2020-2021学年河北省石家庄市二中高一下学期期中数学试题（解析版）

这是一份2020-2021学年河北省石家庄市二中高一下学期期中数学试题（解析版），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年河北省石家庄市二中高一下学期期中数学试题一、单选题1．已知复数，i为虚数单位，则等于（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】分别求解模以及其共轭复数，相加即可.【详解】因为，所以.故选：D.【点睛】考查复数模长的求解、共轭复数的求解.2．下列命题正确的是（    ）A．单位向量都相等B．零向量没有方向C．设表示“向东走”，表示“向西走”，则表示“向西走”D．若与共线，与共线，则与共线【答案】C【分析】根据平面向量的定义与性质，判断选项中的命题是否正确即可.【详解】A.单位向量的模长相等，但是方向不一定相同，所以A错误；B. 根据零向量的定义可知零向量的方向为任意方向，所以B错误；C.根据相反向量的定义知与是相反向量，根据向量加法法则可得，表示“向西走，所以C正确；D. 若与共线，与共线，则与不一定共线，比如为零向量，所以D错误.故选：C.3．下列说法正确的是（    ）A．底面是正多边形的棱锥是正棱锥B．用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台C．过空间内三点，有且只有一个平面D．四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面【答案】D【分析】对于A，利用正棱锥的定义判断即可；对于B，利用棱台的定义判断；对于C，举反例判断；对于D，由棱锥的定义判断【详解】解：对于A，因为正棱锥必须满足两个条件：一是底面是正多边，另一个是顶点在底面上的投影是底面正多边形的中心，所以A错误；对于B，当平面与棱锥的底面平行时，棱锥底面和截面之间的部分才是棱台，所以B错误；对于C，若空间中的三点在一条直线上，则过这三点有无数个平面，所以C错误，对于D，因为在四面体中，任取一个面后，剩下三个面都是有一个公共顶点的三角形，所以四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面，所以D正确.故选：D.4．在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，则△ABC的形状是（    ）A．等腰直角三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．等边三角形【答案】D【分析】利用余弦定理计算可得；【详解】解：．把代入余弦定理求得，即，因此，从而，为等边三角形．故选：．5．如图，正方形的边长为1，它是一个水平放置的平面图形的直观图，则原图形的周长为（    ）A．4 B．6 C．8 D．【答案】C【分析】根据斜二测画法求解.【详解】直观图如图所示：由图知：原图形的周长为,故选：C6．设为虚数单位，，则复数z的虚部为（    ）A． B．2 C． D．【答案】B【分析】结合复数的除法运算，求得复数z，进而可求得其虚部.【详解】因为，所以，所以复数z的虚部为，故选：B.7．在水流速度的自西向东的河中，如果要使船以的速度从河的南岸垂直到达北岸，则船出发时行驶速度的方向和大小为（    ）A．北偏西， B．北偏西，C．北偏东， D．北偏东，【答案】A【分析】作出示意图，计算出船的航行速度以及船的行驶方向与正北方向间的夹角，由此可得出结论.【详解】如图，船从点出发，沿方向行驶才能垂直到达对岸，，，则，则，因为为锐角，故，故船以的速度，以北偏西的方向行驶，才能垂直到达对岸.故选：A.8．已知棱长均相等的四面体的外接球的半径为，则这个四面体的棱长为（    ）A． B． C． D．4【答案】D【分析】将棱长均相等的四面体放正方体中，设正方体的棱长为，根据，求出，求出正方体的面对角线即可求解.【详解】由题意可知为正四面体，将此正四面体放在正方体中，如图：设正方体的棱长为，，解得，所以四面体的棱长为.