2022年中考数学二轮专题复习《压轴题-二次函数》培优练习04（含答案）

2022年中考数学二轮专题复习

《压轴题-二次函数》培优练习04

1.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别为O(0，0)，A(12，0)，B(8，6)，C(0，6)．动点P从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿边OA向终点A运动；动点Q从点B同时出发，以每秒2个单位长度的速度沿边BC向终点C运动．设运动的时间为t秒，PQ2=y．

(1)直接写出y关于t的函数解析式及t的取值范围：　   　；

(2)当PQ=3时，求t的值；

(3)连接OB交PQ于点D，若双曲线y=(k≠0)经过点D，问k的值是否变化？若不变化，请求出k的值；若变化，请说明理由．

2.已知二次函数y=x2-2mx+4m-8．

（1）当x≤2时,函数值y随x的增大而减小，求m的取值范围；

（2）以抛物线y=x2-2mx+4m-8的顶点A为一个顶点作该抛物线的内接正△AMN(M,N两点在抛物线上).请问：△AMN的面积是与m无关的定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由；

（3）若抛物线y=x2-2mx+4m-8与x轴交点的横坐标均为整数,求整数m的值．

3.如图,已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A、B,与直线AC:y=-x-6交y轴于点C、D，点D是抛物线的顶点,且横坐标为-2．                           

  （1）求出抛物线的解析式。

  （2）判断△ACD的形状,并说明理由。

  （3）直线AD交y轴于点F,在线段AD上是否存在一点P ,使∠ADC=∠PCF .若存在,直接写出点P的坐标；若不存在,说明理由。             

4.抛物线y=ax2+bx+3经过点A、B、C，已知A(﹣1，0)，B(3，0).

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图1，P为线段BC上一点，过点P作y轴平行线，交抛物线于点D，当△BDC的面积最大时，求点P的坐标；

(3)如图2，在(2)的条件下，延长DP交x轴于点F，M(m，0)是x轴上一动点，N是线段DF上一点，当△BDC的面积最大时，若∠MNC=90°，请直接写出实数m的取值范围.

5.如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线l：m与x轴、y轴分别交于点A和点B(0，﹣1)，抛物线经过点B，且与直线l的另一个交点为C(4，n).

(1)求n的值和抛物线的解析式；

(2)点D在抛物线上，且点D的横坐标为t(0＜t＜4).DE∥y轴交直线l于点E，点F在直线l上，且四边形DFEG为矩形(如图2).若矩形DFEG的周长为p，求p与t的函数关系式以及p的最大值；

(3)M是平面内一点，将△AOB绕点M沿逆时针方向旋转90°后，得到△A1O1B1，点A、O、B的对应点分别是点A1、O1、B1.若△A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点A1的横坐标.

0.2022年中考数学二轮专题复习《压轴题-二次函数》培优练习04（含答案）答案解析

一         、综合题

1.解：(1)过点P作PE⊥BC于点E，如图1所示．

当运动时间为t秒时(0≤t≤4)时，点P的坐标为(3t，0)，点Q的坐标为(8﹣2t，6)，

∴PE=6，EQ=|8﹣2t﹣3t|=|8﹣5t|，

∴PQ2=PE2+EQ2=62+|8﹣5t|2=25t2﹣80t+100，

∴y=25t2﹣80t+100(0≤t≤4)．

故答案为：y=25t2﹣80t+100(0≤t≤4)．

(2)当PQ=3时，25t2﹣80t+100=(3)2，

整理，得：5t2﹣16t+11=0，解得：t1=1，t2=2.2.

(3)经过点D的双曲线y=(k≠0)的k值不变．

连接OB，交PQ于点D，过点D作DF⊥OA于点F，如图2所示．

∵OC=6，BC=8，∴OB==10．

∵BQ∥OP，∴△BDQ∽△ODP，∴===，∴OD=6．

∵CB∥OA，∴∠DOF=∠OBC．

在Rt△OBC中，sin∠OBC===，cos∠OBC===，

∴OF=OD•cos∠OBC=6×=，DF=OD•sin∠OBC=6×=，

∴点D的坐标为(，)，

∴经过点D的双曲线y=(k≠0)的k值为×=．

2.解：

3.解：

（1）由直线AC：y=﹣x﹣6，可得A（﹣6，0），C（0，﹣6），                                                       

∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A、B，抛物线的顶点D的横坐标为﹣2，∴B（2，0）．                                                       

