2020-2021学年江苏省八校高一下学期5月期中联考数学试题（解析版）

2020-2021学年江苏省八校高一下学期5月期中联考数学试题

一、单选题

1．复数（是虚数单位）的虚部是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据复数代数形式的除法运算化简即可判断；

【详解】解：，故其虚部为

故选：C

2．我国古代数学名著《数学九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米夹谷，抽样取米一把，数得254粒夹谷28粒，则这批米谷约为（    ）

A．134石 B．169石 C．338石 D．454石

【答案】B

【分析】根据条件“254粒夹谷28粒”即可估计这批米内夹谷大约多少.

【详解】由题意可知：这批米内夹谷约为石，故选B.

【点睛】本题主要考查了用样本估计总体，用样本估计总体是统计的基本思想，属于容易题.

3．“欲穷千里目，更上一层楼”出自唐朝诗人王之涣的《登鹳雀楼》，鹳雀楼位于今山西永济市，该楼有三层，前对中条山，下临黄河，传说常有鹳雀在此停留，故有此名．下面是复建的鹳雀楼的示意图，某位游客（身高忽略不计）从地面点看楼顶点的仰角为30°，沿直线前进79米到达点，此时看点的仰角为45°，若，则楼高约为（    ）．

A．65米 B．74米 C．83米 D．92米

【答案】B

【分析】设的高度为，在直角三角形中用表示出，由可求得得楼高．

【详解】设的高度为，

则由已知可得，，，

所以，解得，

所以楼高（米）．

故选：B．

【点睛】本题考查解三角形的实际应用．属于基础题．

4．欧拉是一位杰出的数学家，为数学发展作出了巨大贡献，著名的欧拉公式：，将三角函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.结合欧拉公式，复数在复平面内对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二条限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【分析】首先将欧拉公式代入，直接根据复数的运算化简得到答案.

【详解】因为，所以

所以在复平面内对应的点位于第四象限.

故选：D.

【点睛】本题考查的是复数的运算，属于比较常见的简单题型.

5．八卦是中国文化的基本哲学概念，图1是八卦模型图，其平面图形为图2所示的正八边形，其中，给出下列结论：

图1                            图2

①与的夹角为；②；③；④在上的投影向量为（其中为与同向的单位向量）．其中正确结论为（    ）

A．① B．② C．③ D．④

【答案】C

【分析】根据图形的特征进行判断即可.

【详解】由图:正八边形，

因为与的夹角为，故①错误；

因为，故②错误；

因为,故③正确；

因为在上的投影向量与向量反向，故④错误；

故选：C

【点睛】本题主要考查向量的加减法及向量的投影向量等，属于简单题.

6．在下列条件中，可判定平面与平面平行的是

A．，都平行于直线

B．内存不共线的三点到的距离相等

C．，是内的两条直线，且，

D．，是两条异面直线，且，，，

【答案】D

【分析】试题分析：通过举反例推断A、B、C是错误的，即可得到结果．

【详解】解：A中：直线不在内与交线平行，

此时都与直线平行，但两平面相交，A错误．

B中：如果这三个点在平面的两侧，满足不共线的三点到β的距离相等，

这两个平面相交，B错误．

C中：如果这两条直线平行，那么平面α与β可能相交，所以C错误．

故选：D．

7．在四棱锥中，四边形是矩形，，动点在线段上，平面，则当最小时，直线与平面所成角的正切值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】将沿BC翻折到的位置，使得与四边形ABCD共面，连接交BC于点M，此时最小，在三角形中求即为直线EM与平面ABCD所成的角．

【详解】解：由题意可知为直线EM与平面ABCD所成的角．

由平面ABCD，四边形ABCD是矩形，

可推证平面EAB，

将沿BC翻折到的位置，使得与四边形ABCD共面，连接交BC于点M，此时最小．

又，，，

在中，，

所以，，

又为直角三角形，

所以EM与平面ABCD所成的角正切值为．

故选：B．

8．已知非零向量与满足且，若，则的面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】依题意可得三角形为等腰三角形，再根据向量数量积的定义可得，最后根据面积公式可得．

【详解】解：因为，所以的平分线与边垂直，所以，

取中点，连接，，

因为，所以，于是，

，所以．

故选：A．

二、多选题

9．复数（为虚数单位），为的共轭复数，则下列结论正确的是（    ）

A．

B．的虚部为

C．复数是方程的一个虚根

D．若复数满足，则

【答案】ACD

【分析】复数（为虚数单位），，利用复数的运算法则可得，进而判断出AB的正误；把代入方程的左边验证是否等于0，即可判断出C的正误；根据复数的几何意义，即可判断出D的正误．

【详解】解：复数（为虚数单位），，

，的虚部为，可得A正确，B不正确；

，

因此是方程的一个虚根，可得C正确．

对于D，复数满足，设，，，

则表示点与圆上的点之间的距离，

则，

复数满足，则，因此D正确．

故选：ACD．

10．关于平面向量、、，下列说法不正确的是（    ）

A．若，，则

B．

C．若，且，则

D．若，则

【答案】ABD

【分析】本题可通过为零向量判断出A错误以及D错误，然后通过与方向不一定相同判断出B错误，最后通过向量的数量积公式求出平面向量、之间的夹角，C正确.

