压轴专题08圆中证明及计算问题14题

专题08圆中证明及计算问题

1.如图，⊙O是△ABC的外接圆，点O在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD、CD，过点D作BC的平行线与AC的延长线相交于点P．

（1）求证：PD是⊙O的切线；

（2）求证：AB•CP＝BD•CD；

（3）当AB＝5 cm，AC＝12 cm时，求线段PC的长．

2.如图，△ABC内接于⊙O，且AB=AC，延长BC到点D，使CD=CA，连接AD交⊙O于点E．

（1）求证：△ABE≌△CDE；

（2）填空：

①当∠ABC的度数为     时，四边形AOCE是菱形；

②若AE=6，BE=8，则EF的长为       ．

3.如图，AB为⊙O的直径，点C为AB上方的圆上一动点，过点C作⊙O的切线l，过点A作直线l的垂线AD，交⊙O于点D，连接OC，CD，BC，BD，且BD与OC交于点E．

（1）求证：△CDE≌△CBE；

（2）若AB＝4，填空：

①当弧CD的长度是　　  时，△OBE是等腰三角形；

②当BC＝　  　时，四边形OADC为菱形．

4.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为2，∠B=135°，则弧AC的长为（  ）

A. 2π   B. π   C.    D.

5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O，与斜边AB交于点D，E为BC边的中点，连接DE.

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）填空：①若∠B=30°，AC=，则BD=    

②当∠B=      时，以O、D、E、C为顶点的四边形是正方形.

6.已知△ABC内接于以AB为直径的⊙O，过点C作⊙O的切线交BA的延长线于点D，且DA∶AB=1∶2．

（1）求∠CDB的度数；

（2）在切线DC上截取CE=CD，连接EB，判断直线EB与⊙O的位置关系，并证明．

7.如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，以 AC 为直径的⊙O与斜边AB交于点D，E为BC边上一点，且DE是⊙O的切线．

（1）求证：BE=EC；

（2）填空：①若∠B=30°，AC=2则DE=    ；

②当∠B=      °时，以O，D，E，C为顶点的四边形是正方形．

8.如图，AB为⊙O的直径，C为半圆上一动点，过点C作⊙O的切线l的垂线BD，垂足为D，BD与⊙O交于点E，连接OC，CE，AE，AE交OC于点F．

（1）求证：△CDE≌△EFC；

（2）若AB=4，连接AC．

①当AC=        时，四边形OBEC为菱形；

②当AC=        时，四边形EDCF为正方形．

9.如图，AB是半圆O的直径，D为半圆上的一个动点（不与点A，B重合），连接AD，过点O作AD的垂线，交半圆O的切线AC于点C，交半圆O于点E．连接BE，DE．

（1）求证：∠BED＝∠C．

（2）连接BD，OD，CD．

填空：

①当∠ACO的度数为     时，四边形OBDE为菱形；

②当∠ACO的度数为     时，四边形AODC为正方形．

10.如图，CD是⊙O的直径，且CD＝2cm，点P为CD的延长线上一点，过点P作⊙O的切线PA、PB，切点分别为A、B．

（1）连接AC，若∠APO＝30°，试证明△ACP是等腰三角形；

（2）填空：

①当弧AB的长为     cm时，四边形AOBD是菱形；

②当DP＝      cm时，四边形AOBP是正方形．

11.如图，AB为⊙O的直径，F为弦AC的中点，连接OF并延长交弧AC于点D，过点D作⊙O的切线，交BA的延长线于点E．

（1）求证：AC∥DE；

（2）连接CD，若OA=AE=2时，求出四边形ACDE的面积．

12.已知：如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CBA的平分线交AC于点F，交⊙O于点D，DE⊥AB于点E，且交AC于点P，连结AD．

（1）求证：∠DAC＝∠DBA；

（2）求证：P是线段AF的中点；

（3）连接CD，若CD＝3，BD＝4，求⊙O的半径和DE的长．

13.如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的圆O与AD，AC分别交于点E，F，且∠ACB＝∠DCE．

（1）判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；

（2）若tan∠ACB＝，BC＝4，求⊙O的半径．

14.如图，在△ABC中，AC＝BC，AB是⊙C的切线，切点为点D，直线AC交⊙C于点E、F，且CF=AC，

（1）求证：△ABF是直角三角形；

（2）若AC＝6，则直接回答BF的长是多少．