABN≌△MBE,
∴AN=EM,∠BAN=∠BME,
∵AF=FE,AC=CM,
∴CF=EM,CF∥EM,
同理,FD=AN,FD∥AN,
∴FD=FC,
∵∠BME+∠BOM=90°,∠BOM=∠AOH,
∴∠BAN+∠AOH=90°,
∴∠AHO=90°,
即AN⊥MH,
∴FD⊥FC.
(3)由题意知,当点E落在线段AB上时,BF的长最大,如图所示,
此时BF=3,
当点E落在AB的延长线上时,BF的长最小,如图所示,
此时,BF=,
∴≤BF≤3.
7.特殊:(1)如图 1,在等腰直角三角形 ABC 中,∠ACB=90°.作 CM平分∠ACB 交 AB 于点 M,点 D 为射线 CM 上一点,以点 C 为旋转中心将线段 CD 逆时针旋转 90°得到线段 CE,连接 DE 交射线 CB 于点 F,连接 BD, BE.
填空:
①线段 BD,BE 的数量关系为 ;②线段 BC,DE 的位置关系为 .
一般:(2)如图 2,在等腰三角形 ABC 中,∠ACB=α,作 CM 平分∠ACB 交AB 于点 M,点 D 为△ABC 外部射线 CM 上一点,以点 C 为旋转中心将线段CD 逆时针旋转 α 度得到线段 CE,连接 DE,BD,BE.请判断(1)中的结论是否成立,请说明理由.
特殊:(3)如图 3,在等边三角形 ABC 中,作 BM 平分∠ABC 交 AC 于点 M,点 D 为射线 BM 上一点,以点 B 为旋转中心将线段 BD 逆时针旋转 60°得到线段 BE,连接 DE 交射线 BA 于点 F,连接 AD,AE.若 AB=4,当△ADM 与△AFD 全等时,请直接写出 DE 的值.
图1 图2 图3
【答案】(1)BD=BE,BC⊥DE;(2)(3)见解析.
【解析】解:(1)由题意知:∠ACM=∠BCM=45°,
由旋转知,∠DCE=90°,CD=CE,
∴∠ECB=∠DCB=45°,
∵BC=BC,
∴△BCD≌△BCE,
∴BD=BE,
∵CD=CE,
∴BC是线段DE的垂直平分线,
∴BC⊥DE,
(2)成立,理由如下,
∵CM平分∠ACB,∠ACB=α,
∴∠ACM=∠BCM=,
由旋转知,∠DCE=α,CD=CE,
∴∠BCD=∠BCE=
又∵BC=BC,
∴△BCD≌△BCE,
∴BD=BE,
∵CD=CE,
∴BC是线段DE的垂直平分线,
∴BC⊥DE.
(3)①如图3,可证得:∠ABE=∠ABD =30°,AB⊥DE,
由△ADM≌△ADF,得:∠FAD=∠MAD=30°,
∴AF=BF=2,
∴DE=2DF,
在Rt△ADF中,DF=AF·tan∠DAF=,
即DE=.
②如下图所示,
同理,得∠FBD=30°,AB=AD=4,
∠ADF=∠ADM=30°,
∴DE=2DF=4,
综上所述,DE的长为:,4.
8.观察猜想
(1)如图①,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=3,点D与点A重合,点E在边BC上,连接DE,将线段DE绕点D顺时针旋转90°得到线段DF,连接BF,BE与BF的位置关系是 ,BE+BF= ;
探究证明
(2)在(1)中,如果将点D沿AB方向移动,使AD=1,其余条件不变,如图②,判断BE与BF的位置关系,并求BE+BF的值,请写出你的理由或计算过程;
拓展延伸
(3)如图③,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=a,点D在边BA的延长线上,BD=n,连接DE,将线段DE绕着点D顺时针旋转,旋转角∠EDF=a,连接BF,则BE+BF的值是多少?请用含有n,a的式子直接写出结论.
图1 图2 图3
【答案】(1)BF⊥BE;BC;(2)(3)见解析.
