2021-2022学年下学期北京初中数学七年级期中典型试卷2(含答案）

这是一份2021-2022学年下学期北京初中数学七年级期中典型试卷2(含答案），共33页。
2021-2022学年下学期北京初中数学七年级期中典型试卷2
一．选择题（共8小题）
1．（2021•仁寿县模拟）4的平方根是（　　）
A．2 B．±2 C．16 D．±16
2．（2021春•贵池区期末）下列各不等式中，能推出a＞b的是（　　）
A．a﹣3＜b﹣3 B．﹣4a＜﹣4b C．a＜b D．a2＞b2
3．（2021春•海淀区校级期中）下列计算正确的是（　　）
A．x+x2＝x3 B．x2•x2＝x3 C．x9÷x3＝x3 D．（x3）2＝x6
4．（2021秋•江北区期末）如图，AB＝AC，点D，E分别在AB，AC上，补充下列一个条件后，不能判断△ABE≌△ACD的是（　　）

A．∠B＝∠C B．AD＝AE C．∠BDC＝∠CEB D．BE＝CD
5．（2021春•贵池区期末）下列等式正确的是（　　）
A．＝﹣3 B．＝± C．＝4 D．＝﹣
6．（2021春•淮滨县期末）下列命题：①直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离；②经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行； ③垂线段最短；④同旁内角互补．其中，真命题有（　　）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
7．（2021春•西城区校级期中）如图所示：某公园里有一处长方形风景欣赏区ABCD，AB长50米，BC宽25米，为方便游人观赏，公园特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小明同学在假期沿着小路的中间行走（图中虚线），则：小明同学所走的路径长约为（　　）米．（小路的宽度忽略不计）

A．150米 B．125米 C．100米 D．75米
8．（2016春•西城区期末）对任意两个实数a，b定义两种运算：a⊕b＝，a⊗b＝，并且定义运算顺序仍然是先做括号内的，例如（﹣2）⊕3＝3，（﹣2）⊗3＝﹣2，（（﹣2）⊕3）⊗2＝2．那么（⊕2）⊗等于（　　）
A． B．3 C．6 D．3
二．填空题（共10小题）
9．（2021春•岑溪市期末）如图，要在河岸l上建一个水泵房D，修建引水渠到村庄C处．施工人员的做法是：过点C作CD⊥l于点D，将水泵房建在了D处．这样修建引水渠CD最短，既省人力又省物力，这样做蕴含的数学原理是 　 　．

10．（2020•南充）如图，两直线交于点O，若∠1+∠2＝76°，则∠1＝　 　度．

11．（2018•常德）﹣8的立方根是 　 　．
12．（2021春•西城区校级期中）举例说明命题“如果ac＞bc，那么a＞b”是假命题，a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　．
13．（2019•宜兴市一模）点M（3，﹣4）关于x轴的对称点的坐标是　 　．
14．（2018秋•杭州期末）若等腰三角形的一个内角为50°，则它的底角的度数为　 　．
15．（2021春•大兴区期中）如图，把图①中的长方形分成B、C两部分，恰与正方形A拼接成如图②的大正方形．如果正方形A的面积为2，拼接后的大正方形的面积是5，则图①中原长方形的长和宽分别是　 　，　 　．

16．（2021春•德城区期末）如图，在平面直角坐标系下xOy中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点．已知点A（0，3），点B是x轴正半轴上的整点，记△AOB内部（不包括边界）的整点个数为m．当点B的横坐标为3时，m＝　 　；当点B的横坐标为3n（n为正整数）时，m＝　 　．（用含n的代数式表示）

17．（2019•庐阳区二模）若不等式组的解集是x＞3，则m的取值范围是　 　．
18．（2020•丰台区一模）某快递公司的快递件分为甲类件和乙类件，快递员送甲类件每件收入1元，送乙类件每件收入2元．累计工作1小时，只送甲类件，最多可送30件，只送乙类件，最多可送10件；累计工作2小时，只送甲类件，最多可送55件，只送乙类件，最多可送20件；…，经整理形成统计表如表：

