2020-2021学年广东省广大附中、铁一、广外三校高一下学期期中联考数学试题（解析版）

2020-2021学年广东省广大附中、铁一、广外三校高一下学期期中联考数学试题

一、单选题

1．已知为虚数单位，集合，.若，则复数等于

A．1 B．−1 C． D．

【答案】C

【分析】由复数的概念得到集合Q，计算集合P与集合Q的补集，即可确定出复数z.

【详解】,,则，

即zi=-1,z=,

故选C

【点睛】本题考查集合的交集运算和复数的运算，属于简单题.

2．设为三个不同的平面，若，则“是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．充要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断，即可得正确答案.

【详解】因为，，则，

所以由，可以得出，

若，，则与可能相交或平行，

所以，，得不出，

所以若，则“是“”的充分不必要条件，

故选：A

3．已知向量，若，则（    ）

A．0 B． C． D．6

【答案】C

【分析】先求出向量的坐标，利用向量垂直于向量数量积的关系知，再利用向量的数量积的坐标运算列出式子可得解.

【详解】，

由，得，即，解得：

故选：C

4．中国折叠扇有着深厚的文化底蕴.如图（2），在半圆O中作出两个扇形OAB和OCD，用扇环形ABDC（图中阴影部分）制作折叠扇的扇面.记扇环形ABDC的面积为，扇形OAB的面积为，当与的比值为时，扇面的形状较为美观，则此时弧CD与弧AB的长度之比为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据扇形的面积公式，求得两扇形的半径比，结合弧长公式，即可求解.

【详解】设扇形的半径为，半圆半径为，，

则，

所以，可得，

解得，

则弧CD与弧AB的长度之比为.

故选：B.

5．已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，则（    ）.

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】利用为偶函数将所给式子的自变量全部转化到上，然后判断自变量的大小关系，根据自变量的大小关系及单调性判断.

【详解】∵定义在上的偶函数，

∴，，

又∵，，

∴，∴，

故选：C.

【点睛】本题考查函数奇偶性与单调性的综合运用，较容易，解答时转化并判断自变量的大小关系是关键.

6．在中国共产党建党100周年之际，某外国语学校组织了“党史知识竞赛”活动，已知该外国语学校共有高中生2700名，用分层抽样的方法从该校高中学生中抽取一个容量为45的样本参加活动，其中高三年级抽取了14人，高二年级抽取了15人，则该校高一年级学生人数为（    ）

A．1680 B．1020 C．960 D．720

【答案】C

【分析】先得到从该校高一年级抽取的学生人数为人，根据分层抽样的方法列出方程，即可求解.

【详解】设该校高一年级学生人数为人，

由题意，从该校高一年级抽取的学生人数为人，

可得，解得人，

即从该校高一年级学生的人数为人.

故选：C.

7．祖暅（公元5-6世纪），祖冲之之子，是我国齐梁时代的数学家.他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异.”这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.该原理在西方直到十七世纪才由意大利数学家卡瓦列利发现，比祖暅晚一千一百多年.椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体.如图将底面直径皆为，高皆为a的椭半球体及已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面上.以平行于平面的平面于距平面任意高d处可横截得到及两截面，可以证明总成立.据此，短轴长为，长轴为的椭球体的体积是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据题意利用圆柱体和圆锥体计算对应椭球体的体积即可．

【详解】解：根据题意知，短轴长为，长轴为的椭球体的体积是

．

故选：．

8．已知函数，函数，若，，使得不等式成立，则实数的取值范围为

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】令t=，利用二次函数图像的性质求函数f（x）的最大值，令u=sinx∈[0,]对函数g（x）按a=0,a>0,a<0进行讨论求出函数最大值，由题可得f（x）max<g（x）max，解不等式即可得到所求范围．

