2022年中考数学二轮专题《特殊四边形探究》（含答案）

2022年中考数学二轮专题

《特殊四边形探究》

一 、选择题

1.如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=60°，AB=AD=BO=4，OC=8，点P从B点出发，沿四边形ABCD的边BA→AD→DC以每分钟一个单位长度的速度匀速运动，若运动的时间为t，△POD的面积为S，则S与t的函数图象大致为(    )

2.如图，面积为24的正方形ABCD中，有一个小正方形EFGH，其中E、F、G分别在AB、BC、FD上．若BF=，则小正方形的周长为（      ）

A.              B.              C.             D.

3.如图，点E是矩形ABCD边AD上的一个动点，且与点A、点D不重合，连结BE、CE，过点B作BF∥CE，过点C作CF∥BE，交点为F点，连接AF、DF分别交BC于点G、H，则下列结论错误的是（　　）

A.GH=BC

B.S△BGF+S△CHF=S△BCF

C.S四边形BFCE=AB•AD

D.当点E为AD中点时，四边形BECF为菱形

4.如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线AC上的两个动点，P是正方形四边上的任意一点，且AB=4，EF=2，设AE=x．

当△PEF是等腰三角形时，下列关于P点个数的说法中，一定正确的是(　　)

①当x=0(即E、A两点重合)时，P点有6个

②当0＜x＜4﹣2时，P点最多有9个

③当P点有8个时，x=2﹣2

④当△PEF是等边三角形时，P点有4个

A．①③       B．①④       C．②④      D．②③

二 、填空题

5.如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=4.点E在边AB上，点F在边CD上，点G，H在对角线AC上．若四边形EGFH是菱形，则AE的长为        ．

6.已知平行四边形ABCD的顶点A在第三象限，对角线AC的中点在坐标原点，一边AB与x轴平行且AB=2，若点A的坐标为(a，b)，则点D的坐标为              ．

7.如图，正方形ABCD边长为1，以AB为直径作半圆，点P是CD中点，BP与半圆交于点Q，连结DQ.

给出如下结论：①DQ=1；②=；③S△PDQ=；④cos∠ADQ=.

其中正确结论是         .(填写序号)

8.如图，边长一定的正方形ABCD，Q为CD上一个动点，AQ交BD于点M，过M作MN⊥AQ交BC于点N，作NP⊥BD于点P，连接NQ.

下列结论：①AM=MN；②MP=BD；③BN+DQ=NQ；④为定值.

其中一定成立的是　   　.

9.如图，菱形OABC的一边OA在x轴的负半轴上，O是坐标原点，A点坐标为(﹣10，0)，对角线AC和OB相交于点D且AC•OB=160.若反比例函数y=(x＜0)的图象经过点D，并与BC的延长线交于点E，则S△OCE：S△OAB=_________.

三 、解答题

10.点A，C为半径是3的圆周上两点，点B为的中点，以线段BA，BC为邻边作菱形ABCD，顶点D恰在该圆直径的三等分点上，求该菱形的边长．

11.如图，一次函数y=kx＋b的图象与反比例函数y=(x＞0)的图象交于点P(n，2)，与x轴交于点A(－4，0)，与y轴交于点C，PB⊥x轴于点B，且AC=BC.

(1)求一次函数和反比例函数的解析式；

(2)反比例函数图象上是否存在点D，使四边形BCPD为菱形？如果存在，求出点D的坐标；如果不存在，说明理由．

12.如图，四边形ABCD是以坐标原点O为对称中心的矩形，A(1，3)，B(﹣3，﹣1)，该矩形的边与坐标轴分别交于点E、F、G、H，连接EC.

(1)直接写出点C的坐标；

(2)判断点(1，﹣1.2)在矩形ABCD的内部还是外部；

(3)求四边形ECHO的面积；

(4)如果反比例函数的图象过点A，那么它是否一定过点D？请说明理由.

13.如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，将对角线AC绕对角线交点O旋转，分别交边AD、BC于点E.F，点P是边DC上的一个动点，且保持DP=AE，连接PE.PF，设AE=x(0＜x＜3).

(1)填空：PC=_____，FC=_________；(用含x的代数式表示)

(2)求△PEF面积的最小值；

(3)在运动过程中，PE⊥PF是否成立？若成立，求出x的值；若不成立，请说明理由.

