专题08 客观题之--导数及其应用--《2022年新高考数学冲刺精准训练（浙江专用）》

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专题09 客观题之--导数及其应用
【命题规律】
高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一般有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值、图象等；第三层次是综合考查，如研究函数零点、证明不等式、恒成立问题、求参数等，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式、数列及函数单调性有机结合，设计综合题.浙江卷已连续将导数应用问题设计为压轴题，同时在小题中也加以考查，其重要性、灵活性可见一斑.
预测2022年将保持稳定.
【模拟演练】
一、单选题
1．（2021·浙江高考真题）已知函数，则图象为如图的函数可能是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
由函数的奇偶性可排除A、B，结合导数判断函数的单调性可判断C，即可得解.
【详解】
对于A，，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A；
对于B，，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B；
对于C，，则，
当时，，与图象不符，排除C.
故选：D.
2．（2017·浙江·高考真题）函数的图象如图所示，则函数的图象可能是

A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【详解】
原函数先减再增，再减再增，且位于增区间内，因此选D．
【名师点睛】本题主要考查导数图象与原函数图象的关系：若导函数图象与轴的交点为，且图象在两侧附近连续分布于轴上下方，则为原函数单调性的拐点，运用导数知识来讨论函数单调性时，由导函数的正负，得出原函数的单调区间．
3. （2022·四川省绵阳南山中学高二阶段练习（文））   设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（       ）

A．有两个极值点 B．为函数的极大值
C．有两个极小值 D．为的极小值
【答案】C
【解析】
【分析】
根据x的正负以及的正负，判断的正负，得到单调性并可得到极值点.
【详解】
解：，并结合其图像，可得到如下情况，
当时，，在单调递减；
当时，，在单调递增；
当时，，在单调递减；
当时，，在单调递增
∴在和处取得极小值，故B，D错，C正确；
在处取得极大值.
所以有3个极值点，故A错.
故选: C.
4．（2022·浙江·高三专题练习）若对任意的，恒有，则的取值范围为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由对任意恒成立，转化为对任意恒成立，再根据函数恒递增，转化为对任意恒成立求解.
【详解】
对任意恒成立，
∴对任意恒成立，
即．
函数恒递增，
∴对任意恒成立，
∴对任意恒成立，
设，则．
当时，递增．
当时，递减．
∴当时，有最大值．
∴．
故选：D
5．（2019浙江）已知，函数．若函数恰有3个零点，则（ ）
A．a<–1，b<0 B．a<–1，b>0
C．a>–1，b<0 D．a>–1，b>0
【答案】C
【解析】当x＜0时，y＝f（x）﹣ax﹣b＝x﹣ax﹣b＝（1﹣a）x﹣b＝0，得x=b1-a，
则y＝f（x）﹣ax﹣b最多有一个零点；
当x≥0时，y＝f（x）﹣ax﹣b=13x3-12（a+1）x2+ax﹣ax﹣b=13x3-12（a+1）x2﹣b，
，
当a+1≤0，即a≤﹣1时，y′≥0，y＝f（x）﹣ax﹣b在[0，+∞）上单调递增，
则y＝f（x）﹣ax﹣b最多有一个零点，不合题意；
当a+1＞0，即a>﹣1时，令y′＞0得x∈(a+1，+∞），此时函数单调递增，
令y′＜0得x∈[0，a+1），此时函数单调递减，则函数最多有2个零点.
根据题意，函数y＝f（x）﹣ax﹣b恰有3个零点⇔函数y＝f（x）﹣ax﹣b在（﹣∞，0）上有一个零点，在[0，+∞）上有2个零点，
如图：

