专题03 客观题之--等式与不等式--《2022年新高考数学冲刺精准训练（浙江专用）》

专题03 客观题之—等式与不等式

【命题规律】

高考对不等式的考查有两种形式，一是作为工具，与函数等结合，考查不等式的解法、不等式的性质、基本不等式及其应用等，不单独命题；二是对简单线性规划的考查，独立命题.高考试题对简单线性规划的考查角度有两种：一种是求目标函数的最值或范围，但目标函数变化多样，有截距型、距离型、斜率型等；另一种是线性规划逆向思维型，提供目标函数的最值，反求参数的范围等．题型为选择题或填空题，近几年主要考查截距型目标函数的最值问题，近两年目标函数中自变量的系数为负数．关于等式的考查，常常与古典文化、实际应用结合，考查解方程问题.

在解答题中，与数列结合，考查不等式的性质、“放缩法”，与导数结合，考查导数的应用—证明不等式或解决不等式恒成立问题等.虽然独立考查少，但几乎处处可见不等式的“影子”.

【冲刺训练】

一、单选题

1．（2022·浙江湖州·高三期末）已知集合，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

由题知，再结合集合交集运算求解即可.

【详解】

解：因为，所以，

所以，

由于

所以

故选：D

2．（2022·安徽宣城·二模（文））已知正实数a，b满足，则的最小值是（       ）

A． B．4 C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

利用基本不等式可求最小值.

【详解】

设，则，故，其中，

，

由，

当且仅当，时等号成立，

此时，满足，

故的最小值为，

故选：D.

3．（2022·河南焦作·二模（文））已知满足约束条件，则的最大值为（       ）

A．1 B．4 C．7 D．11

【答案】D

【解析】

【分析】

画出不等式组所表示的平面区域，结合图形确定目标函数的最优解，代入即可求解.

【详解】

画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，

联立方程组，解得，即，

平移直线至经过点时目标函数取得最大值，

即

故选：D.

4．（2022·浙江·高三专题练习）若，满足约束条件，则的最小值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

作出线性约束条件的可行域，再利用截距的几何意义求最小值.

【详解】

约束条件的可行域，如图所示：

目标函数在点取得最小值，

即.

故选：A.

5．（2022·浙江省义乌中学高三期末）已知x，y满足则（       ）

A．的最大值是2 B．的最小值是

C．y的最大值为0 D．的最小值为

【答案】B

【解析】

【分析】

先画出可行域，设，则，画出直线，向下平移过点时，取得最小值，求出点B坐标，代入可求出其最小值，由图可知y无最大值，无最小值

【详解】

不等式组表示的可行域如图所示，

设，则，画出直线，向下平移过点时，取得最小值，

由，得，即，

所以最小值为，无最大值，所以A错误，B正确，

由于可行域是开放区域，且向右上方延伸，所以y无最大值，所以C错误，

由于表示过原点和可行域中的点直线的斜率，由图可知直线的斜率无最小值，所以D错误，

故选：B

6．（2022·浙江湖州·高三期末）在平面直角坐标系中，不等式组，表示的平面区域内整点个数是（       ）

A．16 B．14 C．12 D．10

【答案】C

【解析】

【分析】

作出约束条件的可行域，再直接数点即可得答案.

【详解】

解：根据题意，作出不等式组约束的平面区域，如图，

所以可行域内整数点的个数为个.

故选：C

7．（2021·浙江·绍兴市柯桥区教师发展中心模拟预测）已知实数x，y满足约束条件，则（       ）

A．有最小值，最大值2 B．有最小值，最大值

C．有最小值2，最大值 D．有最小值2，无最大值

【答案】B

【解析】

【分析】

由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．

【详解】

解：由线性约束条件可得如下可行域：

由解得，即，

解得，即，

解得，即，

作出直线，由图可知，平移直线至时，取最小值为；

平移直线至时，取最大值为．

有最小值，最大值．

故选：B

8．（2022·云南师大附中高三阶段练习（理））设实数x，y满足约束条件，则目标函数的最小值为（       ）

A．40 B．2 C．4 D．6

【答案】C

【解析】

【分析】

画出可行域，将问题转化为点到区域内一个点的距离的平方即可

【详解】

约束条件所满足的区域如图所示

目标函数的几何意义是点到区域内一个点的距离的平方

由图知此最小值为以点为圆心，与直线相切的圆的半径的平方

根据点到直线的距离公式，求得圆心到直线的距离为

故最小值为4

故选：C．

9．（2022·陕西陕西·二模（文））已知x，y满足不等式组，且目标函数的最大值为180，则实数m的值为（       ）

A．60 B．75 C．50 D．80

【答案】A

【解析】

【分析】

画出可行域，通过平移基准直线到可行域边界位置，根据最大值列方程，从而求得的值.

【详解】

作出不等式组对应的平面区域，如图：

由可得：，平移直线；

由图象可知当直线，经过点时，直线的截距最小，

此时z最大，，

解得.