四 、综合题

14.如图，抛物线y=x2－2x－3与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC=3OB.

(1)点D在y轴上，且∠BDO=∠BAC，求点D的坐标；

(2)点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

15.如图，已知抛物线y=ax2(a≠0)与一次函数y=kx+b的图象相交于A(﹣1，﹣1)，B(2，﹣4)两点，点P是抛物线上不与A，B重合的一个动点，点Q是y轴上的一个动点.

(1)请直接写出a，k，b的值及关于x的不等式ax2＜kx﹣2的解集；

(2)当点P在直线AB上方时，请求出△PAB面积的最大值并求出此时点P的坐标；

(3)是否存在以P，Q，A，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出P，Q的坐标；若不存在，请说明理由.

16.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2＋bx＋c的顶点坐标为(2，9)，与y轴交于点A(0，5)，与x轴交于点E，B.

(1)求二次函数y=ax2＋bx＋c的表达式；

(2)过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上的一点(点P在AC上方)，作PD平行于y轴交AB于点D，当点P在何位置时，四边形APCD的面积最大？并求出最大面积；

(3)若点M在抛物线上，点N在其对称轴上，使得以A，E，N，M为顶点的四边形是平行四边形，且AE为其一边，求点M，N的坐标.

0.答案解析

1.答案为：D.

2.C

3.答案为：B.

解析：连接EF交BC于O.

∵BF∥CE，CF∥BE，∴四边形BECF是平行四边形，∴EO=OF，

∵GH∥AD，∴AG=GF，HD=FH，∴GH=AD，故选项A正确，

∵BG+CH=GH，∴S△BGF+S△CHF=S△BCF故选项B错误，

∵S四边形BFCE=2S△EBC=2××BC×AB=BC×ABAB•AD，故选项C正确，

∵当点E为AD中点时，易证EB=EC，所以四边形BECF为菱形，

4.答案为：B.

解：①如图1，当x=0(即E、A两点重合)时，P点有6个；故①正确；

②当0＜x＜4﹣2时，P点最多有8个．故②错误．

③当P点有8个时，如图2所示：

当0＜x＜﹣1或﹣1＜x＜4﹣4

或2＜x＜4﹣﹣1或4﹣﹣1＜x＜4﹣2时，P点有8个；故③错误；

④如图3，当△PMN是等边三角形时，P点有4个；故④正确；

当△PEF是等腰三角形时，关于P点个数的说法中，不正确的是②③，

一定正确的是①④；故选：B．

二 、填空题

5.答案为：5.

6.答案为：(－2－a，－b)或(2－a，－b)．

解析：如图1，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB=2，∵A的坐标为(a，b)，

AB与x轴平行，∴B(2＋a，b)，∵点D与点B关于原点对称，∴D(－2－a，－b)，

如图2，∵B(a－2，b)，∵点D与点B关于原点对称，∴D(2－a，－b)，

综上所述：D(－2－a，－b)或(2－a，－b)．

7.答案为：①②④.

解析：①正确．理由：连结OQ，OD，

∵DP=CD=BO=AB，且DP∥OB，∴四边形OBPD是平行四边形．

∴∠AOD=∠OBQ，∠DOQ=∠OQB，∵OB=OQ，∴∠OBQ=∠OQB，

∴∠AOD=∠DOQ，∴△AOD≌△QOD，∴∠OQD=∠DAO=90°，DQ=AD=1.所以①正确．

②正确．理由：延长DQ交BC于点E，过点Q作QF⊥CD，垂足为F，

根据切线长定理，得QE=BE，设QE=x，则BE=x，DE=1＋x，CE=1－x，

在Rt△CDE中，(1＋x)2=(1－x)2＋1，解得x=，CE=，

∵△DQF∽△DEC，∴==，得FQ=，

∵△PQF∽△PBC，∴==，∴=，所以②正确；

③错误，理由：S△PDQ=DP·QF=××=，所以③错误；

④正确，理由：∵AD∥BC，∴∠ADQ=∠DEC，

∴cos∠ADQ=cos∠DEC===，所以④正确．

故答案为①②④.

8.答案为：①②③④.

9.答案为：1：5.