∴b1-a＜0且-b＞013(a+1)3-12(a+1)(a+1)2-b＜0，
解得b＜0，1﹣a＞0，b＞-16（a+1）3，
则a>–1，b<0.
故选C．
6．（2022·河南焦作·二模（文））已知使得不等式成立，则实数的取值范围为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
令利用分离参数法得到.利用导数求出，即可得到正确答案.
【详解】
由题意可得：使得不等式成立.
令则.
而，，
所以当时，，所以在单调递增，所以，所以，
所以在上单调递增，因为，所以，
故实数a的取值范围为.
故选：A
【点睛】
恒（能）成立求参数的取值范围问题常见思路：
①参变分离，转化为不含参数的最值问题；
②不能参变分离，直接对参数讨论，研究的单调性及最值；
③特别地，个别情况下恒成立，可转换为（二者在同一处取得最值）.
7．（2022·陕西·西安中学高三阶段练习（理））已知函数在处的切线方程为，不等式恒成立，则的最大值为（       ）
A．1 B． C．2 D．e
【答案】A
【解析】
【分析】
根据函数在处的切线方程为，结合导数的几何意义求得，不等式恒成立，即，利用导数求出函数的最小值，即可得出答案.
【详解】
解：，
因为函数在处的切线方程为，
所以，解得，
所以，
则，
令，
则，
所以函数在上递增，
又，
则存在，使得，
即存在，使得，
则，故，
当时，，当时，，
所以函数在上递减，在上递增，
所以，
又因为不等式恒成立，
所以，
所以的最大值为1.
故选：A.
8．（2022·江西·二模（文））若关于x的不等式在区间上恒成立，则实数a的取值范围为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据已知条件构造函数，利用导数研究其单调性，再通过分离参数即可求得参数范围.
【详解】
因为，
上式抽象为函数，
，故在区间上递增．
则原不等式可化为，即在区间上恒成立，
即．令，则，
递增；递减．
∴，故.
故选：B．
【点睛】
本题考查利用同构，结合导数求恒成立问题，解决问题的关键是构造函数，并利用导数判断单调性，属中档题.
9．（2022·四川攀枝花·二模（文））已知定义域为的奇函数的导函数为，当时，，若，，，则（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据构造函数，利用函数的奇偶性、单调性比较大小．
【详解】
解：令函数，则，因为定义域为的是奇函数，所以函数为偶函数；
当时，因为，所以，即，所以在上为单调递增，
，，，因为，所以，
根据在上单调递增，所以．即．
故选：D．
10．（2022·河南·模拟预测（文））已知函数，若关于的方程有两个不同的实数根，则的取值范围为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
求出当直线与曲线相切于原点、直线与曲线相切于原点时对应的的值，数形结合可得出实数的取值范围.
【详解】
对函数求导得，对函数求导得，
作出函数的图象如下图所示：

当直线与曲线相切于原点时，，
当直线与曲线相切于原点时，.
结合图象可知，当或时，直线与函数的图象有两个交点，
故选：A.
11．（2022·江西·芦溪中学高三期末（文））已知函数有两个零点、，若，则实数的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先利用导数的符号变化得到函数的单调区间和极值点，因为是函数的一个零点，再比较零点和极值点的大小关系进行求解
【详解】
因为，所以，
令，即，解得，
令，即，解得，
即在上单调递减，在上单调递增，
即是函数的极小值点；
因为，
所以是函数的一个零点，不妨设，
若，则，
则，解得.
故选：A.
12．（2022·浙江省浦江中学高二阶段练习）已知函数，若在恒成立，则实数a的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
对求导，构造中间函数，由其单调性可得，讨论、，判断的区间符号即知的符号，从而确定的单调性，进而判断最大值的符号，结合恒成立可求a的范围.
【详解】
由题设，，
又在上递减，则，
当，即时，此时，递增，故，符合题设；
当，即时，又，
所以，在上，即，则递增；
在上，即，则递减；
所以，
令且，则，即递减，
所以，即，不合题设；
综上，.
故选：D
【点睛】
关键点点睛：对原函数求导，构造利用单调性，应用分类讨论思想研究符号，进而确定单调性并确定其最大值的符号，结合恒成立求参数范围.
13．（2022·浙江·镇海中学模拟预测）已知实数a，b，，且，，，则（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
构造函数，根据函数的单调性即可判断.
【详解】
构造函数   ， ，
显然 时， ，即 时是单调递增的 ，
当 时，是单调递减的，故 的最大值是 ，
当 时 的值域是 ，
由题意，对于 ， ， ， ，
对于 ，即 ，∵， ，
∴必然存在， 使得   ，
由于 ， ，即，由于 是单调递增的，
，
对于 ，即 ，同理 ， ， ，
由于 ， ，即 ， ；
故选：A.
14．（2022·浙江省浦江中学高二阶段练习）设，，，则a，b，c的大小关系为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
构造函数，求导判断其单调性即可．
【详解】
令，
，令得，，
当时，，单调递增，
，，，
，
，
，
故选：A．
15．（2022·陕西·西安工业大学附中高三阶段练习（理））已知函数最小值为，最小值为，则（       ）
A． B．
C． D．不确定
【答案】A
【解析】
【分析】
利用导数可分别求得和的单调性，结合零点存在定理可确定和的最小值点，由此可求得，从而得到结果.
【详解】
由题意知：定义域均为；
，
在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增，
又，，
，使得，此时，，
当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，
；
；
令，则，令，解得：，
在上单调递减，在上单调递增，
又，，，，
，，使得，，
即，，，；
当时，单调递减；当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增；
的极小值，，
；
.
故选：A.
【点睛】
关键点点睛：本题考查利用导数求解函数的最值问题，解题关键是能够灵活应用零点存在定理确定导函数的零点，由此可确定导函数的正负，进而得到函数的单调性，进而根据函数的单调性确定最值点.
16．（2022·江西宜春·模拟预测（文））已知实数x，y，，且满足，，则x，y，z大小关系为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据给定条件，可得，构造函数，借助函数单调性比较大小即得.
【详解】
因，，则，即，
令，则，函数在上单调递增，有，
即，从而当时，，令，，在上单调递减，
则由，得，
所以.
故选：A
【点睛】
思路点睛：涉及不同变量结构相似的式子相等，细心挖掘问题的内在联系，构造函数，分析并运用函数的单调性求解作答.
17．（2022·内蒙古呼和浩特·一模（文））已知函数有3个零点，则a的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先将函数有三个零点，转化为与直线有三个不同的交点，令，则将问题转化为与直线有三个不同的交点，分别讨论，两种情况，结合函数的切线的斜率可求解，即可得出结果.
【详解】
解：由函数有三个零点，可转化为与直线有三个不同的交点，
令，则将问题转化为与直线有三个不同的交点，
显然时不满足条件.
当，时，，，设切点坐标为 ，
由得，所以切线斜率为，
因此，切线方程为： ，由切线过原点，得 ，
此时切线的斜率为 .
故当时，，与直线有两个交点；
当时，与直线有一个交点，
所以，
故选：C.
【点睛】
本题主要考查由函数零点个数求参数的问题，熟记导数的几何意义，根据数形结合的思想求解，属于常考题型.
18．（2022·新疆·模拟预测（理））若函数有两个零点，则的取值范围为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
问题转化为函数,的图像有两个交点
作出草图,寻求临界相切的情况即可
【详解】
问题转化为函数,的图像有两个交点
作出草图,寻求临界相切的情况