累计工作时长最多件数（时）
种类（件）
1
2
3
4
5
6
7
8
甲类件
30
55
80
100
115
125
135
145
乙类件
10
20
30
40
50
60
70
80
（1）如果快递员一天工作8小时，且只送某一类件，那么他一天的最大收入为　 　元；
（2）如果快递员一天累计送x小时甲类件，y小时乙类件，且x+y＝8，x，y均为正整数，那么他一天的最大收入为　 　元．
三．解答题（共8小题）
19．（2021春•海淀区期中）求出下列等式中x的值：
（1）7x2＝63；
（2）+5＝1．
20．（2021秋•淮南期中）已知：如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝40°，OE平分∠BOC，求∠DOE的度数．

21．（2021春•西城区校级期中）计算：+﹣|2﹣|+．
22．（2021春•西城区校级期中）按要求解下列不等式（组）．
（1）解关于x的不等式1﹣≤，并将解集用数轴表示出来．
（2）解不等式组，将解集用数轴表示出来，并写出它的所有整数解．
23．（2019秋•东城区期末）如图，已知△ABC．
（1）尺规作图：过点C作AB的垂线交AB于点O．不写作法，保留作图痕迹；
（2）分别以直线AB，OC为x轴，y轴建立平面直角坐标系，使点B，C均在正半轴上．若AB＝7.5，OC＝4.5，∠A＝45°，写出点B关于y轴的对称点D的坐标；
（3）在（2）的条件下，求△ACD的面积．

24．（2021春•海淀区校级期中）阅读图中的材料：

利用分组分解法解决下面的问题：
（1）分解因式：x2﹣2xy+y2﹣4；
（2）已知△ABC的三边长a，b，c满足a2﹣ab﹣ac+bc＝0，判断△ABC的形状并说明理由．
25．（2021春•中宁县期末）如图，点O在直线AB上，OC⊥OD，∠D与∠1互余，F是DE上一点，连接OF．
（1）求证：ED∥AB．
（2）若OF平分∠COD，∠OFD＝70°，求∠1的度数．

26．（2021春•德城区期末）在平面直角坐标系xOy中描出下列两组点，分别将每组里的点用线段依次连接起来．
第一组：A（﹣3，3）、C（4，3）；
第二组：D（﹣2，﹣1）、E（2，﹣1）．
（1）直接写出线段AC与线段DE的位置关系；
（2）在（1）的条件下，线段AC，DE分别与y轴交于点B，F．若点M为射线OB上一动点（不与点O，B重合）．
①当点M在线段OB上运动时，连接AM、DM，补全图形，用等式表示∠CAM、∠AMD、∠MDE之间的数量关系，并证明．
②当△ACM与△DEM面积相等时，求点M的坐标．


2021-2022学年下学期北京初中数学七年级期中典型试卷2
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2021•仁寿县模拟）4的平方根是（　　）
A．2 B．±2 C．16 D．±16
【考点】平方根．
【专题】计算题．
【分析】首先根据平方根的定义求出4的平方根，然后就可以解决问题．
【解答】解：∵±2的平方等于4，
∴4的平方根是：±2．
故选：B．
【点评】本题主要考查了平方根的定义和性质，根据平方根的定义得出是解决问题的关键，比较简单．
2．（2021春•贵池区期末）下列各不等式中，能推出a＞b的是（　　）
A．a﹣3＜b﹣3 B．﹣4a＜﹣4b C．a＜b D．a2＞b2
【考点】不等式的性质．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；推理能力．
【分析】逆向利用不等式的基本性质判断即可．
【解答】解：A、因为a﹣3＜b﹣3，
所以a＜b，故本选项不合题意；
B、因为﹣4a＜﹣4b，
所以a＞b，故本选项符合题意；
C、因为，
所以a＜b，故本选项不合题意；
D、因为a2＞b2，
所以|a|＞|b|，故本选项不合题意；
故选：B．
【点评】此题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的基本性质是解本题的关键．
3．（2021春•海淀区校级期中）下列计算正确的是（　　）
A．x+x2＝x3 B．x2•x2＝x3 C．x9÷x3＝x3 D．（x3）2＝x6
【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
【专题】整式；运算能力．
【分析】根据同底数幂的乘除法，积的乘方与幂的乘方以及整式的加减的计算方法逐项进行判断即可．
【解答】解：由于x与x2不是同类项，因此x+x2不能合并，所以选项A不符合题意；
x2•x2＝x2+2＝x4，因此选项B不符合题意；
x9÷x3＝x9﹣3＝x6，因此选项C不符合题意；
（x3）2＝x3×2＝x6，因此选项D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查同底数幂的乘除法，积的乘方与幂的乘方以及合并同类项法则，应用运算性质和计算法则逐项计算是正确判断的前提．
4．（2021秋•江北区期末）如图，AB＝AC，点D，E分别在AB，AC上，补充下列一个条件后，不能判断△ABE≌△ACD的是（　　）

