预测01 集合、常用逻辑用语与复数（真题回顾+押题预测） 2022年高考数学三轮冲刺之重难点必刷题型

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预测01 集合、常用逻辑用语与复数

1.集合的运算：高考对集合基本运算的考查，集合由描述法呈现，转向由离散元素呈现．解决这类问题的关键在于正确理解集合中元素所具有属性的，明确集合中含有的元素，进一步进行交、并、补等运算．常见选择题.
2. 充要条件：高考对命题及其关系和充分条件、必要条件的考查，主要命题形式是选择题.由于知识载体丰富，因此题目有一定综合性，属于中、低档题．命题重点主要集中在以函数、方程、不等式、立体几何线面关系、数列等为背景的充分条件和必要条件的判定．
3.关于存在性命题与全称命题：一般考查命题的否定.
4.复数为高考的必考内容，尤其是复数的概念、复数相等、复数的四则运算以及共轭复数，复数的乘、除运算是高考考查的重点内容，一般为选择题或填空题，难度不大，解题时要正确把握复数概念及准确运用复数的四则运算法则进行求解.

1、集合的基本运算
(1)交集：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B，即A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．
(2)并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为A与B的并集，记作A∪B，即A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．
(3)补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁UA，即∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}．
2、相关结论：
(1)若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个。
(2)不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集，是任何非空集合B的真子集．记作∅.
3、两个条件之间可能的充分必要关系：
（1）能推出，但推不出，则称是的充分不必要条件
（2）推不出，但能推出，则称是的必要不充分条件
（3）能推出，且能推出，记为，则称是的充要条件，也称等价
（4）推不出，且推不出，则称是的既不充分也不必要条件
4、运用集合作为工具
①：是的充分不必要条件，是的必要不充分条件
②：是的充分条件
③：是的充要条件
5、复数的有关概念
(1)复数的概念：
形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a＋bi为实数；若b≠0，则a＋bi为虚数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数．
(2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．
(3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．
(4)复数的模：
向量的模r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝.
6、复数的几何意义
(1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R) 平面向量.
7、复数的常用结论：
（1）；=；=.
（2）．
（3），．
（4）模的运算性质：①；②；③.
（5）设ω＝－＋i，则①|ω|＝1；②1＋ω＋ω2＝0；③＝ω2.




1．（2021•新高考Ⅰ）设集合A＝{x|﹣2＜x＜4}，B＝{2，3，4，5}，则A∩B＝（　　）
A．{2} B．{2，3} C．{3，4} D．{2，3，4}
【解答】解：∵A＝{x|﹣2＜x＜4}，B＝{2，3，4，5}，
∴A∩B＝{x|﹣2＜x＜4}∩{2，3，4，5}＝{2，3}．
故选：B．
2．（2021•甲卷）设集合M＝{x|0＜x＜4}，N＝{x|13≤x≤5}，则M∩N＝（　　）
