高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用练习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用练习题，共17页。
6.4.1平面向量在几何和物理中的运用(精练)【题组一  平面向量在几何中的运用】1．(2020·全国高一课时练习)若,且,则四边形是(    )A．平行四边形 B．菱形 C．等腰梯形 D．非等腰梯形【答案】C【解析】∵，∴，，∵，∴四边形是等腰梯形，选：C．2．(2019·怀仁市)已知正方形ABCD的边长为1，则等于A． B．C． D．【答案】C【解析】如图，因为正方形的边长为，则，因为，所以，故选C．3．(2020·宁夏吴忠中学高一期末)在Rt△ABC中，∠C＝90°，CB＝2，CA＝4，P在边AC的中线BD上，则·的最小值为(    )A．－ B．0C．4 D．－1【答案】A【解析】依题意，以C为坐标原点，分别以AC，BC所在的直线为x，y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则B(0，2)，D(2，0)，所以直线BD的方程为y＝－x＋2，因为点P在边AC的中线BD上，所以可设P(t，2－t)(0≤t≤2)，所以＝(t，2－t)，＝(t，－t)，所以·＝t2－t(2－t)＝2t2－2t＝2－，当t＝时，·取得最小值－，故选：A.4．(2020·浙江高一期末)已知正方形的边长为3，其所在平面内一点，满足，则的最大值是__________．【答案】6【解析】如图，以A为坐标原点建立直角坐标系，
 则，设，，，整理可得，则，，则当时，取得最大值为6.故答案为：6.5．(2020·全国高一课时练习)已知直角梯形中，，，，，是腰上的动点，则的最小值为______.【答案】5【解析】由题：以为轴的正方向建立直角坐标系，如图所示：设，则，当取得最小值.故答案为：56．(2020·河南商丘市·高一期末)如图，在△ABC中，已知AB＝2，AC＝4，A＝60°．若D为BC边上的任意一点，M为线段AD的中点，则的最大值是_____．【答案】7【解析】由余弦定理得，，所以以B为原点，BC所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，，，当时，的最大值，最大值是7.故答案为：7.7．(2020·山东潍坊市·潍坊一中高一期中)如图，边长为2的菱形的对角线相交于点，点在线段上运动，若，则的最小值为_______.【答案】【解析】以为原点建立平面直角坐标系如下图所示，设，则①，由得②，由①②解得，故.设，则，当时取得最小值为.故填：.8．(2020·江苏盐城市·高一期末)如图，在矩形中，，，圆M为的内切圆，点P为圆上任意一点， 且，则的最大值为________.【答案】【解析】以点B为坐标原点，建立平面直角坐标系如下图所示，因为在矩形中，，，所以圆M的半径为，所以，，，， ，圆M的方程为，设，又，所以，解得，又点P是圆M上的点，所以(为参数)，所以，其中，所以，当时，取得最大值，故答案为：.9．(2020·天津静海区·静海一中高一期中)如图，已知等腰梯形中，是的中点，是线段上的动点，则的最小值是_____【答案】【解析】以中点为坐标原点，建立平面直角坐标系，如下图所示：由题可知，，设，，故可得，则，故可得，因的对称轴，故可得的最小值为.故答案为：.10．(2020·全国高一课时练习)如图所示，以两边为边向外作正方形和，为的中点.求证：.【答案】证明见解析【解析】【解析】因为是的中点，所以.又因为，所以，所以，即.11．(2020·全国高一课时练习)如图，已知正方形ABCD中,E,F分别是CD,AD的中点,BE,CF交于点P.求证：(1)BE⊥CF;(2)AP=AB.【答案】(1)见试题解析；(2)见试题解析【解析】如图建立平面直角坐标系xOy,其中A为原点,不妨设AB=2,则A(0,0),B(2,0),C(2,2),E(1,2),F(0,1).(1)=(1,2)-(2,0)=(-1,2),=(0,1)-(2,2)=(-2,-1),∵=(-1)×(-2)+2×(-1)=0,∴,即BE⊥CF.(2)设P(x,y),则=(x,y-1),=(-2,-1).∵,∴-x=-2(y-1),即x=2y-2.同理由,得y=-2x+4,代入x=2y-2,解得x=,∴y=,即P.∴=4=,∴||=||,即AP=AB.12．(2020·山西运城市·高一期中)在四边形中，已知，，，.(1)判断四边形的形状；(2)若，求向量与夹角的余弦值.【答案】(1)四边形是等腰梯形.