苏州外国语学校2020-2021学年初二数学下学期期中试卷（解析版）

这是一份苏州外国语学校2020-2021学年初二数学下学期期中试卷（解析版），共34页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

苏州外国语学校2020~2021学年度第二学期期中调研试卷
初二数学
（满分100分，时间120分钟）
一、选择题（每题2分，共20分）
1. 下列图形中，不是中心对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
2. 若分式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（　　）
A. x≠1 B. x≠﹣l C. x≥l D. x＞﹣1
3. 下列选项中，运算正确的是（）
A. B. C. D.
4. 函数和在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（）
A. B. C. D.
5. 下列关系中，是菱形的性质但不是平行四边形的性质的是（）
A. 对角线垂直 B. 两组对边分别平行 C. 对角线互相平分 D. 两组对角分别相等
6. 已知是方程的一个根，则代数式的值应在（）
A. 4和5之间 B. 3和4之间 C. 2和3之间 D. 1和2之间
7. 若菱形的周长为16，高为2，则菱形两邻角的度数之比为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知，则的值是（）
A. B. C. D.
9. 如图1，在平面直角坐标系中，在第一象限，且轴．直线从原点出发沿轴正方向平移．在平移过程中，直线被截得的线段长度与直线在轴上平移的距离的函数图象如图2所示．那么的面积为（）

A. 3 B. C. 6 D.
10. 如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对角线AC的中点与坐标原点重合，点E是x轴上一点，连接AE．若AD平分，反比例函数的图象经过AE上的两点A，F，且，的面积为18，则k的值为（）

A. 6 B. 12 C. 18 D. 24
二、填空题（每题2分，共16分）
11. 反比例函数图像上有两点：和，则的值为_____
12. 与最简二次根式5是同类二次根式，则a=_____．
13. 某厂一月份生产某机器 100 台，计划三月份生产 160 台．设二、三月份每月的平均增长率为 x，根据题意列出的方程是____________．
14. 如图，在矩形中．将沿折叠，使点A恰好体落在对角线上F处，则长是_______．

15. 若关于x的分式方程=2a无解，则a的值为_____．
16. 点（a﹣1，y1）、（a+1，y2）在反比例函数y=（k＜0）图象上，若y1＞y2 ， 则a的取值范围是________．
17. 如图，，，，…，，都是一边在轴上的等边三角形，点，，，…，都在反比例函数的图象上，点，，，…，，都在轴上，则的坐标为________．

18. 如图，正方形的边长为a，点E在边上运动（不与点A，B重合），，点F在射线上，且与相交于点G，连接．则下列结论：①，②的周长为，③；④当时，G是线段的中点，其中正确的结论是_____________．

三、解答题（共9道题，共64分）
19. 计算：(－)×(－)＋|－1|＋(5－2π)0
20. 解方程：（1）；（2）
21. 先化简，再求值：，其中．
22. 已知；如图，在中，，D为边上一点，以为邻边作平行四边形，连换．

（l）求证：：
（2）当点D在什么位置时，四边形是矩形，请说明理由．


23. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系．△ABC的顶点都在格点上．

（1）将△ABC 向右平移 6个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（2）画出△A1B1C1关于点O的中心对称图形△A2B2C2:
（3）若将△ABC 绕某一点旋转可得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标.


24. “节能环保，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行，也给自行车商家带来商机．某自行车行经营的A型自行车去年销售总额为8万元．今年该型自行车每辆售价预计比去年降低200元．若该型车的销售数量与去年相同，那么今年的销售总额将比去年减少10%，求：
（1）A型自行车去年每辆售价多少元；
（2）该车行今年计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍．已知，A型车和B型车的进货价格分别为1500元和1800元，计划B型车销售价格为2400元，应如何组织进货才能使这批自行车销售获利最多．


25. 是一元二次方程的两个实数根，若满足，则此类方程称为“差根方程”．根据“差根方程”的定义．解决下列问题：
（1）通过计算，判断下列方程是否是“差根方程”：；
（2）己知关于x的方程是“差根方程”，求a的值；
（3）若关于x方程（a，b是常数，）是“差根方程”，请探索a与b之间的数量关系式．