把A、B、C三点坐标分别代入y=ax2+bx+c，得                                                       

，解得，∴抛物线的解析式为y=x2+2x﹣6；                                                       

（2）△ACD是直角三角形，理由如下：

∵y=x2+2x﹣6=（x+2）2﹣8，∴顶点D的坐标是（﹣2，﹣8）．             

∵A（﹣6，0），C（0，﹣6），∴AC2=62+62=72，CD2=22+（﹣8+6）2=8，AD2=（﹣2+6）2+82=80，

∴AC2+CD2=AD2，∴△ACD是直角三角形，∠ACD=90°；

（3）假设在线段AD上存在一点P，使∠ADC=∠PCF．

设直线AD的解析式为y=mx+n，

∵A（﹣6，0），D（﹣2，﹣8），∴，解得，

∴直线AD的解析式为y=﹣2x﹣12，                                         

∴F点坐标为（0，﹣12），设点P的坐标为（x，﹣2x﹣12）．

∵∠ADC=∠DCF+∠DFC，∠PCF=∠DCF+∠PCD，∠ADC=∠PCF，∴∠DFC=∠PCD．

在△CPD与△FPC中，，∴△CPD∽△FPC，∴=

∴=，整理得，35x2+216x+324=0，             

解得x1=﹣，x2=﹣（舍去），当x=﹣时，﹣2x﹣12=﹣2×（﹣）﹣12=﹣，

故所求点P的坐标为（﹣，﹣）．             

4.解：(1)由题意得：

，解得：，

故抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；

(2)令x=0，则y=3，即C(0，3).

设直线BC的解析式为y=kx+b′，

则，解得：，

故直线BC的解析式为y=﹣x+3.

设P(a，3﹣a)，则D(a，﹣a2+2a+3)，

∴PD=(﹣a2+2a+3)﹣(3﹣a)=﹣a2+3a，

∴S△BDC=S△PDC+S△PDB=PD•a+PD•(3﹣a)=PD•3=(﹣a2+3a)=﹣(a﹣)2+，

∴当a=时，△BDC的面积最大，此时P(，)；

(3)将x=代入y=﹣x2+2x+3，得y=﹣()2+2×+3=，∴点D的坐标为(，).

过点C作CG⊥DF，则CG=.

①点N在DG上时，点N与点D重合时，点M的横坐标最大.

∵∠MNC=90°，∴CD2+DM2=CM2，

∵C(0，3)，D(，)，M(m，0)，

∴(﹣0)2+(﹣3)2+(m﹣)2+(0﹣)2=(m﹣0)2+(0﹣3)2，解得m=.

∴点M的坐标为(，0)，即m的最大值为；

②点N在线段GF上时，设GN=x，则NF=3﹣x，

∵∠MNC=90°，

∴∠CNG+∠MNF=90°，

又∵∠CNG+∠NCG=90°，

∴∠NCG=∠MNF，

又∵∠NGC=∠MFN=90°，

∴Rt△NCG∽△MNF，

∴=，即=，整理得，MF=﹣x2+2x=﹣(x﹣)2+，

∴当x=时(N与P重合)，MF有最大值，此时M与O重合，

∴M的坐标为(0，0)，∴m的最小值为0，

故实数m的变化范围为0≤m≤.

5.解：(1)∵直线l：y=x+m经过点B(0，﹣1)，

∴m=﹣1，

∴直线l的解析式为y=x﹣1，

∵直线l：y=x﹣1经过点C(4，n)，

∴n=×4﹣1=2，

∵抛物线y=x2+bx+c经过点C(4，2)和点B(0，﹣1)，

∴，解得，

∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣1；

(2)令y=0，则x﹣1=0，解得x=，

∴点A的坐标为(，0)，∴OA=，

在Rt△OAB中，OB=1，

∴AB===，

∵DE∥y轴，

∴∠ABO=∠DEF，

在矩形DFEG中，EF=DE•cos∠DEF=DE•=DE，

DF=DE•sin∠DEF=DE•=DE，

∴p=2(DF+EF)=2(+)DE=DE，

∵点D的横坐标为t(0＜t＜4)，

∴D(t， t2﹣t﹣1)，E(t， t﹣1)，

∴DE=(t﹣1)﹣(t2﹣t﹣1)=﹣t2+2t，

∴p=×(﹣t2+2t)=﹣t2+t，

∵p=﹣(t﹣2)2+，且﹣＜0，

∴当t=2时，p有最大值；

(3)∵△AOB绕点M沿逆时针方向旋转90°，

∴A1O1∥y轴时，B1O1∥x轴，设点A1的横坐标为x，

①如图1，点O1、B1在抛物线上时，点O1的横坐标为x，点B1的横坐标为x+1，

∴x2﹣x﹣1=(x+1)2﹣(x+1)﹣1，解得x=，

②如图2，点A1、B1在抛物线上时，点B1的横坐标为x+1，

点A1的纵坐标比点B1的纵坐标大，

∴x2﹣x﹣1=(x+1)2﹣(x+1)﹣1+，解得x=﹣，

综上所述，点A1的横坐标为或﹣.