A．∠B＝∠C B．AD＝AE C．∠BDC＝∠CEB D．BE＝CD
【考点】全等三角形的判定．
【专题】图形的全等；应用意识．
【分析】根据三角形全等的判定方法一一判断即可．
【解答】解：A、根据ASA即可证明三角形全等，本选项不符合题意．
B、根据SAS即可证明三角形全等，本选项不符合题意．
C、根据AAS或ASA即可证明三角形全等，本选项不符合题意．
D、SSA不能判定三角形全等，本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
5．（2021春•贵池区期末）下列等式正确的是（　　）
A．＝﹣3 B．＝± C．＝4 D．＝﹣
【考点】立方根；算术平方根．
【专题】实数；运算能力．
【分析】根据算术平方根立方根的的定义和性质对各项逐一分析即可得到答案．
【解答】解：A．负数没有算是平方根，所以A选项错误；
B.，所以B选项错误；
C.，所以C选项正确；
D.，所以D选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查了立方根，算术平方根的概念，主要考查学生的计算能力．
6．（2021春•淮滨县期末）下列命题：①直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离；②经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行； ③垂线段最短；④同旁内角互补．其中，真命题有（　　）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【考点】命题与定理．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【分析】根据点到直线的距离的定义、平行公理、垂线段最短、平行线的性质判断．
【解答】解：①直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，本说法是真命题；
②经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，本说法是真命题；
③垂线段最短，本说法是真命题；
④两直线平行，同旁内角互补，本说法是假命题；
故选：A．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
7．（2021春•西城区校级期中）如图所示：某公园里有一处长方形风景欣赏区ABCD，AB长50米，BC宽25米，为方便游人观赏，公园特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小明同学在假期沿着小路的中间行走（图中虚线），则：小明同学所走的路径长约为（　　）米．（小路的宽度忽略不计）

A．150米 B．125米 C．100米 D．75米
【考点】生活中的平移现象．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观；模型思想．
【分析】由于路的宽度忽略不计，因此行走的路线的长AD+AB+BC，代入计算即可．
【解答】解：由平移的性质可知，由于小路的宽度忽略不计，因此说行走的路程为AD+AB+BC＝25+50+25＝100（米），
故选：C．
【点评】本题考查生活中的平移现象，理解平移的意义，掌握平移的性质是正确解答的关键．
8．（2016春•西城区期末）对任意两个实数a，b定义两种运算：a⊕b＝，a⊗b＝，并且定义运算顺序仍然是先做括号内的，例如（﹣2）⊕3＝3，（﹣2）⊗3＝﹣2，（（﹣2）⊕3）⊗2＝2．那么（⊕2）⊗等于（　　）
A． B．3 C．6 D．3
【考点】实数大小比较．
【专题】新定义．
【分析】根据定义新运算的计算方法，直接代入数据计算即可．
【解答】解：∵＞2，
∴（⊕2）＝，
∵＝3，
∴＜3，
∴（⊕2）⊗＝．
故选：A．
【点评】本题考查了实数大小比较，解决本题的关键是进行实数的大小比较．
二．填空题（共10小题）
9．（2021春•岑溪市期末）如图，要在河岸l上建一个水泵房D，修建引水渠到村庄C处．施工人员的做法是：过点C作CD⊥l于点D，将水泵房建在了D处．这样修建引水渠CD最短，既省人力又省物力，这样做蕴含的数学原理是 　垂线段最短　．

【考点】垂线段最短．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【分析】根据垂线段的性质解答即可．
【解答】解：过点C作CD⊥l于点D，将水泵房建在了D处．这样做最节省水管长度，其数学道理是垂线段最短．
故答案为：垂线段最短；
【点评】本题考查了垂线段的定义和性质．解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决实际问题．
10．（2020•南充）如图，两直线交于点O，若∠1+∠2＝76°，则∠1＝　38　度．

