专题12 客观题之--解三角形--《2022年新高考数学冲刺精准训练（浙江专用）》

专题12 客观题之--解三角形

【命题规律】

近几年高考对正弦定理和余弦定理的考查较为灵活，选择题、填空题，往往独立考查正弦定理或余弦定理，解答题则往往综合考查定理在确定三角形边角中的应用，多与三角形周长、面积有关；有时也会与平面向量、三角恒等变换、三角函数的性质等结合考查，试题控制在中等难度或以下，主要考查灵活运用公式求解计算能力、推理论证能力、数学应用意识、数形结合思想等．

预测2022年将保持稳定，适当关注两个定理在立体几何、平面解析几何中的应用以及涉及古典文化类问题.

【冲刺训练】

一、单选题

1．（2022·全国·江西科技学院附属中学模拟预测（文））“黄金三角形”是几何历史上的瑰宝，它有两种类型，其中一种是顶角为36°的等腰三角形，暂且称为“黄金三角形A”．如图所示，已知五角星是由5个“黄金三角形A”与1个正五边形组成，其中，则阴影部分面积与五角形面积的比值为（       ）．

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

在三角形中，由值，可得，即，设的面积为x，由此可知和的面积均为，的面积为x，由此即可求出结果.

【详解】

如图所示，

依题意，在三角形中，，故；

所以，

设的面积为x，则面积为，同理的面积为，

的面积为x，

则阴影部分面积与五角形面积的比值为.

故选：B．

2．（2021·浙江·高考真题）我国古代数学家赵爽用弦图给出了勾股定理的证明.弦图是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示).若直角三角形直角边的长分别是3，4，记大正方形的面积为，小正方形的面积为，则___________.

【答案】25

【解析】

【分析】

分别求得大正方形的面积和小正方形的面积，然后计算其比值即可.

【详解】

由题意可得，大正方形的边长为：，

则其面积为：，

小正方形的面积：，

从而.

故答案为：25.

3．（2022·河南·模拟预测（理））蜚英塔俗称宝塔，地处江西省南昌市，建于明朝天启元年（1621年），为中国传统的楼阁式建筑．蜚英塔坐北朝南，砖石结构，平面呈六边形，是江西省省级重点保护文物，已被列为革命传统教育基地．某学生为测量蜚英塔的高度，如图，选取了与蜚英塔底部D在同一水平面上的A，B两点，测得米， ，，，则蜚英塔的高度是（       ）

A．30米 B．米 C．35米 D．米

【答案】C

【解析】

【分析】

设塔高x，用x表示出AD、BD，然后在中由余弦定理求解可得.

【详解】

设，在中，，则，

在中，，则，

因为，所以由余弦定理得：

整理得：，解得.

故选：C

4．（2022·四川达州·二模（文））在中，所对的边分别为，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

根据已知等式，结合余弦定理求得，由此可得结果.

【详解】

由得：，即，

，.

故选：B.

5．（2022·海南·模拟预测）在中，内角，，所对的边分别为，，，，若，则的值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

由已知利用正弦定理可，结合已知，利用余弦定理即可求解的值.

【详解】

因为

由正弦定理可得，所以

又

所以

故选:D

6．（2022·陕西·西安中学模拟预测（文））的内角所对的边分别为.已知，则的面积的最大值（       ）

A．1 B． C．2 D．

【答案】B

【解析】

【分析】

利用余弦定理求出和，利用面积公式和基本不等式求出的面积的最大值.

【详解】

在中，由余弦定理，可化为.

因为,所以.

由余弦定理，可化为：，解得：（a=0舍去）.

因为，所以，即（当且仅当时取等号）.

所以的面积.

故选：B

7．（2022·陕西·西安中学高三阶段练习（理））的内角所对的边分别为.已知，则的面积的最大值（       ）

A．1 B． C．2 D．

【答案】B

【解析】

【分析】

根据，利用正弦定理化角为边，结合余弦定理求得角，再根据，利用余弦定理化角为边求得边，再利用余弦定理结合基本不等式求得的最大值，再根据三角形的面积公式即可得出答案.

【详解】

解：因为，

所以，

所以，

又，

所以，

因为，

所以，

所以，

由，得，

所以，当且仅当时，取等号，

则，

所以的面积的最大值为.

故选：B.

8．（2022·陕西·二模（理））已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，，则边上的中线长为（       ）

A．49 B．7 C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

根据面积公式结合已知数据，即可求得，根据余弦定理即可求得，结合中线的向量表达即可求得中线长度.

【详解】

因为，故可得，

根据余弦定理可得，故，

不妨取中点为，故，

故.

即边上的中线长为.

故选：.

二、填空题

9．（2022·浙江杭州·二模）在中，，点D在边上，.若，则______.

【答案】

【解析】

【分析】

根据题目所给的条件作图，利用正弦定理以及勾股定理即可.

