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    压轴专题12击破类比、探究类综合题利器之全等知识答案解析

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    这是一份压轴专题12击破类比、探究类综合题利器之全等知识答案解析,共38页。试卷主要包含了A字形及其旋转,K字型及其旋转等内容,欢迎下载使用。

    专题12 击破类比、探究类综合题利器之全等知识
    模型一、A字形(手拉手)及其旋转

    模型二、K字型及其旋转


    1.在菱形 ABCD 中,∠ABC=60°,点P是射线BD上一动点,以AP为边向右侧作等边△APE,点 E 的位置随着点 P 的位置变化而变化.
    (1)探索发现
    如图1,当点E在菱形ABCD 内部或边上时,连接CE.填空:BP与CE的数量关系是 ,CE 与 AD 的位置关系是 .
    (2)归纳证明
    当点E在菱形 ABCD 外部时,(1)中的结论是否还成立?若成立,请予以证明;若不成立,请说明理由.(选择图2,图3中的一种情况予以证明或说理)
    (3)拓展应用
    如图4,当点P在线段 BD 的延长线上时,连接BE,若AB=,BE=,请直接写出四边形 ADPE 的面积.

    图1 图2

    图3 图4
    【答案】(1)BP=CE,CE⊥AD;(2)(3)见解析.
    【解析】解:(1)连接AC,延长CE至AD,

    ∵四边形ABCD是菱形,∠ABC=60°,
    ∴∠BAD=120°,
    ∴∠BAC=60°,∠CAD=60°,
    ∴△ABC是等边三角形,
    ∴AB=AC,
    ∵△APE是等边三角形,
    ∴AP=AE,∠PAE=60°,
    ∴∠BAP=∠CAE,
    ∴△BAP≌△CAE,
    ∴BP=CE,
    ∵∠ABC=60°,
    ∴∠ABP=30°,
    ∵△BAP≌△CAE,
    ∴∠ABP=∠ACE=30°,
    ∵∠CAD=60°,
    ∴∠ACE+∠CAD=90°,
    即CD⊥AD.
    (2)结论仍然成立,理由如下:(以图2为例)
    连接AC,设CE与AD交于点H,

    ∵四边形ABCD是菱形,∠ABC=60°,
    ∴△ABC和△ACD是等边三角形,∠ABD=∠CBD=30°,
    ∴AB=AC,∠BAC=60°,
    ∵△APE是等边三角形,
    ∴AP=AE,∠PAE=60°,
    ∴∠BAP=∠CAE,
    ∴△BAP≌△CAE,
    ∴BP=CE,∠ACE=∠ABP=30°,
    ∵∠CAH=60°,
    ∴∠AHC=90°,即CE⊥AD;
    (3)连接AC交BD于O,连接CE,

    由(2)知,CE⊥BC,
    ∵AB=,BE=,
    在Rt△BCF中,由勾股定理得:CE=8,
    由△BAP≌△CAE,
    得:BP=CE,BD=6,
    ∴DP=BP-BD=2,
    AO=,
    在Rt△AOP中,由勾股定理得:AP=,
    ∴S=S△ADP+S△APE
    =
    =8.
    2.在△ABC中,∠ABC为锐角,点M为射线AB上一动点,连接CM,以点C为直角顶点,以CM为直角边在CM右侧作等腰直角三角形CMN,连接NB.
    (1)如图1,图2,若△ABC为等腰直角三角形,
    问题初现:①当点M为线段AB上不与点A重合的一个动点,则线段BN,AM之间的位置关系是_____________,数量关系是______________;
    深入探究:②当点M在线段AB的延长线上时,判断线段BN,AM之间的位置关系和数量关系,并说明理由;
    类比拓展:(2)如图3,∠ACB≠90°,若当点M为线段AB上不与点A重合的一个动点,MP⊥CM交线段BN于点P,且∠CBA=45°,BC=,当BM=_________时,BP的最大值为__________.