【详解】，当时，令t=

可得,对称轴为，故最大值为，

即f(x)得最大值为，

当时，令u=sinx∈[0,],则,

当a=0时，y=2,

当a<0时，二次函数对称轴为，故函数在对称轴处取到最大值为2-,

当a>0时，开口向上，0距对称轴远，故当u=0时取到最大值为2-a,

所以 ，

由题意可得f（x）max<g（x）max，

即当a<0时，，解得，故a<0,

当a=0时，，满足题意，

当a>0时，，解得，

综上可得，

故选D．

【点睛】本题考查函数恒成立和有解问题的解法，考查利用换元法转为二次函数求最值问题，属于中档题．

二、多选题

9．已知复数，则下列说法正确的是（    ）

A．若，则共轭复数 B．若复数，则

C．若复数z为纯虚数，则 D．若，则

【答案】BD

【分析】根据每个选项里的条件，求出相应的结果，即可判断选项的正误.

【详解】对于A，时，，则，故A错误；

对于B，若复数，则满足，解得，故B正确；

对于C，若复数z为纯虚数，则满足，解得，故C错误；

对于D，若，则，，故D正确.

故选：BD.

【点睛】本题主要考查对复数相关概念的理解，注意不同情形下的取值要求，是一道基础题.

10．已知，，，下列结论正确的是（    ）

A．的最小值为 B．的最大值为

C．的最小值为 D．的最小值为

【答案】BD

【分析】利用基本不等式可判断AD选项的正误；利用基本不等式与对数的运算性质可判断B选项的正误；将与相乘，展开后利用基本不等式求出的最小值，可判断C选项的正误.

【详解】已知，，.

对于A选项，，

当且仅当时，等号成立，即的最小值为，A选项错误；

对于B选项，由基本不等式可得，可得，

所以，，当且仅当时，等号成立，

所以，的最大值为，B选项正确；

对于C选项，，

当且仅当时，等号成立，即的最小值为，C选项错误；

对于D选项，由基本不等式可得，

当且仅当时，等号成立，即的最小值为，D选项正确.

故选：BD.

【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

11．如图所示，点是函数(，)图象的最高点，､是图象与轴的交点，若，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【分析】根据题设可得为等腰直角三角形，故可得半周期，从而可得的值及各点坐标，通过的坐标可求，从而可得判断各项的正误.

【详解】由题知的纵坐标为，又，所以，，

所以，所以的周期，所以，，故B正确；

所以，故C正确；，故A错误，

将代入函数解析式可得：，()，故D错误.

故选：BC.

12．定义域和值域均为的函数和的图象如图所示，其中，下列四个结论中正确有（    ）

A．方程有且仅有三个解 B．方程有且仅有三个解

C．方程有且仅有八个解 D．方程有且仅有一个解

【答案】ABD

【分析】通过利用和，结合函数和的图象，分析每个选项中外层函数的零点，再分析内层函数的图象，即可得出结论.

【详解】由图象可知，对于方程，当或，方程只有一解；

当时，方程只有两解；当时，方程有三解；

对于方程，当时，方程只有唯一解.

对于A选项，令，则方程有三个根，，，

方程、、均只有一解，

所以，方程有且仅有三个解，A选项正确；

对于B选项，令，方程只有一解，

方程只有三解，所以，方程有且仅有三个解，B选项正确；

对于C选项，设，方程有三个根，，，

方程有三解，方程有三解，方程有三解，

所以，方程有且仅有九个解，C选项错误；

对于D选项，令，方程只有一解，方程只有一解，

所以，方程有且仅有一个解，D选项正确.

故选：ABD.

【点睛】思路点睛：对于复合函数的零点个数问题，求解思路如下：

（1）确定内层函数和外层函数；

（2）确定外层函数的零点；

（3）确定直线与内层函数图象的交点个数分别为、、、、，则函数的零点个数为.

三、填空题

13．函数的定义域是____________．

【答案】

【分析】根据分母不为零、真数大于零列不等式组，解得结果.

【详解】由题意得，

故答案为：

【点睛】本题考查函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题.