【解析】解:(1)∵∠EAF=∠BAC=90°,
∴∠EAF-∠BAE=∠BAC-∠BAE,
∴∠BAF=∠CAE,
∵AF=AE,AB=AC,
∴△BAF≌△CAE,
∴∠ABF=∠C,BF=CE,
∵AB=AC,∠BAC=90°,
∴∠ABC=∠C=45°,
∴∠FBE=∠ABF+∠ABC=90°,BC=BE+EC=BE+BF,
故答案为: BF⊥BE,BC.
(2)过D作DH∥AC交BC于H,
∵DH∥AC,
∴∠BDH=∠A=90°,△DBH是等腰直角三角形,
由(1)可证得:BF⊥BE,BF+BE=BH,
∵AB=AC=3,AD=1,
∴BD=DH=2,
∴BH=2,
∴BF+BE=BH=2;
(3)过D作DH∥AC交BC的延长线于H,作DM⊥BC于M.
∵AC∥DH,
∴∠ACH=∠H,∠BDH=∠BAC=α,
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB
∴∠DBH=∠H,
∴DB=DH,
∵∠EDF=∠BDH=α,
∴∠BDF=∠HDE,
∵DF=DE,DB=DH,
∴△BDF≌△HDE,
∴BF=EH,
∴BF+BE=EH+BE=BH,
∵DB=DH,DM⊥BH,
∴BM=MH,∠BDM=∠HDM,
∴BM=MH=BD•sin.
∴BF+BE=BH=2n•sin.
9.在△ABC中,AC=BC,∠ACB=α,点D为直线BC上一动点,过点D作DF∥AC交AB于点F,将AD绕点D顺时针旋转α得到ED,连接BE.
(1)特例猜想
如图1,当α=90°时,试猜想:
①AF与BE的数量关系是 ;②∠ABE= ;
(2)拓展探究
如图(2),当0°<α<90°时,请判断AF与BE的数量关系及∠ABE的度数,并说明理由.
(3)解决问题
如图(3),在△ABC中,AC=BC,AB=8,∠ACB=α,点D在射线BC上,将AD绕点D顺时针旋转α得到ED,连接BE,当BD=3CD时,请直接写出BE的长度.
图1 图2 图3
【答案】(1)AF=BF,90°;(2)(3)见解析.
【解析】解:(1)设AB交DE于O.
∵∠ACB=90°,AC=BC,
∴∠ABC=45°,
∵DF∥AC,
∴∠FDB=∠C=90°,
∴∠DFB=∠DBF=45°,
∴DF=DB,
∵∠ADE=∠FDB=90°,
∴∠ADF=∠EDB,
∵DA=DE,
∴△ADF≌△EDB,
∴AF=BE,
∴∠DAF=∠E,
∵∠AOD=∠EOB,
∴∠ABE=∠ADO=90°,
所以答案为AF=BF,90°.
(2)结论:AF=BE,∠ABE=α.理由如下:
∵DF‖AC
∴∠ACB=∠FDB=α,∠CAB=∠DFB,
∵AC=BC,
∴∠ABC=∠CAB,
∴∠ABC=∠DFB,
∴DB=DF,
∵∠ADF=∠ADE﹣∠FDE,∠EDB=∠FDB﹣∠FDE,
即∠ADF=∠EDB,
∵AD=DE,
∴△ADF≌△EDB,
∴AF=BE,∠AFD=∠EBD
∵∠AFD=∠ABC+∠FDB,∠DBE=∠ABD+∠ABE,
∴∠ABE=∠FDB=α.
(3)分两种情况讨论:
①当点D在线段BC上时,
由(2)可知:BE=AF,
∵DF∥AC,
∴,
∵AB=8,
∴AF=2,
∴BE=AF=2,
②当点D在BC的延长线上时,
∵AC∥DF,
∴,
∵AB=8,
∴AF=4,即BE=4,
综上所述,BE的长度为2或4.
10.问题发现
如图1,△ABC是等边三角形,点D是边AD上的一点,过点D作DE∥AC交AC于E,则线段BD与CE有何数量关系?
拓展探究
如图2,将△ADE绕点A逆时针旋转角α(0°<α<360°),上面的结论是否仍然成立?如果成立,请就图中给出的情况加以证明.
问题解决
如果△ABC的边长等于2,AD=2,直接写出当△ADE旋转到DE与AC所在的直线垂直时BD的长.
图1 图2 备用图
【答案】见解析.