    图1 图2 图3
    【答案】(1)BN⊥AM,BN=AM;(2)见解析,(3)2, 1.
    【解析】解:(1)由AC=BC,∠ACM=∠BCN,CM=CN,可证△ACM≌△BCN,
    ∴BN=AM,∠A=∠CBN=45°,
    ∴∠ABN=90°,即BN⊥AM.
    (2)BN⊥AM,BN=AM;理由如下:

    ∵△ABC是等腰直角三角形,
    ∴AC=BC,∠A=∠ABC=45°,∠ACB=90°,
    同理,∠NCM=90°,NC=MC,
    ∴∠ACM=∠BCN,
    ∴△ACM≌△BCN,
    ∴BN=AM,∠A=∠CBN=45°,
    ∴∠ABN=90°,即BN⊥AM.
    (3)过C作CG⊥BC交BA的延长线于G,过C作CH⊥AB于H,如图所示,

    易证△GCM≌△BCN,
    由(2)知,BN⊥AB,
    ∴△CHM∽△MBP,
    ∴,
    即,
    设BM=x,
    则BP=,
    ∴当BM=2时,BP取最小值,最小值为1.
    3.在正方形ABCD中,动点E、F分别从D、C两点出发,以相同的速度在直线DC,CB上移动.
    (1)如图1,当点E在边CD上自D向C移动,同时点F在边CB上自C向B移动时,连接AE和DF交于点P,请你写出AE与DF的数量关系和位置关系,并说明理由;
    (2)如图2,当E,F分别在边CD,BC的延长线上移动时,连接AE,DF,(1)中的结论还成立吗?(请你直接回答“是”或“否”,不需证明);连接AC,请你直接写出△ACE为等腰三角形时CE:CD的值;
    (3)如图3,当E,F分别在直线DC,CB上移动时,连接AE和DF交于点P,由于点E,F的移动,使得点P也随之运动,请你画出点P运动路径的草图.若AD=2,试求出线段CP的最大值.

    【答案】见解析.
    【解析】解:
    (1)AE=DF,AE⊥DF,理由如下:
    ∵四边形ABCD是正方形,
    ∴AD=DC,∠ADE=∠DCF=90°,
    由题意知:DE=CF,
    ∴△ADE≌△DCF,
    ∴AE=DF,∠DAE=∠FDC,
    ∵∠ADE=90°,
    ∴∠ADP+∠CDF=90°,
    ∴∠ADP+∠DAE=90°,
    ∴∠APD=180°﹣90°=90°,
    ∴AE⊥DF;
    (2)(1)中的结论还成立,CE:CD=或2,理由如下:
    ①如图,当AC=CE时,

    设正方形ABCD的边长为a,由勾股定理得:AC=CE=a,
    则CE:CD=a:a=;
    ②如图,当AE=AC时,

    设正方形ABCD的边长为a,由勾股定理得:AC=AE=a,
    ∵四边形ABCD是正方形,
    ∴∠ADC=90°,即AD⊥CE,
    ∴DE=CD=a,
    ∴CE:CD=2a:a=2;
    故,CE:CD=或2;
    (3)∵点P在运动中∠APD=90°,
    ∴点P的路径是以AD为直径的圆,
    如图,设AD的中点为Q,连接CQ并延长交圆Q于点P,此时CP的长度最大,

    在Rt△QDC中,由勾股定理得:QC=,
    ∴CP=QC+QP=+1,
    即线段CP的最大值是+1.
    4.如图1,在正方形ABCD中,点E,F分别是边BC,AB上的点,且CE=BF.连接DE,过点E作EG⊥DE,使EG=DE,连接FG,FC.
    (1)请判断:FG与CE的数量关系是   ,位置关系是   ;
    (2)如图2,若点E,F分别是边CB,BA延长线上的点,其它条件不变,(1)中结论是否仍然成立?请作出判断并给予证明;
    (3)如图3,若点E,F分别是边BC,AB延长线上的点,其它条件不变,(1)中结论是否仍然成立?请直接写出你的判断.