【考点】对顶角、邻补角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观．
【分析】直接利用对顶角的性质结合已知得出答案．
【解答】解：∵两直线交于点O，
∴∠1＝∠2，
∵∠1+∠2＝76°，
∴∠1＝38°．
故答案为：38．
【点评】此题主要考查了对顶角，正确把握对顶角的定义是解题关键．
11．（2018•常德）﹣8的立方根是 　﹣2　．
【考点】立方根．
【分析】利用立方根的定义即可求解．
【解答】解：∵（﹣2）3＝﹣8，
∴﹣8的立方根是﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题主要考查了立方根的概念．如果一个数x的立方等于a，即x的三次方等于a（x3＝a），那么这个数x就叫做a的立方根，也叫做三次方根．读作“三次根号a”其中，a叫做被开方数，3叫做根指数．
12．（2021春•西城区校级期中）举例说明命题“如果ac＞bc，那么a＞b”是假命题，a＝　1　，b＝　2　，c＝　﹣2　．
【考点】命题与定理．
【专题】特定专题；应用意识．
【分析】是假命题，举反例说明即可．
【解答】解：a＝1，b＝2，c＝﹣2，
则ac＞bc，a＜b，
故答案为：1，2，﹣2．
【点评】本题考查命题与定理，解题的关键是学会举例说明是假命题．
13．（2019•宜兴市一模）点M（3，﹣4）关于x轴的对称点的坐标是　（3，4）　．
【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．
【分析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答．
【解答】解：点M（3，﹣4）关于x轴的对称点M′的坐标是（3，4）．
故答案为：（3，4）．
【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；
（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
14．（2018秋•杭州期末）若等腰三角形的一个内角为50°，则它的底角的度数为　65°或50°　．
【考点】等腰三角形的性质；三角形内角和定理．
【专题】分类讨论．
【分析】由等腰三角形的一个内角为50°，可分别从50°的角为底角与50°的角为顶角去分析求解，即可求得答案．
【解答】解：∵等腰三角形的一个内角为50°，
若这个角为顶角，则底角为：（180°﹣50°）÷2＝65°，
若这个角为底角，则另一个底角也为50°，
∴其一个底角的度数是65°或50°．
故答案为：65°或50°．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质，比较简单，注意等边对等角的性质和分类讨论思想的应用．
15．（2021春•大兴区期中）如图，把图①中的长方形分成B、C两部分，恰与正方形A拼接成如图②的大正方形．如果正方形A的面积为2，拼接后的大正方形的面积是5，则图①中原长方形的长和宽分别是　+　，　﹣　．

【考点】有理数的混合运算；算术平方根．
【专题】实数；运算能力；推理能力．
【分析】设C的长为x，宽为y，则B的长为x+y，宽为y，根据小正方形面积和大正方形面积利用算术平方根找到x，y之间的关系式即可求出．
【解答】解：设C的长为x，宽为y，则B的长为x+y，宽为y，
∵A的面积为2，
∴x＝，
∵拼接后的大正方形的面积是5，
∴x+y＝，
∴y＝，
∴图①中原长方形的长为：
x+x+y＝2x+y＝2+﹣＝，
∴图①中原长方形的宽为：
y＝，
故答案为：；．
【点评】本题考查算术平方根，本题设出未知数利用算术平方根表示出未知数之间的数量关系是解题关键．
16．（2021春•德城区期末）如图，在平面直角坐标系下xOy中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点．已知点A（0，3），点B是x轴正半轴上的整点，记△AOB内部（不包括边界）的整点个数为m．当点B的横坐标为3时，m＝　1　；当点B的横坐标为3n（n为正整数）时，m＝　3n﹣2　．（用含n的代数式表示）

【考点】坐标与图形性质．
【专题】规律型；推理能力；应用意识．
【分析】由题意可分别找出当n＝1，2，3，4时的整点个数即可发现规律．
【解答】解：当点B的横坐标为3时，如图，
故整点为（1，1）一个，所以m＝1；
当n＝2，即点B的横坐标为6时，整点个数为4个；
当n＝3，即点B的横坐标为9时，整点个数为7个；
当n＝4，即点B的横坐标为12时，整点个数为10个......，
∴当点B横坐标为3n时，整点个数为3n﹣2．
故答案为：3n﹣2．


