2020-2021学年河南省洛阳市高一下学期期中考试数学（文）试题（解析版）

2020-2021学年河南省洛阳市高一下学期期中考试

数学（文）试题

一、单选题

1．

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由题意，根据，利用三角函数的诱导公式，即可求解.

【详解】由题意，根据，故选B.

【点睛】本题主要考查了三角函数的诱导公式的化简求值问题，其中解答中熟记三角函数的诱导公式，合理、准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.

2．关于平面向量，，，下列结论正确的是（    ）

A．，则

B．，则与中至少有一个为

C．

D．，则

【答案】D

【分析】当向量时，可判定A不正确；当向量时，可判定B不正确；根据向量的数量积的定义和向量的数乘的运算，可判定C不正确；根据向量的数量积的定义，求得，可判定D正确.

【详解】对于A中，若向量时，满足，但与不一定相等，所以A不正确；

对于B中，当向量时，可得，所以B不正确；

对于C中，根据向量的数量积的定义，可得，

不妨设，此时与不一定相等，所以C不正确；

对于D中，根据向量的数量积的定义，可得，

因为，可得，又由，所以或，

此时与为共线向量，即，所以D正确.

故选：D.

3．在四边形ABCD中，，，，则四边形ABCD的形状是（    ）

A．矩形 B．平行四边形 C．梯形 D．以上都不对

【答案】C

【分析】由向量知识可知：，与不平行，进而可得四边形是梯形.

【详解】由已知得，

，

故，

又因为与不平行，所以四边形ABCD是梯形.

.故选：C.

【点睛】本题主要考查了平面向量共线定理的应用，属于基础题.

4．点为圆与轴正半轴的交点，将点沿圆周逆时针旋转至点，当转过的弧长为时，点的坐标为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先求出旋转角，就可以计算点的坐标了.

【详解】设旋转角为，则，得，从而可得.

故选：B.

5．已知是边长为2的正三角形，则向量在上的投影是（    ）

A． B．1 C． D．

【答案】A

【分析】由投影的概念计算即可.

【详解】在方向的投影为.

故选：A.

6．为了得到，的图象，只需把，图像上所有的点（    ）

A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度

C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度

【答案】B

【分析】根据函数 的图象变换规律，得出结论．

【详解】由于函数，故把函数图象上所有的点向右平移个单位长度，即可得到函数的图象，

故选：B．

7．函数的部分图象如图所示，那么（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由的最大值可得A，由图可知，从而可求，逆用五点作图法可得，进而可求解.

【详解】解：由图可知，所以A=1，

，

，解得，

，

逆用五点作图法可得，即，

，

，

故选：D.

8．在中，若，则是（    ）

A．锐角三角形 B．直角三角形

C．钝角三角形 D．无法判断形状

【答案】A

【分析】在中，，得，得均为锐角，利用，得为锐角，从而判断出三角形性质.

【详解】解：在中，，则，则均为锐角，

∴，

故为锐角，

综上，是锐角三角形.

故选：A.

9．，是半径为1的圆的两条直径，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】作出图象，根据，结合数量积的运算，即可求解.

【详解】如图所示，，是半径为1的圆的两条直径，且，即为的中点，

则

，

故选：B.

10．已知函数，下列结论正确的是（    ）

A．函数的最小正周期为，最大值为

B．函数的最小正周期为，最大值为

C．函数的最小正周期为，最大值为2

D．函数的最小正周期为，最小值为2

【答案】A

【分析】先化简，再根据函数的性质判断最值和周期得出答案.

【详解】

由，所以当时，有最大值 .

，则为的周期.

又,所以不为的周期.

故选：A

11．函数的零点的个数为（    ）．

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】C

【分析】在同个坐标系画出两个函数可得它们交点的个数，即可得出结果.

【详解】函数的零点个数就是与的图像交点的个数，

在同个坐标系中作图，如下，

它们共有5个不同的交点，故的零点个数为5.

故选：C

12．函数，的最小值为（    ）

A．0 B． C． D．

【答案】C

【分析】化简，转化为点与表示的斜率，作出图象，结合圆的性质和斜率公式，即可求解.