A．{x|0＜x≤13} B．{x|13≤x＜4} C．{x|4≤x＜5} D．{x|0＜x≤5}
【解答】解：集合M＝{x|0＜x＜4}，N＝{x|13≤x≤5}，则M∩N＝{x|13≤x＜4}，
故选：B．
3．（2021•新高考Ⅱ）若全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{1，3，6}，B＝{2，3，4}，则A∩∁UB＝（　　）
A．{3} B．{1，6} C．{5，6} D．{1，3}
【解答】解：因为全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{1，3，6}，B＝{2，3，4}，
所以∁UB＝{1，5，6}，
故A∩∁UB＝{1，6}．
故选：B．
4．（2021•乙卷）已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{1，2}，N＝{3，4}，则∁U（M∪N）＝（　　）
A．{5} B．{1，2} C．{3，4} D．{1，2，3，4}
【解答】解：∵全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{1，2}，N＝{3，4}，
∴M∪N＝{1，2，3，4}，
∴∁U（M∪N）＝{5}．
故选：A．
5．（2021•乙卷）已知集合S＝{s|s＝2n+1，n∈Z}，T＝{t|t＝4n+1，n∈Z}，则S∩T＝（　　）
A．∅ B．S C．T D．Z
【解答】解：当n是偶数时，设n＝2k，则s＝2n+1＝4k+1，
当n是奇数时，设n＝2k+1，则s＝2n+1＝4k+3，k∈Z，
则T⫋S，
则S∩T＝T，
故选：C．
6．（2020•天津）设a∈R，则“a＞1”是“a2＞a”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：由a2＞a，解得a＜0或a＞1，
故“a＞1”是“a2＞a”的充分不必要条件，
故选：A．
7．（2015•新课标Ⅰ）设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则￢p为（　　）
A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2n C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2＝2n
【解答】解：命题的否定是：∀n∈N，n2≤2n，
故选：C．
8．（2021•乙卷）设iz＝4+3i，则z＝（　　）
A．﹣3﹣4i B．﹣3+4i C．3﹣4i D．3+4i
【解答】解：由iz＝4+3i，得z=4+3ii=(4+3i)(-i)-i2=-3i2-4i=3-4i．
故选：C．
9．（2021•新高考Ⅰ）已知z＝2﹣i，则z（z+i）＝（　　）
A．6﹣2i B．4﹣2i C．6+2i D．4+2i
【解答】解：∵z＝2﹣i，
∴z（z+i）＝（2﹣i）（2+i+i）＝（2﹣i）（2+2i）＝4+4i﹣2i﹣2i2＝6+2i．
故选：C．
10．（2021•甲卷）已知（1﹣i）2z＝3+2i，则z＝（　　）
A．﹣1-32i B．﹣1+32i C．-32+i D．-32-i
【解答】解：因为（1﹣i）2z＝3+2i，
所以z=3+2i(1-i)2=3+2i-2i=(3+2i)i(-2i)⋅i=-2+3i2=-1+32i．
故选：B．
11．（2021•新高考Ⅱ）复数2-i1-3i在复平面内对应点所在的象限为（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】解：∵2-i1-3i=(2-i)(1+3i)(1-3i)(1+3i)=2+6i-i-3i212+(-3)2=5+5i10=12+12i，
∴在复平面内，复数2-i1-3i对应的点的坐标为（12，12），位于第一象限．
故选：A．
12．（2021•乙卷）设2（z+z）+3（z-z）＝4+6i，则z＝（　　）
A．1﹣2i B．1+2i C．1+i D．1﹣i
【解答】解：设z＝a+bi，a，b是实数，则z=a﹣bi，
则由2（z+z）+3（z-z）＝4+6i，
得2×2a+3×2bi＝4+6i，得4a+6bi＝4+6i，
得4a=46b=6，得a＝1，b＝1，
即z＝1+i，
故选：C．

