2022年中考数学三轮冲刺《压轴题专练》冲刺练习四（含答案）

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2022年中考数学三轮冲刺《压轴题专练》冲刺练习四1.如图1，抛物线y=ax2+bx+4过A（2，0）、B（4，0）两点，交y轴于点C，过点C作x轴的平行线与抛物线上的另一个交点为D，连接AC、BC.点P是该抛物线上一动点，设点P的横坐标为m（m＞4）.（1）求该抛物线的表达式和∠ACB的正切值；（2）如图2，若∠ACP=45°，求m的值；（3）如图3，过点A、P的直线与y轴于点N，过点P作PM⊥CD，垂足为M，直线MN与x轴交于点Q，试判断四边形ADMQ的形状，并说明理由.     2.已知二次函数y=ax2＋(2a＋1)x＋2(a＜0)．(1)求证：二次函数的图象与x轴有两个交点；(2)当二次函数的图象与x轴的两个交点的横坐标均为整数，且a为负整数时，求a的值及二次函数的解析式并画出二次函数的图象（不用列表，只要求用其与x轴的两个交点A，B<A在B的左侧>，与y轴的交点C及其顶点D这四点画出二次函数的大致图象，同时标出A，B，C，D的位置）；(3)在（2）的条件下，二次函数的图象上是否存在一点P使∠PCA=75°？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．              3.如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，且点B与点C的坐标分别为B（3，0），C（0，3），点M是抛物线的顶点.（1）求抛物线的解析式；（2）点P的线段MB上一个动点，过点P作PD⊥x轴与点D，若△PCD的面积为S，试判断S有无最大值？若有，求出这个最大值；（3）在（2）的条件下，线段MB上是否存在点P，△PCD为直角三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标，如果不存在，请说明理由.    4.抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于点A(﹣3，0)、B(1，0)，与y轴交于点C.(1)求抛物线的解析式(2)在抛物线对称轴上找一点M，使△MBC的周长最小，并求出点M的坐标和△MBC的周长(3)若点P是x轴上的一个动点，过点P作PQ∥BC交抛物线与点Q，在抛物线上是否存在点Q，使B、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在请求出点Q的坐标，若不存在请说明理由.                 5.平面直角坐标系xOy中，点A、B的横坐标分别为a、a+2，二次函数y=﹣x2+(m﹣2)x+2m的图象经过点A、B，且a、m满足2a﹣m=d(d为常数).(1)若一次函数y1=kx+b的图象经过A、B两点.①当a=1、d=﹣1时，求k的值；②若y随x的增大而减小，求d的取值范围；(2)当d=﹣4且a≠﹣2、a≠﹣4时，判断直线AB与x轴的位置关系，并说明理由；(3)点A、B的位置随着a的变化而变化，设点A、B运动的路线与y轴分别相交于点C、D，线段CD的长度会发生变化吗？如果不变，求出CD的长；如果变化，请说明理由.      
