2022年中考数学二轮专题《圆》解答题专练03（含答案）

2022年中考数学二轮专题

《圆》解答题专练03

1.已知等边△ABC内接于⊙O，AD为O的直径交线段BC于点M，DE∥BC，交AB的延长线于点E．

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）若等边△ABC的边长为6，求BE的长．

2.如图，⊙O是等腰三角形ABC的外接圆，AB=AC，延长BC到点D，使CD=AC，连接AD交⊙O于点E，连接BE与AC交于点F.

（1）判断BE是否平分∠ABC，并说明理由；

（2）若AE=6，BE=8，求EF的长.

3.已知：过⊙O外一点C作CE⊥直径AF，垂足为E，交弦AB于D，若CD=CB，则

（1）判断直线BC与⊙O的位置关系，并证明；

（2）E为OA中点，∠FAB=30°，AD=4，请直接写出图中阴影部分的面积．

4.如图：△ABC是⊙O的内接三角形，∠ACB=45°，∠AOC=150°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D．

（1）求证：CD=CB；

（2）如果⊙O的半径为，求AC的长．

5.如图，AC是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，点B在⊙O上，PA=PB，PB的延长线与AC的延长线交于点M．

（1）求证；PB是⊙O的切线；

（2）当AC=6，PA=8时，求MB的长．

6.如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，交AB于点E.过点D作DF⊥AB，垂足为F，连结DE.

(1)求证：直线DF与⊙O相切；

(2)若AE=7，BC=6，求AC的长．

7.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以点A为圆心，AC为半径，作☉A，交AB于点D，交CA的延长线于点E，过点E作A.B的平行线EF交OA于点F，连接AF，BF，DF.

  (l)求证：△ABC≌△ABF;

  (2)填空：

    ①当∠CAB=     °时，四边形ADFE为菱形；

    ②在①的条件下，BC=      cm时，四边形ADFE的面积是6cm2.

8.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，D是边AB上一点，以BD为直径的⊙O经过点E，且交BC于点F.

(1)求证：AC是⊙O的切线；

(2)若BF=6，⊙O的半径为5，求CE的长.

0.2022年中考数学二轮专题《圆》解答题专练03（含答案）答案解析

一         、解答题

1.

（1）证明：∵等边△ABC内接于⊙O，

∴∠ABC=60°，O即是△ABC的外心，又是△ABC的内心，

∴∠BAM=∠CAM=30°，∴∠AMB=90°，

∵DE∥BC，∴∠EDA=∠AMB=90°，

∵AD为⊙O的直径，∴DE是⊙O的切线；

（2）解：∵△ABC是等边三角形，∴BM=AB=3，

连接OB，如图所示：则∠OBM=30°，∴OM=OB，

由勾股定理得：OB2﹣OM2=BM2，即OB2﹣（OB）2=32，

解得：OB=2，∴OM=，AM=3，AD=4，

∵DE∥BC，∴=，即=，解得：AE=8，

∴BE=AE﹣AB=8﹣6=2．

2.解：

（1）BE平分∠ABC.

理由：∵CD=AC，∴∠D=∠CAD.

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB

∵∠EBC=∠CAD，

∴∠EBC=∠D=∠CAD.  

∵∠ABC=∠ABE+∠EBC，∠ACB=∠D+∠CAD，

∴∠ABE=∠EBC，即BE平分∠ABC.  

（2）由（1）知∠CAD=∠EBC =∠ABE.

∵∠AEF=∠AEB，∴△AEF∽△BEA. 

∴，

∵AE=6， BE=8.

∴EF=.

3.解：

（1）直线BC与⊙O相切，

证明：连接OB，

∵CD=CB，∴∠CBD=∠CDB，

∵CE⊥AF，∴∠A+∠ADE=90°，

∵∠ADE=∠CDB=∠CBD，∴∠A+∠CBD=90°，

∵OA=OB，∴∠OBA=∠A，∴∠OBA+∠CBD=90°，∴OB⊥CB，

∵OB是半径，∴直线BC与⊙O相切；

（2）Rt△AED中，∠A=30°，AD=4，∴ED==2，

由勾股定理得：AE=2，

∵E为OA中点，∴OA=OB=4，

设EC交⊙O于M，连接OM，交AB于G，

Rt△OEM中，∵OE=2，OM=4，

∴∠EMO=30°，∠EOM=60°，∴EM==6，

∵∠A=∠OBA=30°，∴∠AOB=180°﹣30°﹣30°=120°，∴∠BOM=60°，

∵∠A=30°，∠AOM=60°，∴∠AGO=90°，∴OG=OA=2，AG=6，

∴AB=2AG=12，∴BD=AB﹣AD=12﹣4=8，

∵∠CDB=∠ADE=60°，CD=CB，

∴△CDB是等边三角形，

∴S阴影=S四边形OECB﹣S△OEM﹣S扇形OMB=S四边形OEDB+S△CDB﹣S△OEM﹣S扇形OMB，

=﹣AE•ED+﹣OE•EM﹣，

=﹣+16﹣﹣8π，

=12﹣2+16﹣6﹣8π=．

4.

（1）证明：连接OB，则∠AOB=2∠ACB=2×45°=90°，

∵OA=OB，∴∠OAB=OBA=45°，

∵∠AOC=150°，OA=OC，∴∠OCA=∠OAC=15°，

∴∠OCB=∠OCA+∠ACB=60°，∴△OBC是等边三角形，

∴∠BOC=∠OBC=60°，∴∠CBD=180°﹣∠OBA﹣∠OBC=75°，

∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD，

∴∠D=360°﹣∠OBD﹣∠BOC﹣∠OCD=360°﹣（60°+75°）﹣60°﹣90°=75°，

∴∠CBD=∠D，∴CB=CD；

（2）在Rt△AOB中，AB=OA=×=2，

∵CD是⊙O的切线，∴∠DCB=∠CAD，

∵∠D是公共角，∴△DBC∽△DCA，

∴，∴CD2=AD•BD=BD•（BD+AB），

∵CD=BC=OC=，∴2=BD•（2+BD），解得：BD=﹣1，

∴AC=AD=AB+BD=+1．

5.解：

6.解：(1)证明：如图，连结OD.

∵AB=AC，∴∠B=∠C.

∵OD=OC，∴∠ODC=∠C，

∴∠ODC=∠B，∴OD∥AB.

∵DF⊥AB，∴OD⊥DF.

∵点D在⊙O上，∴直线DF与⊙O相切；

(2)∵四边形ACDE是⊙O的内接四边形，

∴∠AED＋∠ACD=180°.

∵∠AED＋∠BED=180°，

∴∠BED=∠ACD.

又∵∠B=∠B，

∴△BED∽△BCA.

∴=.

∵OD∥AB，AO=CO，∴BD=CD=BC=3，

又∵AE=7，∴=，解得BE=2.

∴AC=AB=AE＋BE=7＋2=9.

7.解：

8. (1)证明：连接OE.

∵OE=OB，

∴∠OBE=∠OEB，

∵BE平分∠ABC，

∴∠OBE=∠EBC，

∴∠EBC=∠OEB，

∴OE∥BC，

∴∠OEA=∠C，

∵∠ACB=90°，

∴∠OEA=90°

∴AC是⊙O的切线；

(2)解：连接OE、OF，过点O作OH⊥BF交BF于H，

由题意可知四边形OECH为矩形，

∴OH=CE，

∵BF=6，

∴BH=3，

在Rt△BHO中，OB=5，

∴OH=4，

∴CE=4.