    图1 图2 图3
    【答案】(1)FG=CE,FG∥CE;(2)(3)见解析.
    【解析】解:(1)FG=CE,FG∥CE;
    ∵BF=CE,BC=CD,∠FBC=∠DCE=90°,
    ∴△BCF≌△CDE,
    ∴∠DEC=∠CFB,
    ∵∠CFB+∠FCB=90°,
    ∴∠DEC +∠FCB=90°,
    即CF⊥DE,
    ∵DE⊥EG,
    ∴EG∥CF,
    ∴EG=DE=CF,
    ∴四边形FCEG是平行四边形,
    ∴FG=CE,FG∥CE;
    (2)∵BF=CE,BC=CD,∠FBC=∠DCE=90°,
    ∴△BCF≌△CDE,
    ∴∠DEC=∠CFB,CF=DE,
    ∵∠CFB+∠FCB=90°,
    ∴∠DEC +∠FCB=90°,
    即CF⊥DE,
    ∵DE⊥EG,
    ∴EG∥CF,
    ∴EG=DE=CF,
    ∴四边形FCEG是平行四边形,
    ∴FG=CE,FG∥CE;
    (3)成立.
    由上可证:△CBF≌△DCE,
    得:∠BCF=∠CDE,CF=DE,
    ∵EG=DE,
    ∴CF=EG,
    ∵DE⊥EG
    ∴∠DEC+∠CEG=90°
    ∵∠CDE+∠DEC=90°
    ∴∠CDE=∠CEG,
    ∴∠BCF=∠CEG,
    ∴CF∥EG,
    ∴四边形CEGF平行四边形,
    ∴FG∥CE,FG=CE.

    5.我们定义:如图1,在△ABC中,把AB绕点A顺时针旋转α(0°<α<180°)得到AB’,把AC绕点A逆时针旋转β得到AC’,连接B’C’,当α+β=180°时,我们称△AB’C’是△ABC的“旋补三角形”,△AB’C’边B’C’上的中线AD是△ABC的旋补中线,点A叫旋补中心.
    特例感知:
    (1)在图2,图3中,△AB’C’是△ABC的“旋补三角形”,△AB’C’边B’C’上的中线AD是△ABC的旋补中线,
    ①如图2,当△ABC是等边三角形时,AD与BC的数量关系是
    ②如图3,当∠BAC=90°,BC=8时,则AD的长为
    猜想论证:
    (2)如图1,当△ABC是任意三角形时,猜想AD与BC的数量关系,并给予证明.

    【分析】(1)①由△ABC是等边三角形,得AB=BC=AC=AB’=AC’,∠BAC=60°,∠BAC+∠B’AC’=180°,得∠B’=∠C’=30°,即BC=2AD;②可利用“直角三角形中,斜边的中线等于斜边的一半”,证得:BC=2AD,AD=4;(2)BC=2AD,利用倍长中线构造全等三角形,延长AD至M使DM=AD,连接B’M,C’M,证得△ABC≌△B’AM,得BC=AM,BC=2AD.
    【解析】解:(1)①∵△ABC是等边三角形,
    ∴AB=BC=AC=AB’=AC’,∠BAC=60°,
    ∵DB’=DC’,
    ∴AD⊥B’C’,
    ∵BAC+∠B’AC’=180°,
    ∴∠B’AC’=120°,
    ∴∠B’=∠C’=30°,
    ∴BC=2AD,
    即:答案为BC=2AD.
    ②∵∠BAC=90°,BAC+∠B’AC’=180°,
    ∴∠B’AC’=∠BAC=90°
    ∵AB=AB’,AC=AC’,
    ∴△BAC≌△B’AC’,
    ∴BC=B’C’,
    ∵B’D=DC’,
    ∴BC=2AD,
    ∵BC=8,
    ∴AD=4;
    (2)结论:BC=2AD,理由如下:
    如图,延长长AD至M使DM=AD,连接B’M,C’M,
    ∵AD=DM,B’D=DC’,
    ∴四边形AC’MB’是平行四边形,
    ∴AC’=B’M=AC,
    ∵∠BAC+∠B’AC’=180°,∠AB’M+∠B’AC’=180°,
    ∴∠BAC=∠AB’M,
    ∵AB=AB’,
    ∴△BAC≌△AB’M,
    ∴BC=AM,
    即BC=2AD.
    6.已知如图1所示,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点D在AB上,DE⊥AB交BC于E,点F是AE的中点,
    (1)写出线段FD与线段FC的关系并证明;
    (2)如图2所示,将△BDE绕点B逆时针旋转α(0°<α<90°),其它条件不变,线段FD与线段FC的关系是否变化,写出结论并证明;
    (3)将△BDE绕点B逆时针旋转一周,如果BC=4,BE=2,直接写出线段BF的范围.

