2020-2021学年湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校高一下学期期中联考数学试题（解析版）

2020-2021学年湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校高一下学期期中联考数学试题

一、单选题

1．已知全集为U，集合，，集合A和集合B的韦恩图如图所示，则图中阴影部分可表示为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】图中阴影部分是表示在集合中，但不在集合中的元素

【详解】，，

图中阴影部分是表示在集合中，但不在集合中的元素

，

故选A．

2．已知向量，，向量与的夹角为，则的值为（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】B

【分析】根据向量数量积的运算律及性质化简即可运算求解.

【详解】

故选：B

3．魏晋南北朝时期，祖冲之利用害圆术以正边形，求出圆周率约，和真正的值相比，其误差小于八亿分之一，这个记录在一千年后才给打破．若已知的近似值还可以表示成，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】将代入，结合三角恒等变换思想化简可得结果.

【详解】将代入，

可得

.

故选：A.

4．有一块多边形菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形（如图），其中，，，则这块菜地的面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由所给条件求出BC，将斜二测直观图还原成直角梯形，利用梯形的面积公式即可求解.

【详解】如图1所示，过点A作AE垂直于BC于点E，，，

，四边形是正方形，则，，

将斜二测直观图还原成图2所示直角梯形，其中,

所以这块菜地的面积为.

故选：D.

5．已知复数，，则下面四个命题是真命题的为（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】D

【分析】根据特殊值判断A,B,C，设，根据共轭复数及复数运算判断D.

【详解】对于A，若，，此时，但，故A错误：

对于B，若，，此时，但，故B错误；

对于C，若，则满足，此时，故C错误；

对于D，不妨设，则，，故D正确.

故选：D

6．已知l，m，n是三条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题一定正确的是（    ）

A．若，，则

B．若，，且满足，，则

C．若，，，且满足，则

D．若，，，且，，则

【答案】C

【分析】根据空间线面、面面间的位置关系判断．其中C可由线面平行的判定定理的性质定理判断．

【详解】因为A的直线n中可能在面内，故A错误；

B，D中m，n可能平行，则结论不一定成立，故B、D错误；

C中若，，则有，又，，从而有，，故C正确．

故选：C．

7．设，则下列不等式一定成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据不等式的性质判断，错误的不等式可举反例说明．

【详解】因为，所以，则，所以，故A正确；

因为，，所以，，，，

，故B错误；

当，得，故C错误：

取，，可得，，，故D错误．

故选：A．

8．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中《商功》有如下问题：“今有委粟平地，下周一十二丈，高二丈，问积及为粟几何？”，意思是“有粟若干，堆积在平地上，它底圆周长为12丈，高为2丈，问它的体积和粟各为多少？”如图，主人意欲卖掉该堆粟，已知圆周率约为3，一斛粟的体积约为2700立方寸（单位换算：1立方丈立方寸），一斛粟米卖162钱，一两银子1000钱，则主人可得银子（    ）

A．600两 B．480两 C．360两 D．240两

【答案】B

【分析】由圆锥体积公式得体积，然后根据体积单位换算，再由单位计算可得．

【详解】底面半径为，立方丈立方寸斛，

故（两）．

故选：B．

二、多选题

9．下列说法错误的是（    ）

A．命题“，”的否定是“，”

B．“”是“”的既不充分也不必要条件

C．若a，b，，则“”的充要条件是“，且”

D．“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要而不充分条件

【答案】AC

【分析】对于A，命题的否定是改量词否结论即可；对于B，利用充分条件和必要条件的定义判断即可；对于C，举反例判断；对于D，利用充分条件和必要条件的定义判断

【详解】A．命题“，”的否定是“，”，故A错误；

B．，而不能推出，也不能推出

所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故B正确；

C．当“，，”，也满足“”，故C错误；

D．关于x的方程有一正一负根的充要条件是，故“”是“”的必要不充分条件，故D正确．

故选：AC

10．水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时12秒．经过t秒后，水斗旋转到P点，设点P的坐标为，其纵坐标满足，则下列结论正确的是（    ）

A． B．当时函数数单调递增

C．当时，点P的纵坐标越来越小 D．当时，

【答案】CD

【分析】首先根据条件求函数的解析式，再分别代入选项，判断函数的单调性，以及函数值.

【详解】，，，当时，，且，，

所以，故A错误：

当时，，所以函数在不是单调递增的，故B错误：

当时，，所以函数在是单减的，故C正确：

当时，，此时，点，，故D正确．

故选：CD

11．关于已知函数，则下列结论正确的是（    ）

A．的图像关于原点对称 B．在上单调递增

C．在上单调递增 D．的值域为

【答案】BD

【分析】根据奇偶性定义判断A，根据单调性定义判断C，由对称性判断B，再由单调性判断D．

【详解】函数定义域为，

，，

故函数为偶函数，其图像关于y轴对称，所以A错误；

当时，，且在单减，

设，则．所以

故在单减，故C错误；

又由的图像关于y轴对称，故在上单增，所以B正确；

结合的单调性可知，，故的值域为，所以D正确．

故选：BD．

12．在锐角中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【分析】利用正弦定理和余弦定理化简后可判断AB的正误，根据锐角三角形可得的范围，从而可判断C的正误，而，根据的范围可判断D的正误.

【详解】因为，所以由余弦定理得，

整理得，故A正确；

因为，所以由正弦定理得，

即，所以，

因为，所以，即，故B正确；

由锐角，得，，，

，，故C错误，

，，故D正确．

故选：ABD.