三 、解答题

10.解：过B作直径，连结AC交AO于E，

∵点B为的中点，∴BD⊥AC，

①如图①，∵点D恰在该圆直径的三等分点上，

∴BD=×2×3=2，∴OD=OB－BD=1，

∵四边形ABCD是菱形，∴DE=BD=1，∴OE=2，

连结OC，∵CE==，∴CD==；

②如图②，BD=×2×3=4，

同理可得，OD=1，OE=1，DE=2，连结OC，

∵CE==2，∴CD==2

11.解：(1)∵AC=BC，CO⊥AB，A(－4，0)，

∴O为AB的中点，即OA=OB=4，

∴P(4，2)，B(4，0)，

解得

∴一次函数解析式为y=x＋1，将P(4，2)代入反比例函数解析式得m=8，

即反比例解析式为y=

(2)假设存在这样的D点，使四边形BCPD为菱形．如图，连结CD与PB交于E，

∵四边形BCPD为菱形，PB⊥x轴，∴CE=DE=4，CD⊥PB，∴CD=8，CD∥x轴，

又由一次函数解析式y=x＋1得C(0，1)，

∴D点坐标(8，1)，将D点坐标代入反比例函数解析式得，左边=右边，

∴反比例函数上存在D(8，1)，使四边形BCPD为菱形.

12.解：(1)∵A、C关于原点对称，A(1，3)，

∴C(﹣1，﹣3).

(2)∵B、D关于原点对称，B(﹣3，﹣1)，

∴D(3，1)，

设直线CD的解析式为y=kx+b，则有

，解得，

∴直线CD的解析式为y=x﹣2，

∵x=1时，y=﹣1，

﹣12＜﹣1，

∴点(1，﹣1.2)在直线CD的下方，

∴点(1，﹣1.2)在矩形ABCD的外部.

(3)∵直线CD的解析式为y=x﹣2，

∴H(0，﹣2)，F(2，0)，

∵E、F关于原点对称，

∴E(﹣2，0)，连接OC，

∴S四边形ECHO=S△EOC+S△OHC=×2×3+×2×1=4.

(4)一定过点D.

理由：∵过点A(1，3)的反比例函数的解析式为y=，

∵x=3时，y=1，

∴D(3，1)也在反比例函数的图象上.

13.解：(1)∵四边形ABCD是矩形[w~ww.zz#st^ep%.@com]

∴AD∥BC，DC=AB=3，AO=CO

∴∠DAC=∠ACB，且AO=CO，∠AOE=∠COF

∴△AEO≌△CFO(ASA)

∴AE=CF

∵AE=x，且DP=AE

∴DP=x，CF=x，DE=4﹣x，

∴PC=CD﹣DP=3﹣x

故答案为：3﹣x，x

(2)∵S△EFP=S梯形EDCF﹣S△DEP﹣S△CFP，

∴S△EFP=﹣﹣×x×(3﹣x)

=x2﹣x+6=(x﹣)2+[来源:^*中&%教网@]

∴当x=时，△PEF面积的最小值为

(3)不成立

理由如下：若PE⊥PF，则∠EPD+∠FPC=90°

又∵∠EPD+∠DEP=90°

∴∠DEP=∠FPC，且CF=DP=AE，∠EDP=∠PCF=90°

∴△DPE≌△CFP(AAS)

∴DE=CP

∴3﹣x=4﹣x则方程无解，

∴不存在x的值使PE⊥PF，即PE⊥PF不成立.

四 、综合题

14.解：(1)连结AC，作BF⊥AC交AC的延长线于F，

∵A(2，－3)，C(0，－3)，

∴AF∥x轴，∴F(－1，－3)，∴BF=3，AF=3，∴∠BAC=45°，

设D(0，m)，则OD=|m|，

∵∠BDO=∠BAC，

∴∠BDO=45°，∴OD=OB=1，∴|m|=1，∴m=±1，

∴D的坐标为(0，1)或(0，－1)

(2)设M(a，a2－2a－3)，N(1，n)，

①以AB为边，则AB∥MN，AB=MN，如图2，过M作ME⊥对称轴于E，AF⊥x轴于F，

则△ABF≌△NME，∴NE=AF=3，ME=BF=3，

∴|a－1|=3，∴a=4或a=－2，

∴M(4，5)或(－2，5)；

②以AB为对角线，BN=AM，BN∥AM，如图3，则N在x轴上，M与C重合，

∴M(0，－3)，所以存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，

M的坐标为(4，5)或(－2，5)或(0，－3)

15.解：(1)把A(﹣1，﹣1)，代入y=ax2中，可得：a=﹣1，

把A(﹣1，﹣1)，B(2，﹣4)代入y=kx+b中，

可得：，解得：，

所以a=﹣1，k=﹣1，b=﹣2，

关于x的不等式ax2＜kx﹣2的解集是x＜﹣1或x＞2，

(2)过点A作y轴的平行线，过点B作x轴的平行线，两者交于点C.

