2022年中考数学二轮专题《直角三角形探究》（含答案）

2022年中考数学二轮专题

《直角三角形探究》

一 、选择题

1.在Rt△ABC中，∠A=90°，有一个锐角为60°，BC=6.若P在直线AC上(不与点A，C重合)，且∠ABP=30°，CP的长不可能的是(      )

A.2　　　B.4　　　C.8　　　D.6

2.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC＞BC，若以AC为底面圆半径、BC为高的圆锥的侧面积为S1，

以BC为底面圆半径、AC为高的圆锥的侧面积为S2，则(　　)

A.S1=S2       B.S1＞S2        C.S1＜S2      D.S1、S2的大小关系不确定

3.如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=2，CD=，点P在四边形ABCD上，若P到BD的距离为，则点P的个数为(      )

A.1            B.2              C.3             D.4

4.如图，将△ADE绕正方形ABCD(四条边都相等，四个角都是直角)的顶点A顺时针旋转90°得△ABF，连接EF交AB于点H；

则下列结论：

①AE⊥AF；

②△ABF≌△AED；

③点A在线段EF的中垂线上

④△ADE与△ABF的周长和面积分别相等；

其中正确的有(　　)

A.4个       B.3个       C.2个       D.1个      

5.在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=BC，一直角三角板的直角顶角O在AB边的中点上，这块三角板绕O点旋转，两条直角边始终与AC、BC边分别相交于E、F，连接EF，则在运动过程中，△OEF与△ABC的关系是(　　)

A.一定相似

B.当E是AC中点时相似

C.不一定相似

D.无法判断

6.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=4．点P是边AC上一动点，过点P作PQ∥AB交BC于点Q，D为线段PQ的中点，当BD平分∠ABC时，AP的长度为(　　)

7.如图，△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，tanA=.点P是斜边AB上一个动点.过点P作PQ⊥AB，垂足为P，交边AC（或边CB）于点Q，设AP=x，△APQ的面积为y，则y与x之间的函数图象大致为（　　）

8.如图,己知△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AC=.动点D在边AC上,以BC为边作等边△BDE(点E、A在BD的同侧).在点D从点A移动至点C的过程中,点E移动的路线长为（      ）

  A.                B.                C.          D.

二 、填空题

9.如图Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=1，且AC在直线l上，将△ABC绕点A顺时针旋转到①，可得到点P1；将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，可得到点P2；将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③，可得到点P3，…按此规律继续旋转，直到点P2027为止，则AP2027等于　   　.

10.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=+1，点M，N分别是边BC，AB上的动点，沿MN所在的直线折叠∠B，使点B的对应点B′始终落在边AC上，若△MB′C为直角三角形，则BM的长为　   　.

11.下面是“利用直角三角形作矩形”尺规作图的过程.

已知：如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°.

求作：矩形ABCD.

小明的作法如下：

做法：

如图2，（1）分别以点A、C为圆心，大于AC同样长为半径作弧，两弧交于点E、F；

（2）作直线EF，直线EF交AC于点O；

（3）作射线BO，在BO上截取OD，使得OD=OB；

（4）连接AD，CD.

∴四边形ABCD就是所求作的矩形.

老师说，“小明的作法正确.”

请回答，小明作图的依据是：　                                     .

12.如图，在平面直角坐标系中，已知点A(1，0)，B(1－a，0)，C(1＋a，0)(a＞0)，点P在以D(4，4)为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC=90°，则a最大值是______.

13.如图，将Rt△ABC的斜边AB绕点A顺时针旋转α(0°＜α＜90°)得到AE，直角边AC绕点A逆时针旋转β(0°＜β＜90°)得到AF，连结EF．若AB=3，AC=2，且α+β=∠B，则EF=　   　．

三 、解答题

14.如图，在平面直角坐标系中，点C(0，4)，射线CE∥x轴，直线y=－x＋b交线段OC于点B，交x轴于点A，D是射线CE上一点.若存在点D，使得△ABD恰为等腰直角三角形，求b的值.

15. (1)如图1，在△ABC中，点M为BC边的中点，且MA=BC，求证：∠BAC=90°.