26. 已知一次函数和反比例函数．

（1）如图1，若，且函数的图象都经过点
①求m，k值；
②直接写出当时x的范围；
（2）如图2，过点作y轴平行线l与函数为的图象相交于点B，与反比例函数的图象相交于点C，
①若．直线l与函数的图象相交点D．当点B、C、D中的一点到另外两点的距离相等时，求的值：
②过点B作x轴的平行线与函数的图象相交于点E．当的值取不大于1的任意实数时，点B、C间的距离与点B、E间的距离之和d始终是一个定值．求此时k的值及定值d
27. 已知：如图①，在矩形中，，垂足是E点F是点E关于的对称点，连接．

（1）求和的长；
（2）若将沿着射线方向平移，设平移的距离为m（平移距离指点B沿方向所经过的线段长度）当点F分别平移到线段上时，求出相应的m的值;
（3）如图②，将绕点B顺时针旋转一个角，记旋转中的为，在旋转过程中，设所在的直线与边交于点P与直线交于点Q是否存在这样的P、Q两点，使为等腰三角形？若存在，直接写出此时的长：若不存在，请说明理由．
一、选择题（每题2分，共20分）
1. 下列图形中，不是中心对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
【1题答案】
【答案】D
【解析】
【分析】根据中心对称图形的定义分别进行判断，即可得出结论．
【详解】解：A、是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、不是中心对称图形，故此选项符合题意．
故选：D．
【点睛】此题考查了中心对称图形的识别，掌握中心对称图形的定义是解题的关键．
2. 若分式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（　　）
A. x≠1 B. x≠﹣l C. x≥l D. x＞﹣1
【2题答案】
【答案】B
【解析】
【分析】直接利用使分式有意义的条件即可解答．
【详解】根据题意可知，即．
故选：B．
【点睛】本题考查分式有意义的条件．掌握分母不为“0”时分式有意义是解答本题的关键．
3. 下列选项中，运算正确的是（）
A. B. C. D.
【3题答案】
【答案】D
【解析】
【分析】直接利用二次根式的混合运算法则分别计算得出答案．
【详解】解：A、，故此选项错误；
B、，故此选项错误；
C、，故此选项错误；
D、，故此选项正确；
故选：D．
【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
4. 函数和在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（）
A.

B.

C.
D.
【4题答案】
【答案】D
【解析】
【分析】根据题目中的函数解析式，利用分类讨论的方法可以判断各个选项中的函数图象是否正确，从而可以解答本题．
【详解】∵反比例函数和一次函数
∴当时，函数在第一、三象限，一次函数经过一、二、四象限，故选项A、B错误，选项D正确；
当时，函数在第二、四象限，一次函数经过一、二、三象限，故选项C错误，
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的方法解答．
5. 下列关系中，是菱形的性质但不是平行四边形的性质的是（）
A. 对角线垂直 B. 两组对边分别平行 C. 对角线互相平分 D. 两组对角分别相等
【5题答案】
【答案】A
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质和菱形的性质对各选项进行判断．
【详解】解：A、菱形的对角线互相垂直平分、平行四边形的对角线互相平分，符合题意；
B、菱形、平行四边形的对边平行且相等，不符合题意；
C、菱形、平行四边形的对角线互相平分，不符合题意；
D、菱形、平行四边形的两组对角分别相等，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．也考查了平行四边形的性质．
6. 已知是方程的一个根，则代数式的值应在（）
A. 4和5之间 B. 3和4之间 C. 2和3之间 D. 1和2之间
【6题答案】
【答案】A
【解析】
【分析】先依据一元二次方程的定义得到a的代数式的值整体代入，再对估算，从而可得代数式的取值范围．
【详解】解：∵是方程的一个根，
∴，即，
∴原式=，
∵，
∴，
∴，即的值在4和5之间，
故选：A．
【点睛】本题考查一元二次方程的解得定义，估算．掌握整体代入法是解题关键．
7. 若菱形的周长为16，高为2，则菱形两邻角的度数之比为（ ）
A. B. C. D.
【7题答案】
【答案】B
【解析】
【分析】如图，AH为菱形ABCD的高，AH＝2，利用菱形的性质得到AB＝4，利用正弦的定义得到∠B＝30°，则∠C＝150°，从而得到∠C：∠B的比值．
【详解】解：如图，AH为菱形ABCD的高，AH＝2，

