2020-2021学年上海市华东师范大学第二附属中学高一下学期期中数学试题（解析版）

2020-2021学年上海市华东师范大学第二附属中学高一下学期期中

数学试题

一、单选题

1．，，则等于（    ）

A． B． C．0 D．

【答案】C

【分析】根据反正弦的性质可得，再代入计算可得；

【详解】解：，，

，

，

．

故选：．

2．下列说法中正确的是（    ）

A．第一象限角都是锐角

B．三角形的内角必是第一､二象限的

C．不相等的角终边一定不相同

D．不论是用角度制还是弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关

【答案】D

【分析】根据任意角与象限角的定义，对选项中的命题真假性判断即可．

【详解】解：对于，第一象限的角不一定是锐角，所以错误；

对于，三角形内角的取值范围是，所以三角形内角的终边也可以在轴的非负半轴上，所以错误；

对于，不相等的角也可能终边相同，如与，所以错误；

对于，根据角的定义知，角的大小与角的两边长度大小无关，所以正确．

故选：．

3．要得到函数的图像，只需将函数的图像上所有的点（    ）

A．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移个单位长度

B．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，向左平移个单位长度

C．横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变)，再向左平移个单位长度

D．横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变)，再向左平移个单位长度

【答案】B

【分析】由题意利用函数的图象变换规律，得出结论．

【详解】解：只需将函数的图象上所有的点，横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得的图象；再向左平移个单位长度，可得函数的图象，

故选：．

4．函数的部分图像如图所示，轴，当时，若不等式恒成立，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用函数的图象，求出对称轴方程，从而求出函数的周期，由此求得的值，再利用特殊点求出的值，得到函数的解析式，然后利用参变量分离以及正弦函数的性质，即可求出的取值范围．

【详解】解：因为轴，所以图象的一条对称轴方程为，

所以，则，所以，

又，，且，

所以，

故，

因为当时，不等式恒成立，

所以，

因为，则，所以

所以的最小值为，

所以，即．

故选：．

二、填空题

5．某场数学考试时长1.5小时，在此期间分针转过的弧度数为___________.

【答案】

【分析】由1.5小时内分针转了1.5周，是顺时针方向，由此求出结果．

【详解】解：考试时长1.5小时，分针转了1.5周，是顺时针方向，

所以分针转过的弧度数为．

故答案为：．

6．函数的最小正周期为__________.

【答案】

【详解】利用正切型函数的最小正周期公式可知：

函数的最小正周期为.

7．某商标图案（如图所示）是在一个苹果图案中，以曲线段为分界线，裁去一部分图形制作而成的.如果该分界线是一段半径为的圆弧，且，两点间的距离为，那么分界线的长度为________.

【答案】

【分析】首先计算弦所对的圆心角，再计算圆弧的长度.

【详解】设圆弧所对圆的圆心为.∵，

  ，∴分界线的长度为.

故答案为：

8．在中，已知 ，则的大小为___________.

【答案】

【详解】试题分析：因为，所以 因此由余弦定理得：因为 所以

【解析】余弦定理

9．函数的值域为___________.

【答案】

【分析】先利用同角三角函数关系将函数化成关于的二次函数形式，再利用换元法令，，转化成关于的二次函数再闭区间上求值域即可．

【详解】解：，

令，，，，，

所以函数的值域为：，．

故答案为：，．

10．已知，且，则___________.

【答案】

【分析】由已知利用同角三角函数关系式可求，根据诱导公式化简所求后即可代入求值.

【详解】，且，

，

，

故答案为：.

11．中，，则___________.

【答案】或

【分析】由同角三角函数关系式可知，代入解方程即可.

【详解】由，得，

即，

解得或，

又在中，

所以或，

故答案为：或.

12．在平面直角坐标系中，点是单位圆上第一象限内的点，，若，则的值为___________.

【答案】

【分析】由已知结合三角函数定义及两角差的余弦公式即可直接求解.

【详解】由题意得，

因为，点是单位圆上第一象限的点，

所以，

所以，

故答案为：.

13．已知函数在上不单调，则的最小值为___________.