【点评】本题考查了点的坐标规律，根据图形找出整点的个数的变化规律是解题的关键．
17．（2019•庐阳区二模）若不等式组的解集是x＞3，则m的取值范围是　m≤3　．
【考点】解一元一次不等式组．
【专题】计算题．
【分析】先解第一个不等式得到x＞3，由于不等式组的解集为x＞3，根据同大取大得到m≤3．
【解答】解：，
解①得x＞3，
∵不等式组的解集为x＞3，
∴m≤3．
故答案为m≤3．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组：分别求出不等式组各不等式的解集，然后根据“同大取大，同小取小，大于小的小于大的取中间，大于大的小于小的无解”确定不等式组的解集．
18．（2020•丰台区一模）某快递公司的快递件分为甲类件和乙类件，快递员送甲类件每件收入1元，送乙类件每件收入2元．累计工作1小时，只送甲类件，最多可送30件，只送乙类件，最多可送10件；累计工作2小时，只送甲类件，最多可送55件，只送乙类件，最多可送20件；…，经整理形成统计表如表：

累计工作时长最多件数（时）
种类（件）
1
2
3
4
5
6
7
8
甲类件
30
55
80
100
115
125
135
145
乙类件
10
20
30
40
50
60
70
80
（1）如果快递员一天工作8小时，且只送某一类件，那么他一天的最大收入为　160　元；
（2）如果快递员一天累计送x小时甲类件，y小时乙类件，且x+y＝8，x，y均为正整数，那么他一天的最大收入为　180　元．
【考点】统计表．
【专题】数据的收集与整理；运算能力．
【分析】（1）根据表格数据得出答案即可；
（2）利用表格中的数据，取整数解，得出最大收入即可．
【解答】解：（1）当只送乙类件时，他一天的最大收入为2×80＝160；
（2）∵x+y＝8，x，y均为正整数，
当x＝1，y＝7时，他一天的最大收入为30+2×70＝170元．
当x＝2，y＝6时，他一天的最大收入为55+2×60＝175元．
当x＝3，y＝5时，他一天的最大收入为80+2×50＝180元．
当x＝4，y＝4时，他一天的最大收入为100+2×40＝180元．
当x＝5，y＝3时，他一天的最大收入为115+2×30＝175元．
当x＝6，y＝2时，他一天的最大收入为125+2×20＝165元．
当x＝7，y＝1时，他一天的最大收入为135+2×10＝155元．
综上所述，他一天的最大收入为180元．
故答案为：160；180．
【点评】此题考查统计表，关键是根据表格数据计算解答．
三．解答题（共8小题）
19．（2021春•海淀区期中）求出下列等式中x的值：
（1）7x2＝63；
（2）+5＝1．
【考点】立方根；平方根．
【专题】实数；运算能力．
【分析】（1）式子整理后，利用平方根的定义求解即可；
（2）式子整理后，利用立方根的定义求解即可．
【解答】解：（1）7x2＝63．
x2＝9，
x＝±3；
（2），
，
，
x3＝﹣8，
x＝﹣2．
【点评】本题考查了平方根与立方根，熟记相关定义是解答本题的关键．
20．（2021秋•淮南期中）已知：如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝40°，OE平分∠BOC，求∠DOE的度数．

【考点】对顶角、邻补角；角平分线的定义．
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观；运算能力；推理能力．
【分析】根据邻补角的性质得到∠BOC＝180°，由角平分线的性质得到∠COE＝70°，根据邻补角的性质可求出答案．
【解答】解：∵∠AOC＝40°，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝140°，
∵OE平分∠BOC，
∴∠COE＝∠BOC＝70°，
∴∠DOE＝180°﹣∠COE＝110°．
【点评】本题考查的是邻补角和角平分线的定义，掌握邻补角的和等于180°和角平分线的定义是解题的关键．
21．（2021春•西城区校级期中）计算：+﹣|2﹣|+．
【考点】实数的运算．
【专题】实数；运算能力．
【分析】直接利用立方根的性质以及二次根式的性质、绝对值的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝5﹣4﹣（﹣2）+3
＝5﹣4﹣+2+3
＝6﹣．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
22．（2021春•西城区校级期中）按要求解下列不等式（组）．
（1）解关于x的不等式1﹣≤，并将解集用数轴表示出来．
（2）解不等式组，将解集用数轴表示出来，并写出它的所有整数解．
【考点】一元一次不等式组的整数解；在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式；解一元一次不等式组．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【分析】（1）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可；
（2）先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．
【解答】解：（1）1﹣≤，
去分母得：6﹣2（2x﹣1）≤3（1+x），
去括号得：6﹣4x+2≤3+3x，
移项得：﹣4x﹣3x≤3﹣6﹣2，
合并同类项得：﹣7x≤﹣5，
系数化成1得：x≥，
在数轴上表示为：
；