∵菱形的周长为16，
∴AB＝4，
在Rt△ABH中，sinB＝＝，
∴∠B＝30°，
∵AB∥CD，
∴∠C＝150°，
∴∠C：∠B＝5：1．
故选：B．
【点睛】本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．也考查了正弦的定义及应用．
8. 已知，则的值是（）
A. B. C. D.
【8题答案】
【答案】B
【解析】
【分析】根据已知条件得出x、y同号，并且x、y都是负数，求出x=-1，y=-4或x=-4，y=-1，再求出答案即可．
【详解】解：，，
、同号，并且、都是负数，
解得：，或，，
当，时，
；
当，时，
，
则的值是，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的化简与求值，能选择适当的方法求解是解此题的关键．
9. 如图1，在平面直角坐标系中，在第一象限，且轴．直线从原点出发沿轴正方向平移．在平移过程中，直线被截得的线段长度与直线在轴上平移的距离的函数图象如图2所示．那么的面积为（）

A. 3 B. C. 6 D.
【9题答案】
【答案】B
【解析】
【分析】根据图象可以得到当移动的距离是4时，直线经过点A；当移动距离是6时，直线经过B，在移动距离是7时经过D，则AD=7-4=3，当直线经过D点，设交BC与N.则DN=2，作DM⊥AB于点M.利用三角函数即可求得DM即平行四边形的高，然后利用平行四边形的面积公式即可求解．
【详解】解：根据图象可以得到当移动的距离是4时，直线经过点A
当移动距离是6时，直线经过B
当移动距离是7时经过D，则AD=7-4=3
如图：设交BC与N，则DN=2，作DM⊥AB于点M，
∵移动直线为y=x
∴∠NDM=45°
∴DM=cos∠NDM·ND=
∴的面积为AD×DM=3×=3．
故答案为B．

【点睛】本题考查了平移变换、解直角三角形等知识，其中根据平移变换确定AD的长是解答本题的关键．
10. 如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对角线AC的中点与坐标原点重合，点E是x轴上一点，连接AE．若AD平分，反比例函数的图象经过AE上的两点A，F，且，的面积为18，则k的值为（）

A. 6 B. 12 C. 18 D. 24
【10题答案】
【答案】B
【解析】
【分析】先证明OB∥AE，得出S△ABE=S△OAE=18，设A的坐标为（a，），求出F点的坐标和E点的坐标，可得S△OAE=×3a×=18，求解即可．
【详解】解：如图，连接BD，

∵四边形ABCD为矩形，O为对角线，
∴AO=OD，
∴∠ODA=∠OAD，
又∵AD为∠DAE的平分线，
∴∠OAD=∠EAD，
∴∠EAD=∠ODA，
∴OB∥AE，
∵S△ABE=18，
∴S△OAE=18，
设A的坐标为（a，），
∵AF=EF，
∴F点的纵坐标为，
代入反比例函数解析式可得F点的坐标为（2a，），
∴E点的坐标为（3a，0），
S△OAE=×3a×=18，
解得k=12，
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数和几何综合，矩形的性质，平行线的判定，得出S△ABE=S△OAE=18是解题关键．
二、填空题（每题2分，共16分）
11. 反比例函数图像上有两点：和，则的值为_____
【11题答案】
【答案】-8
【解析】
【分析】利用反比例函数图象上点的坐标特征得到，然后解方程即可．
【详解】解：点和都在反比例函数图象上，
，解得．
故答案为．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数为常数，的图象是双曲线，图象上的点的横纵坐标的积是定值，即．
12. 与最简二次根式5是同类二次根式，则a=_____．
【12题答案】
【答案】2
【解析】
【分析】先将化成最简二次根式，然后根据同类二次根式得到被开方数相同可得出关于a的方程，解出即可．
【详解】解：∵与最简二次根式5是同类二次根式，且=2，
∴a+1=3，解得：a=2．
故答案为2．
【点睛】本题考查了同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．
13. 某厂一月份生产某机器 100 台，计划三月份生产 160 台．设二、三月份每月的平均增长率为 x，根据题意列出的方程是____________．
【13题答案】
【答案】100（1+x）2=160
【解析】
【详解】设二、三月份每月如平均增长率为x，
则二月份生产机器为：100(1+x)，
三月份生产机器为：100(1+x)2，
又知三月份生产160台，
所以，可列方程．
14. 如图，在矩形中．将沿折叠，使点A恰好体落在对角线上F处，则长是_______．

