福建省厦门第一中学2021-2022学年高一下学期期中考试数学试卷及答案

福建厦门一中2021-2022学年下学期高一期中卷

数 学

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷（选择题）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．在中，已知，则的形状是（    ）

A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形

2．设等差数列的前项和为，若，，则数列的公差为（    ）

A． B． C． D．

3．下列不等式成立的是（    ）

A．若，则 B．

C．若，则 D．若，，则

4．已知p，q为正实数且，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

5．已知数列和都是等差数列，且其前n项和分别为和，若，则（    ）

A． B． C． D．

6．若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

7．数列中的前n项和，数列的前n项和为，则（    ）

A．190 B．192 C．180 D．182

8．在中，角所对的边分别为，若，

，则周长的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

9．瀑布是庐山的一大奇观，为了测量某个瀑布的实际高度，某同学设计了如下测量方案：有一段水平山道，且山道与瀑布不在同一平面内，瀑布底端与山道在同一平面内，可粗略认为瀑布与该水平山道所在平面垂直，在水平山道上A点位置测得瀑布顶端仰角的正切值为，沿山道继续走20m，抵达B点位置测得瀑布顶端的仰角为．已知该同学沿山道行进的方向与他第一次望向瀑布底端的方向所成角为，则该瀑布的高度约为（    ）

A．60m B．90m C．108m D．120m

10．不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C．  D．

11．已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（    ）

A． B．不等式的解集为

C． D．不等式的解集为

12．在正整数数列中，由1开始依次按如下规则取该数列的项：第一次取1；第二次取2个连续的偶数2，4；第三次取3个连续奇数5，7，9；第四次取4个连续的偶数10，12，14，16；第五次取5个连续的奇数17，19，21，23，25；按此规律取下去，得到一个数列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，19…，则这个数列中第2022个数是（    ）

A．3974 B．3976 C．3978 D．3980

第Ⅱ卷（非选择题）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．函数的定义域是，则实数a的取值范围为________．

14．的内角，，的对边分别为，，，已知，，则的面积为__________．

15．已知等差数列的前n项和为，若，，则当最小时，n的值为________．

16．已知函数，若对恒成立，则实数的取值范围是___________．

三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）解下列不等式：

（1）；

（2）．

18．（12分）物联网（InternetofThings，缩写：IOT）是基于互联网､传统电信网等信息承载体，让所有能行使独立功能的普通物体实现互联互通的网络．其应用领域主要包括运输和物流､工业制造､健康医疗､智能环境（家庭､办公､工厂）等，具有十分广阔的市场前景．现有一家物流公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：仓库每月土地占地费（单位：万元），仓库到车站的距离x（单位：千米，），其中与成反比，每月库存货物费（单位：万元）与x成正比；若在距离车站9千米处建仓库，则和分别为2万元和7．2万元．