（2），
解不等式①得：x≤1，
解不等式②得：x＞﹣3，
所以不等式组的解集是﹣3＜x≤1，
在数轴上表示不等式组的解集为：
，
所以不等式组的整数解是﹣2，﹣1，0，1．
【点评】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式（组）的解集，不等式组的整数解等知识点，能求出不等式或不等式组的解集是解此题的关键．
23．（2019秋•东城区期末）如图，已知△ABC．
（1）尺规作图：过点C作AB的垂线交AB于点O．不写作法，保留作图痕迹；
（2）分别以直线AB，OC为x轴，y轴建立平面直角坐标系，使点B，C均在正半轴上．若AB＝7.5，OC＝4.5，∠A＝45°，写出点B关于y轴的对称点D的坐标；
（3）在（2）的条件下，求△ACD的面积．

【考点】作图—基本作图；关于x轴、y轴对称的点的坐标；勾股定理．
【专题】作图题；尺规作图；几何直观；推理能力．
【分析】（1）根据尺规作图过点C作AB的垂线交AB于点O即可；
（2）根据作图过程即可写出点B关于y轴的对称点D的坐标；
（3）在（2）的条件下，即可求△ACD的面积．
【解答】解：（1）如图所示：即为所求作的图形；

（2）∵CO是BD的垂直平分线，
∴OD＝OB，
∵∠A＝45°，
∴∠ACO＝45°，
∴OA＝OC＝4.5，
∴OB＝OD＝7.5﹣4.5＝3，
∴D（﹣3，0）；
（3）S△ACD＝×AD•CO＝×＝．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图、关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是根据题意准确画出图形．
24．（2021春•海淀区校级期中）阅读图中的材料：

利用分组分解法解决下面的问题：
（1）分解因式：x2﹣2xy+y2﹣4；
（2）已知△ABC的三边长a，b，c满足a2﹣ab﹣ac+bc＝0，判断△ABC的形状并说明理由．
【考点】因式分解的应用．
【专题】因式分解；能力层次．
【分析】（1）先分组，再用公式分解．
（2）先因式分解，再求a，b，c的关系，判断三角形的形状．
【解答】解：（1）x2﹣2xy+y2﹣4
＝（x﹣y）2﹣4．
＝（x﹣y+2）（x﹣y﹣2）．
∴x2﹣2xy+y2﹣4＝（x﹣y+2）（x﹣y﹣2）．
（2）∵a2﹣ab﹣ac+bc＝0．
∴a（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝0．
∴a＝b或a＝c．
∴△ABC是等腰三角形．
【点评】本题考查分组分解法及三角形形状的判定，正确分组是求解本题的关键．
25．（2021春•中宁县期末）如图，点O在直线AB上，OC⊥OD，∠D与∠1互余，F是DE上一点，连接OF．
（1）求证：ED∥AB．
（2）若OF平分∠COD，∠OFD＝70°，求∠1的度数．

【考点】平行线的判定与性质；余角和补角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观；运算能力；推理能力．
【分析】（1）利用已知证得∠D+∠AOD＝180°，进而得出答案；
（2）利用角平分线的定义结合已知得出∠COF＝∠COD＝45°，由平行线的性质得到∠AOF＝∠OFD＝70°，进而得出答案．
【解答】（1）证明：∵∠D与∠1互余，
∴∠D+∠1＝90°，
∵OC⊥OD，
∴∠COD＝90°，
∴∠D+∠1+∠COD＝180°，
∴∠D+∠AOD＝180°，
∴ED∥AB；