【14题答案】
【答案】5
【解析】
【分析】由ABCD为矩形，得到∠BAD为直角，由折叠得到EF⊥BD，AE=EF，AB=BF，利用勾股定理求出BD长，由BD-BF求出DF的长，在Rt△EDF中，设EF=x，表示出ED，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出DE的长．
【详解】解：∵矩形ABCD，
∴∠BAD=90°，
由折叠可得：EF⊥BD，AE=EF，AB=BF，
在Rt△ABD中，AB=CD=6，BC=AD=8，
根据勾股定理得：BD=10，即FD=10-6=4，
设EF=AE=x，则有ED=8-x，
根据勾股定理得：x2+42=（8-x）2，
解得：x=3，
则DE=8-3=5，
故答案为：5．
【点睛】此题考查了翻折变换，矩形的性质，以及勾股定理，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．
15. 若关于x的分式方程=2a无解，则a的值为_____．
【15题答案】
【答案】1或
【解析】
【详解】解：去分母得：

x-3a=2a（x-3），
整理得：（1-2a）x=-3a，
当1-2a=0时，方程无解，故a=；
当1-2a≠0时，x==3时，分式方程无解，
则a=1，
故关于x的分式方程=2a无解，则a的值为：1或．
故答案为1或．
16. 点（a﹣1，y1）、（a+1，y2）在反比例函数y=（k＜0）的图象上，若y1＞y2 ， 则a的取值范围是________．
【16题答案】
【答案】
【解析】
【详解】∵k<0,
∴函数经过二、四象限，在每个象限y随着x的增大而增大，
∵a-1 ①当点、在图象的同一支


解得：无解
②当点、在图象的两支上

，
解得：
故答案为：
【点睛】本题主要考查了反比例函数的图像与性质，对于反比例函数，当k＞0,反比例函数图象的两个分支在第一、三象限,在每一象限内,y随x的增大而减小；当 k＜0,反比例函数图象的两个分支在第二、四象限,在每一象限内,y随x的增大而增大．
17. 如图，，，，…，，都是一边在轴上的等边三角形，点，，，…，都在反比例函数的图象上，点，，，…，，都在轴上，则的坐标为________．

【17题答案】
【答案】
【解析】
【分析】如图，过点B1作B1C⊥x轴于点C，过点B2作B2D⊥x轴于点D，过点B3作B3E⊥x轴于点E，先在△OCB1中，表示出OC和B1C的长度，表示出B1的坐标，代入反比例函数，求出OC的长度和OA1的长度，表示出A1的坐标，同理可求得A2、A3的坐标，即可发现一般规律．
【详解】如图，过点B1作B1C⊥x轴于点C，过点B2作B2D⊥x轴于点D，过点B3作B3E⊥x轴于点E，

∵△OA1B1为等边三角形，
∴∠B1OC=60°，
∴，B1C= OC，
设OC的长度为x，则B1的坐标为（），代入函数关系式可得：，
解得，x=1或x=-1（舍去），
∴OA1=2OC=2，
∴A1（2，0）
设A1D的长度为y，同理，B2D为y，B2的坐标表示为，
代入函数关系式可得，
解得：y=或y=（舍去）
∴A1D=，A1A2=，OA2=
∴A2（，0）
设A2E的长度为z，同理，B3E为z，B3的坐标表示为，
代入函数关系式可得，
解得：z=或z=（舍去）
∴A2E=，A2A3=，OA3=
∴A3（，0），
综上可得：An（，0），
故答案为：．
【点睛】本题考查图形类规律探索、反比例函数的性质、等边三角形的性质、求解一元二次方程和解直角三角形，灵活运用各类知识求出A1、A2、A3的坐标是解题的关键．
18. 如图，正方形的边长为a，点E在边上运动（不与点A，B重合），，点F在射线上，且与相交于点G，连接．则下列结论：①，②的周长为，③；④当时，G是线段的中点，其中正确的结论是_____________．