(2)【解析】(1)由题,因为,,所以,又因为,,所以四边形是等腰梯形(2)设,所以,,因为,所以,解得,所以,,设向量与夹角为,则,故向量与夹角的余弦值为13．(2019·全国高一课时练习)已知是等腰直角三角形，，是边的中点，，垂足为，延长交于点，连接，求证：.【答案】证明见解析【解析】如图，以为原点，所在直线分别为轴，轴建立平面直角坐标系.设，则，.设，则.又因为，，所以，所以，解得 ，所以.所以.又因为，所以，.又因为，所以.14．(2020·全国高一课时练习)在△ABC中,∠C=90°,D是AB的中点,用向量法证明CD=AB．【答案】见解析【解析】如图所示， 设=，=，则与的夹角为90°，故=0.∵=-，(+)，∴||=|+|==，||=|-|==.∴=，即CD=AB.【题组二 平面向量在物理中的运用】1．(2020·山东潍坊市·高一期中)如图所示，把一个物体放在倾斜角为30°的斜面上，物体处于平衡状态，且受到三个力的作用，即重力G，沿着斜面向上的摩擦力，垂直斜面向上的弹力．已知，则G的大小为________，的大小为________．【答案】        【解析】如图，由向量分解的平行四边形法则， 计算可得：故答案为：2．(2020·全国高一课时练习)如图所示，两根绳子把质量为1kg的物体吊在水平杆AB上(绳子的质量忽略不计，g=10m/s2)，绳子在A，B处与铅垂方向的夹角分别为，，则绳子AC和BC的拉力的大小分别为______，______.【答案】    5N    【解析】设绳子AC和BC的拉力分别为，，物体的重力用表示，则，.如图，以C为起点，分别作，，，则，，∴，，∴绳子AC的拉力大小为，绳子BC的拉力大小为5 N.故答案为：，5N3．(2019·四川省乐至至宝林中学高一期末)如图所示，一根绳穿过两个定滑轮，且两端分别挂有和的重物，现在两个滑轮之间的绳上挂一个重量为的物体，恰好使得系统处于平衡状态，求正数的取值范围. 【答案】【解析】如图建立坐标系，记OB、OA与轴的正半轴的夹角分别为，则由三角函数定义得，，由于系统处于平衡状态，∴∴ ，【方法一】移项，(1)、(2)平方相加得：，即 ，而存在正数使得系统平衡，∴△＝，∴.(因滑轮大小忽略，写成亦可，不扣分．这时均为0)由(*)解得，由(2)式知∴，这是关于的增函数， ∴正数的取值范围为 .【方法二】(1)、(2)平方相加得：，由(1)知，，而∴ 随单调递增，∴(这里的锐角满足，此时)且(写成不扣分，这时均为0)∴从而，∴，即，∴,    ∴正数的取值范围为.4．(2019·全国高一课时练习)设作用于同一点的三个力处于平衡状态，若，且与的夹角为，如图所示.(1)求的大小；(2)求的大小.【答案】(1)；(2)【解析】(1)由题意，且与的夹角为，.(2)，即.，.5．(2020·全国高一课时练习)如图所示，把一个物体放在倾角为的斜面上，物体处于平衡状态，且受到三个力的作用，即重力，沿着斜面向上的摩擦力，垂直斜面向上的弹力.已知，求的大小.  【答案】50，【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，则，.又由已知可得，且，所以，从而可知50，.6．(2020·全国高一课时练习)如图，一滑轮组中有两个定滑轮，，在从连接点出发的三根绳的端点处，挂着个重物，它们所受的重力分别为，和．此时整个系统恰处于平衡状态，求的大小．【答案】【解析】如图，∵，∴，∴，即，∴．∵，∴．7．(2020·全国高一课时练习)一个人在静水中游泳时，速度的大小为.当他在水流速度的大小为的河中游泳时，(1)如果他垂直游向河对岸，那么他实际沿什么方向前进(角度精确到1°)？实际前进速度的大小为多少？(2)他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进(角度精确到1°)？实际前进速度的大小为多少？【答案】(1)此人沿与水流方向成的方向前进，实际前进速度为；(2)此人应沿与河岸夹角的余弦值为的方向逆着水流方向前进，实际前进速度为.【解析】(1)如图(1)，设人游泳的速度为，水流的速度为，以OA，0B为邻边作，则此人的实际速度为.  在中，，所以，实际前进的速度，故此人沿与水流方向成的方向前进，实际前进速度为；(2)如图(2)，设此人的实际速度为，水流速度为，则游速为.在中，，所以，故此人应沿与河岸夹角的余弦值为的方向逆着水流方向前进，实际前进速度为.8．(2020·全国高一课时练习)已知两恒力，作用于同一质点，使之由点移动到点.(1)求力、分别对质点所做的功；(2)求力、的合力对质点所做的功.【答案】(1)力对质点所做的功为，力对质点所做的功为；(2).【解析】(1)，力对质点所做的功，力对质点所做的功，所以，力、对质点所做的功分别为和.(2).