    【答案】见解析.
    【解析】解:(1)FD=FC,FD⊥FC,理由如下:
    由题意知:∠ADE=∠ACE=90°,AF=EF,
    ∴DF=AF=EF=CF,
    ∴∠FAD=∠FDA,∠FAC=∠FCA,
    ∴∠DFE=∠FDA+∠FAD=2∠FAD,∠EFC=2∠FAC,
    ∵CA=CB,∠ACB=90°,
    ∴∠BAC=∠B=45°,
    ∴∠DFC=∠EFD+∠EFC=2(∠FAD+∠FAC)=90°,
    ∴FD=FC,FD⊥FC.
    (2)结论不变,理由如下:
    延长AC至M使得CM=AC,延长ED至N,使DN=DE,连接BN、BM、EM、AN,延长ME交AN于H,交AB于O,如图所示,

    ∵BC⊥AM,AC=CM,
    ∴AB=BM,同理得:BE=BN,
    ∵∠ABM=∠EBN,∠NBA=∠EBM,
    ∴△ABN≌△MBE,
    ∴AN=EM,∠BAN=∠BME,
    ∵AF=FE,AC=CM,
    ∴CF=EM,CF∥EM,
    同理,FD=AN,FD∥AN,
    ∴FD=FC,
    ∵∠BME+∠BOM=90°,∠BOM=∠AOH,
    ∴∠BAN+∠AOH=90°,
    ∴∠AHO=90°,
    即AN⊥MH,
    ∴FD⊥FC.
    (3)由题意知,当点E落在线段AB上时,BF的长最大,如图所示,

    此时BF=3,
    当点E落在AB的延长线上时,BF的长最小,如图所示,

    此时,BF=,
    ∴≤BF≤3.
    7.特殊:(1)如图 1,在等腰直角三角形 ABC 中,∠ACB=90°.作 CM平分∠ACB 交 AB 于点 M,点 D 为射线 CM 上一点,以点 C 为旋转中心将线段 CD 逆时针旋转 90°得到线段 CE,连接 DE 交射线 CB 于点 F,连接 BD, BE.
    填空:
    ①线段 BD,BE 的数量关系为 ;②线段 BC,DE 的位置关系为 .
    一般:(2)如图 2,在等腰三角形 ABC 中,∠ACB=α,作 CM 平分∠ACB 交AB 于点 M,点 D 为△ABC 外部射线 CM 上一点,以点 C 为旋转中心将线段CD 逆时针旋转 α 度得到线段 CE,连接 DE,BD,BE.请判断(1)中的结论是否成立,请说明理由.
    特殊:(3)如图 3,在等边三角形 ABC 中,作 BM 平分∠ABC 交 AC 于点 M,点 D 为射线 BM 上一点,以点 B 为旋转中心将线段 BD 逆时针旋转 60°得到线段 BE,连接 DE 交射线 BA 于点 F,连接 AD,AE.若 AB=4,当△ADM 与△AFD 全等时,请直接写出 DE 的值.