【详解】

依题意作上图，设DC=x，则BD=3x，设AC=y，

根据勾股定理有： ， ，

由正弦定理： ，   ，

在 中， ， ，

解得 ， ；

故答案为： .

10．（2022·河南省鲁山县第一高级中学模拟预测（文））设a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若，且，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

利用余弦定理和正弦定理，以及倍角公式，直接计算即可求解

【详解】

因为，所以，即，所以，所以或.若则.这与题设不合，故，又，所以，即.

故选：B

11．（2022·吉林长春·模拟预测（理））已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则A=___________.

【答案】##

【解析】

【分析】

由正弦定理的边化角公式结合和角公式得出.

【详解】

由正弦定理可知，，整理得

即，

因为，所以，

故答案为：

12．（2022·上海市建平中学高三阶段练习）△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边．若，则___________．

【答案】##

【解析】

【分析】

结合正弦定理角化边整理可得，再利用余弦定理可求得的值，从而可求出结果.

【详解】

结合正弦定理可得，

即，

故，

所以,

因为，所以，

故答案为：.

13．（2017·浙江·高考真题）我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度．祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积，________．

【答案】

【解析】

【详解】

将正六边形分割为6个等边三角形，则．

【名师点睛】本题粗略看起来文字量大，其本质为计算单位圆内接正六边形的面积，将正六边形分割为6个等边三角形，确定6个等边三角形的面积即可，其中对文字信息的读取及提取有用信息方面至关重要，考生面对这方面题目时应多加耐心，仔细分析题目中所描述问题的本质，结合所学进行有目的的求解．

14．（2022·河南焦作·二模（文））在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且，，则b的最小值为_______.

【答案】##

【解析】

【分析】

利用三角恒等变换求得，结合余弦定理以及基本不等式求得的最小值.

【详解】

因为，整理可得，

因为，所以，又因为，所以.

由余弦定理可得，又因为，

所以，所以b的最小值为，

当且仅当时等号成立.

故答案为：

15．（2022·安徽宣城·二模（文））已知锐角内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则的面积是__________．

【答案】

【解析】

【分析】

先用正弦定理对进行边化角，进而求出A，然后通过余弦定理和三角形面积公式求得答案.

【详解】

因为，所以由正弦定理可得，由，则，而三角形ABC为锐角三角形，所以.

由余弦定理，，所以.

故答案为：.

16．（2022·山东潍坊·模拟预测）古希腊数学家托勒密在他的名著《数学汇编》里给出了托勒密定理，即圆的内接凸四边形的两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积．已知AC，BD为圆的内接四边形ABCD的两条对角线，sin∠CBD：sin∠BDC：sin∠BAD=1：1：，AC=4，则△ABD面积的最大值为________．

【答案】

【解析】

【分析】

先通过正弦定理得到，再结合托勒密定理求出，最后由面积公式及基本不等式即可求出最大值.

【详解】

如图，可知，由诱导公式知，又sin∠CBD：sin∠BDC：sin∠BAD=1：1：，

故sin∠CBD：sin∠BDC：sin∠BCD=1：1：，在△BCD中，由正弦定理得，

故，设，则由托勒密定理可知，

即，即，又，

当且仅当时取等号.故△ABD面积的最大值为.

故答案为：.

17．（2022·四川攀枝花·二模（文））在中，，，，平分交于点，则的长度为___________.

【答案】4

【解析】

【分析】

利用正弦定理，结合余弦定理、二倍角的正弦公式进行求解即可.

【详解】

由正弦定理可知：

，

因为平分交于点，

所以，

由正弦定理可知：，

，

因为，所以，

所以有，即，

由余弦定理可知：，

解得，或，

当时，，

当时，因为，所以，因此，

由，，所以不成立，

故答案为：

18．（2022·陕西陕西·二模（理））已知中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，且，若的面积为，则的取值范围为______.

【答案】

【解析】

【分析】

由三角形面积可得，由已知条件结合余弦定理可得，然后由正余弦的平方和为1，可求得，从而可求得，则可得，，则利用三角函数恒等变换公式可得，再利用正弦函数的性质可求得其范围

【详解】

∵，∴，

∵，由余弦定理可得，

∴，解得，

∴，

∵，∴，.

所以

，

∵，∴，∴.

因此，.

故答案为：

19．（2022·全国·高三专题练习）在 ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若3acos C＋b＝0，则tan B的最大值是________.

【答案】##0.75

【解析】

【分析】

在 ABC中，根据3acos C＋b＝0，利用正弦定理化简得到tan C＝－4tan A，再tan B＝－tan(A＋C)，利用两角和的正切公式求解.

【详解】

在 ABC中，因为3acos C＋b＝0，

所以C为钝角，

由正弦定理得3sin Acos C＋sin(A＋C)＝0，

3sin Acos C＋sin Acos C＋cos Asin C＝0，

所以4sin Acos C＝－cos A·sin C，

即tan C＝－4tan A.

