2022年中考数学二轮专题复习《压轴题-二次函数》培优练习01（含答案）

2022年中考数学二轮专题复习

《压轴题-二次函数》培优练习01

1.已知直线y=2x+m与抛物线y=ax2+ax+b有一个公共点M(1,0)，且a<b．

（1）求抛物线顶点Q的坐标（用含a的代数式表示）；

（2）说明直线与抛物线有两个交点；

（3）直线与抛物线的另一个交点记为N．

（ⅰ）若，求线段MN长度的取值范围；

（ⅱ）求△QMN面积的最小值．

2.如图，直线y=﹣x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B.抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点，与x轴的另一个交点为C.

(1)求抛物线的解析式；

(2)点P是第一象限抛物线上的点，连接OP交直线AB于点Q.设点P的横坐标为m，PQ与OQ的比值为y，求y与m的函数关系式，并求出PQ与OQ的比值的最大值；

(3)点D是抛物线对称轴上的一动点，连接OD、CD，设△ODC外接圆的圆心为M，当sin∠ODC的值最大时，求点M的坐标.

3.已知二次函数y=a(x-1)(x-3)(a>0)的图像与x轴交于A、B两点（A左B右），与y轴交于C点（0，3）.P为x轴下方二次函数y=a(x-1)(x-3)(a>0)图像上一点，P点横坐标为m.

（1）求a的值；

（2）若P为二次函数y=a(x-1)(x-3)(a>0)图像的顶点，求证：∠ACO=∠PCB；

（3）Q（m+n，y0）为二次函数y=a(x-1)(x-3)(a>0)图像上一点，且∠ACO=∠QCB, 求n的取值范围.

4.已知：关于x的二次函数y=x2+bx+c经过点（﹣1，0）和（2，6）．

（1）求b和c的值．

（2）若点A（n，y1），B（n+1，y2），C（n+2，y3）都在这个二次函数的图象上，问是否存

在整数n，使 ？若存在，请求出n；若不存在，请说明理由．

（3）若点P是二次函数图象在y轴左侧部分上的一个动点，将直线y=﹣2x沿y轴向下平移，分别交x轴、y轴于C、D两点，若以CD为直角边的△PCD与△OCD相似，请求出所有符合条件点P的坐标．

5.如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点，并与x轴交于另一点C(点C点A的右侧)，点P是抛物线上一动点.

(1)求抛物线的解析式及点C的坐标；

(2)若点P在第二象限内，过点P作PD⊥x轴于D，交AB于点E.当点P运动到什么位置时，线段PE最长？此时PE等于多少？

(3)如果平行于x轴的动直线l与抛物线交于点Q，与直线AB交于点N，点M为OA的中点，那么是否存在这样的直线l，使得△MON是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

0.2022年中考数学二轮专题复习《压轴题-二次函数》培优练习01（含答案）答案解析

一         、综合题

1.解：

2.解：(1)在y=﹣x+3种，令y=0得x=4，令x=0得y=3，

∴点A(4，0)、B(0，3)，

把A(4，0)、B(0，3)代入y=﹣x2+bx+c，得：

，解得：，

∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+3；

(2)如图1，过点P作y轴的平行线交AB于点E，

则△PEQ∽△OBQ，

∴=，∵=y、OB=3，∴y=PE，

∵P(m，﹣m2+m+3)、E(m，﹣m+3)，

则PE=(﹣m2+m+3)﹣(﹣m+3)=﹣m2+m，

∴y=(﹣m2+m)=﹣m2+m=﹣(m﹣2)2+，

∵0＜m＜3，∴当m=2时，y最大值=，

∴PQ与OQ的比值的最大值为；

(3)由抛物线y=﹣x2+x+3易求C(﹣2，0)，对称轴为直线x=1，

∵△ODC的外心为点M，

∴点M在CO的垂直平分线上，

设CO的垂直平分线与CO交于点N，连接OM、CM、DM，

则∠ODC=∠CMO=∠OMN、MC=MO=MD，

∴sin∠ODC=sin∠OMN==，

又MO=MD，

∴当MD取最小值时，sin∠ODC最大，

此时⊙M与直线x=1相切，MD=2，MN==，

∴点M(﹣1，﹣)，

根据对称性，另一点(﹣1，)也符合题意；

综上所述，点M的坐标为(﹣1，)或(﹣1，﹣).

3.解：

4.解：

5.解：(1)∵直线y=x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，∴A(﹣4，0)，B(0，4)

抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点，可得

，解得，

∴抛物线解析式为y=﹣x2﹣3x+4.

令y=0，得﹣x2﹣3x+4=0，解得x1=﹣4，x2=1，

∴C(1，0).

(2)如答图1所示，设D(t，0).

∵OA=OB，∴∠BAO=45°，

∴E(t，t+4)，P(t，﹣t2﹣3t+4).

PE=yP﹣yE=﹣t2﹣3t+4﹣t﹣4=﹣t2﹣4t=﹣(t+2)2+4，

∴当t=﹣2时，线段PE的长度有最大值4，此时P(﹣2，6).

(3)存在.

如答图2所示，过N点作NH⊥x轴于点H.

设OH=m(m＞0)，∵OA=OB，∴∠BAO=45°，

∴NH=AH=4﹣m，∴yQ=4﹣m.

又M为OA中点，∴MH=2﹣m.

△MON为等腰三角形：

①若MN=ON，则H为底边OM的中点，

∴m=1，∴yQ=4﹣m=3.

由﹣xQ2﹣3xQ+4=3，解得xQ=，

∴点Q坐标为(，3)或(，3)；

②若MN=OM=2，则在Rt△MNH中，

根据勾股定理得：MN2=NH2+MH2，即22=(4﹣m)2+(2﹣m)2，

化简得m2﹣6m+8=0，解得：m1=2，m2=4(不合题意，舍去)

∴yQ=2，由﹣xQ2﹣3xQ+4=2，解得xQ=，

∴点Q坐标为(，2)或(，2)；

③若ON=OM=2，则在Rt△NOH中，

根据勾股定理得：ON2=NH2+OH2，即22=(4﹣m)2+m2，

化简得m2﹣4m+6=0，∵△=﹣8＜0，

∴此时不存在这样的直线l，使得△MON为等腰三角形.

综上所述，存在这样的直线l，使得△MON为等腰三角形.

所求Q点的坐标为(，3)或(，3)或(，2)或(，2).