【18题答案】
【答案】①④
【解析】
【分析】①正确．如图1中，在BC上截取BH=BE，连接EH．证明△FAE≌△EHC（SAS）即可解决问题．②③错误．如图2中，延长AD到H，使得DH=BE，则△CBE≌△CDH（SAS），再证明△GCE≌△GCH（SAS）即可解决问题．④正确．当BE=a时，设DG=x，则EG=x+a，利用勾股定理构建方程可得x=0.5a即可解决问题．
【详解】解：如图1中，在BC上截取BH=BE，连接EH．

∵BE=BH，∠EBH=90°，
∴EH=BE，
∵AF=BE，
∴AF=EH，
∵∠DAM=∠EHB=45°，∠BAD=90°，
∴∠FAE=∠EHC=135°，
∵BA=BC，BE=BH，
∴AE=HC，
∴△FAE≌△EHC（SAS），
∴EF=EC，∠AEF=∠ECB，
∵∠ECH+∠CEB=90°，
∴∠AEF+∠CEB=90°，
∴∠FEC=90°，
∴∠ECF=∠EFC=45°，故①正确，
如图2中，延长AD到H，使得DH=BE，则△CBE≌△CDH（SAS），

∴∠ECB=∠DCH，
∴∠ECH=∠BCD=90°，
∴∠ECG=∠GCH=45°，
∵CG=CG，CE=CH，
∴△GCE≌△GCH（SAS），
∴EG=GH，
∵GH=DG+DH，DH=BE，
∴EG=BE+DG，故③错误，
∴△AEG的周长=AE+EG+AG=AE+AH=AD+DH+AE=AE+EB+AD=AB+AD=2a，故②错误，
当BE=a时，设DG=x，则EG=x+a，
在Rt△AEG中，则有（x+a）2=（a-x）2+（a）2，
解得x=，
∴AG=GD，故④正确，
故答案为：①④．
【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
三、解答题（共9道题，共64分）
19. 计算：(－)×(－)＋|－1|＋(5－2π)0
【19题答案】
【答案】
【解析】
【分析】按顺序先分别进行二次根据的乘法运算、绝对值的化简、0次幂的计算，然后再按运算顺序进行计算即可.
【详解】(－)×(－)＋|－1|＋(5－2π)0
＝3＋－1＋1
＝4.
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算的法则是解题的关键.
20. 解方程：（1）；（2）
【20题答案】
【答案】（1），；（2）
【解析】
【分析】（1）利用配方法求解即可；
（2）把分式方程去分母，化为整式方程，再求解，最后检验即可．
【详解】解：（1），
∴，
∴，
∴，
解得：，．
（2），
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，
经检验是原方程的解．
【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程和解分式方程．注意，分式方程需要验根．
21. 先化简，再求值：，其中．
【21题答案】
【答案】﹣7﹣4．
【解析】
【详解】分析：首先将括号里面通分运算，再将分子与分母分解因式，进而化简得出答案．
详解：原式=
=
=，
当时，
原式==﹣7﹣4．
点睛：此题主要考查了分式化简求值，正确分解因式是解题关键．
22. 已知；如图，在中，，D为边上一点，以为邻边作平行四边形，连换．


（l）求证：：
（2）当点D在什么位置时，四边形是矩形，请说明理由．
【22题答案】
【答案】（1）见解析；（2）点D在BC的中点
【解析】
【分析】（1）利用等腰三角形的性质以及平行四边形的性质可以证得∠1=∠2；
（2）根据平行四边形性质推出AE=BD=CD，AE∥CD，得出平行四边形，根据AC=DE推出即可．
【详解】解：（1）∵AB=AC，
∴∠B=∠2，
又∵四边形ABDE是平行四边形，
∴AB∥DE，
∴∠B=∠1，
∴∠1=∠2；
（2）点D在BC的中点上时，四边形ADCE是矩形，理由如下：
∵四边形ABDE是平行四边形，
∴AE=BD，AE∥BC，
∵D为边长BC的中点，
∴BD=CD，
∴AE=CD，AE∥CD，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵△ADC≌△ECD，
∴AC=DE，
∴四边形ADCE是矩形．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质，矩形的判定的应用，证明两线段相等常用的方法就是转化为证两三角形全等．
23. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系．△ABC的顶点都在格点上．