因为tan A>0，

所以tan B＝－tan(A＋C)＝－

＝＝＝

≤＝，

当且仅当tan A＝时取等号，故tan B的最大值是.

故答案为：

三、双空题

20．（2022·陕西·武功县普集高级中学高三阶段练习（理））在△ABC中，内角所对的边分别为a，b，c，且；则角B=___________；a的取值范围为___________.

【答案】         

【解析】

【分析】

由题意可得，进而可得，利用正弦定理化简可得，即可求出角B；根据诱导公式可得，结合角C的范围和正弦函数的性质即可得出结果.

【详解】

由，

所以，

由正弦定理，得，

有，又，故；

，

因为，所以，则，

所以，即.

故答案为：；

21．（2021·浙江·高考真题）在中，，M是的中点，，则___________，___________.

【答案】         

【解析】

【分析】

由题意结合余弦定理可得，进而可得，再由余弦定理可得.

【详解】

由题意作出图形，如图，

在中，由余弦定理得，

即，解得（负值舍去），

所以，

在中，由余弦定理得，

所以；

在中，由余弦定理得.

故答案为：；.

22．（2022·浙江浙江·二模）在中，为的中点，若，，，则________，________．

【答案】     5    

【解析】

【分析】

由题意可求出的正弦和余弦，由和角公式求出，利用正弦定理可求出；在中由余弦定理求出，再由正弦定理可得答案.

【详解】

由，则

则，所以

所以

在中，

所以

在中，

所以

所以

由,即

故答案为：5，

23．（2022·浙江·镇海中学模拟预测）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，；则角___________，a的取值范围为___________.

【答案】         

【解析】

【分析】

由正弦定理和正弦函数的性质可求得答案.

【详解】

解：由，，得，所以，

因为，所以，

故答案为：；.

24．（2018·浙江·高考真题）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，b=2，A=60°，则sin B=___________，c=___________．

【答案】          3

【解析】

【详解】

分析:根据正弦定理得sinB,根据余弦定理解出c.

详解：由正弦定理得,所以

由余弦定理得（负值舍去）.

点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化为边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.

25．（2019·浙江·高考真题）在中，，，，点在线段上，若，则____；________.

【答案】         

【解析】

【分析】

本题主要考查解三角形问题，即正弦定理、三角恒等变换、数形结合思想及函数方程思想.在、中应用正弦定理，由建立方程，进而得解.

【详解】

在中，正弦定理有：，而,

，，所以.

【点睛】

解答解三角形问题，要注意充分利用图形特征.

26．（2022·浙江温州·二模）已知AD是的角平分线，，，，则_________，________.

【答案】          ##

【解析】

【分析】

直接利用余弦定理即可求得，根据二倍角公式求得，根据平方关系求得，再根据即可求出.

【详解】

解：因为，

所以，

因为AD是的角平分线，所以，

则，

则，

所以，

所以，

又，即，

解得.

故答案为：；.

27．（2022·浙江·高三专题练习）在中，内角，，的对边分别为，，，已知．则内角=________ ；若是线段的中点，且，，那么边长=_______

【答案】     ##    

【解析】

【分析】

由已知结合正弦定理将角化边，然后结合余弦定理即可求解，进而可求；由，然后结合向量数量积性质及余弦定理可求．

【详解】

解：因为，

由正弦定理得，

由余弦定理得，

由为三角形内角得；

因为为的中点，所以，

则，

因为，，

所以，

整理得，

解得或（舍去），

由余弦定理得，

故．

故答案为：；；

28．（2022·浙江·高三阶段练习）在中，已知，，，为的内心，的延长线交AB于点D，则的外接圆的面积为___________，___________.

【答案】     ##；     ##.

【解析】

【分析】

利用余弦定理求出,再利用正弦定理求出外接圆的半径和面积得解；分别求出，，再利用余弦定理和正弦定理求解.

【详解】

由余弦定理得，.

设三角形的外接圆的半径为, 所以，

所以的外接圆的面积为.

由余弦定理得,

所以，.

所以.

由正弦定理得.

故答案为：；.

29．（2022·浙江·镇海中学高三期末）如图， 在中， ， 点在边上，且， 则 _______， 的面积为_______．

【答案】          ##

【解析】

【分析】

利用余弦定理直接计算即可求得，利用余弦定理求得，进而可得，取中点,可得，利用三角形面积公式即可得结果.

【详解】

在中， ，

,则.

取中点,由可知.

,

，

,

.

故答案为：;.

.

30．（2022·浙江·高三专题练习）已知在中，点D在BC边上，若，，，，则___________，BC=___________.

【答案】     ##     ##

【解析】

【分析】

在中先利用余弦定理求出，再利用余弦定理即可求出；先根据得到，再根据正弦定理计算.

【详解】

在中

由余弦定理，

，

由余弦定理，

即，

，，

，，

，

由正弦定理，

.

故答案为：；