☆☆单选题☆☆
1．已知集合A＝{﹣2，﹣1，0，1}，B＝{x|x＞﹣1}，则A∩B＝（　　）
A．{﹣2，﹣1} B．{0，1} C．{﹣1，0，1} D．{﹣2，﹣1，0，1}
【解答】解：∵A＝{﹣2，﹣1，0，1}，B＝{x|x＞﹣1}，
∴A∩B＝{0，1}．
故选：B．
2．已知集合A＝{x|x2﹣3x﹣4＜0}，B＝{x|2﹣x＞0}，则A∩B等于（　　）
A．{x|﹣1＜x＜2} B．{x|2＜x＜4} C．{x|1＜x＜2} D．{x|0＜x＜2}
【解答】解：∵A＝{x|﹣1＜x＜4}，B＝{x|x＜2}，
∴A∩B＝{x|﹣1＜x＜2}．
故选：A．
3．设全集U是实数集R，M＝{x|x2＞4}，N＝{x|2x-1≥1}，则图中阴影部分所表示的集合是（　　）
A．{x|1＜x≤2} B．{x|﹣2≤x≤2} C．{x|﹣2≤x＜1} D．{x|x＜2}
【解答】解：题图中阴影部分可表示为（∁UM）∩N，
集合M＝{x|x＞2或x＜﹣2}，集合N＝{x|1＜x≤3}，
由集合的运算，知（∁UM）∩N＝{x|1＜x≤2}，
故选：A．
4．已知全集U＝{﹣1，0，1，2，3，4，5}，集合A＝{x∈Z||x﹣1|≤2}，B＝{2，3，4，5}，则（∁UA）∩B＝（　　）
A．{4，5} B．{2，3，5} C．{1，3} D．{3，4}
【解答】解：因为全集U＝{﹣1，0，1，2，3，4，5}，
集合A＝{x∈Z||x﹣1|≤2}＝{﹣1，0，1，2，3}，B＝{2，3，4，5}，
∴（∁UA）∩B＝{4，5}．
故选：A．
5．若集合A＝{x|log4x≤12}，B＝{x|（x+3）（ x﹣1）≥0}，则A∩（∁RB）＝（　　）
A．（0，1] B．（0，1） C．[1，2] D．[0，1]
【解答】解：集合A＝{x|log4x≤12}＝{x|0＜x≤2}，
B＝{x|（x+3）（ x﹣1）≥0}＝{x|x≤﹣3或x≥1}，则∁RB＝{x|﹣3＜x＜1}，
∴A∩（∁RB）＝{x|0＜x＜2}＝（0，1）．
故选：B．
6．已知集合A＝{x|x2﹣2x＜0}，B＝{x|2x＞1}，则（　　）
A．A∩B＝∅ B．A∪B＝R C．B⊆A D．A⊆B
【解答】解：集合A＝{x|x2﹣2x＜0}＝{x|0＜x＜2}，集合B＝{x|2x＞1}＝{x|x＞0}，
A、A∩B＝{x|0＜x＜2}，故本选项错误；
B、A∪B＝{x|x＞0}，故本选项错误；
C、A⊆B，故本选项错误；
D、A⊆B，故本选项正确；
故选：D．
7．设集合A＝{1，2，3}，B＝{4，5}，M＝{x|x＝a+b，a∈A，b∈B}，集合M真子集的个数为（　　）
A．32 B．31 C．16 D．15
【解答】解：由题意集合A＝{1，2，3}，B＝{4，5}，a∈A，b∈B，
那么：a、b的组合有：（1、4），（1、5），（2、4），（2、5），（3、4），（3、5），
∵M＝{x|x＝a+b}，
∴M＝{5，6，7，8}，集合M中有4个元素，有24﹣1＝15个真子集．
故选：D．
8．已知集合A＝{x∈R|x2﹣3x﹣4≤0}，B＝{x∈R|x≤a}，若A∪B＝B，则实数a的取值范围为（　　）
A．（4，+∞） B．[4，+∞） C．（﹣∞，4） D．（﹣∞，4]
【解答】解：集合A＝{x∈R|x2﹣3x﹣4≤0}＝{x∈R|﹣1≤x≤4}＝[﹣1，4]；B＝{x∈R|x≤a}，
若A∪B＝B，则A⊆B；
∴实数a的取值范围是[4，+∞）．
故选：B．
9．已知命题P：∀x，y∈（0，1），x+y＜2，则命题P的否定为（　　）
A．∀x，y∈（0，1），x+y≥2 B．∀x，y∉（0，1），x+y≥2
C．∃x0，y0∉（0，1），x0+y0≥2 D．∃x0，y0∈（0，1），x0+y0≥2
【解答】解：由全称量词命题∀x∈M，p（x）的否定为∃x∈M，￢p（x）；
可得命题P：∀x，y∈（0，1），x+y＜2，
则命题￢P为：∃x0，y0∈（0，1），x0+y0≥2．
故选：D．
10．若命题“∃x0∈R，x02+（a﹣1）x0+1＜0”是真命题，则实数a的取值范围是（　　）
A．[﹣1，3] B．（﹣1，3）
C．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）
【解答】解：∃x0∈R，x02+（a﹣1）x0+1＜0，
则Δ＝（a﹣1）2﹣4＞0，解得：a＞3或a＜﹣1，