14．    函数f(x)＝sin(x＋φ)－2sinφcosx的最大值为________．

【答案】1

【分析】按照两角和的正弦公式将式子展开，得到f(x)＝sin(x－φ)，根据－1≤sin(x－φ)≤1，所以f(x)的最大值为1.

【详解】因为f(x)＝sin(x＋φ)－2sinφcosx

＝sinxcosφ－cosxsinφ＝sin(x－φ)，

－1≤sin(x－φ)≤1，所以f(x)的最大值为1.

故 答 案 为：1.

【点睛】本题主要考查了函数y=Asin（ω x +φ ）的图像和性质，在研究函数的单调性和最值时，一般采用的是整体思想，将ω x +φ看做一个整体，地位等同于sinx中的x．

15．2020年年初，新冠肺炎疫情袭击全国.口罩成为重要的抗疫物资，为了确保口罩供应，某工厂口罩生产线高速运转，工人加班加点生产，设该工厂连续5天生产的口罩数依次为x1，x2，x3，x4，x5(单位：十万只)，若这组数据x1，x2，x3，x4，x5的方差为1.44，且x12，x22，x32，x42，x52的平均数为4，则该工厂这5天平均每天生产口罩___________十万只.

【答案】1.6

【分析】由题意结合平均数，方差的定义整理计算即可求得最终结果.

【详解】设该工厂这5天平均每天生产口罩为，

由题意可得，

则，

由，

可得，

解得.

故答案为：1.6

16．在三棱锥中，是边长为的等边三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，二面角的大小为，则该三棱锥外接球的表面积为________．

【答案】

【分析】取AB的中点D，连接SD，CD，设的外接圆的圆心为，连接AO，BO，SO，根据二面角和勾股定理求得，求得球心和球半径，由此可求得球的表面积.

【详解】取AB的中点D，连接SD，CD，设的外接圆的圆心为，连接AO，BO，SO，

因为是边长为的等边三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，所以，

所以就是二面角的平面角，又二面角的大小为，所以，

又，，，

所以，所以，

所以点O就是三棱锥外接球的球心，其球半径为，

所以该三棱锥外接球的表面积为，

故答案为：.

【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下：

（1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；

（2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的；

（3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解.

四、解答题

17．中，角的对的边分别为，且

（1）求角的大小；    

（2）若，求面积的最大值.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）由，

由正弦定理可得：，可得，化简即可求值；

（2）由，根据余弦定理，代入可得：，

所以，再根据面积公式即可得解.

【详解】（1）由，

由正弦定理可得：，

可得，

在中，，，

可得：，故；

（2）由（1）知，且，根据余弦定理，

代入可得：，

所以，

所以，

当且仅当时取等号，

所以面积的最大值为.

【点睛】本题考查了解三角形，考查了正弦定理和余弦定理的应用，在解题过程中主要有角化边和边化角两种化简方法，同时应用了基本不等式求最值，属于基础题.

18．如图，已知平面，平面，为等边三角形，，F为的中点．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求直线和平面所成角的正弦值．

【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）

【分析】（Ⅰ）取CE中点G，连接BG，FG，则可证且，根据题意可得，，可得四边形ABGF为平行四边形，所以，根据线面平行的判定定理，即可得证.

（Ⅱ）根据四边形ABGF为平行四边形，根据题意及线面垂直的判定定理，可证平面CDE，则即为直线和平面所成角，在中，求得各个边长，根据三角函数的定义，即可求得答案.

【详解】（Ⅰ）取CE中点G，连接BG，FG，如图所示：

因为F、G分别为CD、CE的中点，

所以且，

又因为平面，平面，

所以，,

所以，，

所以四边形ABGF为平行四边形，

所以，

又因为平面，平面，

所以平面；

（Ⅱ）因为平面，平面ACD，

所以，所以，

又为等边三角形，F为CD的中点，

所以，

又平面CDE，

所以平面CDE，即平面CDE，

又平面CDE，则，

连接DG，BD，如图所示，

则即为直线和平面所成角，

设，在中，，

在直角梯形ABED中，，

在中，，

所以，

所以直线和平面所成角的正弦值为.

