高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.5 空间直线、平面的平行巩固练习

8.5 空间直线、平面的平行(精炼)

【题组一 线面平行】

1．(2021·全国高一课时练习)如图所示，已知正方体中，，分别是它们所在线段的中点，则满足平面的图形为(    )

A．① B．①② C．② D．①②③

【答案】C

【解析】①中，平移至，知与面只有一个交点，则与面不平行；

②中，在正方体中，，分别是它们所在线段的中点，则易知，而平面，平面，故平面；

③中，同①平移至，知与面只有一个交点，则与面不平行；

故选：C．

2．(2021·全国高一课时练习)已知正方体中，，分别是它们所在线段的中点，则满足平面的图形个数为(    )

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】B

【解析】②中，，而平面，平面，故平面；

①中，平移至，知与面只有一个交点，则与面不平行；

③中，同样平移至，知与面只有一个交点，则与面不平行；

故选：B．

3．(2020·济南大学城实验高级中学高一期中)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，已知E，F，G分别是线段A1C1上的点，且A1E＝EF＝FG＝GC1.则下列直线与平面A1BD平行的是(    )

A．CE B．CF C．CG D．CC1

【答案】B

【解析】如图，连接AC，使AC交BD于点O，连接A1O，CF，

在正方体ABCD­-A1B1C1D1中，由于，

又OC＝AC，可得：，即四边形A1OCF为平行四边形，

可得：A1O∥CF，又A1O⊂平面A1BD，CF⊄平面A1BD，

可得CF∥平面A1BD，

故选：B.

4．(2021·全国高一)下列四个正方体图形中，为正方体的两个顶点，分别为其所在棱的中点，能得出平面的图形的序号是(　　)

A．①③ B．①④ C．①③④ D．②④

【答案】B

【解析】对于①，如图，依题意M、N、P分别为其所在棱的中点，结合正方体的性质可知，

由于平面，平面，所以平面；

由于平面，平面，所以平面；

由于，所以平面平面，所以平面，所以①正确.

对于②，如图，设与相交于，依题意M、N、P分别为其所在棱的中点，结合正方体的性质可知，因为与平面相交，所以与平面不平行，所以②错误.

对于③，如图，设是的中点，因为是的中点，所以，而与平面相交，所以与平面不平行，所以③错误.

对于④，如图，依题意M、N、P分别为其所在棱的中点，结合正方体的性质可知，平面，平面，所以平面，所以④正确.

综上所述，正确的序号有①④.

故选：B.

5．(2020·济南大学城实验高级中学高一期中)如图，在下列四个正方体中，、为正方体的两个顶点，、、为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线不平行与平面的是(　　)

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】对于A选项，如下图所示，连接，

在正方体中，且，所以，四边形为平行四边形，则，

、分别为、的中点，则，，

平面，平面，平面；

对于B选项，连接，如下图所示：

在正方体中，且，所以，四边形为平行四边形，则，

、分别为、的中点，则，，

平面，平面，平面；

对于C选项，连接，如下图所示：

在正方体中，且，所以，四边形为平行四边形，则，

、分别为、的中点，则，，

平面，平面，平面；

对于D选项，如下图所示，连接交于点，连接，连接交于点，

若平面，平面，平面平面，则，

则，

由于四边形为正方形，对角线交于点，则为的中点，

、分别为、的中点，则，且，

则，，

则，又，则，所以，与平面不平行；

故选：D.

6．(2020·苏州新草桥中学高一期中)如图所示，在三棱柱ABC­中，E，F，G，H分别是AB，AC，，的中点，求证：

(1)B，C，H，G四点共面；

(2)E∥平面BCHG.

【答案】(1)证明见详解；(2)证明见详解；

【解析】(1)∵G，H分别是，的中点，

∴，而，

∴，即B，C，H，G四点共面.

(2)∵E，G分别是AB，的中点，

∴平行且相等，所以四边形为平行四边形，即，又面，面，

∴面，

7．(2020·湖南岳阳市·岳阳一中高一月考)如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥BD，BC=3，BD=4，直线AD与平面BCD所成的角为45°，点E，F分别是AC，AD的中点．

(1)求证：EF∥平面BCD；

(2)求三棱锥A﹣BCD的体积．

【答案】(1)证明见解析；(2)8

【解析】

(1)∵点E，F分别是AC，AD的中点，

∴EF∥CD，又∵EF⊄平面BCD，CD⊂平面BCD，

∴平面BCD；

(2)∵AB⊥平面BCD，

∴∠ADB为直线AD与平面BCD所成的角，

∵BC⊥BD，,

∴三棱锥A﹣BCD的体积．

8．(2020·云南高一期末)如图，在四棱锥中，平面，底面为梯形，，，，，为的中点．

(1)证明：平面；

(2)求三棱锥的体积．

【答案】(1)证明见解析；(2).