【答案】3

【分析】直接利用三角函数中余弦函数的性质的单调性的应用，集合的对立关系的应用求出的最小值．

【详解】解：函数在上不单调，

当函数为单调递增时，

即，整理得：，，

由于函数在上单调递增时，，

即：，

整理得：当时，；①

当函数单调递减时；，

整理得：，，

由于函数在上单调递减时，，

即，

整理得：当时，，②

由于函数在上不单调，

且，

所以的取值为①②所表示的不等式的补集，

，

所以的最小值为3．

故答案为：3．

14．已知函数在上的值域为，则的取值范围为___________.

【答案】

【分析】首先利用三角函数两角和公式，进行化简，其次，结合值域的取值范围求出的取值范围，最后根据该取值范围求出最后答案.

【详解】由题意可得

，其中，，，

设，，

，，

，

，，

，，

，

即，

，

的取值范围为，

故答案为：.

三、解答题

15．在中，内角，，所对的边分别为，，，且.

（1）求角；

（2）若，的面积为，求的值.

【答案】（1）；（2）5.

【分析】（1）由已知利用正弦定理将边化角，即可求出，进而可求；

（2）由已知结合三角形面积公式即可求解．

【详解】（1）根据正弦定理可得，

因为，所以，

因为，

所以

又，所以

（2）因为，的面积为，所以，解得，所以的值为5

16．如图，，，，四个小朋友在草坪上游戏，根据游戏规则，，，三人围成一个三角形，如，，三人共线，在，两人之间，，两人相距10米，，两人相距米，与垂直.

（1）当米时，此时看，视角(即)是看，视角(即)的2倍，求的值；

（2）当米时，求看，两人视角(即)的最大值.

【答案】（1）；（2）最大值为.

【分析】（1）利用锐角三角函数定义表示出与，根据，利用二倍角的正切函数公式列出关系式，即可求出，

（2）设，设，表示出两个角的正切，再结合二次函数的性质即可求得结论．

【详解】（1）因为，，所以

因为看，视角(即)是看，视角(即)的2倍，

所以

所以，解得，

所以的值为；

（2）设，设，则，

因为，所以，，

所以，

所以

所以当时，看，两人视角(即)最大，最大值为

17．已知函数的最小正周期为.

（1）求的值；

（2）将图像上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图像，求的解析式；

（3）在（2）的条件下，若对于任意的，，当时，恒成立，求的取值范围.

【答案】（1）1；（2）；（3）.

【分析】（1）由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性，求得．

（2）由题意利用函数的图象变换规律，得出结论．

（3）令，化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性，

【详解】解：（1）

所以

因为函数的最小正周期为且，所以，解得，所以的值为1.

（2）因为图像上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图像

又，所以

所以的解析式为

（3）令

因为对于任意的，，当时，恒成立，

所以在严格单调递增，

由，整理可得，

所以严格单调递增区间是，

所以，解得

所以的取值范围是.

18．对于函数，若在其定义域内存在实数，，使得成立，称是“跃点”函数，并称是函数的“跃点”.

（1）求证：函数在上是“1跃点”函数；

（2）若函数在上是“1跃点”函数，求实数的取值范围；

（3）是否同时存在实数和正整数使得函数在上有2021个“跃点”？若存在，请求出所有符合条件的和的值；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）存在，或或.

【分析】（1）根据函数解析式计算，，，令，根据函数零点存在定理可得在有根，由此可得结论；

（2）令，可求得a的取值范围；

（3）代入计算，化简得，根据正弦函数的周期性和图象，讨论可得答案.

【详解】（1），

所以，，

令，

因为，，所以在有解；

所以存在，使得，即函数在是“1跃点”函数.

（2）由题意得，

，

令，∴，当且仅当取等号；

（3）由已知得，，

化简得，的最小正周期为；

根据在上的图像可知：

①当时，在有个“跃点”，故不可能有2021个“跃点”；

②当时，在有个“跃点”，此时；

③当或时，在上有个“跃点”，故；

综上：或或.

【点睛】关键点睛：本题考查函数的新定义，关键在于紧抓函数的新定义，综合运用函数的单调性、周期性、值域等性质，运用参变分离等方法得以解决.