（1）将△ABC 向右平移 6个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（2）画出△A1B1C1关于点O的中心对称图形△A2B2C2:
（3）若将△ABC 绕某一点旋转可得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标.
【23题答案】
【答案】（1）图见解析；（2）图见解析；（3）
【解析】
【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而画出图形；
（2）分别找出各个顶点关于原点对称的点从而画出图形；
（3）根据图形可得出旋转中心．
【详解】（1）如图：

（2）如图：

（3）如图：

根据图形可得：旋转中心的坐标
【点睛】本题考查平移、中心对称、旋转作图，掌握相关的点的变换是解题关键．
24. “节能环保，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行，也给自行车商家带来商机．某自行车行经营的A型自行车去年销售总额为8万元．今年该型自行车每辆售价预计比去年降低200元．若该型车的销售数量与去年相同，那么今年的销售总额将比去年减少10%，求：
（1）A型自行车去年每辆售价多少元；
（2）该车行今年计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车进货数量不超过A型车数量的两倍．已知，A型车和B型车的进货价格分别为1500元和1800元，计划B型车销售价格为2400元，应如何组织进货才能使这批自行车销售获利最多．
【24题答案】
【答案】(1) 2000元（2）A型车20辆，B型车40辆
【解析】
【分析】（1）设去年A型车每辆售价x元，则今年售价每辆为（x﹣200）元，由卖出的数量相同列出方程求解即可；
（2）设今年新进A型车a辆，则B型车（60﹣a）辆，获利y元，由条件表示出y与a之间的关系式，由a的取值范围就可以求出y的最大值．
【详解】解：（1）设去年A型车每辆售价x元，则今年售价每辆为（x﹣200）元，由题意，得
，
解得：x=2000．
经检验，x=2000是原方程的根．
答：去年A型车每辆售价为2000元；
（2）设今年新进A型车a辆，则B型车（60-a）辆，获利y元，由题意，得
y=（2000-1500-200）a+（2400-1800）（60-a），
y=－300a+36000．
∵B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，
∴60-a≤2a，
∴a≥20．
∵y=－300a+36000．
∴k=－300＜0，
∴y随a的增大而减小．
∴a=20时，y最大=30000元．
∴B型车的数量为：60-20=40辆．
∴当新进A型车20辆，B型车40辆时，这批车获利最大．
【点睛】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用．
25. 是一元二次方程的两个实数根，若满足，则此类方程称为“差根方程”．根据“差根方程”的定义．解决下列问题：
（1）通过计算，判断下列方程是否是“差根方程”：；
（2）己知关于x的方程是“差根方程”，求a的值；
（3）若关于x的方程（a，b是常数，）是“差根方程”，请探索a与b之间的数量关系式．
【25题答案】
【答案】（1）不是差根方程；（2）；（3）
【解析】
【分析】（1）根据“差根方程”定义判断即可；
（2）根据是“差根方程”，且，得到，从而得到；
（3）设，是一元二次方程，是常数，的两个实数根，根据根与系数的关系得到，整理即可得到．
【详解】解：（1）设，是一元二次方程的两个实数根，
，，
，
方程不是差根方程；
（2），
因式分解得：，
解得：，，
关于的方程是“差根方程”，
，即；
（3）设，是一元二次方程，是常数，的两个实数根，
，，
关于的方程，是常数，是“差根方程”，
，
，即，
．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，正确的理解“差根方程”的定义是解题的关键．
26. 已知一次函数和反比例函数．