【详解】A项：若为零向量，则不一定与平行，A错误；

B项：与是实数，与方向不一定相同，B错误；

C项：，

令平面向量、之间的夹角为，

则，即，，，，C正确；

D项：若为零向量，则不一定等于，D错误，

故选：ABD.

11．2019年4月，我省公布新高考改革“”模式．“3”即语文、数学、外语为必考科目．“1”即首选科目，考生须在物理、历史中二选一．“2”即再选科目，考生在化学、生物、思想政治、地理中四选二．高校各专业根据本校培养实际，对考生的物理或历史科目提出要求．如图所示，“仅物理”表示首选科目为物理的考生才可报考，且相关专业只在物理类别下安排招生计划；“仅历史”表示首选科目为历史的考生才可报考，且相关专业只在历史类别下安排招生计划；“物理或历史”表示首选科目为物理或历史的考生均可报考，且高校要统筹相关专业在物理历史类别下安排招生计划根据图中数据分析，下列说法正确的是（    ）

A．选物理或历史的考生均可报的大学专业占49.64%

B．选物理的考生可报大学专业占47.53%

C．选历史的考生大学录取率为2.83%

D．选历史的考生可报大学专业占52.47%

【答案】AD

【分析】由已知逐个验证选项即可．

【详解】解：A：由图表可知选物理或历史的考生均可报的大学专业占，故A正确；

B：由图表可知选物理的考生可报大学专业占，故B错误；

C：题目中未给出录取率相关数据，故C错误；

D：由图表可知：选历史的考生可报大学专业占，故D正确．

故选：AD．

12．已知菱形ABCD中，∠BAD=60°，AC与BD相交于点O．将△ABD沿BD折起，使顶点A至点M，在折起的过程中，下列结论正确的是（    ）

A．BD⊥CM

B．存在一个位置，使△CDM为等边三角形

C．DM与BC不可能垂直

D．直线DM与平面BCD所成的角的最大值为60°

【答案】ABD

【分析】画出图形，利用直线与直线的位置关系，直线与平面的位置关系判断选项的正误即可．

【详解】对A，菱形中，，与相交于点．将沿折起，使顶点至点，如图：取的中点，连接，，可知，，所以平面，可知，故A正确；

对B，由题意可知，三棱锥是正四面体时，为等边三角形，故B正确；

对C，三棱锥是正四面体时，与垂直，故C不正确；

对D，平面与平面垂直时，直线与平面所成的角的最大值为，故D正确．

故选：ABD．

【点睛】本题考查空间几何体的直线与直线、直线与平面的位置关系的综合判断、命题的真假的判断，考查转化与化归思想，考查空间想象能力．

三、填空题

13．数据，，的方差为，则数据，，的平均数为______．

【答案】7或

【分析】结合方差的概念得到，然后化简整理得到，又因为数据，，的平均数为，带入数据即可求出结果.

【详解】数据，，的方差为，平均数为，

因为数据，，的方差为，

所以，

，

而，

所以，

即，故，即，

数据，，的平均数为，即或

故答案为：7或

14．已知，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围为___________.

【答案】

【分析】由条件可知，且除去与共线时的的值.

【详解】与均为非零向量，且夹角为锐角，，即.

当与共线时，存在实数m，使，

即，即

当时，与共线.

综上可知，实数的取值范围为.

故答案为：

15．如图，在△ABC中，BO为边AC上的中线，，设∥，若，则的值为 ______．

【答案】

【详解】试题分析：因为所以.又∥，可设从而.因为，所以.

【解析】向量共线表示

四、双空题

16．已知长方体的顶点都在球的表面上，且，则球的表面积为______.若与所成的角为，则与所成角的余弦值为______.

【答案】    或   

【分析】空1：根据长方体外接球的性质，结合球的表面积公式进行求解即可；

空2：根据异面直线所成角的定义，分类讨论，结合余弦定理进行求解即可.

【详解】空1：如图，在长方体中，因为，所以.因为为球的一条直径，所以球的半径，所以球的表面积为.

空2：

因为与所成的角为，，所以或，

若，则.因为，所以.

又，所以为与所成的角（或补角）.在中，，.

由余弦定理可得，

若，所以有，

则，

同理可求得，所以与所成的余弦角为或.

故答案为：；或

【点睛】本题考查了求长方体外接球表面积，考查了异面直线的所成角问题，考查了余弦定理的应用，考查了数学运算能力.

五、解答题

17．已知复数，是实数．

（1）求复数z；

（2）若复数是关于x的方程的根，求实数b和c的值．

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）根据复数的除法运算，化简得，结合是实数，列出方程，即可求解；

（2）根据是方程的根，得到，结合复数相等的条件，列出方程，即可求解.

