预测03 导数及其应用（真题回顾+押题预测） 2022年高考数学三轮冲刺之重难点必刷题型

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从高考对导数的要求看，考查分三个层次，一是考查导数公式，求导法则与导数的几何意义；二是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；三是综合考查，如研究函数零点、证明不等式、恒成立问题、求参数范围等.除压轴题，同时在小题中也加以考查，难度控制在中等以上.应特别是注意将导数内容和传统内容中有关不等式、数列、函数图象及函数单调性有机结合，设计综合题，考查学生灵活应用数学知识分析问题、解决问题的能力.
1、基本初等函数的导数公式
(1)(xα)＝αxα－1 (α为常数)；
(2)(ax)′＝axlna(a>0且a≠1)；
(3)(lgax)′＝eq \f(1,x)lgae＝eq \f(1,xln a) (a>0，且a≠1)；
(4)(ex)′＝ex；
(5)(ln x)′＝eq \f(1,x)；
(6)(sin x)′＝csx；
(7)(cs x)′＝－sinx.
2、导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
(3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(fx,gx)))′＝eq \f(f′xgx－fxg′x,g2x) (g(x)≠0).
3、复合函数的导数
若y＝f(u)，u＝ax＋b，则y′x＝y′u·u′x，即y′x＝y′u·a.
（1）函数的单调性
在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)0，右侧f′(x)f(x)对x∈D恒成立，则只需a>f(x)max；若af(x)min；若存在x0∈D，使ax＋1>x>1＋ln x(x>0，且x≠1)．
一．选择题（共3小题）
1．（2021•乙卷）设a≠0，若x＝a为函数f（x）＝a（x﹣a）2（x﹣b）的极大值点，则（ ）
A．a＜bB．a＞bC．ab＜a2D．ab＞a2
2．（2021•新高考Ⅰ）若过点（a，b）可以作曲线y＝ex的两条切线，则（ ）
A．eb＜aB．ea＜bC．0＜a＜ebD．0＜b＜ea
3．（压轴）（2021•乙卷）设a＝2ln1.01，b＝ln1.02，c=1.04-1，则（ ）
A．a＜b＜cB．b＜c＜aC．b＜a＜cD．c＜a＜b
二．填空题（共2小题）
4．（2021•甲卷）曲线y=2x-1x+2在点（﹣1，﹣3）处的切线方程为 ．
5．（压轴）（2021•新高考Ⅱ）已知函数f（x）＝|ex﹣1|，x1＜0，x2＞0，函数f（x）的图象在点A（x1，f（x1））和点B（x2，f（x2））的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则|AM||BN|的取值范围是 ．
三．解答题（共4小题）
6．（2021•甲卷）已知a＞0且a≠1，函数f（x）=xaax （x＞0）．
（1）当a＝2时，求f（x）的单调区间；
（2）若曲线y＝f（x）与直线y＝1有且仅有两个交点，求a的取值范围．
7．（2021•乙卷）已知函数f（x）＝ln（a﹣x），已知x＝0是函数y＝xf （x）的极值点．
（1）求a；
（2）设函数g（x）=x+f(x)xf(x)．证明：g（x）＜1．
8．（2021•新高考Ⅰ）已知函数f（x）＝x（1﹣lnx）．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）设a，b为两个不相等的正数，且blna﹣alnb＝a﹣b，证明：2＜1a+1b＜e．
9．（2021•新高考Ⅱ）已知函数f（x）＝（x﹣1）ex﹣ax2+b．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）从下面两个条件中选一个，证明：f（x）恰有一个零点．
①12＜a≤e22，b＞2a；②0＜a＜12，b≤2a．
☆☆单选题☆☆
1．函数f（x）＝lnx+x3的图象在点（1，f（1））处的切线方程为（ ）
A．4x﹣y﹣3＝0B．4x+y﹣3＝0C．x﹣4y﹣3＝0D．x+4y﹣3＝0
2．若函数f(x)=12x2-ax+lnx存在平行于x轴的切线，则实数a取值范围是（ ）
A．(0，12]B．（0，+∞）C．[2，+∞）D．[12，+∞)
3．已知函数f(x)=12x2+(a-3)x+lnx是其定义域上的单调函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．a＜2B．a≥1C．1＜a＜2D．1＜a≤2
