压轴专题01动点与函数图象答案解析

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专题01 动点与函数图象


【例1】如图所示，在矩形ABCD中，AB=8，AD=4，E为CD的中点，连接AE、BE，点M从点A出发沿AE方向向E匀速运动，同时点N从点E出发沿EB方向向点B匀速运动，点M、N的速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t，连接MN，设△EMN的面积为S，则S关于t的函数图象为（ ）


A B C D
【答案】D.
【解析】解：由题意知，AD=DE=CE=BC=4，AE=4，
∴∠AED=∠BEC=45°，
∴∠MEN=90°，
又∵EN=t，EM=4－t，
∴S=
=
=，（0≤t≤4）
图象为抛物线，开口朝下，当x=2时，S取最大值4，
故答案为D.
【变式1-1】如图，点 P 是边长为 2 cm 的正方形 ABCD 的边上一动点，O 是对角线的交点，当点 P 由 A→D→C 运动时，设 DP=x cm，则△POD 的面积 y（cm2） 随 x（cm）变化的关系图象为（ ）


A B

C D
【答案】B.
【解析】解：当P点在AD上运动时，0 y=·PD×1=x，
当P点在DC上运动时，0 y=·PD×1=x，
故答案为：B.
【变式1-2】如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，∠C＝45°，点D，E分别为边AB，AC上的点，且DE∥BC，BD＝DE＝2，CE＝，BC＝．动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿B→D→E→C匀速运动，运动到点C时停止．过点P作PQ⊥BC于点Q，设△BPQ的面积为S，点P的运动时间为t，则S关于t的函数图象大致为（ ）

A． B．
C． D．
【答案】D.
【解析】解：∵PQ⊥BQ
∴S△BPQ＝PQ•BQ
①当点P在BD上（即0s≤t≤2s）
BP＝t，BQ＝PQ•cos60°＝t，PQ＝BP•sin60°＝t
S△BPQ＝PQ•BQ
＝•t•t
＝t2
该图象是关于t的二次函数，其图象为一段开口朝上的抛物线；
②当P在DE上时（即2s＜t≤4s）
PQ＝BD•sin60°＝，BQ＝BD•cos60°+（t﹣2）＝t﹣1
S△BPQ＝PQ•BQ
＝••（t﹣1）
＝t﹣，
该图象为一条线段，由左向右上升；
③当P在DE上时（即4s＜t≤s）
PQ＝PC•sin45°＝﹣t，BQ＝BC﹣CQ＝－+t
S△BPQ＝PQ•BQ
=（﹣t）（－+t）
通过计算可知，此时函数解析式为二次函数，且二次项系数为：<0，即该段图象为一段开口朝下的抛物线；
综上所述，答案为D.
【例2】如图，正方形ABCD的边长为，对角线AC和BD交于点E，点F是BC边上一动点（不与点B，C重合），过点E作EF的垂线交CD于点G，连接FG交EC于点H．设BF＝x，CH＝y，则y与x的函数关系的图象大致是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】A.
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠EBF＝∠ECG＝45°，AC⊥BD，EB＝EC，
∵EF⊥EG，
∴∠BEC＝∠FEG＝90°，
∴∠BEF＝∠CEG，
∴△BEF≌△CEG，
∴EF＝EG，
∴∠EFG＝45°，
∴∠CFH＝∠BEF，
∴△BEF∽△CFH，
∴，
∴，
∴y＝﹣x2+x（0＜x＜），
图象为一段开口朝下的抛物线，
即答案为：A．
【变式2-1】如图1，在矩形ABCD中，AB＜BC，点E为对角线AC上的一个动点，连接BE，DE，过E作EF⊥BC于F．设AE＝x，图1中某条线段的长为y，若表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是图1中的（　　）