故选：D9．飞机的线和山项在同一个铅垂平面内，已知飞机的高度为海拔，速度为，飞行员先看到山顶的俯角为，经过后又看到山顶的俯角为，则山顶的海拔高度为（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】先求出，再在中利用正弦定理求出，进而在中求出，即可求出结果.【详解】如图，，∴在中，，所以，过作于，∴山顶的海拔高度为故选：D.10．2020中国国际防锈、防腐蚀技术及材料展览会于9月15日至9月19日在国家会展中心（上海）隆重举行，推动了国内防锈，防腐蚀材料的技术升级．如图为某沿海城市海边的一个石头雕塑，该雕塑是由一个体积为m的圆柱形石料雕刻而成，其上方是一个半径为m的球，下方是一个正四棱锥．雕刻时，先让球与圆柱的上底面相切并使体积达到最大，再让正四棱锥的体积达到最大，不计损耗．为测试某新型涂料防止海水侵蚀的效果，现需在该雕塑表面涂一层涂料，则需要在雕塑表面涂刷涂料的面积约为（    ）A．m B．90mC．150m D．180m【答案】D【分析】首先根据已知求出圆柱形石料的底面圆的半径，然后利用圆柱形石料的体积及球的半径求出四棱锥的高，最后求组合体的表面积即可．【详解】设圆柱的底面圆的半径为，高为，则由题意知，又圆柱的体积为324，所以，所以．雕刻时先让球与圆柱的上底面相切并使体积达到最大，再让正四棱锥的体积达到最大可知，正四棱锥的底面是半径为3的圆的内接正方形，且正四棱锥的高，则正四棱锥的底面边长，所以该雕塑的表面积所以需要在雕塑表面涂刷涂料的面积约为180．故选：D【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是根据雕刻的要求得到球、正四棱锥、圆柱之间的关系，从而建立代数关系．二、多选题11．已知复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点为，复数z满足，下列结论正确的是（    ）A．点的坐标为B．复数的共轭复数对应的点与点关于虚轴对称C．复数z对应的点Z在一条直线上D．与z对应的点z间的距离有最小值【答案】ACD【分析】根据复数对应的坐标，判断A选项的正确性.根据互为共轭复数的两个复数坐标的对称关系，判断B选项的正确性.设出，利用，结合复数模的运算进行化简，由此判断出点的轨迹，由此判读C选项的正确性.结合C选项的分析，判断D选项的正确性.【详解】复数在复平面内对应的点为，A正确；复数的共轭复数对应的点与点关于实轴对称，B错误；设，代入，得，即，整理得，；即Z点在直线上，C正确；易知点到直线的垂线段的长度即为、Z之间距离的最小值，故D正确.故选：ACD12．点在所在的平面内，则以下说法正确的有（   ）A．已知平面向量、、满足，且，则是等边三角形B．若，则点为的垂心C．若，则点为的外心D．若，则点为的内心【答案】AC【分析】直接利用向量的线性运算及向量的数量积，三角形的内心、外心，重心，垂心的应用，向量垂直的充要条件，单位向量的应用判断、、、的结论．【详解】解：选项A，平面向量、、满足，且，，，即，，，的夹角为，同理、的夹角也为，是等边三角形，故A正确；选项B，向量，分别表示在边和上的单位向量，设为和，则它们的差是向量，则当，即时，点在的平分线上，同理由，知点在的平分线上，故为的内心而不一定是垂心，故B错误；选项C，是以，为邻边的平行四边形的一条对角线，而是该平行四边形的另一条对角线，表示对角线垂直，从而这个平行四边形是菱形，即，同理有，于是为的外心，故C正确；选项D，由得，，即，，同理可证，，，，，即点是的垂心而不一定时内心，故D错误．故选：AC．【点睛】本题考查的知识要点：向量的线性运算，三角形的内心、外心，重心，垂心的应用，向量垂直的充要条件，单位向量，主要考查学生的运算能力和数学思维能力．（1）重心：三角形三条中线的交点；与向量相关的性质：①是的重心；②三点坐标为、、，则重心坐标为；③点是的重心，则；④若，则点经过的重心；⑤若，则点经过的重心；三、填空题13．设复数为虚数单位），若为纯虚数，则的值为____．【答案】1【详解】因为 为纯虚数，所以 14．向量，，，若，则的值是________.