(2)如图2，直线a、b相交于点A，点C、E分别是直线b、a上两点，ED⊥b，垂足为点D，点M是EC的中点，MD=MB，DE=2，BC=3，求△ADE和△ABC的面积之比.

四 、综合题

16.在平面直角坐标系中，抛物线y=x2＋(k－1)x－k与直线y=kx＋1交于A，B两点，点A在点B的左侧.

(1)如图1，当k=1时，求A，B两点的坐标；

(2)如图2，抛物线y=x2＋(k－1)x－k(k＞0)与x轴交于点C，D两点(点C在点D的左侧)，在直线y=kx＋1上是否存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°？若存在，请求出此时k的值；若不存在，请说明理由.

0.答案解析

1.答案为：C.

解析：①当∠C=60°时，∠ABC=30°，如图①，与∠ABP=30°矛盾；

②当∠C=60°，如图②，∵∠ABP=30°，∴∠CBP=60°，∴CP=BC=6；

③当∠ABC=60°时，∠C=30°，如图③，∵∠ABP=30°，∴∠C=∠ABP=30°，

∴PC=PB，∵BC=6，∴AB=3，∴PC=PB=2；

④当∠ABC=60°时，∠C=30°，如图④，∵∠ABP=30°，∴∠PBC=90°，

∴PC=4.故不能为8，选C.

2.答案为：B.

3.答案为：B.

4.答案为：A.

5.答案为：A.

6.答案为：B.

7.B.

8.A

9.答案为：2027+676.

10.答案为： +或1.

11.答案为：到线段两段点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；

对角线互相平分的四边形为平行四边形；

有一个内角为90°的平行四边形为矩形.

12.答案为：6；

解析：∵A（1，0），B（1－a，0），C（1＋a，0）（a＞0），

∴AB=1－（1－a）=a，CA=a＋1－1=a，∴AB=AC.

∵∠BPC=90°，∴PA=AB=AC=a.

如图，延长AD交⊙D于P′，此时AP′最大.

∵A（1，0），D（4，4），

∴AD=5，∴AP′=5＋1=6，∴a的最大值为6.

13.答案为：

14.解：分三种情况讨论：

①当∠ABD=90°时，如图1，b=；

②当∠ADB=90°时，如图2，b=；

③当∠DAB=90°时，如图3，b=2

15. (1)证明：∵点M为BC的中点，

∴BM=CM=BC.

∵MA=BC，

∴BM=CM=MA，

∴∠BAM=∠B，∠CAM=∠C，

∴∠BAM+∠B+∠CAM+∠C=180°，

∴2∠BAM+2∠CAM=180°，

∴∠BAM+∠CAM=90°，即∠BAC=90°.

(2)解：∵点M为EC的中点，ED⊥AC于点D，

∴DM=EC.

∵BM=DM，

∴BM=EC，

∴∠EBC=90°.

∴∠ADE=∠ABC=90°.

又∵∠DAE=∠BAC，

∴△ADE∽△ABC，

∴=()2=.

四 、综合题

16.解：(1)A(－1，0)，B(2，3)

(2)设直线AB：y=kx＋1与x轴，y轴分别交于点E，F，

则E(－，0)，F(0，1)，OE=，OF=1.

在Rt△EOF中，由勾股定理得：

EF==.

令y=x2＋(k－1)x－k=0，得：x=－k或x=1.

∴C(－k，0)，OC=k.

①假设存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°，

如图，则以OC为直径的圆与直线AB相切于点Q，此时∠OQC=90°.

设点N为OC中点，连结NQ，则NQ⊥EF，NQ=CN=ON=.∴EN=OE－ON=－.

∵∠NEQ=∠FEO，∠EQN=∠EOF=90°，∴△EQN∽△EOF，∴=，

即：=，解得：k=±，∵k>0，∴k=.

∴存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°，此时k=.

②若直线AB过点C时，此时直线与圆的交点只有另一点Q点，故亦存在唯一一点Q，

使得∠OQC=90°，将C(－k，0)代入y=kx＋1中，可得k=1，k=－1(舍去)，

故亦存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°，此时k=1.

综上所述，k=或1时，存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°