【详解】由题意，函数，其中，

所以表示点与表示的斜率，设斜率为，

又由点且表示以原点为圆心，半径为1的上半圆，

如图所示，

设切点为，连接，则，

在直角中，，可得，

所以斜率的最小值为，

即函数的最小值为.

故选：C.

二、填空题

13．的值是______.

【答案】

【分析】用诱导公式化为同角，然后逆用两角和的正弦公式求解．

【详解】

．

故答案为：．

14．已知向量，满足，那么___________.

【答案】

【分析】由可得，即可求出，从而可求出.

【详解】解：因为，所以，又，

所以，整理得，则

，

故答案为: .

15．若函数是偶函数，则___________.

【答案】

【分析】由已知偶函数可得，从而可得到关于的方程，即可求解.

【详解】解：因为函数为偶函数，则，

所以，

整理得，解得，经检验，m的值符合题意

故答案为: .

16．已知点在圆上，点的坐标为，为原点，则的最大值为_________．

【答案】6

【详解】试题分析：所以最大值是6.

【名师点睛】本题考查了转化与化归能力，因为是确定的，所以根据向量数量积的几何意义：若最大，即向量在方向上的投影最大，根据数形结合分析可得当点在圆与轴的右侧交点处时最大，从而根据几何意义直接得到运算结果为.

三、解答题

17．（1）已知向量，.若，求实数的值.

（2）若向量，不共线，向量与共线，求实数的值.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）求出，再利用向量垂直的坐标运算可得解；

（2）利用向量共线得到，又向量，不共线，可得到关于的方程，即可求解.

【详解】（1）由向量，，得，

又，∴，解得.

（2）∵，

∴存在实数，使得，即.

又向量，不共线，∴，解得.

18．已知，.

（1）求，的值；

（2）求的值.

【答案】（1），；（2）.

【分析】（1）由已知结合同角之间的平方关系可求得，解方程即可得解；

（2）由（1）可求得，，再利用两角和的正弦公式即可得解.

【详解】（1）∵，两边平方得：.

∵，∴，

∴.

∴，.

（2）∵，，

∴，，

∴.

【点睛】方法点睛：本题考查同角之间的关系及两角和的正弦公式，再利用同角之间关系时注意方程思想的应用：对于，，这三个式子，利用，可以知一求二．

19．如图，在边长为1的正六边形中，是其中心，.设，.

（1）用，分别表示及；

（2）求及与夹角的余弦.

【答案】（1），；（2）.

【分析】（1）利用平面向量的加法法则即可利用，表示出及.

（2）先计算出的值，再计算出;利用公式算出即可.

【详解】（1）.

.

（2）∵，

又，

∴.

又，.

∴

.

∴.

即与夹角的余弦为.

【点睛】本题考查平面向量基本定理、向量的模长与夹角计算.属于基础题.其中要求模长可以先求模长的平方.

20．已知，，是的三个内角，向量，，且.

（1）求角；

（2）若，求.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）由，得数量积可得答案.

（2）由条件化为的齐次式，从而求出的值，再根据正切的和角公式可得答案.

【详解】解：（1）因为，所以，

所以.

，所以.

（2）因为，

所以，解得.

又

.

21．已知.

（1）求函数的单调递增区间及最大值；

（2）用“五点法”画出函数在区间上的图象.

【答案】（1）单调递增区间为，；（2）答案见解析.

【分析】（1）先化得函数解析式，然后求单调区是及最值；

（2）先列表，再描点，然后将点用光滑的曲线连接起来即可.

【详解】（1）

.

∴当，

即时单调递增，

即的单调递增区间为，（）.

当且仅当，

即时，取得最大值，.().

（2）列表：

22．已知向量，且，求：

（1）及；

（2）若的最小值为，求实数的值．

【答案】（1）， （2）.

【分析】（1）利用向量的数量积和向量的模的坐标运算公式，直接运算，即可求解；

（2）由（1）求得函数，令，得到，结合二次函数的性质，即可求解.

【详解】（1）由题意，向量，

可得，

又由

所以.

（2）由（1）可得，

即，

令，所以，

对称轴为，

若，则，不符合题意；

若，则，解得（舍去）；

若，则，解得，

综上可得：.