    图1 图2 图3
    【答案】(1)BD=BE,BC⊥DE;(2)(3)见解析.
    【解析】解:(1)由题意知:∠ACM=∠BCM=45°,
    由旋转知,∠DCE=90°,CD=CE,
    ∴∠ECB=∠DCB=45°,
    ∵BC=BC,
    ∴△BCD≌△BCE,
    ∴BD=BE,
    ∵CD=CE,
    ∴BC是线段DE的垂直平分线,
    ∴BC⊥DE,
    (2)成立,理由如下,
    ∵CM平分∠ACB,∠ACB=α,
    ∴∠ACM=∠BCM=,
    由旋转知,∠DCE=α,CD=CE,
    ∴∠BCD=∠BCE=
    又∵BC=BC,
    ∴△BCD≌△BCE,
    ∴BD=BE,
    ∵CD=CE,
    ∴BC是线段DE的垂直平分线,
    ∴BC⊥DE.
    (3)①如图3,可证得:∠ABE=∠ABD =30°,AB⊥DE,
    由△ADM≌△ADF,得:∠FAD=∠MAD=30°,
    ∴AF=BF=2,
    ∴DE=2DF,
    在Rt△ADF中,DF=AF·tan∠DAF=,
    即DE=.
    ②如下图所示,

    同理,得∠FBD=30°,AB=AD=4,
    ∠ADF=∠ADM=30°,
    ∴DE=2DF=4,
    综上所述,DE的长为:,4.
    8.观察猜想
    (1)如图①,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=3,点D与点A重合,点E在边BC上,连接DE,将线段DE绕点D顺时针旋转90°得到线段DF,连接BF,BE与BF的位置关系是 ,BE+BF= ;
    探究证明
    (2)在(1)中,如果将点D沿AB方向移动,使AD=1,其余条件不变,如图②,判断BE与BF的位置关系,并求BE+BF的值,请写出你的理由或计算过程;
    拓展延伸
    (3)如图③,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=a,点D在边BA的延长线上,BD=n,连接DE,将线段DE绕着点D顺时针旋转,旋转角∠EDF=a,连接BF,则BE+BF的值是多少?请用含有n,a的式子直接写出结论.

    图1 图2 图3
    【答案】(1)BF⊥BE;BC;(2)(3)见解析.
    【解析】解:(1)∵∠EAF=∠BAC=90°,
    ∴∠EAF-∠BAE=∠BAC-∠BAE,
    ∴∠BAF=∠CAE,
    ∵AF=AE,AB=AC,
    ∴△BAF≌△CAE,
    ∴∠ABF=∠C,BF=CE,
    ∵AB=AC,∠BAC=90°,
    ∴∠ABC=∠C=45°,
    ∴∠FBE=∠ABF+∠ABC=90°,BC=BE+EC=BE+BF,
    故答案为: BF⊥BE,BC.
    (2)过D作DH∥AC交BC于H,

    ∵DH∥AC,
    ∴∠BDH=∠A=90°,△DBH是等腰直角三角形,
    由(1)可证得:BF⊥BE,BF+BE=BH,
    ∵AB=AC=3,AD=1,
    ∴BD=DH=2,
    ∴BH=2,
    ∴BF+BE=BH=2;
    (3)过D作DH∥AC交BC的延长线于H,作DM⊥BC于M.

    ∵AC∥DH,
    ∴∠ACH=∠H,∠BDH=∠BAC=α,
    ∵AB=AC,
    ∴∠ABC=∠ACB
    ∴∠DBH=∠H,
    ∴DB=DH,
    ∵∠EDF=∠BDH=α,
    ∴∠BDF=∠HDE,
    ∵DF=DE,DB=DH,
    ∴△BDF≌△HDE,
    ∴BF=EH,
    ∴BF+BE=EH+BE=BH,
    ∵DB=DH,DM⊥BH,
    ∴BM=MH,∠BDM=∠HDM,
    ∴BM=MH=BD•sin.
    ∴BF+BE=BH=2n•sin.
    9.在△ABC中,AC=BC,∠ACB=α,点D为直线BC上一动点,过点D作DF∥AC交AB于点F,将AD绕点D顺时针旋转α得到ED,连接BE.
    (1)特例猜想
    如图1,当α=90°时,试猜想:
    ①AF与BE的数量关系是 ;②∠ABE= ;
    (2)拓展探究
    如图(2),当0°<α<90°时,请判断AF与BE的数量关系及∠ABE的度数,并说明理由.
    (3)解决问题
    如图(3),在△ABC中,AC=BC,AB=8,∠ACB=α,点D在射线BC上,将AD绕点D顺时针旋转α得到ED,连接BE,当BD=3CD时,请直接写出BE的长度.