【答案】【分析】求出向量的坐标，利用平面向量共线的坐标表示可求得实数的值.【详解】由已知可得，因为，故，解得.故答案为：.15．若一个三棱台的上、下底面的面积分别是和，体积为，则该三棱台的高为________.【答案】.【分析】由台体体积公式即可得出.【详解】设三棱台高为h，则由台体体积公式可得：.故答案为：16．在中，，，，在边上(不与端点重合).延长到，使得.若(为常数)，则的长度是___________.【答案】【分析】根据题设条件可设（），结合与A、B、D三点共线，可求得，再根据勾股定理求出，然后根据余弦定理即可求解.【详解】∵C、D、P三点共线，∴可设（），∵，∴，即，若且，则A、B、D三点共线，∴，即，∵，∴，，∵，，，，∴，设，，则，，∴根据余弦定理可得，，∵，∴，解得或（舍去），∴的长度为.故答案为：.【点睛】关键点睛：本题考查了平面向量知识的应用、余弦定理的应用以及求解运算能力，解答本题的关键是设出（）．四、解答题17．如图所示，正方体的棱长为，过顶点、、截下一个三棱锥.（1）求剩余部分的体积；（2）求三棱锥底面上的高（即点到面的距离）.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用正方体的体积减去三棱锥的体积可得结果；（2）计算出的面积，利用等体积法可计算得出三棱锥底面上的高.【详解】（1）三棱锥的体积为，故剩余部分的体积为；（2）易得，故的面积为，设三棱锥底面上的高为，则，解得，因此，三棱锥底面上的高为.18．已知向量.（1）求向量与夹角的余弦值；（2）若，求的值.【答案】（1），（2）【分析】（1）先求出，然后由化简可求出，再利用两向量的夹角公式可求得结果；（2）由，得，化简后可求出的值.【详解】解：（1）由，得，由，得，，所以，设向量与夹角为，则；（2）因为，所以，即，所以，解得.19．在中，、、分别为角、、所对的边，已知.（1）求角的大小；（2）若，，求.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用两角和的正弦公式化简可得的值，结合角的取值范围可求得角的大小；（2）利用余弦定理可得出关于的二次方程，由此可解得的值.【详解】（1），所以，，，则，故，，故；（2）由余弦定理可得，即，，故.20．如图，D、E分别是的边BC的三等分点，设， .（1）用分别表示；（2）若，求△ABC的面积.【答案】（1），；（2）.【分析】（1）根据向量的线性运算法则，化简得到，，即可求解；（2）由和，集合向量的数量积的运算公式，求得，得到以，结合面积公式，即可求解.【详解】（1）根据向量的线性运算法则，可得，.（2）由，因为，可得,即，又由，解得，所以，所以的面积.【点睛】平面向量的数量积的运算策略：1、定义法：建立一个平面基底，结合向量的线性运算法则表示出向量，利用向量的数量积的定义，即可求解；2，坐标运算法：先建立适当的平面直角坐标系，写出向量的应用坐标，结合坐标运算的公式，即可求解，可起到化繁为简的妙用．21．在中，分别为角的对边，且.（1）求；（2）若为锐角三角形，，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根据正弦定理即可解决.（2）利用正弦定理表示出，再根据是锐角三角形求出角C的范围即可得到的取值范围.【详解】（1）由正弦定理得：，，，，整理可得：，，，，又，；（2）为锐角三角形，，，即，解得：；由正弦定理可得：，，，则，，即的取值范围为.22．如图，某测量人员为了测量西江北岸不能到达的两点，之间的距离，她在西江南岸找到一点，从点可以观察到点，；找到一个点，从点可以观察到点，；找到一个点，从点可以观察到点，.测量得到数据：，，，，，.（1）求的面积；（2）求，之间的距离.【答案】（1）；（2）【分析】（1）可求得，再利用面积公式即可求出；（2）先在中求出，再在中利用正弦定理求出，则在中利用余弦定理即可求出.【详解】（1），；（2）由题可得在中，，在中，，由正弦定理可得，即，解得，，则在中，由余弦定理可得，.【点睛】本题考查利用正余弦定理测量距离，解题的关键是分别在和中求出和.