设切点的横坐标为.
则,即
消去得
设

即在上单调递增
注意到
所以唯一切点的恒坐标为
代入解得
显然当
此时必有两个交点，所以的取值范围为
故选:B
19．（2018·浙江·高考真题）已知成等比数列，且．若，则
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先证不等式，再确定公比的取值范围，进而作出判断.
【详解】
令则，令得，所以当时，，当时，，因此，
若公比，则，不合题意；
若公比，则
但，
即，不合题意；
因此，
，选B.
【点睛】
构造函数对不等式进行放缩，进而限制参数取值范围，是一个有效方法.如

20．（2022·浙江·义乌市商城学校高二阶段练习）已知m，n为实数，不等式恒成立，则的最小值为（       ）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【解析】
【分析】
设，求出其导数，利用导数求得其最大值，则得到恒成立，再利用的表达式构造函数，再利用导数求其最值，解得答案.
【详解】
设 ，
当 时，恒成立，故在 上单调递增，
存在实数，比如 使得 ，此时不等式不成立，不合题意；
当时，令，
当 时，， 单调递增，当 时，， 单调递减，
故，即恒成立，
由于，所以，
令 ， ，
当 时，， 单调递减，
当 时，， 单调递增，故 ，
故，故，
故选：A
二、填空题
21．（2022·浙江·高二阶段练习）已知，，若存在，，使得成立，则实数a的取值范围是_________．
【答案】
【解析】
【分析】
依题可知，对，，使得成立，利用导数求出函数在上的最小值，由二次函数的性质求出在上的最大值，即可解出．
【详解】
存在，，使得成立，等价于，，使得成立．因为，∴函数在上单调递增，上单调递减，∴时，函数取得极小值即最小值，所以
．，可得函数在上单调递减，∴．
∴．因此实数a的取值范围是．
故答案为：．
22．（2022·浙江·高三专题练习）若一几何体三视图如图所示，则其内接长方体体积的最大值为___________.

【答案】
【解析】
【分析】
根据题意该几何体为圆锥，且圆锥的底面半径为1，高为2，故底面矩形的边长为，对角线长为，高为x，进而长方体的体积为，，在结合导数计算的最值即可.
【详解】
解：根据三视图可判断该几何体为圆锥，且圆锥的底面半径为1，高为2；

其内接长方体如图，底面矩形的边长为，对角线长为，高为x，
根据轴截面图得出：，解得，其中；
因为，所以，当且仅当时等号成立，
所以长方体的体积为，，
所以令
则，令，解得或，
可判断时单调递增，时单调递减，
所以的最大值为.
所以该长方体的最大值为，当且仅当底面边长为的正方形，高为，
故答案为：.
23．（2022·浙江·高三专题练习）已知恰好有三个零点，则实数a的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用导数分析函数的单调性，作出函数（x∈R）的图象，在同一坐标系内再作出（x∈R）的图象，由图象可知f（x）有三个零点时实数a的取值范围．
【详解】
当时，，，故在上单调递增；
当时，，由可得，当时，，
当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，且，
作出函数（x∈R）的图象，
在同一坐标系内再作出（x∈R）的图象，