4．设函数f'（x）是偶函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）＝0，当x＜0时，xf'（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＜0成立的x的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B．（﹣1，0）∪（1，+∞）
C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
5．已知函数f(x)=xex-a．若f（x）有两个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．[0，1）B．（0，1）C．（0，1e）D．[0，1e）
6．（压轴）已知函数f（x）＝ax2﹣x﹣lnx有两个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．（1e，1） B．（0，1） C．（﹣∞，1+ee2） D．（0，1+ee2）
7．（压轴）设函数f（x）＝xex﹣a（x﹣1），其中a＜1，若存在唯一整数x0，使得f（x0）＜a，则a的取值范围是（ ）
A．[-1e2，1）B．[-1e2，1e）C．[1e2，1e）D．[1e2，1）
8．（压轴）若对任意的x∈（0，+∞），恒有（1﹣a）x≤eax﹣lnx，则a的取值范围为（ ）
A．（﹣∞，e]B．(-∞，1e]C．[e，+∞）D．[1e，+∞)
☆☆多选题☆☆
（多选）9．设函数f(x)=exlnx，则下列说法正确的是（ ）
A．f（x）定义域是（0，1）⋃（1，+∞）
B．x∈（0，1）时，f（x）图像位于x轴下方
C．f（x）存在单调递增区间
D．f（x）有且仅有两个极值点
（多选）10．对于函数f（x）＝16ln（1+x）+x2﹣10x，下列正确的是（ ）
A．x＝3是函数f（x）的一个极值点
B．f（x）的单调增区间是（﹣1，1），（2，+∞）
C．f（x）在区间（1，2）上单调递减
D．直线y＝16ln3﹣16与函数y＝f（x）的图象有2个交点
（多选）11．设函数f（x）=|lnx|，x＞0ex(x+1)，x≤0，若函数g（x）＝f（x）﹣b有三个零点，则实数b可取的值可能是（ ）
A．0B．13C．12D．1
（多选）12．（压轴）设函数f(x)=x-ln|x|x，则下列选项中正确的是（ ）
A．f（x）为奇函数
B．函数y＝f（x）﹣1有两个零点
C．函数y＝f（x）+f（2x）的图象关于点（0，2）对称
D．过原点与函数f（x）相切的直线有且只有一条
☆☆填空题☆☆
13．已知函数f（x）=12x2-mx+4lnx在区间[1，2]上存在单调递增区间，则实数m的取值范围为 ．
14．函数f（x）＝﹣x2+ax﹣lnx（a∈R）．则”函数f（x）既有极大值又有极小值”的充要条件为
15．若函数f（x）=23x3﹣ax2（a＜0）在（2a，a+1）上有最大值，则实数a的取值范围为 ．
16．（压轴）已知函数f（x）＝ex+alnx﹣xa﹣x（a＞0，e为自然对数的底数，e＝2.71828…）．当a＝1时，函数f（x）在点P（1，f（1））处的切线方程为 ；若x∈（1，+∞），f（x）≥0，则实数a的最大值为 ．
☆☆解答题☆☆
17．已知函数f（x）=ex1+ax2，其中a为正实数，x=12是f（x）的一个极值点．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）当b＞12时，求函数f（x）在[b，+∞）上的最小值．
18．已知函数f（x）＝xlnx-14x2﹣ax+1，a＞0，函数g（x）＝f′（x）．
（1）若a＝ln2，求g（x）的最大值；
（2）证明：f（x）有且仅有一个零点．
19．函数f（x）＝ln（x+t）+ax，其中t、a为实常数．
（1）若t＝0时，讨论函数f（x）的单调性；
（2）t＝0时，不等式f（x）≥1在x∈（0，1]上恒成立，求实数a的取值范围；
（3）若g（x）＝ex+ax，当t≤2时，证明：g（x）＞f（x）．
20．已知函数f（x）＝x（e2x﹣a）．
（1）若y＝2x是曲线y＝f（x）的切线，求a的值；
（2）若f（x）≥1+x+lnx，求a的取值范围．
21．已知函数f(x)=12x2-(a+2)x+2alnx(a∈R)．
（1）若a＞0，讨论函数f（x）的单调性；
（2）设函数g（x）＝﹣（a+2）x，若至少存在一个x0∈[e，4]，使得f（x0）＞g（x0）成立，求实数a的取值范围．
22．已知函数f（x）＝lnx﹣x+a．
（1）若f（x）≤0，求a的取值范围；
（2）若f（x）有两个零点m，n，且m＜n，证明：n+1n＜2ea﹣1＜m+1m．
1，2]，使得f（x1）＝g（x2），则实数a的取值范围是 ．