（2）解：∵ED∥AB，
∴∠AOF＝∠OFD＝70°，
∵OF平分∠COD，
∴∠COF＝∠COD＝45°，
∴∠1＝∠AOF﹣∠COF＝25°．

【点评】此题主要考查了平行线的判定，互为余角的定义以及角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定是解决问题的关键．
26．（2021春•德城区期末）在平面直角坐标系xOy中描出下列两组点，分别将每组里的点用线段依次连接起来．
第一组：A（﹣3，3）、C（4，3）；
第二组：D（﹣2，﹣1）、E（2，﹣1）．
（1）直接写出线段AC与线段DE的位置关系；
（2）在（1）的条件下，线段AC，DE分别与y轴交于点B，F．若点M为射线OB上一动点（不与点O，B重合）．
①当点M在线段OB上运动时，连接AM、DM，补全图形，用等式表示∠CAM、∠AMD、∠MDE之间的数量关系，并证明．
②当△ACM与△DEM面积相等时，求点M的坐标．

【考点】三角形综合题．
【专题】几何综合题；分类讨论；几何直观；运算能力；推理能力．
【分析】（1）根据两点的纵坐标相等，连线平行x轴进行判断即可；
（2）①过点M作MN∥AC，运用平行线的判定和性质即可；
②设M（0，m），分两种情况：（i）当点M在线段OB上时，（ii）当点M在线段OB的延长线上时，分别运用三角形面积公式进行计算即可．
【解答】解：（1）∵A（﹣3，3）、C（4，3），
∴AC∥x轴，
∵D（﹣2，﹣1）、E（2，﹣1），
∴DE∥x轴，
∴AC∥DE；
（2）①如图，∠CAM+∠MDE＝∠AMD．
理由如下：
过点M作MN∥AC，
∵MN∥AC（作图），
∴∠CAM＝∠AMN（两直线平行，内错角相等），
∵AC∥DE（已知），
∴MN∥DE（平行公理推论），
∴∠MDE＝∠NMD（两直线平行，内错角相等），
∴∠CAM+∠MDE＝∠AMN+∠NMD＝∠AMD（等量代换）．
②由题意，得：AC＝7，DE＝4，
设M（0，m），
（i）当点M在线段OB上时，BM＝3﹣m，FM＝m+1，
∴S△ACM＝AC•BM＝×7×（3﹣m）＝，
S△DEM＝DE•FM＝×4×（m+1）＝2m+2，
∵S△ACM＝S△DEM，
∴＝2m+2，
解得：m＝，
∴M（0，）；
（ii）当点M在线段OB的延长线上时，BM＝m﹣3，FM＝m+1，
∴S△ACM＝AC•BM＝×7×（m﹣3）＝，
S△DEM＝DE•FM＝×4×（m+1）＝2m+2，
∵S△ACM＝S△DEM，
∴＝2m+2，
解得：m＝，
∴M（0，）；
综上所述，点M的坐标为（0，）或（0，）．

【点评】本题考查了三角形面积，平行坐标轴的直线上的点的坐标的特征，平行线的判定和性质等，解题关键是运用数形结合思想和分类讨论思想．

考点卡片
1．有理数的混合运算
（1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧
1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算．
2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解．
3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算．
4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便．
2．平方根
（1）定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．
一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．
（2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．
一个正数a的正的平方根表示为“”，负的平方根表示为“﹣”．
正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作．零的算术平方根仍旧是零．
平方根和立方根的性质
1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．
3．算术平方根
（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为．
（2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．
（3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．
4．立方根
（1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：．
（2）正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根．
（3）求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数．
注意：符号a3中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根．
【规律方法】平方根和立方根的性质
1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．
5．实数大小比较
实数大小比较
（1）任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数比大小，绝对值大的反而小．
（2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
6．实数的运算
（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．