三、填空题

13．已知a，b均为正实数，且满足，则的最大值为______．

【答案】4

【分析】由可得，令，则，解不等式可求得的最大值

【详解】，令，即，解得，

当且仅当时，取最大值为4．

故答案为：4

14．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，仰角为30°，行驶300m后到达B处，测得此山顶在西偏北60°的方向上，则此山的高度______．

【答案】300

【分析】在中，由正弦定理可得，然后在中可求得．

【详解】在中，，，，

由正弦定理可得

在中，，．

故答案为：300．

15．在边长为2的正中，点D在边上，点E是中点，若，则______．

【答案】

【分析】设，，，把用表示，计算数量积可得．

【详解】设，，，则，

，则

故，即．

故答案为：．

16．已知函数，若当方程有四个不等实根，，，时，若不等式恒成立，则实数k的取值范围是______．

【答案】

【分析】依题意画出函数图象，结合对数函数的图象和性质，可得，，且，则不等式恒成立，可化为：恒成立，令，根据二次函数的性质得到实数的取值范围．

【详解】解：函的图象如右图所示：

当方程有四个不等实根，，时，

由，即，，且，

不等式恒成立，则恒成立

令，，，

则，

，，故为所求．

故答案为：

四、解答题

17．（1）已知复数z满足：，求及；

（2），，并且，求的取值范围．

【答案】（1），；（2）．

【分析】（1）根据复数的运算求出复数，再根据共轭复数的定义和复数的模即可得出所求；

（2）根据相等复数可得，整理得：，从而得出的取值范围．

【详解】解：（1）由得，所以，；

（2）由已知条件得，

所以，

所以当时，取最小值-2；当时，取最大值4，

所以的取值范围为．

18．如图，在正三棱柱中，，的边长为6，D，E分别是，的中点．

（1）求证：平面；

（2）求三棱锥的体积．

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【分析】（1）连接，交于点F，连接，则由三角形的中位线定理可得，然后由线面平行的判定定理可得结论；

（2）由于点C到平面的距离等于点到平面的距离，所以，求出，从而可求出体积

【详解】解：（1）证明：如图，连接，交于点F，连接，

在中，由于D为的中点，F为的中点

为的中位线，，

平面，平面，

平面；

（2），

是的中点，，

又平面，，E是的中点．

点C到平面的距离等于点到平面的距离．

所以，

即三棱锥的体积为．

19．已知函数的部分图象如图．

（1）求函数的解析式；

（2）若函数的零点为，求的值．

【答案】（1）；（2）．

【分析】（1）求最值求得，由周期求得，再由顶点或零点坐标求得，得解析式；

（2）已知为，再利用两角差的正弦公式变形可求值．

【详解】解：（1）由图象可知，，周期，

，，则，

从而，代入点，

得，则，，即，，

又，则，

，

（2）由已知方程的解为．即，

所以．

20．一个四面体木块如图所示，点O在平面内且为的重心，

（1）过点O将木块锯开，使截面平行于直线与，在木块表面应该怎样划线，并说明理由；

（2）在棱上是否存在点D，使得直线平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

【答案】（1）答案见解析；（2）存在；．

【分析】（1）在平面内过点O作直线交于M，交于N，在平面内过点M作直线交于点I，在平面内过点N作交于Q，连接，利用线面平行的判定定理证得平面和平面，从而得出结论；（2）连接交于点E，连接，证得，又O为的重心得出存在点D，使得直线平面．

【详解】解（1）如图，在平面内过点O作直线交于M，交于N，在平面内过点M作直线交于点I，在平面内过点N作交于Q，连接．

则、、、为截面与木块各表面的交线

证明：，

，、N、Q、I四点共面．

平面，平面

平面，同理可证平面．

（2）如图，连接交于点E，连接，若上存在点D满足平面，

则由平面PAB,平面平面，则，

由于O为的重心，所以，，

所以在棱上存在点D，使得直线平面，且．

21．如图，在三角形中，，，．

（1）求的面积：

（2）若、边上的点、满足：，，且、相交于点P，求的余弦值．

【答案】（1）；（2）．

【分析】（1）先求出，再求出，最后代入三角形面积公式即可；

（2）先根据平面向量的基本定理用表示，，再用数量积的夹角公式求解即可

【详解】解：（1）在中，，

，

，

，，，

，，

（2）由已知条件知，，

，

，所以，

，，

所以．

22．已知函数的最大值为1，其图象相邻两对称轴之间的距离为．若将的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的图象关于原点中心对称．

（1）求函数的解析式；

（2）已知常数，，且函数在内恰有2021个零点，求常数与n的值．

【答案】（1）；（2），．

【分析】（1）由最大值得，则周期得，写出变换的函数解析式，由对称性得，得函数解析式；

（2）首先确定，即，这样零点问题转化为，求得函数的最大值和最小值，然后讨论方程解的个数，分类讨论求得．

【详解】解：（1）依题意，，，

将的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的函数为

，而图象关于原点中心对称，则有，．

而，，所以．

（2）

当时，，则在内的零点个数为偶数个，

因为在内恰有2021个零点，为奇数个零点，故，

由，可得，

设，在和上递减，，

因为，

①若，由得或，则由（n为奇数），解得，或（n为偶数），解得n不是整数，舍去；

②若，由得或，则由（n为奇数）或，解得n不是整数，舍去；

③若且，在内的零点个数为偶数；

④或，在内的零点个数为偶数．

综上，．

【点睛】本题考查由三角函数性质求三角函数的解析式，考查方程根的个数问题，解题关键是把方程进行变形转化为能利用正弦函数的周期性确定解的个数，同时注意分离参数法的应用．