    图1 图2 图3
    【答案】(1)AF=BF,90°;(2)(3)见解析.
    【解析】解:(1)设AB交DE于O.

    ∵∠ACB=90°,AC=BC,
    ∴∠ABC=45°,
    ∵DF∥AC,
    ∴∠FDB=∠C=90°,
    ∴∠DFB=∠DBF=45°,
    ∴DF=DB,
    ∵∠ADE=∠FDB=90°,
    ∴∠ADF=∠EDB,
    ∵DA=DE,
    ∴△ADF≌△EDB,
    ∴AF=BE,
    ∴∠DAF=∠E,
    ∵∠AOD=∠EOB,
    ∴∠ABE=∠ADO=90°,
    所以答案为AF=BF,90°.
    (2)结论:AF=BE,∠ABE=α.理由如下:
    ∵DF‖AC
    ∴∠ACB=∠FDB=α,∠CAB=∠DFB,
    ∵AC=BC,
    ∴∠ABC=∠CAB,
    ∴∠ABC=∠DFB,
    ∴DB=DF,
    ∵∠ADF=∠ADE﹣∠FDE,∠EDB=∠FDB﹣∠FDE,
    即∠ADF=∠EDB,
    ∵AD=DE,
    ∴△ADF≌△EDB,
    ∴AF=BE,∠AFD=∠EBD
    ∵∠AFD=∠ABC+∠FDB,∠DBE=∠ABD+∠ABE,
    ∴∠ABE=∠FDB=α.
    (3)分两种情况讨论:
    ①当点D在线段BC上时,

    由(2)可知:BE=AF,
    ∵DF∥AC,
    ∴,
    ∵AB=8,
    ∴AF=2,
    ∴BE=AF=2,
    ②当点D在BC的延长线上时,

    ∵AC∥DF,
    ∴,
    ∵AB=8,
    ∴AF=4,即BE=4,
    综上所述,BE的长度为2或4.
    10.问题发现
    如图1,△ABC是等边三角形,点D是边AD上的一点,过点D作DE∥AC交AC于E,则线段BD与CE有何数量关系?
    拓展探究
    如图2,将△ADE绕点A逆时针旋转角α(0°<α<360°),上面的结论是否仍然成立?如果成立,请就图中给出的情况加以证明.
    问题解决
    如果△ABC的边长等于2,AD=2,直接写出当△ADE旋转到DE与AC所在的直线垂直时BD的长.

    图1 图2 备用图
    【答案】见解析.
    【解析】解:(1)如图1,BD=CE,理由是:
    ∵△ABC是等边三角形,
    ∴AB=AC,
    ∵DE∥BC,
    ∴△ADE是等边三角形,即AD=AE,
    ∴BD=CE;
    (2)结论仍然成立,
    由图1得:AD=AE,
    由旋转性质得:∠BAD=∠CAE,
    ∵AB=AC,
    ∴△BAD≌△CAE,
    ∴BD=CE;
    (3)分两种情况讨论,
    ①如图所示,过D作DG⊥AB,垂足为G,

    ∵AF⊥DE,AD=AE,
    ∴∠DAF=∠EAF=30°,
    ∴∠BAD=30°,
    由AD=2,得:DG=1,AG=,
    由AB=2,得:BG=,
    由勾股定理得:BD=2.
    ②如图,