A．线段BE B．线段EF C．线段CE D．线段DE
【答案】D．
【解析】解：A、由图1可知，若线段BE是y，则y随x的增大先减小再增大，而BA＜BC，选项A错误；
B、由图1可知，若线段EF是y，则y随x的增大而减小，选项B错误；
C、由图1可知，若线段CE是y，则y随x的增大而减小，选项C错误；
D、由图1可知，若线段DE是y，则y随x的增大先减小再增大，而由由大变小的距离大于由小变大的距离，在点A的距离是DA，在点C时的距离是DC，DA＞DC，选项D正确；
故答案为：D．
【变式2-2】如图1，正△ABC的边长为4，点P为BC边上的任意一点，且∠APD=60°，PD交AC于点D，设线段PB的长度为x，图1中某线段的长度为y，y与x的函数关系的大致图象如图2，则这条线段可能是图1中的（ ）

图1 图2
A．线段AD B．线段AP C．线段PD D．线段CD
【答案】A.
【解析】解：∵∠APD=60°，△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，
∴∠APB+∠CPD=120°，∠PDC+∠CPD=120°，
∴∠APB=∠PDC，
∴△ABP∽△PCD，
∴,
即：，
∴CD=，当x=0时，CD=0，不符题意；
∴AD=4－CD=4－=，符合题意，
即答案为：A.



【例3】如图1，E为矩形ABCD边AD上的一点，点P从点B沿折线BE-ED-DC运动到点C时停止，点Q从点B沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是2 cm/s．若P，Q同时开始运动，设运动时间为t（s），△BPQ的面积为y（cm2），已知y与t的函数关系图象如图2，则的值为（ ）
A． B． C． D．

图1 图2
【答案】D.
【解析】解：由图象可知，t=8时，P点与E点重合；t=10时，P与D点重合，
∵P点的运动速度为2cm/s，
∴DE=4，BE=16，
S△BCE=·BC·CD=8 CD，
即8 CD=32，
即CD=4，
∴=,
故答案为：D.
【变式3-1】如图 1，动点 K 从△ABC 的顶点 A 出发，沿 AB﹣BC 匀速运动到点 C 停止．在动点 K 运动过程中，线段 AK 的长度 y 与运动时间 x 的函数关系如图 2 所示，其中点 Q 为曲线部分的最低点，若△ABC 的面积是，则 a 的值为

图1 图2
【答案】．
【解析】解：由图可知，Q点对应的是AK⊥BC的位置，即△ABC边BC上的高为5，
由△ABC的面积是，得：BC=，
由抛物线的两端纵坐标相等，即对应的AK的长度相等，说明AB=AC，
由勾股定理得：AB=,
即a=，
故答案为：.
【变式3-2】如图1，在矩形ABCD中，动点M从点A出发，沿A→B→C方向运动，当点M到达点C时停止运动，过点M作MN⊥AM交CD于点N，设点M的运动路程为x，CN＝y，图2表示的是y与x的函数关系的大致图象，则矩形ABCD的面积是（ ）

A．20 B．18 C．10 D．9
【答案】A．
【解析】解:由图2知：AB+BC＝9，设AB＝m，则BC＝9﹣m，
如图所示，当点M在BC上时，

则AB＝m，BM＝x﹣a，MC＝9﹣x，NC＝y，
∵MN⊥AM，则∠MAB＝∠NMC，
tan∠MAB＝tan∠NMC，即,
即，化简得：y＝﹣x2+x﹣9，
当x＝时，y取最大值，即＝﹣9，
解得：m＝5或m=16.2（舍），
∴AM＝5，BC＝4，
ABCD的面积为20，
故答案为：A．

1. 如图，点A在x轴上，点B，C在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上．有一个动点P从点A出发，沿A→B→C→O的路线（图中“→”所示路线）匀速运动，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，设△POM的面积为S，点P的运动时间为t，则S关于t的函数图象大致为（ ）