【解析】(1)设为的中点，连结，，

∵为的中位线，∴，且，

又，，∴，且，

∴四边形是平行四边形，∴，

又平面，平面，

∴平面．

(2)∵是的中点，

∴三棱锥，

又，，∴是等边三角形，

∴，到的距离为，

又，∴，

∵平面，

∴，

∴三棱锥的体积．

9．(2020·四川绵阳市·高一期末)如图，在四棱柱中，底面是平行四边形，平面，，，是的中点.

(1)证明：平面；

(2)若，求三棱锥的体积.

【答案】(1)证明见解析；(2)3.

【解析】(1)证明：连接交于点，连接.

∵底面是平行四边形，∴点为的中点.

∵点是棱的中点，∴为的中位线，

∴，

又平面，平面，

∴平面.

(2)∵是棱的中点，

∴点到平面的距离等于点到平面的距离的一半，

∴点到平面的距离，

∴三棱锥的体积，

即三棱锥的体积为3.

【题组二 面面平行】

1．(2020·浙江杭州市·高一期末)已知直线a与平面，能使的充分条件是(    )

①      ②      ③      ④

A．①② B．②③ C．①④ D．②④

【答案】D

【解析】对①，若，垂直于同一个平面的两个平面可以相交，故①错误；

对②，若，则，平面的平行具有传递性，故②正确；

对③，若，平行于同一直线的两平面可以相交，故③错误；

对④，，垂直于同一直线的两平面平行，故④正确.

综上：②④正确，

故选：D.

2．(2020·全国高一课时练习)如图，在下列四个正方体中，P，R，Q，M，N，G，H为所在棱的中点，则在这四个正方体中，阴影平面与PRQ所在平面平行的是(    )

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】由题意可知经过P、Q、R三点的平面即为平面，如下图所示：

对选项：可知N在经过P、Q、R三点的平面上，所以B、C错误；

对：MC1与是相交直线，所以A不正确；

对：因为//，，//，

又容易知也相交，

平面；平面，

故平面//平面

故选：.

3．(2020·江苏苏州市·常熟中学高一月考)已知，为两条不重合直线，，为两个不重合平面，下列条件中，一定能推出的是(    )

A．，， B．，，

C．，， D．，，

【答案】B

【解析】只有一对直线平行，不能得出两平面平行，A错，

由，可得，再由线面垂直的性质可得，B正确；

C中两平面，没有任何关系，不能得出平行，C错；

由，，可以得出，不能得出平行，D错．

故选：B．

【题组三 平行的综合运用】

1(2020·全国高一课时练习)(多选题)在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，给出下列四个推断：

其中推断正确的序号是(    )

A．FG∥平面AA1D1D； B．EF∥平面BC1D1；

C．FG∥平面BC1D1； D．平面EFG∥平面BC1D1

【答案】AC

【解析】在正方体中，，，分别是，，的中点，

，，，

平面，平面，平面，故A正确；

，与平面相交，与平面相交，故B错误；

，，分别是，，的中点，

，平面，平面，

平面，故C正确；

与平面相交，平面与平面相交，故D错误．

故选：AC．

2．(2020·全国高一单元测试)(多选)如图是一几何体的平面展开图,其中四边形ABCD为正方形E,F,G,H分别为的中点.在此几何体中,给出下列结论,其中正确的结论是(    )

A．平面平面 B．直线平面

C．直线平面 D．直线平面

【答案】ABC

【解析】作出立体图形如图所示.连接四点构成平面.

对于A，因为E,F分别是的中点,所以.又平面，平面，所以平面.同理, 平面.又,平面,平面，所以平面平面，故A正确；

对于B，连接，设的中点为M，则M也是的中点，所以，又平面,平面，所以平面，故B正确；

对于C，由A中的分析知，，所以，因为平面，平面，所以直线平面，故C正确；

对于，根据C中的分析可知再结合图形可得，，则直线与平面不平行，故D错误.

故选：ABC

3．(2021·全国高一课时练习)如图，在正方体中，点，，分别是，，的中点，给出下列5个推断：

①平面；    ②平面；

③平面；        ④平面平面；

⑤平面平面.

其中推断正确的序号是_________.

【答案】①③⑤

【解析】对于①，可知在正方体中，平面平面，且平面，平面，故①正确；

对于②，，是，的中点，，与平面相交，故与平面不平行，故②错误；

对于③， ，是，的中点，，平面，平面，平面，故③正确；

对于④，由②得与平面不平行，则平面与平面不平行，故④错误；

对于⑤，由①得，平面，平面，平面，由③得，平面，平面，平面，，平面平面，故⑤正确.

故答案为：①③⑤.

4．(2020·全国高一课时练习)如图，在棱长为2的正方体中，是的中点，点是侧面上的动点，且截面，则线段长度的取值范围是(    ).