0.2022年中考数学三轮冲刺《压轴题专练》冲刺练习四（含答案）答案解析  一         、综合题1.解：（1）将点A（2，0）和点B（4，0）分别代入y=ax2+bx+4，得，解得：.∴该抛物线的解析式为y=x2﹣3x+4.过点B作BG⊥CA，交CA的延长线于点G（如图1所示），则∠G=90°.∵∠COA=∠G=90°，∠CAO=∠BAG，∴△GAB∽△OAC.∴=═=2.∴BG=2AG.在Rt△ABG中，∵BG2+AG2=AB2，∴（2AG）2+AG2=22.解得： AG=.∴BG=0.8，CG=AC+AG=2+=.在Rt△BCG中，tan∠ACB═=.（2）如图2，过点B作BH⊥CD于点H，交CP于点K，连接AK.易得四边形OBHC是正方形.应用“全角夹半角”可得AK=OA+HK.设K（4，h），则BK=h，HK=HB﹣KB=4﹣h，AK=OA+HK=2+（4﹣h）=6﹣h.在Rt△ABK中，由勾股定理，得AB2+BK2=AK2.∴22+h2=（6﹣h）2.解得h=.∴点K（4，）.设直线CK的解析式为y=hx+4.将点K（4，）代入上式，得=4h+4.解得h=﹣.∴直线CK的解析式为y=﹣x+4.设点P的坐标为（x，y），则x是方程x2﹣3x+4=﹣x+4的一个解.将方程整理，得3x2﹣16x=0.解得x1=，x2=0（不合题意，舍去）.将x1=代入y=﹣x+4，得y=.∴点P的坐标为（，）.（3）四边形ADMQ是平行四边形.理由如下：∵CD∥x轴，∴yC=yD=4.将y=4代入y=x2﹣3x+4，得4=x2﹣3x+4.解得x1=0，x2=6.∴点D（6，4）.根据题意，得P（m， m2﹣3m+4），M（m，4），H（m，0）.∴PH=m2﹣3m+4，OH=m，AH=m﹣2，MH=4.①当4＜m＜6时，DM=6﹣m，如图3，∵△OAN∽△HAP，∴=.∴=.∴ON===m﹣4.[来源:学&科&网Z&X&X&K]∵△ONQ∽△HMQ，[来源:学科网]∴=.∴=.∴=.∴OQ=m﹣4.∴AQ=OA﹣OQ=2﹣（m﹣4）=6﹣m.∴AQ=DM=6﹣m.又∵AQ∥DM，∴四边形ADMQ是平行四边形.②当m＞6时，同理可得：四边形ADMQ是平行四边形.综上，四边形ADMQ是平行四边形. 2.解：（1）△=（2a＋1）2－8a=4a2－4a＋1=(2a－1)2，因为a＜0，所以(2a－1)2＞0，所以二次函数的图象与x轴有两个交点（2）设二次函数图象与x轴交点坐标为（x1，0），（x2，0），依题意有x1x2=，x1＋x2=，因为a为负整数，且和均为整数，所以a=－1，此时二次函数解析式为y=－x2－x＋2，令y=0，即－x2－x＋2=0，解得x1=1，x2=－2，所以A点坐标为（－2，0），B点坐标为（1，0），C点坐标为（0，2），D点坐标为（，）（3）假设存在点P符合要求，如图，过点P1作P1E⊥y轴于点E，则∠ECP1=30°，设点P（a，b），则，b=2－a，因为点（a，b）在二次函数图象上，所以2－a=－a2－a＋2，解得a=－1，b=－1，所以P1的坐标为（－1，－1）若点P位于C点上方时，过点C作CG∥x轴，过P2作P2F⊥CG交CG于点F，则∠P2CF=30°，，设点P2（a，b），则，3b－6=－a，b=2－a，又点P2(a，b)在抛物线上，2－a=－a2－a＋2，解得a=，b=，此时点P2的坐标为（，）综上，存在符合条件的点P满足条件，此时点P的坐标为P1（－1，－1）和P2（，）． 3.解：（1）把B（3，0），C（0，3）代入y=﹣x2+bx+c，得，解得，所以抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；（2）S有最大值.理由如下：∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴M（1，4），设直线BM的解析式为y=kx+n，把B（3，0），M（1，4）代入得，解得，∴直线BM的解析式为y=﹣2x+6，设OD=m，∴P（m，﹣2m+6）（1≤m＜3），∴S=•m•（﹣2m+6）=﹣m2+3m=﹣（m﹣）2+，∵1≤m＜3，∴当m=时，S有最大值，最大值为；（3）存在.