2020-2021学年天津市芦台一中、静海一中、蓟州一中、杨村一中等七校高一下学期期中联考数学试题（解析版）

2020-2021学年天津市芦台一中、静海一中、蓟州一中、杨村一中等七校高一下学期期中联考数学试题

一、单选题

1．若复数是纯虚数，则（    ）

A． B．2 C． D．4

【答案】A

【分析】先化简求出，根据是纯虚数可求出，即可求出.

【详解】，

当为纯虚数时，，解得，

，．

故选：A.

2．已知的三个内角，，的对边分别为，，，且，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用正弦定理的边角互化可得，再利用余弦定理即可求解.

【详解】由，得．

又，所以，

从而．

因为，所以．

故选：A

3．设向量，且，则（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】A

【分析】根据的垂直关系，可求出 ；根据的平行关系，可求出 ，进而求出的值．

【详解】因为，所以

因为，所以

所以 ，所以

故选：A．

4．若用平行于某圆锥底的平面去截该圆锥，得到的小圆锥与圆台的母线长相等，则该小圆锥与该圆台的侧面积的比值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】设该圆锥的底面半径为，母线长为，利用圆锥侧面的面积公式：即可求解.

【详解】设该圆锥的底面半径为，母线长为，

则该圆锥的侧面积，

截得的小圆锥的底面半径为，母线长为，其侧面积，

而圆台的侧面积．

故两者侧面积的比值．

故选：B

5．在锐角中，已知，，，则的面积为（    ）

A． B．或 C． D．

【答案】C

【分析】用余弦定理求得，判断三角形的形状，由锐角三角形得正确的解，然后由三角形面积计算．

【详解】由余弦定理得，即，解得或，

若，则由得，不合题意，

所以，．

故选：C．

6．若，且，那么是（    ）

A．直角三角形 B．等边三角形

C．等腰三角形 D．等腰直角三角形

【答案】B

【分析】首先利用余弦定理求出，再由利用正弦定理将角化边，以及余弦定理将角化边可得，即可判断三角形的形状；

【详解】解：，

，

，

，

，

根据余弦定理有，

，

，

，

，

又由，

则，即，

化简可得，，

即，

是等边三角形

故选：．

7．在四边形中，，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由向量相等得为平行四边形，利用向量加法法则结合数量积可得，且 是的平分线，从而易得对角线的长．

【详解】，则四边形 为平行四边形，

设都是单位向量， ，则， ，，则 ，所以，

因此由知 ，且是的平分线，因此是菱形，而 ，∴，

故选：D.

8．在等腰梯形中，，，，，点F是线段AB上的一点，为直线BC上的动点，若，，且，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先建立平面直角坐标系，根据条件求出，写出的表达式，

【详解】以为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，如图，

由已知可得，；

设，则，

由可得

解得，所以；

，

由得，解得，此时.

设,则，

，

所以

当时，取到最大值.

故选：B.

【点睛】本题主要考查平面向量的运算及应用，平面向量问题优先考虑坐标运算，最值问题应先构建目标式，结合目标式的特点进行求解，侧重考查数学运算的核心素养.

9．已知圆的半径为2，是圆上两点且，是一条直径，点在圆内且满足，则的最小值为

A．－2 B．－1 C．－3 D．－4

【答案】C

【详解】试题分析：由图可知： ， ，又因为是圆的一条直径，故是相反向量，且， ，因为点在圆内且满足，三点共线，当为的中点时，取得最小值，故的最小值为.

【解析】向量的运算.

二、填空题

10．已知复数z满足z＝(－1＋3i)·(1－i)－4，复数z的共轭复数_____________.

【答案】－2－4i.

【分析】根据复数的运算法则化简复数，再根据共轭复数的概念可求得结果.

【详解】z＝－1＋i＋3i＋3－4＝－2＋4i，所以复数z的共轭复数为－2－4i.

故答案为：－2－4i

11．已知正四棱锥的底面边长是6，侧棱长为5，则该正四棱锥的侧面积为_____．

【答案】48

【详解】试题分析：利用正四棱锥的结构特征求解．

解：已知正四棱锥P﹣ABCD中，AB=6，PA=5，

取AB中点O，连结PO，则PO⊥AB，AO=3，

∴PO==4，

∴该正四棱锥的侧面积：

S=4S△PAB=4×=48．

故答案为48．

【解析】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．

12．若是锐角三角形的三边长，则a的取值范围是_____________

【答案】

【分析】三角形要为锐角三角形，只要最长的边所对的角为锐角即可

【详解】解：设三边（）所以对的角分别为，则角为最大的角，

因为三角形为锐角三角形，

所以，所以，

，解得或（舍去）

所以a的取值范围是为，

故答案为：

13．已知四棱锥P﹣ABCD满足PA＝PB＝PC＝PD＝AB＝2，且底面ABCD为正方形，则该四棱锥的外接球的体积为_____．

【答案】．

【分析】计算出四棱锥的外接球半径，由球的体积公式： 即可求解.