【解析】解:(1)如图1,BD=CE,理由是:
∵△ABC是等边三角形,
∴AB=AC,
∵DE∥BC,
∴△ADE是等边三角形,即AD=AE,
∴BD=CE;
(2)结论仍然成立,
由图1得:AD=AE,
由旋转性质得:∠BAD=∠CAE,
∵AB=AC,
∴△BAD≌△CAE,
∴BD=CE;
(3)分两种情况讨论,
①如图所示,过D作DG⊥AB,垂足为G,
∵AF⊥DE,AD=AE,
∴∠DAF=∠EAF=30°,
∴∠BAD=30°,
由AD=2,得:DG=1,AG=,
由AB=2,得:BG=,
由勾股定理得:BD=2.
②如图,
由(2)中证明可知:△BAD≌△CAE,
∴BD=CE,
∵AD=AE,DE⊥AC,∠ADE=60°
∴∠EAF=∠FAD=30°,
∴EF=FD=AD=1,
∴AF=,
∴CF=AC+CF=3,
在Rt△EFC中,由勾股定理得:EC=2,
∴BD=EC=2,
综上所述,BD的长为2或2.
11.(1)问题发现:如图1,在四边形ABCD中,AB∥DC,E是BC的中点,若AE是∠BAD的平分线,则AB,AD,DC之间的数量关系为 .
(2)问题探究:如图2,在四边形ABCD中,AB∥DC,E是BC的中点,点F是DC的延长线上一点,若AE是∠BAF的平分线,试探究AB,AF,CF之间的数量关系,并证明你的结论
(3)问题解决:如图3,AB∥CD,点E在线段BC上,且BE:EC=3:4.点F在线段AE上,且∠EFD=∠EAB,直接写出AB,DF,CD之间的数量关系.
图1 图2 图3
【答案】(1)AD=AB+CD;(2)(3)见解析.
【解析】解:(1)结论:AD=AB+CD.
理由:
∵AB∥CF,
∴∠CFE=∠EAB,
∵CE=EB,∠CEF=∠AEB,
∴△CEF≌△BEA ,
∴AB=CF.
∵AF平分∠DAB,
∴∠DAF=∠EAB,
∵∠EAB=∠CFE,
∴∠DAF=∠DFA,
∴AD=DF,
∵DF=DC+CF=CD+AB,
∴AD=AB+CD.
(2)结论:AB=AF+CF.
理由:延长AE、DC交于G,
∵AB∥DG,
∴∠G=∠EAB,
∵CE=EB,∠CEG=∠BEA,
∴△CEG≌△BEA,
∴AB=CG,∠G=∠EAB,
∵AE平分∠FAB,
∴∠FAG=∠EAB,
∵∠G=∠EAB,
∴∠FAG=∠G,
∴FA=FG,
∵CG=CF+FG=CF+AF,
∴AB=AF+CF.
(3)结论:AB=(CD+DF).
延长AE、CD交于G.
∵CG∥AB,
∴,∠G=∠A,
∴AB=CG,
∵∠DFE=∠A,
∴∠DFG=∠G,
∴DF=DG,
∴CD+DF=CD+DG=CG,
∴AB=(CD+DF).
12.如图1,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D,E分别在边AB,AC上,AD=AE,连接DC,BE,点P为DC的中点,
(1)【观察猜想】图1中,线段AP与BE的数量关系是 ,位置关系是 .
(2)【探究证明】把△ADE绕点A逆时针旋转到图2的位置,(1)中的猜想是否仍然成立?若成立请证明,否请说明理由;
(3)【拓展延伸】把△ADE绕点A在平面内自由旋转,若AD=4,AB=10,请直接写出线段AP长度的最大值和最小值.
图1 图2
【答案】(1)AP=BE,PA⊥BE;(2)(3)见解析.
【解析】解:(1)设PA交BE于点O.
∵AD=AE,AC=AB,∠DAC=∠EAB,
∴△DAC≌△EAB,
∴BE=CD,∠ACD=∠ABE,
∵∠DAC=90°,DP=PC,
∴PA=CD=PC=PD,
∴PA=BE,∠C=∠PAE,
∵∠CAP+∠BAO=90°,
∴∠ABO+∠BAO=90°,
∴∠AOB=90°,
∴PA⊥BE,
(2)结论成立.