故选：A

10．（2022·浙江浙江·二模）已知，，且，则下列结论正确的个数是（       ）

①的最小值是4；                                 ②恒成立；

③恒成立；                         ④的最大值是．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】C

【解析】

【分析】

①利用基本不等式求解判断；②令，得到，用导数法判断；③利用基本不等式结合对数运算求解判断；④由，令，用导数法求解判断.

【详解】

①,当且仅当，即，即等号成立，而，故错误；

②令，因为，，且，所以，，则，所以在上递减，则，即，故正确；

③因为，，且，所以，当且仅当时，等号成立，则，故正确；

④因为，

令，则，

令，解得

当时，，当时，，

所以当时，取得最大值，故正确．

故选：C

11．（2022·浙江绍兴·模拟预测）若实数x，y满足约束条件，则的最大值是（       ）

A．3 B．0 C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由直线方程可知，要使最大，则直线在轴上的截距最小，结合可行域可知当直线过点时最大，求出的坐标，代入得答案．

【详解】

解：令，则，由题意作平面区域如下，

由，得 ．

要使最大，则直线的截距最小，

由图可知，当直线过点时截距最小．

联立，解得，

∴的最大值为．

故选：C．

12．（2022·河南省杞县高中模拟预测（文））已知变量满足约束条件，则目标函数的最小值为（       ）

A．4 B．1 C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

根据题意，作出可行域，根据几何意义求解即可.

【详解】

解：作出不等式组表示的可行域．如图阴影曲域（包括边界），

将变形为，

故要使目标函数的最小值，则直线在轴上截距最大，

所以，平移直线，当经过点时目标函数取得最小值．

由得，即，

所以．

故选：C．       

13．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数，若，恒成立，则实数m的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

根据函数解析式画出函数图象，即可判断函数为奇函数且在定义域上单调递减，则不等式等价于，即恒成立，再分和两种情况讨论，当时，即可求出参数的取值范围；

【详解】

解：因为，所以函数图象如下所示：

由函数图象可知函数为定义域上单调递减的奇函数，当时，则，当时，则，所以，因为，恒成立，即，恒成立，所以恒成立，即恒成立，当，显然不成立，当时，则，解得，即；

故选：C

14．（2022·浙江·温州中学高三期末）已知“”是“”的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】

根据线性规划的几何意义，分别作出和表示的平面区域，即可判断出答案.

【详解】

设点满足，则点所在的平面区域为如图所示的正方形区域（包括边界） ，

设满足，则点所在的平面区域为如图所示的圆面区域，

由此可知成立，不一定成立；

成立时，一定有成立，

故“”是“”的必要不充分条件，

故选：B.

15．（2021年浙江省高考数学试题）若实数x，y满足约束条件，则的最小值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

画出满足条件的可行域，目标函数化为，求出过可行域点，且斜率为的直线在轴上截距的最大值即可.

【详解】

画出满足约束条件的可行域，

如下图所示：

目标函数化为，

由，解得，设，

当直线过点时，

取得最小值为.

故选：B.

16．（2022·全国·高三专题练习）南宋数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为、、，则面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

由公式列出面积的表达式，代入，然后利用基本不等式可求得结果

【详解】

由题意得，

则

，

当且仅当，即时取等号，

所以三角形面积的最大值为.

故选:B

17．（2021·全国·高考真题（文））下列函数中最小值为4的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

根据二次函数的性质可判断选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出不符合题意，符合题意．

【详解】

对于A，，当且仅当时取等号，所以其最小值为，A不符合题意；

对于B，因为，，当且仅当时取等号，等号取不到，所以其最小值不为，B不符合题意；

对于C，因为函数定义域为，而，，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C符合题意；

对于D，，函数定义域为，而且，如当，，D不符合题意．

故选：C．

【点睛】

本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数的性质即可解出．

18．（2020·浙江·高考真题）已知a，bR且ab≠0，对于任意x≥0 均有(x–a)(x–b)(x–2a–b)≥0，则（       ）

A．a<0 B．a>0 C．b<0 D．b>0

【答案】C

【解析】

【分析】

对分与两种情况讨论，结合三次函数的性质分析即可得到答案.

【详解】

因为，所以且，设，则的零点

为

当时，则，，要使，必有，且，

即，且，所以；

当时，则，，要使，必有.

综上一定有.

故选：C

【点晴】

本题主要考查三次函数在给定区间上恒成立问题，考查学生分类讨论思想，是一道中档题.

21.（2016年浙江理）在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影．由区域 中的点在直线x+y2=0上的投影构成的线段记为AB，则│AB│=（  ）

A．2       B．4     C．3     D．

【答案】C

【解析】

如图为线性区域，区域内的点在直线上的投影构成了线段，即，而，由得，由得，．故选C．

二、填空题

20．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高三期末）我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形.后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的直角三角形，若，则小正方形的面积是________.

【答案】1

【解析】

【分析】

设出小正方形边长，用勾股定理列出方程，求出小正方形的边长和面积.

【详解】

设小正方形边长为，由勾股定理得：，解得：，故小正方形的面积为.

故答案为：1

21．（2022·浙江·镇海中学模拟预测）已知，则的最小值为___________.

【答案】9

【解析】

【分析】

将化为，再根据基本不等式可得结果.

【详解】

，

当且仅当时等号成立，取等条件满足，所以的最小值为9.