【详解】

由已知，四棱锥为正四棱锥，设外接球半径为，

作底面 

，

同理可得

所以

所以外接球的体积为，

故答案为：   

【点睛】本题主要考查立体几何的内切外接问题，解此题的关键找到外接球的球心和半径，同时要熟记球的体积公式，属于中档题.

14．已知为△的重心，过点的直线与边分别相交于点.若,则当与的面积之比为时，实数的值为________.

【答案】或

【分析】利用重心定理，把向量用表示，再利用，，共线，最后利用面积列方程求得变量间的关系，先求最后可得 ．

【详解】解：

设，

，，三点共线

可设，

，

为的重心，

，

，两式相乘得 ①

②，②代入①即解得或即或

故答案为或．

【点睛】此题考查了三点共线与向量的关系， 重心定理，三角形面积等，难度适中 ．

三、双空题

15．已知正方体的棱长为2，点M，N分别是棱BC，的中点，则点到平面AMN的距离是________；若动点P在正方形（包括边界）内运动，且平面AMN，则线段的长度范围是________.

【答案】       

【分析】利用等体积法得，得到点到面的距离；取的中点E，的中点F，连接，，EF，取EF中点O，连接，可证点P的轨迹是线段EF，可得当与重合时，线段的长度最小，当P与E（或F）重合时，的长度取最大值.

【详解】设点到平面AMN的距离是，

依题意得，，，

所以，

所以，

所以，

又，

则由，得，

所以.

取的中点E，的中点F，连接，，EF，

取EF中点O，连接，

∵点M，N分别是棱长为2的正方体中棱BC，的中点，

∴，，

∵，，∴平面平面.

∵动点P在正方形（包括边界）内运动，且面AMN，

∴点P的轨迹是线段EF，

∵，，∴，

∴当P与O重合时，的长度取最小值.

当P与E（或F）重合时，的长度取最大值为.

∴的长度范围为.

故答案为：；.

【点睛】本题考查了等体积法求点面距，考查了平面与平面平行，直线与平面平行，考查了立体几何中的轨迹问题，属于中档题.

四、解答题

16．已知向量与的夹角，且，．

（1）求，；

（2）求与的夹角的余弦值．

（3）若，求在上的投影向量．

【答案】（1），；（2）；（3）．

【分析】（1）直接利用数理积公式求解即可，由于，然后代值求解即可；

（2）利用向量的夹角公式直接求解即可；

（3）利用投影公式直接求解即可

【详解】（1）由已知，得，

；

（2）设与的夹角为，

则，

因此，与的夹角的余弦值为

（3）因为，

所以在上的投影向量为

17．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，BC//平面PAD，，E是PD的中点.

（1）求证：BC//AD；

（2）求证：CE//平面PAB.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【分析】（1）利用线面平行即可证明BC//AD；

（2）取PA的中点F，连接EF，BF，证明，CE//平面PAB即得证.

【详解】证明：在四棱锥中，

平面PAD，平面ABCD，

平面平面，

，

取PA的中点F，连接EF，BF，

是PD的中点，

，，

又由可得，且，

，，

 四边形BCEF是平行四边形，

，

平面PAB，平面PAB，

  平面PAB.

【点睛】方法点睛：证明空间直线平面的位置关系一般利用转化的思想：线线平行（垂直）线面平行（垂直）面面平行（垂直）.

18．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．

（1）求角A的大小；

（2）若，且，求的周长．

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）由正弦定理化角为边，再结合余弦定理即可求出；

（2）由面积公式可求得，再由余弦定理求得即可求出周长.

【详解】解：（1）由正弦定理可得，整理可得，

由余弦定理：，∵，∴；

（2）∵，∴，

由余弦定理：，

∴，∴，

∴，∴，

∴，

∴的周长为.

19．在中，内角，，所对的边分别为，，，且．

（1）求角的大小；

（2）若，求的取值范围．

【答案】（1）；（2）．

【分析】（1）利用降幂公式化简，再根据余弦定理即可求解；

（2）根据正弦定理及三角恒等变换可化为，结合即可求出的取值范围.

【详解】（1）由

所以，可得，

即．

由余弦定理得，

又，所以．

（2）由

．

因为，所以，

又，所以，

所以，得，

所以，

所以．

【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角恒等变换，考查了运算能力，属于中档题.