    由(2)中证明可知:△BAD≌△CAE,
    ∴BD=CE,
    ∵AD=AE,DE⊥AC,∠ADE=60°
    ∴∠EAF=∠FAD=30°,
    ∴EF=FD=AD=1,
    ∴AF=,
    ∴CF=AC+CF=3,
    在Rt△EFC中,由勾股定理得:EC=2,
    ∴BD=EC=2,
    综上所述,BD的长为2或2.
    11.(1)问题发现:如图1,在四边形ABCD中,AB∥DC,E是BC的中点,若AE是∠BAD的平分线,则AB,AD,DC之间的数量关系为   .
    (2)问题探究:如图2,在四边形ABCD中,AB∥DC,E是BC的中点,点F是DC的延长线上一点,若AE是∠BAF的平分线,试探究AB,AF,CF之间的数量关系,并证明你的结论
    (3)问题解决:如图3,AB∥CD,点E在线段BC上,且BE:EC=3:4.点F在线段AE上,且∠EFD=∠EAB,直接写出AB,DF,CD之间的数量关系.

    图1 图2 图3
    【答案】(1)AD=AB+CD;(2)(3)见解析.
    【解析】解:(1)结论:AD=AB+CD.
    理由:
    ∵AB∥CF,
    ∴∠CFE=∠EAB,
    ∵CE=EB,∠CEF=∠AEB,
    ∴△CEF≌△BEA ,
    ∴AB=CF.
    ∵AF平分∠DAB,
    ∴∠DAF=∠EAB,
    ∵∠EAB=∠CFE,
    ∴∠DAF=∠DFA,
    ∴AD=DF,
    ∵DF=DC+CF=CD+AB,
    ∴AD=AB+CD.
    (2)结论:AB=AF+CF.
    理由:延长AE、DC交于G,

    ∵AB∥DG,
    ∴∠G=∠EAB,
    ∵CE=EB,∠CEG=∠BEA,
    ∴△CEG≌△BEA,
    ∴AB=CG,∠G=∠EAB,
    ∵AE平分∠FAB,
    ∴∠FAG=∠EAB,
    ∵∠G=∠EAB,
    ∴∠FAG=∠G,
    ∴FA=FG,
    ∵CG=CF+FG=CF+AF,
    ∴AB=AF+CF.
    (3)结论:AB=(CD+DF).
    延长AE、CD交于G.

    ∵CG∥AB,
    ∴,∠G=∠A,
    ∴AB=CG,
    ∵∠DFE=∠A,
    ∴∠DFG=∠G,
    ∴DF=DG,
    ∴CD+DF=CD+DG=CG,
    ∴AB=(CD+DF).
    12.如图1,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D,E分别在边AB,AC上,AD=AE,连接DC,BE,点P为DC的中点,
    (1)【观察猜想】图1中,线段AP与BE的数量关系是 ,位置关系是 .
    (2)【探究证明】把△ADE绕点A逆时针旋转到图2的位置,(1)中的猜想是否仍然成立?若成立请证明,否请说明理由;
    (3)【拓展延伸】把△ADE绕点A在平面内自由旋转,若AD=4,AB=10,请直接写出线段AP长度的最大值和最小值.

    图1 图2
    【答案】(1)AP=BE,PA⊥BE;(2)(3)见解析.
    【解析】解:(1)设PA交BE于点O.

    ∵AD=AE,AC=AB,∠DAC=∠EAB,
    ∴△DAC≌△EAB,
    ∴BE=CD,∠ACD=∠ABE,
    ∵∠DAC=90°,DP=PC,
    ∴PA=CD=PC=PD,
    ∴PA=BE,∠C=∠PAE,
    ∵∠CAP+∠BAO=90°,
    ∴∠ABO+∠BAO=90°,
    ∴∠AOB=90°,
    ∴PA⊥BE,
    (2)结论成立.
    理由:延长AP至M,使PM=PA,连接MC,延长PA交BE于O.