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】取CD的中点为N,的中点为R,的中点为H,作图如下:

由图可知,,

所以四边形为平行四边形,

所以,

因为,

所以,

因为,

故平面MNRH//平面,

因为截面,

所以平面,线段MP扫过的图形为,

由知,,

在中,,

即,所以，

所以,即为直角,

故线段长度的取值范围为,即,

故选:B

5．(2020·全国高一课时练习)如图，在棱长为1的正方体中，点分别是棱，的中点，是侧面内一点，若平面，则线段长度的取值范围是( )

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】如下图所示，分别取棱的中点M、N，连MN，，

∵分别为所在棱的中点，则，

∴MN∥EF，又MN⊄平面AEF，EF⊂平面AEF，

∴MN∥平面AEF．

∵，

∴四边形为平行四边形，

∴，

又平面AEF，AE⊂平面AEF，

∴∥平面AEF，

又，

∴平面∥平面AEF．

∵P是侧面内一点，且∥平面AEF，

∴点P必在线段MN上．

在中，．

同理，在中，可得，

∴为等腰三角形．

当点P为MN中点O时，，此时最短；点P位于M、N处时，最长．

∵，．

∴线段长度的取值范围是．

故选B．

6．(2021·全国高一课时练习)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是BC，CC1，C1D1，A1A的中点．求证：

(1)BFHD1；

(2)EG平面BB1D1D．

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析．

【解析】证明：(1)如图所示，取BB1的中点M，连接MH，MC1，易证四边形HMC1D1是平行四边形，

所以HD1∥MC1．

又因为在平面BCC1B1中，BMFC1，BM=FC1

所以四边形BMC1F为平行四边形，

所以MC1∥BF，

所以BF∥HD1．

(2)取BD的中点O，连接EO，D1O，

则OE∥DC且OE＝DC，

又D1G∥DC且D1G＝DC，

所以OED1G，OE=D1G

所以四边形OEGD1是平行四边形，

所以GE∥D1O．

又D1O⊂平面BB1D1D，GE平面BB1D1D，

所以EG∥平面BB1D1D．

7．(2020·全国高一课时练习)如图，三棱柱中，D，E，F分别为棱，，中点.

(1)求证：平面；

(2)求证：平面.

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.

【解析】(1)在中，D，E分别为棱，中点.

所以，

因为平面，平面，

所以平面.

(2)在三棱柱中，，

因为E，F分别为，中点，

所以，

所以是平行四边形，

所以，

因为平面，平面，

所以平面，

又因为平面，，

所以平面平面，

所以平面.

8．(2020·全国高一课时练习)已知正方体中，､分别为对角线､上的点，且．

(1)求证：平面；

(2)若是上的点，的值为多少时，能使平面平面？请给出证明．

【答案】(1)证明见解析；(2)的值为，证明见解析．

【解析】

(1)连结并延长与的延长线交于点，

因为四边形为正方形，

所以，

故，

所以，

又因为，

所以，

所以．

又平面，平面，

故平面．

(2)当的值为时，能使平面平面．

证明：因为，

即有，

故．

所以．

又平面，平面，

所以平面，

又，平面．

所以平面平面．

【题组四 线面、面面平行的性质】

1．(2021·全国高一课时练习)如图，四棱锥的底面是边长为1的正方形，点是棱上一点，，若且满足平面，则______．

【答案】

【解析】如图，连接，交于点，连接，则，

在线段取一点使得，则.

连接，则，

又因为平面，平面，

所以平面.

因为平面且满足，故平面平面.

因为平面平面，平面平面，则.

所以，即为所求.

故答案为：.

2．(2021·陕西省黄陵县中学高一期末)如图，梯形中，，E是的中点，过和点E的平面与交于点F.求证：.

【答案】证明见解析

【解析】∵，平面，平面，

∴平面，

∵平面，平面平面，

∴

3．(2021·六盘山高级中学高一期末)如图所示，在四棱锥P-ABCD中，BC//平面PAD，，E是PD的中点.

(1)求证：BC//AD；

(2)求证：CE//平面PAB.

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.

【解析】证明：在四棱锥中，

平面PAD，平面ABCD，

平面平面，

，

取PA的中点F，连接EF，BF，

是PD的中点，

，，

又由可得，且，

，，

 四边形BCEF是平行四边形，

，

平面PAB，平面PAB，

  平面PAB.

4．(2020·六盘山高级中学高一月考)如图，在五面体中，四边形是矩形，求证：.

【答案】证明见解析

【解析】因为四边形ABCD是矩形，

所以.

因为平面CDEF，平面CDEF，

所以平面CDEF.

因为平面ABFE，平面平面，

所以.

5．(2020·浙江杭州市·高一期末)如图：是平行四边形平面外一点，，分别是，上的点，且，求证：平面SBC

【答案】证明见解析.

【解析】

过点作，交于，连接，可得，

又因为，所以，

所以，

又因为不在平面内，平面，

所以平面，

又，所以，不在平面内，平面，

平面，

，所以平面平面，

因为平面，

所以平面SBC