∠PDC不可能为90°；当∠DPC=90°时，则PD=OC=3，即﹣2m+6=3，解得m=，此时P点坐标为（，3），当∠PCD=90°时，则PC2+CD2=PD2，即m2+（﹣2m+3）2+32+m2=（﹣2m+6）2，整理得m2+6m﹣9=0，解得m1=﹣3﹣3（舍去），m2=﹣3+3，当m=﹣3+3时，y=﹣2m+6=6﹣6+6=12﹣6，此时P点坐标为（﹣3+3，12﹣6），综上所述，当P点坐标为（，3）或（﹣3+3，12﹣6）时，△PCD为直角三角形. 4.解：(1)将A(﹣3，0)，B(1，0)代入y=ax2+bx+2，得：，解得：，∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣x+2.(2)当x=0时，y=﹣x2﹣x+2=2，∴点C的坐标为(0，2).∵抛物线的解析式为y=﹣x2﹣x+2，∴抛物线的对称轴为直线x=﹣1.连接AC，交抛物线对称轴于点M，如图1所示.∵点A，B关于直线x=﹣1对称，∴MA=MB，∴MB+MC=MA+MC=AC，∴此时△MBC的周长取最小值.∵点A的坐标为(﹣3，0)，点B的坐标为(1，0)，点C的坐标为(0，2)，∴AC=，BC=，直线AC的解析式为y=x+2(可用待定系数法求出来).当x=﹣1时，y=x+2=，∴当△MBC的周长最小时，点M的坐标为(﹣1，)，△MBC的周长为+.(3)∵以B、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，点B，P的纵坐标为0，点C的纵坐标为2，∴点Q的纵坐标为2或﹣2，如图2所示.当y=2时，﹣x2﹣x+2=2，解得：x1=﹣2，x2=0(舍去)，∴点Q的坐标为(﹣2，2)；当y=﹣2时，﹣x2﹣x+2=﹣2，解得：x1=﹣4，x2=2，∴点Q的坐标为(﹣4，﹣2)或(2，﹣2).∴在抛物线上存在点Q，使B、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，点Q的坐标为(﹣2，2)或(﹣4，﹣2)或(2，﹣2).  5.解：(1)①当a=1、d=﹣1时，m=2a﹣d=3，所以二次函数的表达式是y=﹣x2+x+6.∵a=1，∴点A的横坐标为1，点B的横坐标为3，把x=1代入抛物线的解析式得：y=6，把x=3代入抛物线的解析式得：y=0，∴A(1，6)，B(3，0).将点A和点B的坐标代入直线的解析式得：，解得：，所以k的值为﹣3.②∵y=﹣x2+(m﹣2)x+2m=﹣(x﹣m)(x+2)，∴当x=a时，y=﹣(a﹣m)(a+2)；当x=a+2时，y=﹣(a+2﹣4)(a+4)，∵y1随着x的增大而减小，且a＜a+2，∴﹣(a﹣m)(a+2)＞﹣(a+2﹣m)(a+4)，解得：2a﹣m＞﹣4，[来源:Z#xx#k.Com]又∵2a﹣m=d，∴d的取值范围为d＞﹣4.(2)∵d=﹣4且a≠﹣2、a≠﹣4，2a﹣m=d，∴m=2a+4.∴二次函数的关系式为y=﹣x2+(2a+2)x+4a+8.把x=a代入抛物线的解析式得：y=a2+6a+8.把x=a+2代入抛物线的解析式得：y=a2+6a+8.∴A(a，a2+6a+8)、B(a+2，a2+6a+8).∵点A、点B的纵坐标相同，∴AB∥x轴.(3)线段CD的长度不变.∵y=﹣x2+(m﹣2)x+2m过点A、点B，2a﹣m=d，∴y=﹣x2+(2a﹣d﹣2)x+2(2a﹣d).∴yA=﹣a2+(2﹣d)a﹣2d，yB=a2+(2﹣d)a﹣4d﹣8.∵把a=0代入yA=﹣a2+(2﹣d)a﹣2d，得：y=﹣2d，∴C(0，﹣2d).∵点D在y轴上，即a+2=0，∴a=﹣2，.把a=﹣2代入yB=a2+(2﹣d)a﹣4d﹣8得：y=﹣2d﹣8.∴D(0，﹣2d﹣8).∴DC=|﹣2d﹣(﹣2d﹣8)|=8.∴线段CD的长度不变.