    ∵PA=PM,PD=PC,∠APD=∠CPM,
    ∴△APD≌△MPC,
    ∴AD=CM,∠ADP=∠MCP,
    ∴AD∥CM,
    ∴∠DAC+∠ACM=180°,
    ∵∠BAC=∠EAD=90°,
    ∴∠EAB=∠ACM,
    ∵AB=AC,AE=CM,
    ∴△EAB≌△MCA,
    ∴BE=BM,∠CAM=∠ABE,
    ∵PA=AM,PA=BE,
    ∵∠CAM+∠BAO=90°,
    ∴∠ABE+∠BAO=90°,
    ∴∠AOB=90°,
    ∴PA⊥BE.
    (3)∵AC=10,CM=4,
    ∴10﹣4≤AM≤10+4,
    ∴6≤AM≤14,
    ∵AM=2AP,
    ∴3≤PA≤7.
    ∴PA的最大值为7,最小值为3.
    13.如图1,在△ABC与△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠A是公共角.
    (1)BD与CE的数量关系是: ;
    (2)把图1的△ABC绕点A旋转一定的角度,得到如图2所示的图形.
    ①求证:BD=CE;
    ②BD与CE所在直线的夹角与∠DAE的数量关系是什么?说明理由.
    (3)若AD=10,AB=6,把图1中的△ABC绕点A顺时针旋转α度(0°<α≤360)直接写出BD长度的取值范围.

    图1 图2
    【答案】(1)=;(2)(3)见解析.
    【解析】解:∵AD=AE,AB=BC,
    ∴AD-AB=AE-AC,
    即BD=CE;
    (2)①∵∠DAE=∠BAC,
    ∴∠DAE+∠BAE=∠BAC+∠BAE.
    即∠BAD=∠CAE.
    在△ABD和△ACE中,
    ∴△ABD≌△ACE(SAS)
    ∴BD=CE.
    ②BD与CE所在直线的夹角与∠DAE的度数相等.
    延长DB交CE于点F.

    ∵△ABD≌△ACE,
    ∴∠ADB=∠AEC
    ∵∠AOD=∠EOF,
    ∴180°-∠ADB-∠AOD =180°-∠AEC-∠EOF,
    即∠DAE=∠DFE
    ③当B在线段AD上时,BD最小,最小值为10-6=4;当B在线段DA延长线上时,BD最大,最大值为10+6=16,
    即4≤BD≤16.
    14.【问题探索】(1)如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点D,E分别在AC、BC边上,DC=CE,连接DE、AE、BD,点M、N、P分别是AE、BD、AB的中点,连接PM、PN、MN. 探索BE与MN的数量关系. 聪明的小华推理发现PM、PN的关系为 ,最后推理得到BE与MN的数量关系为 .
    【深入探究】(2)将△DEC绕点C逆时针旋转到如图2的位置,判断(1)中的结论是否仍然成立,如果成立,请写出证明过程,若不成立,请说明理由;

    【答案】见解析.
    【解析】解:(1)PM=PN,PM⊥PM;BE=MN;
    ∵AM=ME,AP=PB,
    ∴PM∥BE,PM=BE,
    同理:PN∥AD,PN=AD,
    ∵AC=BC,CD=CE,
    ∴AD=BE,
    ∴PM=PN,
    ∵∠ACB=90°,
    ∴AC⊥BC,
    ∴∵PM∥BC,PN∥AC,
    ∴PM⊥PN,
    ∴△PMN的等腰直角三角形,
    ∴MN=PM,
    ∴MN=×BE,
    ∴BE=MN.
    (2)结论仍然成立.

    连接AD、延长BE交AD于点H.
    ∵△ABC和△CDE是等腰直角三角形,
    ∴CD=CE,CA=CB,∠ACB=∠DCE=90°,
    ∴∠ACD=∠ECB,
    ∴△ECB≌△DCA,
    ∴BE=AD,∠DAC=∠EBC,
    ∠AHB=180°-(∠HAB+∠ABH)
    =180°-(45°+∠HAC+∠ABH)
    =∠180°-(45°+∠HBC+∠ABH)
    =90°,
    ∴BH⊥AD,
    ∵M、N、P分别为AE、BD、AB的中点,
    ∴PM∥BE,PM=BE,PN∥AD,PN=AD,
    ∴PM=PN,∠MPN=90°,
    ∴BE=2PM=2×MN=MN.

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