故选：D．
11．下面四个条件中，使a＞b成立的必要不充分条件是（　　）
A．a﹣2＞b B．a+2＞b C．|a|＞|b| D．1a＞1b
【解答】解：a＞b无法推出a﹣2＞b，故A错误；
“a＞b”能推出“a+2＞b”，故选项B是“a＞b”的必要条件，
但“a+2＞b”不能推出“a＞b”，不是充分条件，满足题意，故B正确；
“a＞b”不能推出“|a|＞|b|”即a2＞b2，故选项C不是“a＞b”的必要条件，故C错误；
a＞b无法推出1a＞1b，如a＞b＞1时，故D错误；
故选：B．
12．若α，β是两个不同的平面，l，m，n是三条不同的直线，则l⊥α成立的充分不必要条件是（　　）
A．l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂a B．l⊥m，m∥α
C．α⊥β，l∥β D．l∥m，m⊥α
【解答】解：A：根据面面垂直的判定，当直线m，n相交时，l⊥α，∴A错误．
B：当l⊥m，m∥α时，直线l与平面α可能平行，∴B错误．
C：当α⊥β，l∥β时，直线l与平面α可能平行，也可能在平面α内，∴C 错误．
D：当l∥m，m⊥α时，根据两条平行线中的一条与平面垂直，则另一条也和这个平面垂直，
∴l⊥α，但反之不一定成立，∴D正确．
故选：D．
13．设复数z满足z（1+i）＝2，i为虚数单位，则复数z的模是（　　）
A．2 B．12 C．2 D．22
【解答】解：由z（1+i）＝2，得z=21+i=2(1-i)(1+i)(1-i)=1-i，
∴|z|=2．
故选：C．
14．已知复数z满足（1﹣i）z＝2i（i为虚数单位），则z=（　　）
A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1+i D．1﹣i
【解答】解：由（1﹣i）z＝2i，得z=2i1-i=2i(1+i)(1-i)(1+i)=-1+i，
∴z=-1-i．
故选：A．
15．复数1+i4+3i的虚部是（　　）
A．125i B．125 C．-125 D．-125i
【解答】解：1+i4+3i=(1+i)(4-3i)(4+3i)(4-3i)=4+4i-3i-3i225 =725+125i，
∴复数1+i4+3i的虚部是125．
故选：B．
16．已知复数z满足z（1﹣i）＝2﹣i，其中i是虚数单位，则复数z在复平面内对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】解：∵（1﹣i）z＝（2﹣i）
∴z=2-i1-i=(2-i)(1+i)(1-i)(1+i)=2+i-i22=3+i2
则在复平面内对应的点的坐标为（32，12），位于第一象限．
故选：A．
17．已知复数z满足z1+i=|2-i|，则z的共轭复数对应的点位于复平面内的（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】解：z1+i=|2-i|=5，∴z=5+5i．
则z的共轭复数5-5对应的点（5，-5）位于复平面内的第四象限．
故选：D．
18．若z＝2+i，则|z2﹣z|＝（　　）
A．10 B．2 C．26 D．3
【解答】解：∵z＝2+i，∴z2＝（2+i）2＝4+4i+i2＝3+4i，
则|z2﹣z|＝|3+4i﹣2﹣i|＝|1+3i|=12+32=10．
故选：A．
19．若复数z（1+i）＝i11（i是虚数单位），则|z|＝（　　）
A．22 B．1 C．12 D．2
【解答】解：∵i11＝（i4）2•i3＝﹣i，
∵复数z（1+i）＝i11，
∴z（1+i）＝﹣i，
∴z（1+i）（1﹣i）＝﹣i（1﹣i），
∴z=-1-i2=-12-12i，
则|z|=(-12)2+(-12)2=22，
故选：A．
20．已知复数z满足z+z=8，z⋅z=25，则z＝（　　）
A．3±4i B．±3+4i C．4±3i D．±4+3i
【解答】解：设z＝a+bi（a，b∈R），依题意得，2a＝8，a2+b2＝25．解得a＝4，b＝±3，
所以z＝4±3i．
故选：C．
☆☆多选题☆☆
（多选）21．已知集合A＝{x|ax2+2x+1＝0}至多有一个元素，则实数a的值可以是（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【解答】解：当a＝0时，A＝{-12}，符合题意；