A． B．
C． D．
【答案】D.
【解析】解：设点P的运动速度为x，
（1）当点P在AB上时，
S=·OA·AP
=·OA·at，
该段函数图象为一条线段，且S随t的增大而增大，
（2）点P在曲线BC上时，
S=k，为一定值，即图象为一条平行于x轴的线段；
（3）点P在OC上时，
S=·PM·OM
设∠AOC=β，P运动全路程为s，则OP=s－at，
则S=·PM·OM
=OPsinβ·OPcosβ
=（s－at）2sinβcosβ
函数图象为一段开口朝上的抛物线，且S随t的增大而减小；
综上所述，答案为：D.
2.如图，已知△ABC为等边三角形，AB＝2，点D为边AB上一点，过点D作DE∥AC，交BC于E点；过E点作EF⊥DE，交AB的延长线于F点．设AD＝x，△DEF的面积为y，则能大致反映y与x函数关系的图象是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】A.
【解析】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠C＝∠ABC＝60°，
∵DE∥AC，
∴∠EDF＝∠A＝60°，∠DEB＝∠B＝60°
∵EF⊥DE，
∴∠DEF＝90°，
∴∠F＝90°﹣∠EDC＝30°；
∵∠EDB＝∠DEB＝60°，
∴△EDB是等边三角形．
∴ED＝DB＝2﹣x，
在Rt△DEF中，EF＝ED＝（2﹣x）．
∴y＝ED•EF
＝（2﹣x）•（2﹣x），
＝（x﹣2）2，（0≤x≤2），
图象为一段开口朝上的抛物线，y随x增大而减小；
所以答案为：A．
3.如图，正方形ABCD的边长为4，点P、Q分别是CD、AD的中点，动点E从点A向点B运动，到点B时停止运动；同时，动点F从点P出发，沿P→D→Q运动，点E、F的运动速度相同．设点E的运动路程为x，△AEF的面积为y，能大致刻画y与x的函数关系的图象是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】A.
【解析】解：由题意知，
（1）当点F在PD上运动时，△AEF的面积为y=AE•AD＝2x（0≤x≤2），
为一次函数，图象为直线；
（2）当F在AD上运动时，△AEF的面积为：
y=AE•AF
=x(6－x)
=－x2+3x,
为二次函数，且开口朝下；
故答案为：A．
4.如图甲，点E为矩形ABCD边AD上一点，点P，Q同时从B点出发，点P沿BE→ED→DC运动到点C停止，点Q沿BC运动到点C停止，它们的运动速度都是1cm/s，设P、Q出发t秒时，△BPQ的面积为y（cm2），已知y与t的函数关系的图象如图乙（曲线OM为抛物线的一部分），则下列结论：
①当0＜t≤5时，y=t2 ②tan∠ABE=③点H的坐标为（11，0）④△ABE与△QBP不可能相似．
其中正确的是 （把你认为正确结论的序号都填上）

【答案】①②③.
【解析】解：①过点P作PF⊥BC于F，

根据面积不变时△BPQ的面积为10，可得：AB=4，
∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠PBF，
∴sin∠PBF=sin∠AEB=，
∴PF=PBsin∠PBF=t，
∴当0＜t≤5时，y=BQ·PF
=t2
即①正确；
②由图知：ED=2，
∴AE=AD﹣ED=5﹣2=3，
∴tan∠ABE=，②正确；
③由图象知，在D点时，出发时间为7s，由CD=4，得H（11，0），③正确；
④当△ABE与△QBP相似时，点P在DC上，
∵tan∠PBQ=tan∠ABE=，
∴，即，
解得：t=．④错误；
故答案为：①②③．
5.如图1，在等边△ABC中，点D是BC边的中点，点P为AB边上的一个动点，设，图1中线段DP的长为，若表示与的函数关系的图象如图2所示，则等边△ABC的面积为 .