∵A(﹣1，﹣1)，B(2，﹣4)，

∴C(﹣1，﹣4)，AC=BC=3，

设点P的横坐标为m，则点P的纵坐标为﹣m2.

过点P作PD⊥AC于D，作PE⊥BC于E.则D(﹣1，﹣m2)，E(m，﹣4)，

∴PD=m+1，PE=﹣m2+4.

∴S△APB=S△APC+S△BPC﹣S△ABC

=

==.

∵＜0，，﹣1＜m＜2，

∴当时，S△APB 的值最大.

∴当时，，S△APB=，

即△PAB面积的最大值为，此时点P的坐标为(，)

(3)存在三组符合条件的点，

当以P，Q，A，B为顶点的四边形是平行四边形时，

∵AP=BQ，AQ=BP，A(﹣1，﹣1)，B(2，﹣4)，

可得坐标如下：

①P′的横坐标为﹣3，代入二次函数表达式，

解得：P'(﹣3，﹣9)，Q'(0，﹣12)；

②P″的横坐标为3，代入二次函数表达式，

解得：P″(3，﹣9)，Q″(0，﹣6)；

③P的横坐标为1，代入二次函数表达式，

解得：P(1，﹣1)，Q(0，﹣4).

故：P的坐标为(﹣3，﹣9)或(3，﹣9)或(1，﹣1)，

Q的坐标为：Q(0，﹣12)或(0，﹣6)或(0，﹣4).

16.解：（1）设抛物线解析式为y=a（x－2）2＋9，

∵抛物线与y轴交于点A（0，5），

∴4a＋9=5，

∴a=－1，

∴y=－（x－2）2＋9=－x2＋4x＋5；

（2）当y=0时，－x2＋4x＋5=0，

∴x1=－1，x2=5，∴E（－1，0），B（5，0）.

设直线AB的解析式为y=mx＋n，

∵A（0，5），B（5，0），

∴m=－1，n=5，

∴直线AB的解析式为y=－x＋5.

设P（x，－x2＋4x＋5），

∴D（x，－x＋5），

∴PD=－x2＋4x＋5＋x－5=－x2＋5x.

∵AC∥x轴，

∴点A，C关于对称轴对称，AC=4.

∵AC⊥PD，

∴S四边形APCD=×AC×PD=2（－x2＋5x）=－2x2＋10x，

∴当x=－=时，

即点P的坐标为（，错误！未找到引用源。）时，S四边形APCD最大=；

（3）如图，过M作MH垂直于对称轴，垂足为H.

∵MN∥AE，MN=AE，∴△HMN≌△OEA，∴HM=OE=1，∴M点的横坐标为3或1.

当横坐标1时，M点纵坐标为8，当横坐标为3时，M点纵坐标为8，

∴M点的坐标为M1（1，8）或M2（3，8）.

∵A（0，5），E（－1，0），

∴直线AE的解析式为y=5x＋5.

∵MN∥AE，∴MN的解析式为y=5x＋b.

∵点N在抛物线对称轴x=2上，∴N（2，10＋b）.

∵AE2=OA2＋OE2=26=MN2，

∴MN2=（2－1）2＋[8－（10＋b）]2=1＋（b＋2）2.

∵M点的坐标为M1（1，8）或M2（3，8），

∴点M1，M2关于抛物线对称轴x=2对称.

∵点N在抛物线对称轴上，

∴M1N=M2N.∴1＋（b＋2）2=26，

∴b=3或b=－7，

∴10＋b=13或10＋b=3.

∴当M点的坐标为（1，8）时，N点坐标为（2，13），

当M点的坐标为（3，8）时，N点坐标为（2，3）.