当a≠0Δ=4-4a≤0时，a≥1，此时方程ax2+2x+1＝0至多有一个解，集合A至多有一个元素，
∴A至多有一个元素时，a的取值集合是{a|a≥1或a＝0}．
故选：BCD．
（多选）22．已知集合M＝{﹣1，0，1}，N＝{x|﹣1≤x≤2}，则下列结论正确的是（　　）
A．M⊆N B．N⊆M
C．M∪N＝{﹣1，0，1，2} D．M∩（∁RN）＝∅
【解答】解：∵M＝{﹣1，0，1}，N＝{x|﹣1≤x≤2}，
∴M⊆N，∴A正确，B错误，
∵M∪N＝{x|﹣1≤x≤2}，∴C错误，
∵M⫋N，∴M∩（∁RN）＝∅，∴D正确，
故选：AD．
（多选）23．使x-1x≤0成立的一个充分条件可以是（　　）
A．x＜﹣1 B．0＜x＜1 C．﹣1≤x≤1 D．x≤1
【解答】解：x-1x≤0⇔x2-1x≤0⇔x(x2-1)≤0x≠0，
∴x≤﹣1或0＜x≤1，
∵{x|x＜﹣1}⫋{x|x≤﹣1或0＜x≤1}，{x|0＜x＜1}⫋{x|x≤﹣1或0＜x≤1}，
∴不等式x-1x≤0成立的一个充分条件是x＜﹣1或0＜x＜1
故选：AB．


（多选）24．向50名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成；赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对A、B都不赞成的学生数比对A、B都赞成的学生数的三分之一多1人．则下列说法正确的是（　　）
A．赞成A的不赞成B的有9人
B．赞成B的不赞成A的有11人
C．对A、B都赞成的有21人
D．对A、B都不赞成的有8人
【解答】解：赞成A的人数为50×35=30，赞成B的人数为30+3＝33．
如图所示，记50名学生组成的集合为U，赞成事件A的学生全体为集合A，
赞成事件B的学生全体为集合B．
设对事件A，B都赞成的学生人数为x，
则对A，B都不赞成的学生人数为x3+1．赞成A而不赞成B的人数为30﹣x，
赞成B而不赞成A的人数为33﹣x．
依题意（30﹣x）+（33﹣x）+x+（x3+1）＝50，解得x＝21．
∴赞成A的不赞成B的有30﹣21＝9人，故A正确；
赞成B的不赞成A的有33﹣21＝12人，故B错误；
对A、B都赞成的有21人，故C正确；
对A、B都不赞成的有213+1=8人，故D正确．
故选：ACD．

（多选）25．已知i是虚数单位，z=2i1-i，则下列说法正确的是（　　）
A．复数z对应的点位于第二象限
B．|z|=2
C．复数z的共轭复数是z=i+1
D．复数z的虚部是i
【解答】解：因为z=2i1-i=2i(1+i)(1-i)(1+i)=-1+i，
所以复数z对应的点为（﹣1，1），在第二象限，故A正确，
且|z|＝|﹣1+i|=2，故B正确，
复数z的共轭复数为z=-1﹣i，故C错误，
复数z的虚部为1，故D错误，
故选：AB．
（多选）26．设z1，z2为复数，则下列命题正确的是（　　）
A．若|z1﹣z2|＝0，则z1＝z2
B．若|z1|＝|z2|，则z12＝z22
C．若z1+z2＞0，则z2=z1
D．若z1z2＝0，则z1＝0或z2＝0
【解答】解：对于A，设z1＝a+bi，a，b∈R，z2＝c+di，c，d∈R，
∵|z1﹣z2|＝0，∴|z1﹣z2|=(a-c)2+(b-d)2=0，
∴a-c=0b-d=0，∴a=cb=d，∴z1＝z2，故A正确；
对于B，令z1＝1，z2＝i，
则|z1|＝|z2|＝1，此时z12≠z22，故B错误；
对于C，令z1＝1+i，z2＝﹣i，
则z1+z2＝1＞0，此时z2≠z1，故C错误；
对于D，设z1＝a+bi，a，b∈R，z2＝c+di，c，d∈R，
则z1z2＝（a+bi）（c+di）＝（ac﹣bd）+（ad+bc）i＝0，
∴ac-bd=0ad+bc=0，∴ac=bdad=-bc，∴a2cd＝﹣b2cd，
若c＝d＝0，则a2cd＝﹣b2cd成立，此时z2＝0，
若c＝0，d≠0，由ac＝bd，知b＝0，由ad＝﹣bc知，a＝0，此时z1＝0，
同理可知：当c≠0时，d≠0，由a2cd＝﹣b2cd，得a2＝﹣b2，
∴a＝b＝0，此时z1＝0，
综上，若z1z2＝0，则z1＝0或z2＝0，故D正确．
故选：AD．
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