【答案】4.
【解析】解：由垂线段最短可知，当DP⊥AB时，y取最小值，
此时，由∠B=60°，得：BD=÷tan60°=2，
∴BC=4，
S△ABC==4，
即答案为：4.
6.如图，边长分别为1和2的两个等边三角形，开始它们在左边重合，大三角形固定不动，然后把小三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止．设小三角形移动的距离为x，两个三角形重叠面积为y，则y关于x的函数图象是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】B.
【解析】解：当0≤x≤1时，重叠部分为△A’B’C’，面积为：，
当1 面积为：，为开口朝上的抛物线，
综上所述，答案为：B.
7.如图，在边长为2的正方形ABCD中剪去一个边长为1的小正方形CEFG，动点P从点A出发，沿A→D→E→F→G→B的路线绕多边形的边匀速运动到点B时停止（不含点A和点B），则△ABP的面积S随着时间t变化的函数图象大致是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B．
【解析】解：当点P在AD上时，S=AB·AP=AP，则S随着时间t的增大而增大；
当点P在DE上时，S=2，S保持不变；
当点P在EF上时，△ABP的底AB不变，高减小，则S随着时间t的增大而减小；
当点P在FG上时，S=1，面积S不变；
当点P在GB上时，S=AB·BP=BP，S随着时间t的增大而减小；
故答案为：B．
8.如图1，在△ABC中，∠C=90°，动点P从点C出发，以1cm/s的速度沿折线CA→AB匀速运动，到达点B时停止运动，点P出发一段时间后动点Q从点B出发，以相同的速度沿BC匀速运动，当点P到达点B时，点Q恰好到达点C，并停止运动，设点P的运动时间为t s，△PQC的面积为S cm2，S关于t的函数图象如图2所示（其中0＜t≤3，3≤t≤4时，函数图象均为线段（不含点O），4＜t＜8时，函数图象为抛物线的一部分）给出下列结论：①AC=3cm；②当S=时，t=或6．
下列结论正确的是（ ）

A．①②都对
B．①②都错
C．①对②错
D．①错②对
【答案】A.
【解析】解：由函数图象可知当0＜t≤3时，点P在AC上移动，
∴AC=t×1=3×1=3cm．故①正确；
在Rt△ABC中，S△ABC=6，即BC×3=6，得：BC=4．
由勾股定理可知：AB=5．
（1）当0＜t≤3时，
S=BC•PC
=×4t
=2t．
（2）当3
过点P作PH⊥BC，垂足为H，则，
∴PH=PB=（8-t），
S=BC•PH
=×4×（8-t）
=-t+，
（3）当4＜t＜8时，过点P作PH⊥BC于H．

同理：S=
当0＜t≤3时，2t=，解得t＝，
当3≤t≤4时，−t+＝，解得：t=7（舍去），
当4＜t＜8时，，解得t=6或t=10（舍去），
∴当t为或6时，△PQC的面积为．
故②正确．
故答案为：A．
9.如图，平行四边形ABCD中，AB=cm，BC=2cm，∠ABC=45°，点P从点B出发，以1cm/s的速度沿折线BC→CD→DA运动，到达点A为止，设运动时间为t(s)，△ABP的面积为S(cm2)，则S与t的函数表达式为 .

【答案】S=.
【解析】解：（1）当点P在BC上运动时，即0≤t≤2时，

过点A作AH⊥BC于H，
∵AB=,∠B=45°，
∴AH=BH=1，
S=BP·AH=t·1=t；
（2）当点P在CD上运动时，即2
S =S四边形ABCD=1；
（3）当点P在DA上运动时，即2+
S=AP·AH=(t－4－)·1=(8+－t)；
综上所述，S=
10.如图，在等腰△ABC中，AB=AC=4cm，∠B=30°，点P从点B出发，以cm/s的速度沿BC方向运动到点C停止，同时点Q从点B出发以2cm/s的速度沿B→A→C运动到点C停止，若△BPQ的面积为y，运动时间为t（s），则y与t的函数关系式为： .

【答案】y=.
【解析】解：当点Q在线段AB上运动时，即0≤t≤2，

过点Q作QH⊥BC于H，由题意知，BQ=t，BP=2t，
∵∠B=30°，
∴QH=t，
y=·BP·QH=×（2t）×t=t2，
当点Q在线段AC上运动时，即2
过点Q作QH⊥BC于H，由题意知，CQ=8－t，BP=2t，
∵∠C=30°，
∴QH=（8－t），
y=·BP·QH=×（2t）×（8－t）=（8t－t2）=，
综上所述，y=.
11.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，DC=4 cm，BC=6 cm，AD=3 cm，动点P，Q同时从点B出发，点P以2 cm/s的速度沿折线BA-AD-DC运动到点C，点Q以1 cm/s的速度沿BC运动到点C，设P，Q同时出发t s时，△BPQ的面积为y cm2，则y与t的函数图象大致是（ ）