（1）求出与的解析式；

（2）这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小？最小费用是多少？

19．（12分）若正项数列的前n项和为，．

（1）求数列的通项公式；

（2）令，求数列的前n项和．

20．（12分）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，．

（1）若，求的值；

（2）若BC边上的中线长为，求a的值．

21．（12分）已知正项等比数列满足，数列满足．

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和．

22．（12分）已知关于的不等式．

（1）若的解集为，求实数的值；

（2）当时，求关于的不等式的解集．

答 案

第Ⅰ卷（选择题）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．【答案】C

【解析】在中，已知，所以，所以为钝角，

故的形状是钝角三角形，故选C．

2．【答案】C

【解析】设等差数列的公差为，

因为，，所以，

即，解得，

故选C．

3．【答案】D

【解析】对于A，若，，则，故A错误；

对于B，函数为增函数，故，故B错误；

对于C，当时，，故C错误；

对于D，，

因为，，所以，，所以，

所以，即成立，故D正确，

故选D．

4．【答案】A

【解析】由，可知，

，

当，即时，“”成立，故选A．

5．【答案】B

【解析】对于等差数列的前n项和满足，知道，

故，故选B．

6．【答案】B

【解析】当时，不等式恒成立；

当时，由题意可得恒成立，

由，当且仅当时，取得等号，

所以，解得，

综上可得，的取值范围是，故选B．

7．【答案】B

【解析】当n＝1时，，

当n≥2时，，

经检验不满足上式，所以，

设，则，

所以，故选B．

8．【答案】A

【解析】∵，，

可得，

，，，解得，

∵，

∴由余弦定理可得，

∵由，，得，

∴，即，

∴周长，故选A．

9．【答案】A

【解析】如图，设瀑布顶端为P，底端为H，瀑布高为h，

该同学第一次测量时所处的位置为A，第二次测量时的位置为B，

由题意可知，，且，

所以，，

在中，由余弦定理可知，

即，解得，故选A．

10．【答案】A

【解析】令，对一切均大于0恒成立，

所以或或，

解得或，或，

综上，实数的取值范围是或，故选A．

11．【答案】B

【解析】因为关于的不等式的解集为或，所以，所以选项A错误；

由题得，，

所以为，，所以选项B正确；

设，则，所以选项C错误；

不等式为，，所以选项D错误，

故选B．

12．【答案】D

【解析】由题意可得，奇数次取奇数个奇数，偶数次取偶数个偶数，

前次共取了个数，且第次的最后一个数为，

当时，，故到第63次取时取了63个奇数，且前63次共取了2016个数，即第2016个数为，

∴时，依次为3970，3972，3974，3976，3978，3980，．．．，

∴第2022个数为3980，故选D．

第Ⅱ卷（非选择题）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．【答案】

【解析】因为函数的定义域是，

所以不等式恒成立．

所以，当时，不等式等价于，显然恒成立；

当时，则有，即，解得，

综上，实数a的取值范围为．

故答案为．

14．【答案】或

【解析】由已知条件及正弦定理可得，

易知，所以，

又，所以，

所以，所以，即，，

所以的面积，

故答案为．

15．【答案】1011

【解析】因为等差数列中， ，

，

所以，，

则当最小时，，

故答案为1011．

16．【答案】

【解析】和对都成立，

令，得在上恒成立，

当时，只需即可，解得；

当时，只需即可，解得（舍），

综上，故答案为．

三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）不等式化为，解得，

所以的解集为．

（2），

原不等式化为，解得，

所以的解集是．

18．【答案】（1），；（2）把仓库建在距离车站4千米处才能使两项费用之和最小，最小费用是7．2万元．

【解析】（1）设，，其中，

当时，，，解得，，

所以，．

（2）设两项费用之和为z（单位：万元），

则

，

当且仅当，即时，“”成立，

所以这家公司应该把仓库建在距离车站4千米处才能使两项费用之和最小，最小费用是7．2万元．

19．【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）根据题意，当时，，解得a1＝1或a1＝0（舍去），

当n≥2时， ，

整理得，

又，所以，

即是以1为首项，1为公差的等差数列，

所以．

（2）由（1）可知，

所以

．

20．【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）由正弦定理，，

又，若为钝角，则也为钝角，与三角形内角和矛盾，

故，，

即．

（2）取BC边上的中点，则，设，

在中，利用余弦定理知，

在中，利用余弦定理知，

又，则，

即，即，解得，

又，故a的值为．

21．【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）设数列的公比为，

∵正项等比数列满足，

∴，两式相除可得，∴，，

∴．

（2）当n为奇数时，，当n为偶数时，，

∴

，

∴．

22．【答案】（1）；（2）详见解析．

【解析】（1）因为的解集为，

所以方程的两个根为，

由根与系数关系得．

（2），

当时，方程的两个根分别为．

当时，两根相等，故不等式的解集为；

当时，，不等式的解集为；

当时，，不等式的解集为，

综上，当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为．