故答案为：9

22．（2022·贵州·模拟预测（文））若，满足约束条件，则的最小值为________.

【答案】

【解析】

【分析】

画出不等式组表示的可行域，根据目标函数的几何意义，数形结合即可求得结果.

【详解】

画出不等式组表示的可行域，如下所示：

即，其表示经过可行域与平行，且纵截距为的直线，

数形结合可知，当且仅当目标函数过点时，纵截距最小，此时目标函数取得最小值，

即.

故答案为：.

23．（2022·浙江杭州·高三期末）已知正实数x，y满足，则的最小值是___________.

【答案】

【解析】

【分析】

由基本不等式得出，再由得出最值.

【详解】

，当且仅当时，取等号，即

，当且仅当时，取等号.

故的最小值是

故答案为：

24．（2022·江西·二模（理））设关于x，y的不等式组表示的平面区域为，若平面区域内任意点，满足，则实数k的取值范围是_______．

【答案】

【解析】

【分析】

问题转化为求目标函数的最小值，且，利用线性规划方法求得,进而得到k的取值范围.

【详解】

依题意问题转化为求目标函数的最小值，且，

由约束条件得到平面区域如图阴影部分△ABC及其内部所示，

由解得,即.

可知直线通过点处取得最小值，

即，即．

故答案为：

25．（2022·浙江·镇海中学模拟预测）若直线与不等式组表示的平面区域有公共点，则实数a的最大值是___________.

【答案】9

【解析】

【分析】

作图，根据几何意义在可行性区域求最值即可.

【详解】

依题意作上图，阴影部分即为可行性区域，

联立方程 ，解得 ，即点A的坐标为 ，

目标函数转化为 ，

其几何意义为可行性区域内一点 与点 连线的斜率，

显然其最大值为当点P与A重合时，此时AQ的斜率= ；

故答案为：9.

26．（2022·安徽滁州·二模（理））知实数x，y满足，则的取值范围为_________．

【答案】

【解析】

【分析】

把去绝对值符号变形，画出图形，利用线性规划知识结合元与双曲线的性质求出的范围，即可得出答案.

【详解】

解：由，

当时，得，

表示渐近线为焦点在轴得双曲线位于第一象限的部分（包括坐标轴），

当时，得，

表示以原点为圆心1为半径，位于第四象限的部分，

当时，得，不表示任何图形，

当时，得，

表示渐近线为焦点在轴得双曲线位于第三象限的部分（包括坐标轴），

作出图形如图所示，

，

令，则，

由图可知，当直线与相切时，最大，

此时，故，

即的最大值为，

当直线与双曲线的渐近线无限接近时，趋于0，

所以的取值范围为.

故答案为：.

三、双空题

27．（2021·陕西·宝鸡市陈仓区教育体育局教学研究室一模（文））《九章算术》中有如下问题“今有卖牛二、羊五，以买十三猪，有余钱一千；卖牛三、猪三，以买九羊，钱适足.”设牛、羊、猪每头价格分别为（钱），则第一句话可以列出的方程是_______，若告诉你，依第二句话可以推断出_______.

【答案】          1500

【解析】

【分析】

（1）直接根据已知列出方程即可；

（2）化简即得解.

【详解】

（1）由题得；

（2）由题得.

故答案为：；1500

28．（2022·浙江·温州中学高三期末）我国古代数学著作《田亩比类乘除捷法》中有这样一个问题：“给银八百六十四两，只云所得银之两数比总分人数，其银多十二两.问总是几人，每人各得几两”，其意思是：“现一共有银子八百六十四两，只知道每个人分到的银子数目的两倍比总人数多十二，则一共有____________人，每个人分得____________两银子”.

【答案】     36     24

【解析】

【分析】

设共有人，则每人分得两银子，由条件可得，解出即可.

【详解】

设共有人，则每人分得两银子，

因为每个人分到的银子数目的两倍比总人数多十二，

所以，即，解得或（舍去）

所以一共有36人，每人分得24两银子

故答案为：36；24

29．（2022·浙江绍兴·高三期末）若实数满足约束条件，则的最小值是__________，最大值是_________.

【答案】     -2；     6

【解析】

【分析】

作出约束条件对应的可行域，根据目标函数的几何意义找到取最大值和最小值的位置，代入点的坐标即可.

【详解】

作出不等式组的可行域如图所示：

目标函数表示函数在y轴上的截距，由图知在B点取最小值，A点取最大值；

则B点满足，解得，

即最小值；

A点满足，解得，

即最大值；

故答案为：-2；6

30．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数则当时，函数有______个零点；记函数的最大值为，则的值域为______.

【答案】     1    

【解析】

【分析】

对于答题空1，当时，分段求解函数的零点即可得答案；对于答题空2，分段考查函数的单调性以及最值情况，作出其大致图象，数形结合，可得答案.

【详解】

当时，,

当时，，得；当时，无解，

所以时，函数有1个零点；

由题意得函数是定义域为R的奇函数，

且当时，，

当且仅当时，函数取得最大值，

函数，当时，函数取得最大值4，

由函数图象知函数的最大值，所以的值域是.