A B C D
【答案】B.
【解析】解：过A作AF⊥BC于E，

则四边形ADCF是矩形，
∴AD=CF=3，CD=AF=4，
∴BF=3，
在Rt△ABF中，由勾股定理得：AB=5，
P点从B运动到A点需2.5 秒，
（1）当0≤t≤2.5时，过P作PE⊥BC于E，
∴ PE∥AF，
∴,
∴，即PE=，
y=·BQ·PE
=t·
=，
是一段开口朝上的抛物线；
（2）当2.5 y=·BQ·CD
=2t，是一条线段；
（3）当4
y=·BQ·CP
=t(12－2t)
=6t－t2，
函数图象为一段开口朝下的抛物线，
综上所述，选项B符合要求，
故答案为：B.
12.如图，菱形ABCD的边长是4 cm，∠B=60°，动点P以1 cm/s的速度从点A出发沿AB方向运动至点B停止，动点Q以2 cm/s的速度从点B出发沿折线BCD运动至点D停止．若点P，Q同时出发，运动了t s，记△BPQ的面积为S cm2，则下面图象中能表示S与t之间的函数关系的是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】C.
【解析】解：当点Q在线段BC上时，即0≤t≤2时，
S=BQ·BP·sin∠B
=2t·（4－t）×
=，
图象为开口朝上的抛物线；
当点Q在线段CD上时，即2 S=·BP·(BC·sin∠B)
=（4－t）×4×
=，
图象为一条直线，S随t的增大而减小；
即答案为：C.
13. 如图，矩形ABCD中，AB＝2AD＝4cm，动点P从点A出发，以lcm/s的速度沿线段AB向点B运动，动点Q同时从点A出发，以2cm／s的速度沿折线AD→DC→CB向点B运动，当一个点停止时另一个点也随之停止．设点P的运动时间是x（s）时，△APQ的面积是y（cm2），则能够反映y与x之间函数关系的图象大致是（ ）


【答案】A.
【解析】解：当点Q在线段AD上时，即0≤t≤1，y=·AP·AQ=（2t）t=t2，为开口朝上的抛物线；
当点Q在线段DC上时，即1≤t≤3，y=·AP·AD=（2t）×2=2t，为一段线段，y随x的增大而增大；
当点Q在线段CB上时，即3≤t≤4，y=·AP·BQ=（2t）×(8－2t)=－2t2+8t，为开口朝下的抛物线；
综上所述，选项A符合要求，
即答案为：A.
14.如图,锐角三角形ABC中,BC=6,BC边上的高为4,直线MN交边AB于点M,交AC于点N,且MN∥BC,以MN为边作正方形MNPQ,设其边长为x(x>0),正方形MNPQ与△ABC公共部分的面积为y,则y与x的函数图象大致是(　　)

　
A　　　 　　 B　　 　　　 C　　 　　　D
【答案】D.
【解析】解：当PQ在边BC上时，由题意知，MN∥BC，
过A作AH⊥BC于H，交MN于G，

∴,
即，解得：x=2.4，
当0 ∴y=x2，为开口朝上的抛物线，
当2.4 则，
即，解得：AG=x，
∴GH=4-x，
y=MN·GH=x(4-x)，为开口朝下的抛物线，对称轴为：x=3，
即选项D符合题意，即答案为：D.

15.如图，在平面直角坐标系中，已知A(0,1),B(，0)，以线段AB为边向上作菱形ABCD，且点D在y轴上. 若菱形ABCD以每秒2个单位长度的速度沿射线AB滑行，直至顶点D落在x轴上时停止．设菱形落在x轴下方部分的面积为S，则表示S与滑行时间t的函数关系的图象为（　　）

图1 图2

A B C D
【答案】A.
【解析】解：由A(0,1),B(，0)，得：∠ABO=30°，∠ADC=∠OAB=60°，菱形的高为：.
（1）当点A在x轴上方时，菱形落在x轴下方部分为三角形，
S=·（2t）·t=t2，图象为开口朝上的抛物线；
（2）当点A在x轴上方时，点C在x轴上方时，菱形落在x轴下方部分为梯形，
S=·（t+t-1）·=t－，图象为一段线段；
（3）当点C在x轴下方时，
S=2－（6-2t）·（6-2t）=2－(t-3)2
图象为开口朝下的抛物线；
综上所述，选项A符合要求；
故答案为：A.