【详解】（1）因为，

可得，

又由是实数，可得，解得，所以．

（2）因为是方程的根，

所以，即，

可得，解得.

【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，以及复数相等的概念求参数，其中解答中熟记复数的除法运算法则，以及复数相等的充要条件列出方程组是解答的关键，着重考查推理与运算能力.

18．如图，四边形为正方形，平面，，，，，为的中点．

（1）求证：平面；

（2）求证：平面．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．

【分析】（1）通过说明四边形为平行四边形，得到，从而得到平面；

（2）利用勾股定理得到，结合，得到平面．

【详解】证明：（1）取中点，连接，，

在中，，分别为，的中点，

∴，且，

由已知中，，，

∴，且，

∴四边形为平行四边形，

∴，

又∵平面，平面，

∴平面；

（2）∵四边形为正方形，

∴，

又∵正方形与梯形所在的平面互相垂直，且平面，

∴平面，

∵平面，∴，

在直角梯形中，，，可得，

在中，，，

∴，即，

又，、平面，

∴平面．

19．某超市从2014年甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的数据中分别随机抽取100个，整理得到数据分组及频率分布表和频率分布直方图：

（Ⅰ）写出频率分布直方图中的的值，并作出甲种酸奶日销售量的频率分布直方图；

（Ⅱ）记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量（单位：箱）的方差分别为， ，试比较与 的大小；（只需写出结论）

（Ⅲ）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替,试估计乙种酸奶在未来一个月（按30天计算）的销售总量．

【答案】（Ⅰ）a=0．015；（Ⅱ）（Ⅲ）795

【详解】试题分析：（Ⅰ）由各小矩形面积和为1可得到，（Ⅱ）由频率分布直方图可看出，甲的销售量比较集中散，而乙较为分散，故 ；（Ⅲ）乙种酸奶平均日销售量为：

（箱），乙种酸奶未来一个月的销售总量为： （箱）

试题解析：（Ⅰ）；

（Ⅱ）．

（Ⅲ）乙种酸奶平均日销售量为：

（箱）．

乙种酸奶未来一个月的销售总量为：（箱）．

【解析】概率与统计

20．在；；

这三个条件中任选一个，补充到下面的横线上并作答.

问题:在中，内角的对边分别为，且，         求的面积.

【答案】条件性选择见解析，

【分析】选①，由正弦定理得，进而可得，再由余弦定理可得，即可得出面积.

选②,由两角和差的余弦公式，可得，再由余弦定理可得，即可得出面积.

选③，切化弦可得，再由余弦定理可得，即可得出面积.

【详解】选①，由正弦定理得，

因为，所以，

所以，化简得，

所以，因为，所以，

因为，

所以，

所以；

选②因为，

所以，

所以，

因为为三角形的内角，所以，

因为，

所以，

所以；

选③因为，

所以由正弦定理可得:，

可得，

可得，

因为，

所以解得，

因为，所以，

因为，

所以，

所以.

21．如图，四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PBC为正三角形，M，N分别为PD，BC的中点，PN⊥AB．

（1）求三棱锥的体积；

（2）求二面角的正切值.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）先利用线面垂直的判定定理证出平面ABCD，再利用已知条件求，观察图像可得，即可得出结论；

（2）取DN中点E，连接ME，过E作，利用已知条件得出即为该二面角的平面角，再利用解三角形的有关知识求出二面角的平面角即可.

【详解】（1），

又，，

AB、平面，平面ABCD，

，，

M为PD中点，，

；

（2）取DN中点E，连接ME，

、E为中点，，平面ABCD，

平面ABCD，过E作，,

平面，，

即为该二面角的平面角，，

，，，

，，

.

即该二面角的正切值为.

【点睛】本题主要考查了用线面垂直的判定定理证明线面垂直，以及求二面角的平面角与几何体的体积.属于中档题.

22．在中，、、分别为角、、的对边，若.

（1）判断的形状，并证明；

（2）若，，为满足题设条件的所有中线段上任意一点（可与端点重合），求的最小值.

【答案】（1）为直角三角形，证明见解析；（2）.

【分析】（1）由等式结合正弦定理边角互化思想得出，然后由余弦定理得出边的等式，因式分解后得出，由此可判断出的面积；

（2）以点为坐标原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，设点，可得出点、，并得出直线的方程，可得出，然后利用平面向量数量积的坐标运算可得出关于的二次函数，然后利用二次函数的基本性质可求出的最小值.

【详解】（1）

，

，因此，为直角三角形；

（2）如图建立平面直角坐标系：为坐标原点，为轴，为轴，.

则：，，，设

，

当时，，

，，

当，，，，或，，，时等号成立.

【点睛】本题考查三角形形状的判断，同时也考查了三角形中数量积最值的计算，解题的关键就是利用坐标法来进行计算，并转化为二次函数的最值来求解，考查推理论证能力与运算求解能力，属于难题.