（1）如图1，若，且函数的图象都经过点
①求m，k的值；
②直接写出当时x的范围；
（2）如图2，过点作y轴的平行线l与函数为的图象相交于点B，与反比例函数的图象相交于点C，
①若．直线l与函数的图象相交点D．当点B、C、D中的一点到另外两点的距离相等时，求的值：
②过点B作x轴的平行线与函数的图象相交于点E．当的值取不大于1的任意实数时，点B、C间的距离与点B、E间的距离之和d始终是一个定值．求此时k的值及定值d
【26题答案】
【答案】（1）①m=12，k=3；②x＞3；（2）①或6；②k=1，d=1
【解析】
【分析】（1）①将点的坐标代入一次函数表达式即可求解，将点的坐标代入反比例函数表达式，即可求解；
②由图象可以直接看出；
（2）①，，，由或或得：，即可求解；
②点的坐标为，，，即可求解．
【详解】解：（1）①将点A的坐标代入一次函数表达式并解得：k=3，
将点A的坐标代入反比例函数得：m=3×4=12；
②由图象可以看出x＞3时，y1＞y2；
（2）①当x=1时，点D、B、C的坐标分别为（1，3+n）、（1，m）、（1，n）（C在D的下方），
当B为中点时，
则BD=BC，即3+n-m=m-n，
则m-n=；
当D为中点时，
则DB=DC，即m-（3+n）=3+n-n，
故m-n=6，
当C为中点时，因为点C一定在点D的下方，故这种情况不存在；
当B与D重合时，C到B，D的距离相等，
则m=n+3，即m-n=3，
∵D不在C下方，故不符合；
∴m-n=或6．

②点E的横坐标为：，
当点在点左侧时，
，
的值取不大于1的任意数时，始终是一个定值，
当时，此时，从而．
当点在点右侧时，
同理，
当，时，（不合题意舍去）
故，．
【点睛】本题为反比例函数综合运用题，涉及到一次函数、函数定值的求法，关键是通过确定点的坐标，求出对应线段的长度，进而求解．
27. 已知：如图①，在矩形中，，垂足是E点F是点E关于的对称点，连接．

（1）求和的长；
（2）若将沿着射线方向平移，设平移的距离为m（平移距离指点B沿方向所经过的线段长度）当点F分别平移到线段上时，求出相应的m的值;
（3）如图②，将绕点B顺时针旋转一个角，记旋转中的为，在旋转过程中，设所在的直线与边交于点P与直线交于点Q是否存在这样的P、Q两点，使为等腰三角形？若存在，直接写出此时的长：若不存在，请说明理由．
【27题答案】
【答案】（1）AE=4，BE=3；（2）3或；（3）或或或
【解析】
【分析】（1）利用矩形性质、勾股定理及三角形面积公式求解；
（2）依题意画出图形，如答图2所示．利用平移性质，确定图形中的等腰三角形，分别求出的值；
（3）在旋转过程中，等腰有4种情形，如答图3所示，对于各种情形分别进行计算．
【详解】解：（1）在中，，，
由勾股定理得：．
，
．
在中，，，
由勾股定理得：．
（2）设平移中的三角形为△，如答图2所示：
由对称点性质可知，．
由平移性质可知，，，．

①当点落在上时，
，
，
，
，即；
②当点落在上时，
，
，
，，
，
又易知，
△为等腰三角形，
，
，即．
（3）存在．理由如下：
在旋转过程中，等腰依次有以下4种情形：
①如答图所示，点落在延长线上，且，易知，

，，
，
，
．
在△中，由勾股定理得：．
；
②如答图所示，点落在上，且，易知，

，
，
，则此时点落在边上．
，
，
，
．
在中，由勾股定理得：，
即：，
解得：，
；
③如答图所示，点落在上，且，易知．

，，
．
，
．
，
，
，
，
．
在△中，由勾股定理得：，
；
④如答图所示，点落在上，且，易知．

，，，
，
，
．
综上所述，存在4组符合条件的点、点，使为等腰三角形；
的长度分别为或或或．
【点睛】本题是几何变换压轴题，涉及旋转与平移变换、矩形、勾股定理、等腰三角形等知识点．第（3）问难度很大，解题关键是画出各种旋转图形，依题意进行分类讨论；在计算过程中，注意识别旋转过程中的不变量，注意利用等腰三角形的性质简化计算