【规律方法】实数运算的“三个关键”
1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．
2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．
7．合并同类项
（1）定义：把多项式中同类项合成一项，叫做合并同类项．
（2）合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．
（3）合并同类项时要注意以下三点：
①要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准：带有相同系数的代数项；字母和字母指数；
②明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，式的项数会减少，达到化简多项式的目的；
③“合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字母的指数不变．
8．同底数幂的乘法
（1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
am•an＝am+n（m，n是正整数）
（2）推广：am•an•ap＝am+n+p（m，n，p都是正整数）
在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如23与25，（a2b2）3与（a2b2）4，（x﹣y）2与（x﹣y）3等；②a可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加．
（3）概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂．
9．幂的乘方与积的乘方
（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．
（am）n＝amn（m，n是正整数）
注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．
（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
（ab）n＝anbn（n是正整数）
注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果．
10．同底数幂的除法
同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．
am÷an＝am﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞n）
①底数a≠0，因为0不能做除数；
②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；
③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．
11．因式分解的应用
1、利用因式分解解决求值问题．
2、利用因式分解解决证明问题．
3、利用因式分解简化计算问题．
【规律方法】因式分解在求代数式值中的应用
1．因式分解是研究代数式的基础，通过因式分解将多项式合理变形，是求代数式值的常用解题方法，具体做法是：根据题目的特点，先通过因式分解将式子变形，然后再进行整体代入．
2．用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分．
12．不等式的性质
（1）不等式的基本性质
①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即：
若a＞b，那么a±m＞b±m；
②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即：
若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或＞；
③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即：
若a＞b，且m＜0，那么am＜bm或＜；
（2）不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变．
【规律方法】
1．应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论．
2．不等式的传递性：若a＞b，b＞c，则a＞c．
13．在数轴上表示不等式的解集
用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：
一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；
二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．
【规律方法】不等式解集的验证方法
　　某不等式求得的解集为x＞a，其验证方法可以先将a代入原不等式，则两边相等，其次在x＞a的范围内取一个数代入原不等式，则原不等式成立．
14．解一元一次不等式
根据不等式的性质解一元一次不等式
基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．
以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向．
注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式．
15．解一元一次不等式组
（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集．
（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．
（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．
方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．
解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
16．一元一次不等式组的整数解
（1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）．
解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解．
（2）已知解集（整数解）求字母的取值．
一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案．
17．坐标与图形性质
1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．
2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．
3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．
18．角平分线的定义
（1）角平分线的定义
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．
（2）性质：若OC是∠AOB的平分线
则∠AOC＝∠BOC＝∠AOB或∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC．

（3）平分角的方法有很多，如度量法、折叠法、尺规作图法等，要注意积累，多动手实践．
19．余角和补角
（1）余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角．
（2）补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角．
（3）性质：等角的补角相等．等角的余角相等．
（4）余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．
注意：余角（补角）与这两个角的位置没有关系．不论这两个角在哪儿，只要度数之和满足了定义，则它们就具备相应的关系．
20．对顶角、邻补角
（1）对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．
（2）邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．
（3）对顶角的性质：对顶角相等．
（4）邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°．
（5）邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的．
21．垂线段最短
（1）垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．
（2）垂线段的性质：垂线段最短．
正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．
（3）实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择．
22．平行线的判定与性质
（1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
（2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
（3）平行线的判定与性质的联系与区别
区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行．
联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关．
（4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角．
23．三角形内角和定理
（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．
（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
（3）三角形内角和定理的证明
证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．
（4）三角形内角和定理的应用
主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．
24．全等三角形的判定
（1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．
（2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．
（3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．
（4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．
（5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．
方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
25．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
26．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
27．三角形综合题
三角形综合题．
28．作图—基本作图
基本作图有：
（1）作一条线段等于已知线段．
（2）作一个角等于已知角．
（3）作已知线段的垂直平分线．
（4）作已知角的角平分线．
（5）过一点作已知直线的垂线．
29．命题与定理
1、判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．
2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
3、定理是真命题，但真命题不一定是定理．
4、命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．
5、命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
30．关于x轴、y轴对称的点的坐标
（1）关于x轴的对称点的坐标特点：
横坐标不变，纵坐标互为相反数．
即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y）．
（2）关于y轴的对称点的坐标特点：
横坐标互为相反数，纵坐标不变．
即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y）．
31．生活中的平移现象
1、平移的概念
在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称平移．
2、平移是指图形的平行移动，平移时图形中所有点移动的方向一致，并且移动的距离相等．
3、确定一个图形平移的方向和距离，只需确定其中一个点平移的方向和距离．
32．统计表
统计表可以将大量数据的分类结果清晰，一目了然地表达出来．
统计调查所得的原始资料，经过整理，得到说明社会现象及其发展过程的数据，把这些数据按一定的顺序排列在表格中，就形成“统计表”．统计表是表现数字资料整理结果的最常用的一种表格． 统计表是由纵横交叉线条所绘制的表格来表现统计资料的一种形式