由图象可知要使恰好有三个零点，
即函数f（x）的图象与x轴有三个交点， 只需0≤a＜2，
故答案为：[0，2）.
24．（2022·河北衡水·高三阶段练习）已知函数，若不等式在上恒成立，则实数的最小值为___________.
【答案】.
【解析】
【分析】
对已知不等式变形，结合构造新函数、导数的性质、单调性的性质进行求解即可.
【详解】
即，原问题转化为不等式在上恒成立，
构造函数，
所以在上是单调递增函数，
因此当时，有，因此要想不等式在上恒成立，只需函数在上是单调递增函数，即在上恒成立，，
因为函数是上的减函数，当时，有，
所以，因此实数的最小值为，
故答案为：
【点睛】
关键点睛：不等式，变形为，进而变形为是解题的关键.
25．（2022·上海交大附中高二阶段练习）已知，若不等式对任意恒成立，则的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】
求，整理不等式，根据三次函数性质求出a，再根据二次不等式恒成立即可求出b与c的关系，代入即可求解.
【详解】
，
由不等式对恒成立，
可得对恒成立，
由三次函数图像性质可知，若时，该不等式不可能恒成立，
∴且，解得，，
不等式可转化为对恒成立，
∴，
∴，
∴.
故答案为：.
26．（2022·上海交大附中高二阶段练习）已知，若对任意，都有，则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】
，则易得出，当时，，与矛盾，故，求出函数的导函数，对进行讨论，判断函数的单调性，从而可得出答案.
【详解】
解：，
当时，，，
若，则当时，，这与矛盾，
故，
，
若，则当时，，
所以函数在上递减，
所以符合题意；
若，当时，，
所以函数在上递增，
故当当时，，这与矛盾，
综上所述.
故答案为：.
27．（2022·河南焦作·二模（理））函数在上有两个零点，则实数a的取值范围是_______.
【答案】
【解析】
【分析】
把函数的零点个数转化为函数与的图象公共点个数，得到都经过点，且，，分，，和，四种情况讨论，即可求解.
【详解】
由函数的零点个数等价于函数与的图象公共点个数，
由指数函数和对数函数的性质，可得它们都经过点，
又由，，可得，，
①当时，单调递增，或单调递减，两图象仅有一个交点；
②当时，结合两函数的图象，可得两个图象只有一个公共点；

③当时，根据指数函数与对数函数图象的形状，可知两个图象在区间上有一个交点，即在上有两个交点；

④当时，根据指数函数与对数函数图象的形状，两个图象在区间上有一个交点，即在上有两个交点，

综上：实数a的取值范围为.
故答案为：
28．（2022·重庆八中模拟预测）已知函数，若存在实数，使得，则的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】
由题意将问题转化为直线与函数的图象有两个不同交点，然后利用导数求出的单调区间和最值，结合函数图象求解即可
【详解】
由，得，
据题意，有两个不同零点，则直线与函数的图象有两个不同交点，
由，得，
当时，，当时，，
所以在上递增，在上递减，
所以，
当时，，
由图可知，的取值范围是.
故答案为：

29．（2022·浙江省浦江中学高二阶段练习）已知实数a，b，c满足，则的最小值是______．
【答案】##0.2
【解析】
【分析】
构造，利用导数研究最值可得，结合题设可得，根据等号成立条件有，代入目标式结合二次函数的性质求最值.
【详解】
令，而，
当时，递减；当时，递增；
所以，即，
所以，当且仅当时等号成立；
结合题设，，则，
所以，故当时，的最小值为.
故答案为：.
【点睛】
关键点点睛：利用导数得到，进而将条件转化为，根据等号成立的条件求参数关系，代入目标式及二次函数的性质求最值.
三、双空题
30．（2022·北京·一模）已知函数若，则不等式的解集为________；若恰有两个零点，则的取值范围为________.
【答案】         
【解析】
【分析】
当时，不等式可转化为或，解不等式即可求解；
分，和分别讨论的零点个数即可求解；
【详解】
当时，
则不等式可转化为或
解得或，
所以，则不等式的解集为；
由题意可知的零点个数可转为与的零点个数之和，
当时，没有零点，没有零点，
此时没有零点；
当时，没有零点，有且仅有一个零点，
此时只有一个零点；
当时，没有零点，
由可得，令，
则，
易知在上单调递减，在单调递增，
；
此时要有两个零点则必有；
综上所述若恰有两个零点，则的取值范围为.
故答案为：；