【点睛】解题的关键是熟练掌握线面平行的判定定理，线面垂直的判定定理，并灵活应用，在用定义法处理线面角时，需找到平面的垂线，作出线面角，利用三角函数进行求解，考查分析计算，推理证明的能力，属基础题.

19．从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得如下频数分布表：

（I）在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图：

（II）估计这种产品质量指标值的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

（III）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？

【答案】（1）见解析；（2）平均数100，方差为104；（3）不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定.

【详解】（1）直方图如图，

（2）质量指标值的样本平均数为

.

质量指标值的样本方差为

.

（3）质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为

，

由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定.

20．如图，是圆的直径，点是圆上异于，的点，直线平面.

（1）证明：平面平面；

（2）设，，求二面角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【分析】（1）依据题意可得，根据圆的性质可得，最后根据面面垂直的判定定理可得结果.

（2）作，通过证明平面，找到二面角的平面角，然后简单计算即可.

【详解】（1）

证明：∵是圆的直径，∴，又∵平面，

∴，∵，平面，平面，

∴平面.又平面，∴平面平面；

（2）∵平面，平面，所以

过作于，连接，

,平面，所以平面

则，∴即为二面角的平面角，

，，∴.

∴.

21．已知函数的图像如下图所示，点，，为与轴的交点，点，分别为的最高点和最低点，若将其图像向右平移个单位后得到函数的图像，而函数的最小正周期为，且在处取得最小值．

（1）求参数和的值；

（2）若，求向量与向量之间夹角的余弦值；

（3）若点为函数图像上的动点，当点在，之间运动时，恒成立，求的取值范围．

【答案】（1），；（2）；（3）.

【分析】（1）根据周期求出，利用在处取得最小值求出；

（2）由函数解析式求出零点，根据向量的坐标求夹角即可；

（3）设，利用向量运算求A的取值范围.

【详解】（1）

又时，取最小值

则，

，

又则

（2），则，，

则

则

（3）是上动点，

，

又恒成立

设

，

或时，上式有最小值

即当在活时，有最小值或

为时，，

，得

又，则

为时，，

同时，综上，

【点睛】关键点点睛：在解决三角函数与向量问题中，利用向量的运算处理问题，可以使运算简单，属于中档题.

22．已知函数，，.

（1）若函数在上有零点，求的取值范围；

（2）若对任意的，总存在，使得，求的取值范围.

（3）设，记为函数在上的最大值，求的最小值.

【答案】（1）；（2）；（3）.

【分析】（1）令，则可得在上为减函数，所以由零点存在性定理可知，从而可求出的取值范围；

（2）将问题转化为函数在上的函数值的取值集合是函数在上的函数值的取值集合的子集，所以先求出在上的函数值的取值集合为，再分，和三种情况求出函数的值域，然后列不等式组可得结果；

（3）的对称轴为，所以当或时，在上单调递增，则，当时，，即，从而可求出的最小值.

【详解】解：（1）因为函数的图象的对称轴是直线，

所以在上为减函数.

又在上存在零点，所以，解得

故的取值范围为

（2）若对任意的，总存在，使得，则函数在上的函数值的取值集合是函数在上的函数值的取值集合的子集.

函数图象的对称轴是直线，

所以在上的函数值的取值集合为

①当时，，不符合题意，舍去.

②当时，在上的值域，只需，解得

③当时，在上的值域为，只需，无解.

综上，的取值范围为

（3）

当或时，在上单调递增，

则；

当时，，

解，得，

故当，

综上，

于是的最小值为

【点睛】关键点点睛：此题考查函数与方程的应用，考查二次函数的性质的应用，考查不等式恒成立问题，考查数学转化思想和分类讨论思想，第2问解题的关键是将问题转化为函数在上的函数值的取值集合是函数在上的函数值的取值集合的子集，然后求两函数的值域即可，第3问解题的关键是由于的对称轴为，所以分或，求出函数的最值即可，属于较难题