理由:延长AP至M,使PM=PA,连接MC,延长PA交BE于O.
∵PA=PM,PD=PC,∠APD=∠CPM,
∴△APD≌△MPC,
∴AD=CM,∠ADP=∠MCP,
∴AD∥CM,
∴∠DAC+∠ACM=180°,
∵∠BAC=∠EAD=90°,
∴∠EAB=∠ACM,
∵AB=AC,AE=CM,
∴△EAB≌△MCA,
∴BE=BM,∠CAM=∠ABE,
∵PA=AM,PA=BE,
∵∠CAM+∠BAO=90°,
∴∠ABE+∠BAO=90°,
∴∠AOB=90°,
∴PA⊥BE.
(3)∵AC=10,CM=4,
∴10﹣4≤AM≤10+4,
∴6≤AM≤14,
∵AM=2AP,
∴3≤PA≤7.
∴PA的最大值为7,最小值为3.
13.如图1,在△ABC与△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠A是公共角.
(1)BD与CE的数量关系是: ;
(2)把图1的△ABC绕点A旋转一定的角度,得到如图2所示的图形.
①求证:BD=CE;
②BD与CE所在直线的夹角与∠DAE的数量关系是什么?说明理由.
(3)若AD=10,AB=6,把图1中的△ABC绕点A顺时针旋转α度(0°<α≤360)直接写出BD长度的取值范围.
图1 图2
【答案】(1)=;(2)(3)见解析.
【解析】解:∵AD=AE,AB=BC,
∴AD-AB=AE-AC,
即BD=CE;
(2)①∵∠DAE=∠BAC,
∴∠DAE+∠BAE=∠BAC+∠BAE.
即∠BAD=∠CAE.
在△ABD和△ACE中,
∴△ABD≌△ACE(SAS)
∴BD=CE.
②BD与CE所在直线的夹角与∠DAE的度数相等.
延长DB交CE于点F.
∵△ABD≌△ACE,
∴∠ADB=∠AEC
∵∠AOD=∠EOF,
∴180°-∠ADB-∠AOD =180°-∠AEC-∠EOF,
即∠DAE=∠DFE
③当B在线段AD上时,BD最小,最小值为10-6=4;当B在线段DA延长线上时,BD最大,最大值为10+6=16,
即4≤BD≤16.
14.【问题探索】(1)如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点D,E分别在AC、BC边上,DC=CE,连接DE、AE、BD,点M、N、P分别是AE、BD、AB的中点,连接PM、PN、MN. 探索BE与MN的数量关系. 聪明的小华推理发现PM、PN的关系为 ,最后推理得到BE与MN的数量关系为 .
【深入探究】(2)将△DEC绕点C逆时针旋转到如图2的位置,判断(1)中的结论是否仍然成立,如果成立,请写出证明过程,若不成立,请说明理由;
【答案】见解析.
【解析】解:(1)PM=PN,PM⊥PM;BE=MN;
∵AM=ME,AP=PB,
∴PM∥BE,PM=BE,
同理:PN∥AD,PN=AD,
∵AC=BC,CD=CE,
∴AD=BE,
∴PM=PN,
∵∠ACB=90°,
∴AC⊥BC,
∴∵PM∥BC,PN∥AC,
∴PM⊥PN,
∴△PMN的等腰直角三角形,
∴MN=PM,
∴MN=×BE,
∴BE=MN.
(2)结论仍然成立.
连接AD、延长BE交AD于点H.
∵△ABC和△CDE是等腰直角三角形,
∴CD=CE,CA=CB,∠ACB=∠DCE=90°,
∴∠ACD=∠ECB,
∴△ECB≌△DCA,
∴BE=AD,∠DAC=∠EBC,
∠AHB=180°-(∠HAB+∠ABH)
=180°-(45°+∠HAC+∠ABH)
=∠180°-(45°+∠HBC+∠ABH)
=90°,
∴BH⊥AD,
∵M、N、P分别为AE、BD、AB的中点,
∴PM∥BE,PM=BE,PN∥AD,PN=AD,
∴PM=PN,∠MPN=90°,
∴BE=2PM=2×MN=MN.
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